4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Método de Tres momentos

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Método de la Ecuación de los Tres Momentos para 
determinar reacciones, rotaciones y deflexiones en vigas 
continuas. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
07 de junio de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS. 
Supóngase la viga mostrada en la figura, de la cual se sabe que en los 
apoyos extremos no existe momento. 
 
Considerando la pendiente de la elástica en un apoyo intermedio 
cualquiera, de la semejanza de los triángulos formados en la figura (b) 
se obtiene: 
(a) 
Nótese que es indispensable tener en cuenta los signos. En la figura (c) 
se presentan separados los tramos respectivos de viga, que se pueden 
tratar entonces como vigas simplemente apoyadas con momentos 
redundantes en sus extremos. 
En el caso general, los diagramas de momentos debidos a las cargas 
aplicadas tendrán áreas An y An+1 con sus centroides localizados como 
se indica en las siguientes figuras. 
En la parte inferior, a su vez, se han dibujado los diagramas 
correspondientes a los momentos en los apoyos. Obsérvese que los 
signos empleados son los correspondientes a momentos internos de las 
vigas. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
 
Aplicando el segundo teorema del área de momentos, se obtiene: 
 
Si la viga tiene inercia constante en todas las luces, al reemplazar estos 
valores en la ecuación (a) y simplificar se llega a: 
 
y dividiendo ambos lados por Ln Ln+1: 
 
Finalmente, al multiplicar todos los términos por seis se obtiene: 
(5.1) 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
que constituye la Ecuación de los tres momentos para vigas continuas 
de sección constante. 
El procedimiento consiste, entonces, en tomar porciones de viga 
formadas por dos tramos consecutivos y aplicarles la ecuación (5.1). 
Resulta, así, un sistema de ecuaciones cuya solución da los momentos 
en los apoyos. Una forma alterna de la Ecuación de los tres momentos 
se obtiene al observar que los términos de la derecha de la ecuación 
son simplemente las reacciones de las vigas conjugadas 
correspondientes, multiplicadas por EI. 
Queda entonces: 
 
Para aplicar la ecuación anterior resultan útiles tablas como la (5.1), que 
dan de una vez las reacciones de la viga conjugada para diversas 
solicitaciones de carga. 
Cuando los extremos de las vigas descansan sobre apoyos simples o 
están en voladizo, se empieza por establecer los valores de los 
momentos correspondientes; por el contrario, en un extremo empotrado 
no se puede determinar a priori el valor del momento. En este caso, 
dado que la condición geométrica requerida es que la pendiente en 
dicho apoyo debe ser cero, se puede añadir una luz imaginaria 
adyacente al empotramiento de cualquier longitud Lo, simplemente 
apoyada en el apoyo opuesto y de inercia infinita. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
 
Al aplicarle a la porción Ao AB la forma generalizada de la ecuación 
(5.1), que incluye inercias diferentes, resulta: 
 
y al tener en cuenta que M0=0 y L0/∞ = 0, se reduce a: 
(5.3) 
Desde el punto de vista de aplicación, la misma ecuación resultaría si 
se considera que la luz imaginaria tiene longitud cero, pero vale la pena 
entender el por qué de la equivalencia. 
La Ecuación de los tres momentos se puede extender para incluir el 
efecto de asentamientos diferenciales de los apoyos, llegándose a la 
siguiente forma general: 
(5.4) 
El significado de los últimos términos se ilustra en la figura adyacente. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
La ecuación (5.4) ha sido tomada del libro de Wang (referencia 5.1) y a 
él se remite al lector interesado en su deducción. 
Vale la pena anotar que la Ecuación de los tres momentos es 
relativamente fácil de programar, incluso para el caso de tramos de 
sección variable como los que se suelen presentar en puentes. 
Uribe, J. (2002), Ecuación de los tres momentos y método de ángulos de giro. Análisis de 
estructuras. (pp. 161-166). Colombia: Ecoe Ediciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Uribe, J. (2002), Ecuación de los tres momentos y método de 
ángulos de giro. Análisis de estructuras. (pp. 161-166). Colombia: Ecoe 
Ediciones.