4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Relación de Curvatura - Momento Flector

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Relación de Curvatura - Momento Flector. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
 
28 de marzo de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
RELACIÓN MOMENTO - CURVATURA. 
Antes de que se pueda obtener la pendiente y la 
deflexión en cualquier punto de la curva elástica, 
primero es necesario relacionar el momento interno 
con el radio de curvatura ρ (rho) de la curva elástica. 
Para hacer esto, se considerará la viga mostrada en 
la figura 12-5a y se removerá el pequeño elemento 
ubicado a una distancia x del extremo izquierdo y que 
tiene una longitud sin deformar dx (figura 12-5b). La 
coordenada y “localizada” se mide desde la curva 
elástica (eje neutro) hasta la fibra en la viga que tiene 
una longitud original de ds = dx y una longitud 
deformada ds_. En la sección 6.3 se desarrolló una 
relación entre la deformación normal en esta fibra, el 
momento interno y el radio de curvatura del elemento 
de la viga (figura12-5b). Éste es: 
(12-1) 
Como se aplica la ley de Hooke, en la que ϵ = σ/E y σ = -My/I, después 
de sustituir en la ecuación anterior, se obtiene: 
(12-2) 
Aquí: 
ρ = el radio de curvatura en el punto sobre la curva elástica (1>r se 
conoce como la curvatura) . 
M = el momento interno en la viga en el punto . 
E = el módulo de elasticidad del material . 
I = el momento de inercia de la viga con respecto al eje neutro . 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Por lo tanto, el signo de r depende de la dirección del momento. Como 
se muestra en la figura 12-6, cuando M es positivo, r se extiende por 
encima de la viga, y cuando M es negativo, r se extiende por debajo de 
la viga. 
 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (p. 580). 
México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
CURVATURA DE UNA VIGA. 
Cuando se aplican cargas a una viga, su eje longitudinal se deforma y 
adopta una forma curva, como se ilustró antes en la figura 5.1. Las 
deformaciones unitarias y los esfuerzos en la viga están directamente 
relacionados con la curvatura de la curva de 
deflexión. 
Para ilustrar el concepto de curvatura, considere 
de nuevo una viga en voladizo sometida a una 
carga P que actúa en el extremo libre (consulte la 
figura 5.5a). La curva de deflexión de esta viga se 
muestra en la figura 5.5b. Para fines de análisis, 
identificamos dos puntos m1 y m2 en la curva de 
deflexión. El punto m1 se selecciona a una 
distancia arbitraria x del eje y y el punto m2 está 
ubicado a una distancia pequeña ds más alejada 
a lo largo de la curva. En cada uno de estos 
puntos trazamos una línea normal a la tangente 
de la curva de deflexión, es decir, normal a la 
propia curva. Estas normales se intersecan en el 
punto O´, que es el centro de curvatura de la 
curva de deflexión. Como la mayoría de las vigas 
tienen deflexiones muy pequeñas y curvas de 
deflexión casi planas, es usual que el punto O´ se 
ubique mucho más alejado de la viga de lo que se 
indica en la figura. 
La distancia m1O´ desde la curva hasta el centro de curvatura se 
denomina radio de curvatura y se denota ρ (letra griega rho), y la 
curvatura se denota k (letra griega kappa) y se define como el recíproco 
del radio de curvatura. Por tanto, 
(5.1) 
La curvatura es una medida de qué tan agudamente está flexionada una 
viga. Si la carga sobre una viga es pequeña, la viga será casi recta, el 
radio de curvatura será muy grande y la curvatura será muy pequeña. 
 
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Si la carga se aumenta, la cantidad de flexión aumentará; el radio de 
curvatura será menor y la curvatura será mayor. De la geometría del 
triángulo O´m1m2 (figura 5.5b) obtenemos 
(a) 
en donde dθ (medido en radianes) es el ángulo infinitesimal entre las 
normales y ds es la distancia infinitesimal a lo largo de la curva entre los 
puntos m1 y m2. Al combinar la ecuación (a) con la ecuación (5.1), 
obtenemos 
(5.2) 
Esta ecuación para la curvatura se deduce en libros de texto de cálculo 
y es válida para cualquier curva, sin importar la cantidad de curvatura; 
si ésta es constante en toda la longitud de una curva, el radio de 
curvatura también será constante y la curva será un arco de círculo. 
Las deflexiones de una viga suelen ser muy pequeñas comparadas con 
su longitud (considere, por ejemplo, las deflexiones del chasis 
estructural de un automóvil o las de una viga en un edificio). Deflexiones 
pequeñas significan que la curva de deflexión es casi plana. En 
consecuencia, la distancia ds a lo largo de la curva se puede igualar con 
su proyección horizontal dx (consulte la figura 5.5b). En estas 
condiciones especiales de deflexiones pequeñas, la ecuación para la 
curvatura se transforma en 
(5.3) 
La curvatura y el radio de curvatura son funciones de la distancia x 
medida a lo largo del eje x y de aquí se deriva que la posición O´ del 
centro de curvatura también depende de la distancia x. 
La curvatura en un punto particular en el eje x de una viga depende del 
momento flexionante en ese punto y de las propiedades de la viga 
(forma de la sección transversal y tipo de material). Por tanto, si la viga 
es prismática y el material es homogéneo, la curvatura variará sólo con 
el momento flexionante. En consecuencia, una viga en flexión pura 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
tendrá una curvatura constante y una viga en flexión 
no uniforme tendrá una curvatura variable. 
La convención de signos para la curvatura depende 
de la orientación de los ejes coordenados. Si el eje x 
es positivo hacia la derecha y el eje y es positivo hacia 
arriba, como se muestra en la figura 5.6, entonces la 
curvatura es positiva cuando la viga se flexiona 
cóncava hacia arriba y el centro de curvatura está 
arriba de la viga. De manera inversa, la curvatura es 
negativa cuando la viga se flexiona convexa hacia 
abajo y el centro de curvatura está debajo de la viga. 
 
 
 
Gere, J., & Goodno, B. (2009). Esfuerzos en vigas (temas básicos). En Mecánica de 
Materiales (pp. 354-356). México: Cengage Learning. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (p. 580). México: Pearson Educación. 
2.- Gere, J., & Goodno, B. (2009). Esfuerzos en vigas (temas básicos). 
En Mecánica de Materiales (pp. 354-356). México: Cengage Learning.