HERRERARH_P6

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Física Clásica. 
Profesor: José Ramón García Álvarez. 
 
Practica 6 “Laboratorio de Péndulo”. 
Tema: “Movimiento oscilatorio”. 
Subtema: “Movimiento armónico simple” y “El péndulo”. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 1AV1. 
 
 
05 de diciembre de 2021
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Fundamentación teórica. 
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.). 
Una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra 
bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia 
respecto a la posición de equilibrio. Decimos, entonces, que dicho cuerpo es 
un oscilador armónico. 
Un cuerpo oscila o vibra cuando se mueve de forma periódica en torno a 
una posición de equilibrio debido al efecto de fuerzas restauradoras. 
Las magnitudes características de un movimiento oscilatorio o vibratorio son: 
1. Periodo (T): El tiempo que tarda de cumplirse una oscilación completa. Su 
unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s). 
2. Frecuencia (f): Se trata del número de veces que se repite una oscilación en 
un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el hertzio 
(Hz). 
En el caso de la bola del ejemplo anterior, el periodo es el tiempo que tarda está en 
volver a pasar por el mismo punto en igual sentido. La frecuencia es el número de 
veces en un segundo en que la bola pasa por el mismo punto en igual sentido. 
El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas: 
f=1/T 
Con esto tenemos que 1 Hz = 1 s-1. 
Aunque el concepto de vibración es el mismo que el de oscilación, en ocasiones se 
emplea el término vibración para designar una oscilación muy rápida o de alta 
frecuencia. 
Tipos de vibraciones. 
Existen dos tipos de vibraciones u oscilaciones atendiendo a las fuerzas que 
actúan: 
1. Oscilaciones libres: Cuando sobre el cuerpo no actúan fuerzas disipativas. El 
cuerpo no se detiene, oscila indefinidamente, al no haber una fuerza que 
contrarreste el efecto de la fuerza restauradora. 
2. Oscilaciones amortiguadas: Cuando actúan fuerzas disipativas (como por 
ejemplo la fuerza de rozamiento o de fricción) que acaban por hacer que las 
oscilaciones desaparezcan. El cuerpo acabará retornando a la posición de 
equilibrio. 
 
https://www.fisicalab.com/apartado/fuerzas-conservativas
https://www.fisicalab.com/apartado/fuerza-rozamiento
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
El Movimiento Armónico Simple: Características. 
Cuando las fuerzas restauradoras que actúan sobre la partícula son proporcionales 
a la distancia al punto de equilibrio, decimos que se produce un movimiento 
armónico simple (m.a.s), también conocido como movimiento vibratorio armónico 
simple (m.v.a.s.). En general, dichas fuerzas restauradoras siguen la ley de Hooke: 
F→=−k⋅x→ 
Una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s.) cuando vibra 
bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia 
respecto a la posición de equilibrio. 
La bola del experimenta y aprende anterior es un movimiento armónico simple pues, 
como puede observarse, la fuerza restauradora, en rojo, es proporcional a la 
distancia al punto de equilibrio. 
Características del movimiento armónico simple: 
1. Vibratorio: El cuerpo oscila en torno a una posición de equilibrio siempre en 
el mismo plano. 
2. Periódico: El movimiento se repite cada cierto tiempo denominado periodo 
(T). Es decir, el cuerpo vuelve a tener las mismas magnitudes cinemáticas y 
dinámicas cada T segundos. 
3. Se describe mediante una función sinusoidal (seno o coseno 
indistintamente). 
x=A⋅cos(ω⋅t+φ0) 
x=A⋅sin(ω⋅t+φ0) 
A la partícula o sistema que se mueve según un movimiento armónico simple se les 
denomina oscilador armónico. 
Magnitudes del movimiento armónico simple. 
1. Elongación, x: Representa la posición de la partícula que oscila en función 
del tiempo y es la separación del cuerpo de la posición de equilibrio. Su 
unidad de medidas en el Sistema Internacional es el metro (m). 
2. Amplitud, A: Elongación máxima. Su unidad de medidas en el Sistema 
Internacional es el metro (m). 
3. Frecuencia. f: El número de oscilaciones o vibraciones que se producen en 
un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio 
(Hz). 1 Hz = 1 oscilación / segundo = 1 s-1. 
https://www.fisicalab.com/apartado/como-medir-fuerzas
https://www.fisicalab.com/apartado/vector-posicion
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
4. Periodo, T: El tiempo que tarda en cumplirse una oscilación completa. Es la 
inversa de la frecuencia T = 1/f. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el segundo (s). 
5. Fase, φ: La fase del movimiento en cualquier instante. Corresponde con el 
valor φ=ω⋅t+φ0. Se trata del ángulo que representa el estado de vibración del 
cuerpo en un instante determinado. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el radián (rad). Cuando se produce una oscilación completa, 
la fase aumenta en 2·π radianes y el cuerpo vuelve a su posición 
(elongación) x inicial. Esto es debido a que cos(φ)=cos(φ+2⋅π). 
6. Fase inicial, φ0: Se trata del ángulo que representa el estado inicial de 
vibración, es decir, la elongación x del cuerpo en el instante t = 0. Su unidad 
de medida en el Sistema Internacional es el radián (rad). 
7. Frecuencia angular, velocidad angular o pulsación, ω: Representa la 
velocidad de cambio de la fase del movimiento. Se trata del número de 
periodos comprendidos en 2·π segundos. Su unidad de medida en el sistema 
internacional es el radián por segundo (rad/s). Su relación con el período y la 
frecuencia es ω=2⋅πT=2⋅π⋅f. 
 
