4AM2 Herrera Rangel Hector Francisco Procedimientos para fuerza cortante y momento flector

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Flexión. 
Profesor: Mejía Carmona Alejandro. 
 
Procedimientos para la determinación de leyes o funciones de 
fuerza cortante y momento flector. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 4AM2. 
 
 
03 de marzo de 2023
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Método de secciones. 
El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas 
internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre 
que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reactivas. Las 
reacciones pueden siempre calcularse usando las ecuaciones de 
equilibrio siempre que el sistema sea estáticamente determinado. 
El sistema completo de fuerzas queda identificado. En los pasos 
subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre 
las fuerzas aplicadas y las reactivas. El método de las secciones puede 
entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura, aplicando el 
concepto previamente empleado de que si todo el cuerpo está en 
equilibrio, cualquier parte de él está igualmente en equilibrio. 
Para ser más específicos, considere una 
viga como la de la figura 7-11(a), con ciertas 
fuerzas concentradas y distribuidas 
actuando sobre ella. Las fuerzas aplicadas 
externamente y las reacciones en el soporte 
mantienen todo el cuerpo en equilibrio. 
Ahora considere un corte imaginario X-X 
normal al eje de la viga, que la separa en dos 
segmentos, como se muestra en las figuras 
7-ll(b) y (c). Note en particular que la sección 
imaginaria pasa por la carga distribuida y 
también la separa. Cada uno de esos 
segmentos de viga es un cuerpo libre que 
debe estar en equilibrio. Esas condiciones de 
equilibrio requieren de la existencia de un 
sistema de fuerzas internas en la sección del 
corte de la viga. En general, en una sección 
de dicho miembro, son necesarias una 
fuerza vertical, una fuerza horizontal y un 
momento para mantener en equilibrio la parte aislada. Esas cantidades 
adquieren un significado especial en las vigas y por ello se analizarán 
por separado. 
Popov, E. (2000). Estática de vigas. En Mecánica de sólidos (pp. 275-276). México: Pearson 
Educación. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
La determinación de los valores absolutos máximos del cortante y del 
momento flector en una viga se facilitan mucho si V y M se grafican 
contra la distancia x medida desde un extremo de la viga. 
El conocimiento de M como una función de x es esencial para la 
determinación de la flexión de una viga. 
Los diagramas de cortante y de momento 
flector se obtendrán determinando los 
valores de V y de M en puntos selectos de la 
viga. Estos valores se calcularán de la 
manera habitual, es decir, efectuando un 
corte a través del punto donde deben ser 
determinados (figura 5.6a) y considerando el 
equilibrio de la porción de viga localizada en 
cualquiera de los lados de la sección (figura 
5.6b). Ya que las fuerzas cortantes V y V’ 
tienen sentidos opuestos, el registrar el corte 
en el punto C con una flecha hacia arriba o 
hacia abajo no tendría significado, a menos 
que se indicase al mismo tiempo cuál de los 
cuerpos libres AC y CB se está 
considerando. Por esta razón, el corte V se 
registrará con un signo: un signo positivo si 
las fuerzas cortantes se dirigen como se 
observa en la figura 5.6b, y un signo negativo 
en el caso contrario. Una convención similar 
se aplicará al momento flector M. Se 
considerará positivo si los pares flectores se 
dirigen como se muestra en dicha figura, y 
negativos en el caso contrario. 
Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para una viga 
simplemente apoyada AB con claro L sometida a una carga única 
concentrada P en su centro C (figura 5.8). 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Primero se obtienen las reacciones en los 
soportes a partir del diagrama de cuerpo libre de 
la viga entera (figura 5.9a); se encuentra que la 
magnitud de cada reacción es igual a P/2. 
A continuación se corta la viga en un punto D 
entre A y C y se dibujan los diagramas de cuerpo 
libre de AD y de DB (figura 5.9b). Suponiendo 
que el corte y el momento flector son positivos, 
se dirigen las fuerzas internas V y V’ y los pares 
internos M y M’ como se indica en la figura 5.7a. 
Considerando el cuerpo libre AD y escribiendo 
que la suma de las componentes verticales y 
que la suma de momentos alrededor de D de las 
fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son 
cero, se encuentra que V=-P/2 y que M=+Px/2. 
Tanto el cortante como el momento flector son, 
por lo tanto, positivos. Esto puede verificarse 
observando que la reacción en A tiende a cortar 
y a flexionar la viga en D. Ahora se grafican V y 
M entre A y C (figuras 5.9d y e); el cortante tiene 
un valor constante V=P/2 mientras que el 
momento flector aumenta linealmente desde 
M=0 en x=0 hasta M=PL/4 en x=L/2. 
Cortando ahora la viga en el punto E entre C y B 
y considerando el diagrama de cuerpo libre EB (figura 5.9c) se escribe 
que la suma de los componentes verticales y la suma de los momentos 
con respecto a E actuando en el cuerpo libre son cero. Se obtiene V=-
P/2 y M=P(L-x)/2. El cortante es, por lo tanto, negativo y el momento 
flector, positivo. Esto puede verificarse observando que la reacción en 
B flexiona a la viga en E como se indica en la figura 5.7c pero que tiende 
a cortarla en una manera opuesta a la mostrada en la figura 5.7b. Ahora 
es posible completar los diagramas de cortante y de momento flector de 
las figuras 5.9d y e; el corte tiene un valor constante V=-P/2 entre C y 
B, mientras que el momento flector disminuye linealmente desde 
M=PL/4 en x=L/2 hasta M=0 en x=L. 
Beer, F., Johnston E. Russell, JR., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2010). Análisis y diseño de 
vigas para flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 311-312). México: McGraw-Hill. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Métodos de funciones de discontinuidad. 
El método de integración, usado para encontrar la ecuación de la curva 
elástica de una viga o un eje, resulta conveniente si la carga o el 
momento internos pueden expresarse como una función continua en 
toda la longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias 
cargas diferentes, la aplicación del método se hace más tediosa porque 
deben escribirse funciones de carga o de momento independientes para 
cada región de la viga. 
Se analizará un método para encontrar la ecuación de la curva elástica 
usando una sola expresión, ya sea formulada a partir de la carga sobre 
la viga, w = w(x), o del momento interno de la viga, M = M(x). 
Con el fin de expresar la carga sobre la viga o el momento interno dentro 
de ésta usando una sola expresión, se emplearán dos tipos de 
operadores matemáticos conocidos como funciones de discontinuidad. 
 
Funciones de Macaulay. 
Para propósitos de la deflexión de una viga o un eje, pueden usarse las 
funciones de Macaulay (llamadas así en honor al matemático W. H. 
Macaulay) para describir las cargas distribuidas. Estas funciones 
pueden expresarse en forma general como: 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Aquí x representa la posición de un punto a lo largo de la viga y a es la 
ubicación donde comienza la carga distribuida. La función de Macaulay 
‹x-a›n se escribe con paréntesis angulares o de Macaulay para 
distinguirla de la función ordinaria (x - a)n, escrita entre paréntesis. 
Según lo establecido por la ecuación, ‹x-a›n = (x - a)n sólo cuando x≥a; 
de lo contrario, su valor es cero. Por otra parte, esta función es válida 
sólo para valores exponenciales de n≥0. La integraciónde las funciones 
de Macaulay sigue las mismas reglas que para las funciones habituales, 
es decir: 
 
Las funciones de Macaulay para una carga uniforme y triangular se 
muestran en la tabla 12-2. Con el uso de la integración, las funciones 
de Macaulay para la cortante, V = ∫w(x) dx, y el momento, M = ∫V dx, 
también se muestran en la tabla. 
 
 
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Funciones de singularidad. 
Estas funciones sólo se utilizan para describir fuerzas concentradas o 
momentos de par que actúan sobre una viga o un eje. En específico, 
una fuerza concentrada P puede considerarse como un caso especial 
de una carga distribuida, donde la intensidad de w = P/ε cuando su 
longitud ε→0 (figura 12-14). El área bajo este diagrama de carga es 
equivalente a P, positiva hacia arriba, y tiene este valor sólo cuando x=a. 
Para expresar este resultado, se usará una representación simbólica, a 
saber: 
 
A esta expresión se le llama función de singularidad, puesto que toma 
el valor de P sólo en el punto x = a donde se produce la carga, de lo 
contrario su valor es cero. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
De manera similar, un momento de par M0, considerado positivo en 
sentido horario, es un límite cuando ε→0 de dos cargas distribuidas 
como las mostradas en la figura 12-15. Aquí, la siguiente función 
describe su valor. 
 
El exponente n = -2, tiene la finalidad de garantizar que se mantengan 
las unidades de w, fuerza por longitud. 
La integración de las dos funciones anteriores sigue las reglas del 
cálculo y produce resultados diferentes a los obtenidos mediante la 
función de Macaulay. En específico: 
 
Al utilizar esta fórmula, observe cómo M0 y P, que se describen en la 
tabla 12-2, se integran una vez y luego dos veces para obtener la fuerza 
cortante y el momento interno en la viga. La aplicación de estas 
ecuaciones proporciona un medio directo para expresar la carga o el 
momento interno en una viga como función de x. Sin embargo, debe 
prestarse atención especial a los signos de las cargas externas. Como 
se indicó anteriormente, y como se muestra en la tabla 12-2, las fuerzas 
concentradas y las cargas distribuidas son positivas hacia arriba, y los 
momentos de par son positivos en sentido horario. Si se sigue esta 
convención de signos, entonces la fuerza cortante y el momento interno 
estarán en concordancia con la convención de signos para una viga. 
Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de Materiales (pp. 599-602). 
México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 4AM2. 
Bibliografía. 
1.- Popov, E. (2000). Estática de vigas. En Mecánica de sólidos (pp. 
275-276). México: Pearson Educación. 
2.- Beer, F., Johnston E. Russell, JR., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2010). 
Análisis y diseño de vigas para flexión. En Mecánica de Materiales (pp. 
311-312). México: McGraw-Hill. 
3.- Hibbeler, R. (2017). Deflexión de vigas y ejes. En Mecánica de 
Materiales (pp. 599-602). México: Pearson Educación.