Gráfica de posición en el movimiento armónico simple (m.a.s.). 
No es casualidad que el movimiento armónico simple se denomine, precisamente, 
armónico. También las funciones seno y coseno suelen denominarse funciones 
armónicas. 
La gráfica de la elongación del movimiento armónico simple es la de una función 
sinusoidal cuya variable independiente es el tiempo. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Es frecuente estudiar algunos elementos que se comportan como osciladores 
armónicos para entender las propiedades y características del m.a.s. con mayor 
profundidad. En este tema vamos a estudiar: 
 El m.a.s. en muelles. 
 El m.a.s. en péndulos. 
 El movimiento armónico simple en el movimiento circular uniforme. 
Existen algunas relaciones trigonométricas que es importante que recuerdes y que 
te serán útiles cuando resuelvas ejercicios de este tema: 
cos(α)=sin(α+π/2) 
sin(α)=cos(α−π/2) 
sin(α±π)=−sin(α) 
cos(α±π)=−cos(α) 
La siguiente gráfica representa la elongación en función del tiempo de un cuerpo 
que se comporta según un movimiento armónico simple: 
 
Fuerzas en el Movimiento Armónico Simple. 
La fuerza total que actúa sobre una partícula en un movimiento armónico simple es 
proporcional a la distancia a la posición de equilibrio. 
Desde un punto de vista dinámico, es decir, atendiendo a las fuerzas presentes en 
el movimiento. Recuerda que un oscilador armónico es cualquier cuerpo que se 
mueve según un m.a.s. Cuando estudiamos la cinemática del movimiento armónico 
simple, llegamos a la siguiente relación entre aceleración y posición: 
a=−ω2⋅x 
https://www.fisicalab.com/apartado/mas-y-muelles
https://www.fisicalab.com/apartado/mas-y-pendulos
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
El comportamiento dinámico de un oscilador armónico se obtiene sustituyendo la 
condición de la aceleración del m.a.s. en el principio fundamental de la dinámica.Desarrollando la idea anterior, nos queda: 
F→=m⋅a→=m⋅(−ω2⋅x→) =−m⋅ω2⋅x→=−k⋅x→ 
La fuerza que actúa en un movimiento armónico simple es directamente 
proporcional y de signo contrario al desplazamiento del cuerpo respecto a la 
posición de equilibrio: 
F→=−k⋅x→ 
Donde: 
 F→: Fuerza necesaria para producir el m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el Newton (N). 
 x→: Desplazamiento de la partícula respecto a la posición de equilibrio. Su unidad 
de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). 
 k: Constante recuperadora del m.a.s. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el Newton por metro (N/m). Su valor viene dado por: 
k=m⋅ω2 
Donde: 
o m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es 
el kilogramo (kg). 
o ω: Frecuencia angular o pulsación. Su unidad de medida en el Sistema 
Internacional es el radián por segundo (rad/s). 
La fórmula anterior simplemente nos indica que la fuerza presente en un movimiento 
armónico simple, que actúa en calidad de fuerza restauradora, trata de devolver al 
cuerpo a su posición de equilibrio desde el punto en el que se encuentre. 
 
https://www.fisicalab.com/apartado/principio-fundamental
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Caracterización dinámica de un oscilador armónico. 
Podemos caracterizar los osciladores armónicos a partir de los valores de su 
constante k y su masa m, dando lugar a los valores característicos de frecuencia 
angular ω, periodo T y frecuencia f. 
Frecuencia angular ω 
ω=km−−−√ rad/s 
Periodo T 
T=2⋅πω=2⋅π⋅mk−−−√ s 
Frecuencia f 
f=ω2⋅π=12⋅π⋅km−−−√ Hz 
Fuerzas presentes en los muelles. 
Si observas la expresión de la fuerza que actúa en un m.a.s. F→=−k⋅x→ ,te darás 
cuenta que es la ley de Hooke. 
El m.a.s. en muelles ocurre por el simple hecho de encontrarse estos sometidos a 
una fuerza proporcional a la distancia a la posición de equilibrio y de sentido 
contrario. La constante de proporcionalidad, k, coincide con la constante elástica de 
la ley de Hooke. Esto nos permite conocer el valor de la fuerza restauradora para 
un determinado desplazamiento respecto a la posición de equilibrio a partir de la 
frecuencia angular del movimiento y la masa del cuerpo que oscila. 
 
Fuerzas presentes en los péndulos. 
El m.a.s. en péndulos se produce cuando la amplitud es pequeña. La fuerza 
resultante sobre el péndulo, la componente tangencial del peso Pt, es proporcional 
en este caso al desplazamiento horizontal de la vertical de equilibrio. 
https://www.fisicalab.com/apartado/como-medir-fuerzas
https://www.fisicalab.com/apartado/mas-y-muelles
https://www.fisicalab.com/apartado/mas-y-pendulos
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
El periodo del péndulo simple es el tiempo que tarda el péndulo en volver a pasar 
por un punto en el mismo sentido. También se define como el tiempo que tarda en 
hacerse una oscilación completa. Su valor viene determinado por: 
T=2⋅π⋅lg−−√l/g 
Donde: 
 T: Periodo del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es 
el segundo (s). 
 l: Longitud del péndulo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es 
el metro (m). 
 g: Gravedad. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por 
segundo al cuadrado (m/s2). 
Péndulo simple. 
El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un 
sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de 
un punto fijo o mediante un hilo al que se le puede regular su longitud y su peso.1 
Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es 
accesible a la teoría. 
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos 
reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. 
Método de Newton. 
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si 
desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un 
ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo 
oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán 
lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo 
largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, l, del hilo. El movimiento 
es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico. 
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación 
del movimiento de la partícula. 
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: 
su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente 
tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: 
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para 
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto 
al desplazamiento (fuerza recuperadora). 
https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_movimiento
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_movimiento
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Peso
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_ley_de_Newton_o_Ley_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Newton
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_tangencial
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza_tangencial&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/Desplazamiento
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fuerza_recuperadora&action=edit&redlink=1
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner siendo la aceleración 
angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es: 
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la 
presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento 
del péndulo simple no es armónico simple, en general. 
Método de LaGrange. 
El lagrangiano del sistema es donde es la elongación angular (ángulo que 
forma el hilo con la vertical) y es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones 
de LaGrange se sigue y obtenemos la ecuación del movimiento es de modo que la 
masa no interviene en el movimiento de un péndulo. 
Pequeñas oscilaciones. 
Si consideramos tan solo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el 
ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será 
muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente 
pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se 
reduce a 
que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al 
movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es: 
siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos 
el período de las mismas: 
Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por 
las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase 
inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano. 
Comparación entre el valor de un ángulo (rad) y su seno. 
Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % Θ(º) Θ(rad) senΘ dif. % 
0 0,00000 0,00000 0,00 15 0,26180 0,25882 1,15 
2 0,03491 0,03490 0,02 20 0,34907 0,34202 2,06 
5 0,08727 0,08716 0,13 25 0,43633 0,42262 3,25 
10 0,17453 0,17365 0,51 30 0,52360 0,50000 4,72 
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angular
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angular
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple
https://es.wikipedia.org/wiki/Elongaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angularhttps://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Condiciones_iniciales&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Amplitud_angular&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fase_inicial&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Fase_inicial&action=edit&redlink=1
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_plano
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
 
Péndulo físico. 
Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar 
libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa 
por su centro de masa. 
El péndulo físico es un sistema con un solo grado de libertad; el correspondiente a 
la rotación alrededor del eje fijo (Figura 1). La posición del péndulo físico queda 
determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado 
por el eje de rotación y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical 
que pasa por el eje de rotación. 
Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de 
rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) 
un ángulo, actúan sobre él dos fuerzas (y) cuyo momento resultante con respecto 
al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido 
negativo del mismo; i.e. 
Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y 
llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos 
permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo, que 
podemos escribir en la forma que es una ecuación diferencial de segundo orden, 
del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple. 
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos 
poner sen sin(θ) ≈ θ y la ecuación adopta la forma que corresponde a un 
movimiento armónico simple. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Id_est
https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Desarrollo. 
Ventana introducción. 
Básicamente para guiarnos sobre el concepto de periodo será el tiempo que pase 
mientras la línea azul se está dibujando, en el cronómetro se puso el periodo 
aproximado de ese movimiento. 
 
Ahora experimentando con los valores que podrían modificar el periodo de nuestro 
péndulo son la longitud de la cuerda o cable, la gravedad que exista en el entorno y 
la fricción que se tenga, por último, tengo que añadir que hasta el punto de 
considerar la fricción es cuando la masa puede hacer un cambio en nuestro periodo. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Ventana: Energía. 
La diferencia que se encuentra a la hora de cambiar de gravedad de la tierra a la 
del planeta júpiter, que es mucho mayor, se da en que en esta circunstancia el 
periodo será menor o en su defecto para mayor comprensión más rápido. 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Ahora ponemos a prueba el cómo es que va a afectar el aumentar la fricción en 
nuestro péndulo para su periodo, entonces encontramos que a mayor fricción el 
periodo va a decrecer, además de que se va a volver más lento, todo esto se ve 
reflejado en la ventana de energías. 
 
 
 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Ventana: Laboratorio. 
Vale, pues para dar explicación a estos dos vectores se va a empezar por el de 
velocidad (vector verde), este vector al llegar a la mitad del recorrido es su mayor 
tamaño y al llegar al extremo llega a ser nulo por un momento y cambia de sentido, 
esto porque ahora la velocidad nos ayuda a regresar gracias a la gravedad y la 
masa del objeto. 
Ahora para el vector de la aceleración vemos que aumenta en los extremos y hacia 
la mitad del recorrido se reduce y al llegar al otro extremo vuelve a aumentar por lo 
misma ayuda de la gravedad que para bajar llega a tener más aceleración que en 
medio. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 1AV1. 
Bibliografía. 
 Fernández, J. (2021). Movimiento Armónico Simple (M.A.S.). 2021, de 
Fisica Lab Sitio web: https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-oscilador-
armonico 
 Fernández, J. (2021). Fuerzas en el Movimiento Armónico Simple. 
2021, de Fisica Lab Sitio web: https://www.fisicalab.com/apartado/dinamica-mas 
 Ortega, M. (2021). Péndulo simple. 2021, de Wikipedia Sitio web: 
https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple 
 Ortega, M. (2021). Péndulo físico. 2021, de Wikipedia Sitio web: 
https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico 
https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-oscilador-armonico
https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-oscilador-armonico
https://www.fisicalab.com/apartado/dinamica-mas
https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_simple
https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico