Matematica Discreta

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Matematica Discreta/1.ACTIVIDADES_4.1_a_4.3.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matematica Discreta/1° PARCIAL 8_8_20_ Revisión de intento.pdf
Matematica Discreta/1° PARCIAL 8_8_20_ Revisión del intento.pdf
Matematica Discreta/2.ACTIVIDADES_4.4_Y_4.5.pdf
 
 
 
 
 
 
Matematica Discreta/2° PARCIAL 29_11_20 (Cuestionario abierto de 9 a 11 hs)_ Revisión del intento.pdf
Matematica Discreta/D FINAL 14_08_20_ Revisión del intento.pdf
15/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
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PÁGINA PRINCIPAL / MIS CURSOS / CARRERAS DE GRADO / INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN / 1ER. NIVEL
/ DISCRETA / EXAMEN FINAL MD 2020 / FINAL 14/08/20
Comenzado el viernes, 14 de agosto de 2020, 15:15
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 14 de agosto de 2020, 16:11
Tiempo empleado 56 minutos 8 segundos
Puntos 12,33/20,00
Calificación 6,17 de 10,00 (62%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Entre las siguientes afirmaciones hay solo una afirmación verdadera, seleccione la opción
correcta:
Seleccione una:
( ¬ t ν s ) Λ ¬ s es equivalente a ( ¬ t ν ¬ s )
¬ (¬ t  ↔  s )    es equivalente a   ( ¬ s ↔  t )
( ¬ t Λ ¬ q ) es equivalente a ¬ q 
( ¬ t Λ ¬ r ) ν ( r → t )    es equivalente a ( ¬ r ν t )
Selecciona la afirmación VERDADERA
Seleccione una:
Existe un grafo que posee 10 vértices y cuyos grados sean: 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 4 
Existe un grafo regular con 5 vértices y 35 aristas
Existe un grafo completo con 20 aristas. 
Existe un grafo bipartito completo con 4 vértices y 5 aristas. 
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=49906
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Pregunta 3
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 4
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 5
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Sea el Digrafo simple representado por la matriz de adyacencia M
que se da
 
 
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre él
Seleccione una:
Posee vértices fuente
No posee pozos
Posee circuito de Euler
Ninguna de las opciones dadas 
Dados los siguientes grafos 
 
Seleccione la afirmación FALSA que se hace sobre ellos
Seleccione una:
Los tres, H , H y H son subgrafos de G1 2 3
Solo uno de los H es subgrafo de G
 H no es subgrafo de G2
Ninguna de las opciones dadas 
Selecciona la afirmación FALSA que se haga sobre G
Seleccione una:
No posee vértices istmos ni aristas puentes
Posee al menos un vértice istmo
No posee ciclo de Euler ni camino de Euler
Posee ciclo de Hamilton y camino de Hamilton
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Pregunta 6
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 7
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 8
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
 
Seleccione una:
Grupo Abeliano
Anillo
Anillo conmutativo
Ninguna de las opciones dadas
Sea D el conjunto de todos los divisores de n y sean las
operaciones de suma y producto definidos por:
 x + y = mcm(x,y) 
x . y = mcd (x, y) 
Seleccione la afirmación FALSA que se hace sobre los siguientes D 
Seleccione una:
n
n
D es un álgebra de boole10
D es un álgebra de boole25
D es un álgebra de boole17
Ninguna de las opciones dadas
Dada la operación ◊ definida en A={a,0,b}, seleccione la afirmación
Falsa que se hace sobre ella:
 
Seleccione una:
 Existe el elemento neutro
◊ es una operación conmutativa
 (0 ◊ 0) ◊ a = 0 ◊ ( 0 ◊ a) 
 ◊ es una operación asociativa
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Pregunta 9
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 10
Finalizado Puntúa 0,67 sobre 1,00
Pregunta 11
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Sean los siguientes predicados definidos en el universo de los números enteros:
p(x) : " x es negativo "
q(x) : " x satisface la ecuación x - 2x + 1 = 0 "
 Seleccione la expresión lógica que resulte verdadera:
Seleccione una:
2
Sabiendo que ( p → q ) = 0
indique el valor de verdad de 
¬ q  → ¬ p 
¬ p → ( ¬ q Λ r )
( ¬ p Λ q ) Λ r
Falso
Depende de r
Falso
Sea A={x / x es vocal} y sean R y R las siguientes relaciones definidas en A 
 R = { (a , e) , (a , i) , (e , o)}
 R = { (e , a) , (i, e) , (e , i) , ( o, i ) }
 Seleccione la afirmación que sea VERDADERA
 
Seleccione una:
1 2
1
2
R R = { (a , a) , (a , i) , (a , e) }2 º 1
R R = { (a , a) , (a , i) , (e , o) }2 º 1
R R = { (a , a) , (a , i) , (e , i) , (o , o) }2 º 1
Ninguna de las opciones dadas 
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Pregunta 12
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 13
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 14
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Diga Verdadero o Falso:
 Sea A = { a , b , c , d , e , f , g , h , i , j , k }
 Los siguientes conjuntos son, ambos , particiones de A
 { { a , b , c , d } , { e , f } , { i } , { g , h , j , k } }
 { { a , b , c , d } , { e , f , g } , { i , j , k } , { h } }
 
Seleccione una:
Verdadero
Falso
Seleccione una:
Verdadero
Falso
En el conjunto A = { a , b , c , d , e , f } se define la relación R cuyo digrafo es:
Seleccione la afirmación FALSA que se realiza sobre ella 
Seleccione una:
R(a) = { a , f }
 R es una relación de equivalencia 
R no es transitiva
Ninguna de las opciones dadas
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Pregunta 15
Finalizado Puntúa 0,67 sobre 1,00
Pregunta 16
Finalizado Puntúa 0,33 sobre 1,00
Pregunta 17
Finalizado Puntúa 0,67 sobre 1,00
Indicar Verdadero o Falso o, si corresponde, que no es proposición
 
mcd ( 5 , 20x ) = 1 , para cualquier x entero
4 es combinación lineal de (-8) y 12
51 es combinación lineal de 1000 y 550 
Verdadero
Verdadero
Falso
Indicar Verdadero o Falso o, si corresponde, que no es proposición
 
x entero par tal que x|20 y x ≡ 2 (mod 5), 
x entero impar tal que 21 ≡ x (mod 7) 
x - y = 2k ↔ x ≡ y (mod 4) , x, y,k Z , 
Falso
Verdadero
No es proposición, no posee valor de verdad
Indicar Verdadero o Falso o, si corresponde, que no es proposición
 
x Z , x | ( x + 1 )
 x Z , 8 | (34x)
 a|b Λ a|c → a| (bx+cy) , a,b,c,x,y Z
Verdadero
Falso
+ No es proposición
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Pregunta 18
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 19
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
El 10° término de la sucesión 
 
3 , 3 , 6 , 9 , 15 , 24 , ...
 
es:
Seleccione una:
63
102
165
Ninguna de las opciones dadas
La relación de recurrencia,
c =1, c =3,
c = 4c - 4c ; n ≥ 2
 
tiene como solución general a:
Seleccione una:
0 1
n n-1 n-2 
a = (2+n) 2 , n ≥ 0n n-1
a = (2+n) 2 , n ≥ 1n n-1
a = (2+n) 2 - 1 , n ≥ 0n n 
a = (2+n) 2 , n ≥ 0n n
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Pregunta 20
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
La sucesión 
 
3 , 3 , 6 , 9 , 15 , 24 , ...
 
está representada por la fórmula:
Seleccione una:
a = 3 , a = 3 , a = a + a , con n≥31 2 n n-1 n-2
a = 3 , a = a + 3 , con n≥21 n n-1
a = 3 , a = 3 , a = a + a , con n≥31 2 n n-2 n-3
Ninguna de las opciones dadas
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Matematica Discreta/Desarrollo Actividades Unidad 1_2020.pdf
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA 
DISCRETA” –UNIDAD I - AÑO 2019 
Actividad 1.1 
a) 
i) Es proposición. Es compuesta. Simbólicamente : ¬ , donde : “8 es un número par” 
ii) Es proposición. Es simple. Simbólicamente : , donde : “6 es múltiplo de 3” 
iii) Es proposición. Es compuesta. Simbólicamente :  , donde : “2 es un número par” y : “23 
= 6” 
iv) No es Proposición, de la frase 7 trae suerte no se puede decir ni verdadero ni falso 
v) Es proposición. Es compuesta. Simbólicamente :  , donde : “10 es múltiplo de 2” y : “10 
es par” 
vi) Es proposición. Es compuesta. Simbólicamente : p  (  ) , donde : “15 es impar” y : “15 es 
múltiplo de 3” y : “15 es múltiplo de 7” 
b) “¬ ” : Luis no circula en moto 
 “ ∧ ”: Luis circula en moto y usa casco 
 “ ∨ ” : Luis circula en moto o usa casco 
“ ∨ ” Luis circula en moto o usa casco, pero no ambas cosas 
, “ → ” : Si Luis circula en moto entonces usa casco 
 “ ↔ ” : Luis circula en moto si y solo si usa casco 
 
Actividad 1. 2 
 
i) El conectivo principal de   es  
De  es 
De   es 
ii) Tabla de verdad de ∧ (¬ → ) 
 ¬ ¬  (¬  ) 
0 0 0 1 0 0 
0 0 1 0 1 0 
0 1 0 1 0 0 
0 1 1 0 1 1 
1 0 0 1 1 0 
1 0 1 0 1 0 
1 1 0 1 1 1 
1 1 1 0 1 1 
La expresión es verdadera en los renglones 4° , 7° y 8° , alli = 0 , = 1 , = 1 ; = 1 , = 
1 , = 0 y = 1 , = 1 , = 1 respectivamente 
iii) a) Si [   ] = 1 entonces = 1 , = 1 y = 1 dado que la conjunción es 
verdadera solo en el caso en que cada término es verdadero 
b) Si [ (¬ F)  ] = 1, entonces (¬  F) = 1 y = 1 . Ahora dado que la disyunción para 
ser verdadera debe tener al menos un término verdadero se deduce que ¬ = 1 y por lo 
tanto = 0. Se concluye que [ (¬ F)  ] = 1 solo en el caso en que = 0 y = 1 
c) Si se recuerda que la condicional es falsa solo en el caso en que el antecedente es 
verdadero y el consecuente es falso se deduce que [ ( ∧ ∧ ) → ( ∨ ) ] = 0 solo 
en el caso en que ( ∧ ∧ ) = 1 y ( ∨ ) = 0 . Por lo que sabemos de la conjunción y la 
disyunción , de que la primera es verdadera solo cuando todos sus términos son verdaderos 
y la segunda es falsa solo cuando todos sus términos son falsos se concluye que [ ( ∧ ∧ 
 ) → ( ∨ ) ] = 0 solo en el caso en que = 1 , = 1 , = 1 , = 0 y = 0 
Actividad 1.3 
Para ello debemos hacer la tabla de verdad de [ → ( → ) ]  [( → ) → ( → )] 
  
 
)   
 
  
0 0 0 1 1 1 1 1 1 
0 0 1 1 1 1 1 1 1 
0 1 0 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 0 0 1 1 0 0 1 1 
1 0 1 1 1 0 1 1 1 
1 1 0 0 0 1 0 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Dado que el valor de verdad de la expresión es siempre verdadero (última columna) se dice que es 
una Tautología. 
Actividad 1.4 
i) (  )   (  )  (  ) 
    
 
)      
 
  
0 0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 1 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 1 0 0 0 0 1 
0 1 1 1 1 0 1 1 1 
1 0 0 1 0 0 0 0 1 
1 0 1 1 1 1 0 1 1 
1 1 0 1 0 0 0 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Dado que la columna final, que representa los valores de verdad para todas las combinaciones 
posibles, es siempre verdadera entonces (  )   (  )  (  ) es tautología y por lo tanto 
está demostrada dicha ley 
ii) ∨ ( ∧ )  
 
 
 
  ∨ ∧ 
 
  
0 0 0 0 1 
0 1 0 0 1 
1 0 0 1 1 
1 1 1 1 1 
Dado que hay tautología entonces ∨ ( ∧ )  está demostrada. 
iii) →  → 
 
 
 
 
Dado que hay tautología entonces →  → está demostrada. 
iv) ( → )  ∧ 
   
 
 ∧ 
 
  
0 0 1 0 1 0 1 
0 1 1 0 0 0 1 
1 0 0 1 1 1 1 
1 1 1 0 0 0 1 
Dado que hay tautología entonces ( → )  ∧ está demostrada. 
v) (  )    (  ) 
  
 
  
 
  
0 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 0 1 1 1 
1 0 0 1 0 0 1 
1 1 0 0 1 1 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que hay tautología entonces (  )    (  ) queda demostrada. 
Actividad 1.5 
a) i) (¬ ∧ ¬ ∧ ¬ ) ∧ ( ∨ ∨ )  F 
Demostración: 
(¬ ∧ ¬ ∧ ¬ ) ∧ ( ∨ ∨ )  ¬( ∨ ∨ ) ∧ ( ∨ ∨ ) por De Morgan 
  F por propiedad de los inversos 
ii) [( → ) ∧ ( → )]  [ → ( ∧ )] 
Demostración: 
[( → ) ∧ ( → )]  [(  ) ∧ (  )] por la ley de la condicional 
  [  ( ∧ )] por la ley distributiva 
  [ → ( ∧ )] por la ley de la condicional 
iii) ¬ (( ∨ ) ∧ ¬ )  ¬ ∨ 
Demostración 
¬ (( ∨ ) ∧ ¬ )  ¬ (( ∧ ¬ ) ∨ ∧ )] por la ley distributiva 
  ¬ (( ∧ ¬ ) ∨ por la ley de los inversos 
  ¬ (( ∧ ¬ ) por la ley de los neutros 
  ¬ ∨ por la ley de De Morgan y la ley de Doble Negación 
b) i) No es cierto que no estudié  Estudié ( Por la ley de Doble Negación) 
ii) No estudie inglés ni Francés  No es cierto que, estudie inglés o francés ( Por la ley de 
De Morgan) 
iii) No es cierto que, comeré chocolates o caramelos  No comeré chocolates ni caramelos 
  (  )    (  ) AB 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 1 0 1 1 1 1 
0 1 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 1 0 0 0 1 
1 0 0 1 1 0 1 1 
1 0 1 1 0 1 0 1 
1 1 0 0 0 1 0 1 
1 1 1 0 1 0 1 1 
( Por la ley de De Morgan) 
iv) No es cierto que, si cobro el dinero viajare al sur  Cobro el dinero pero no viajare al 
sur (Por la ley de Negación de la condicional) 
c) i) Aprobaré Algebra y Discreta. 
Su negación es : No aprobaré algebra o no aprobaré Discreta. ( Por la ley de De Morgan) 
ii) Si la universidad brinda becas de estudio, podré estudiar. 
Su negación es: La universidad brinda becas de estudio pero no podré estudiar . (Por la ley 
de Negación de la condicional) 
 
Actividad 1.6 
a) [( ) ∧ ]  
Demostración 
   ∧ 
 
 
 
  
0 0 1 1 1 1 1 
0 1 1 0 0 1 1 
1 0 0 1 0 0 1 
1 1 1 0 0 0 1 
 
El mensaje que transmite esta implicación lógica es que cada vez que se suponga verdadera una 
implicación ( ) y se tenga la información que el consecuente de ella no se cumplió ( se 
podrá inferir que el antecedente tampoco se cumplirá ( . 
Observe que hay un único renglón donde el antecedente de la implicación es verdadero (el 1°) y en 
ese caso el consecuente resultó verdadero. No hay ningún renglón donde el antecedente [( ) 
∧ ] sea verdadero y el consecuente sea falso 
Ejemplo coloquial: Suponga : “Está lloviendo” y : “Las calles están mojadas” 
Entonces la implicación lógica [( ) ∧ ]  transmite el mensaje de que al no suceder 
que las calles están mojadas y como cada vez que llueve se mojan las calles entonces se infiere 
que no está lloviendo. 
b) [( ) ∧ ( )]  ( ) 
Demostración: 
   (  )(  )   
0 0 0 1 1 1 1 1 
0 0 1 1 1 1 1 1 
0
1 0 1 0 0 1 1 
0 1 1 1 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 0 0 1 
1 0 1 0 1 0 1 1 
1 1 0 1 0 0 0 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 
 
El mensaje que transmite esta implicación lógica es que cada vez que se supongan verdaderas dos 
implicaciones del tipo ( ) y ( ) que son especiales si se observa que el consecuente de 
la primera es el antecedente de la segunda, se podrá inferir otra implicación que relaciona al 
antecedente de la primera y al consecuente de la segunda ( . 
Observe que hay tres renglones donde el antecedente de la implicación lógica es verdadero (el 1°, 
2°, 4° y 8°) y en ese caso el consecuente resultó también verdadero. No hay ningún renglón donde 
el antecedente ( ) y ( ) sea verdadero y el consecuente ( . sea falso 
Ejemplo coloquial: Suponga : “Estudio la carrera de Ingeniería en sistemas” y : “Aprendo a 
programar” y : “Soy experto en C++” 
Entonces la implicación lógica [( ) ∧ ( )]  ( ) transmite el mensaje de que si es 
verdadero que “Si estudio sistemas , aprendo a programar” y “Si aprendo a programar, soy experto 
en C++” entonces se puede inferir que “Si estudio sistemas , soy experto en C++” 
Actividad 1.7 
a) Estudio inglés y francés. Por lo tanto, estudio inglés (Ley de simplificación de la conjunción) 
b) Si el banco depositara el dinero, pagaré. El banco depositó el dinero. Por lo tanto, pagaré 
(Modus Ponens) 
c) Si el banco depositara el dinero, pagaré. Pero no pague. Por consiguiente, el banco no depositó 
el dinero (Modus Tollens) 
d) Si el banco depositara el dinero, pagaré. Si pagara, cancelaría la deuda. Por lo tanto, si el banco 
depositara el dinero cancelaría la deuda (Silogismo Hipotético) 
Actividad 1.8 
a) 
1)  ...................premisa 
2)  .................premisa 
3) ............ de 2) por la ley de la contrarecíproca 
4) .............de 1) y 3) por el silogismo hipotético 
5)  ..........de 4) por la ley de la condicional 
6) ....................de 5) por la ley de idempotencia 
Por lo tanto el razonamiento es válido dado que la conclusión se infiere de las premisas 
b) 
1)   ...............premisa 
2)   .................premisa 
3) ............................premisa 
4)  ....................de 1) y 3) por Modus Ponens 
5)  ...................... de 2) y 3) por Modus Ponens 
6) ...........................de 4) y 5) por el Silogismo Disyuntivo 
Por lo tanto el razonamiento no es válido ya que de las premisas dadas se infiere no 
Actividad 1.9 
a)i) ¬( (Juan)  (Juan) ) 
No es cierto que, Juan cursa Álgebra y que regularizó Análisis Matemático 
ii) (Juan)  ( (Juan)  (Juan) ) 
Si Juan es estudiante de la UTN , entonces cursa Álgebra o regularizó Análisis Matemático 
b)Si p(Juan) = 1, q(Juan) = 0 y r(Juan)= 1 entonces , considerando los valores de verdad de los 
conectivos involucrados se tiene que: 
[¬( (Juan)  (Juan) ) ] = 1 
[ (Juan)  ( (Juan)  (Juan) )] = 1 
Actividad 1.10 
a) Considerado que el dominio es el conjunto de los números reales se tiene que 
i. [ ∀x , x > 0] = 0 ya que existe x = -1 que no satisface el predicado x>0 
ii. [∃x , 3x – 5 = 0] = 1 ya que existe x = 5/3 que satisface el predicado 3x – 5 = 0 
b) Considerado el dominio de los números naturales se tiene que 
i. [ ∀x , x > 0] = 1 ya que por definición N = { 1 , 2 , 3 , 4 , ... } , todos los valores son 
mayores o iguales a 1 
ii. [∃x , 3x – 5 = 0] = 0 ya que existe el único valor que satisface el predicado es x = 
5/3 y dicho valor no es un número natural 
 
ACTIVIDAD 1.11 
a) Considerando el U = y el predicado p(x) : “x es par” 
La frase “Al menos un número entero es par” se representa simbólicamente como 
x  , p(x) 
 
Su negación es ¬[x  , p(x)] x , ¬p(x) que se lee “Todo los números enteros no son 
pares” o también “Ningún número entero es par” 
 
Valores de verdad: 
[x  , p(x)] = 1 ya que p(2) = 1. Por la misma razón [x , ¬p(x) ]=0 
 
b) Considerando el U = y los predicados p(x) : “x es par” y q(x) : “x es divisible por 5”. 
La frase “Si x es cualquier número par, entonces x no es divisible por 5” se representa 
simbólicamente como 
x [p(x) ¬q(x)] 
 
Su negación es ¬[ x [p(x) ¬q(x)]]  x  [p(x)  q(x)] que se lee “Existe un entero 
que es par y divisible por 5” 
 
Valores de verdad: 
[x  [p(x)  q(x)]] =1 ya que [p(10)  q(10)]= 1 . Por la misma justificación se tiene que 
x [p(x) ¬q(x)] = 0 
 
c) Considerando U = (conjunto de los números racionales) y el predicado p(x) : “x es entero” 
La frase “Todo número racional es entero” se representa simbólicamente como 
x  , p(x) 
 
Su negación es ¬[ x  , p(x) ]  x , ¬p(x) que se lee “Existe al menos un racional 
que no es entero” o también “Algún racional no es entero” 
Valores de verdad: 
[ x , ¬p(x) ] = 1 pues por ejemplo ¬p(1/2) = 1. Por la misma razón 
[x  , p(x)] = 0 
ACTIVIDAD 1.12 
a) En lenguaje coloquial 
i)∀x [ (x)  (x)] se lee “Para todos los cuadriláteros se cumple que, si tienen cuatro 
ángulos rectos entonces son cuadrados” 
Tambien se puede leer: “Para cada cuadrilátero se cumple que, si tiene cuatro ángulos 
rectos entonces es un cuadrado” 
Es Falso, existen cuadriláteros que tienen cuatro ángulos rectos y sin embargo no son 
cuadrados. Por ejemplo: 
ii)∀x [ (x)  (x)] se lee “Para cada cuadrilátero se cumple que, si es trapecio isóscele 
entonces tiene dos pares de ángulos iguales” 
Es Verdadero, por la definicion de trapecio isosceles que se obtiene a partir de un 
triángulo isosceles trazando un segmento paralelo a la base y determinando asi dos 
pares de ángulos iguales 
iii) ∀x [ (x)  (x)] se lee “Para todos los cuadriláteros se cumple que , son 
cuadrados si y solo si tienen cuatro lados iguales” 
Falso , existen cuadrilateros que no son cuadrados y sin embargo tienen cuatro lados 
iguales. Por ejemplo un rombo 
iv) ∀x [ (x)  ( (x)  (x))] se lee “Para todos los cuadriláteros se cumple que , son 
cuadrados si y solo si tienen cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales” 
Verdadero, es la definicion de cuadrado. Todo cuadrado tiene cuatro ángulos rectos y 
cuatro lados iguales y recíprocamente toda figura que tenga cuatro ángulos rectos y 
cuatro lados iguales es un cuadrado 
b) Por ii) se concluye que el predicado (x) implica lógicamente a (x) dado que la condicional 
es siempre verdadera para cada individuo del universo de discurso 
Por iv) se concluye que el predicado (x) es equivalente al predicado compuesto ( (x)  
 (x))dado que la bicondicional entre ellos es siempre verdadera para cada individuo del 
universo de discurso 
 
ACTIVIDAD 1.13 
a) Sea el universo de los números enteros , sean los siguientes predicados : p(n): “n es 
múltiplo de 4” y q(n): “n es par” y sea el individuo 10 perteneciente al universo 
Entonces el razonamiento , expresado simbólicamente, es: 
nZ [ p(n)  q(n)] 
q(10) . 
 p(10) 
Pero el razonamiento no es válido ya que después de aplicar la regla de Particularización 
universal obtenemos p(10)  q(10) 
Y de p(10)  q(10) y q(10) no se puede inferir p(10) 
 
 
b) Sea el universo de los polígonos cerrados, sean los siguientes predicados : p(x): “x tiene 
cuatro lados” , q(x): “x es un cuadrilátero” y r(x): “x es tal que la suma de sus ángulos 
interiores es 360°” 
Entonces el razonamiento , expresado simbólicamente, es: 
xU [ p(x)  q(x)] 
xU [ q(x)  r(x)] 
. xU [ p(x)  r(x)] 
 
El razonamiento es válido y la demostración es la siguiente: 
Derivación formal: 
1. xU [ p(x)  q(x)] Premisa 
2. xU [ q(x)  r(x)] Premisa 
3. p(c)  q(c) 1. Regla de Part.Universal. siendo c un individuo cualquiera de
U 
4. q(c)  r(c) 2. Regla de Part.Universal. siendo c el individuo tomado en 3. 
5. p(c)  c(c) 3,4 Silogismo Hipotético 
6. xU [ p(x)  r(x)] 5, Regla de Generalización Universal 
 
 
Matematica Discreta/Desarrollo Actividades Unidad 4_2020.docx
 (
1
)
 RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA DISCRETA” –UNIDAD IV - AÑO 2020 
Actividad 4.1
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:
 a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 , 1 , 1 es {1}
 b) Si entonces con es una sucesión infinita y su conjunto correspondiente es {-1, 1}
 c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12 es finita y está formada por 6 términos
 d) Las sucesiones y con no son iguales 
Respuestas:
a) Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su conjunto imagen es {1}
b) Falso, el conjunto correspondiente es {1}
c) Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12. Luego observando el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos: 8 y 10 , y por lo tanto en total son 6 términos.
d) Falso, dado que por la propiedad de la potenciación que indica que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será positivo. 
Actividad 4.2 
Sea el alfabeto = {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta
 a) aaaa * aaa+aabaca *
 b) Sea = {x / x es la palabra vacía o es una palabra de longitud 2 generada 
 por el alfabeto } entonces | | = 10
 c) Si = {x / x es una palabra de long. 3 y de símbolos distintos} entonces 
 || = 27.
Respuestas:
a) Falso, aaa+aabaca * dado que + 
b) Verdadero, = {,aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc} y por lo tanto| | = 10
c) Falso, = {abc,acb,bac,bca,cab,cba} con lo cual || = 6
Actividad 4.3
a) Escribir los 6 primeros términos de las sucesiones y luego el término general:
 i) A cada número natural le corresponde el cuadrado de su siguiente 
 ii) A cada número natural le corresponde el siguiente de su cuadrado
 iii) A cada número natural le corresponde su triple disminuido 1
 b) Para cada sucesión, encontrar su término general:
 i) 2, 7, 12 , 17, 22 , ...		ii) -5 , -13 , -21 , -29, …
 iii) 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1 ...		iv) -2 , 2 , -2 , 2 , -2 , 2 , -2 ...
 v) 		vi) 3 , -9 , 27, -81,…
 
Respuestas:
a)i) , 
Los primeros seis términos son: 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , ....
ii) , 
Los primeros seis términos son: 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , ....
iii) , 
Los primeros seis términos son: 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , 37 , ....
b) i) Se observa que es una progresion aritmética que comienza en 2 con , por lo tanto 
ii) Se observa que es una progresion aritmética que comienza en -5 con , por lo tanto 
iii) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 1 con , por lo tanto 
iv) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en -2 con , por lo tanto 
v) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 10 con , por lo tanto 
otra forma equivalente es: 
vi) Se observa que es una progresion geométrica que comienza en 3 con , por lo tanto 
Actividad 4.4 
a) Decir cuántos términos tienen las siguientes sumas y luego desarrollar a las mismas:
 
 
 
b) Usar el símbolo para representar a las siguientes sumas considerando que todas tienen términos 
i) 
ii) 
iii) 
Respuestas: 
a)i) 
Esta suma tiene n-1 términos y es la suma de las mitades de los n-1 primeros números naturales. Es la suma de términos de la sucesión aritmética de primer término y diferencia 
ii)
Esta suma tiene 19 términos y es la suma de los términos de la sucesión aritmética que comienza en 4 y cuya diferencia es 3
iii) 
Esta suma tiene n-2 términos y es la suma de los términos de una sucesión geométrica que comienza en -8 y cuya razón es -2
b)i) (Esta fórmula no es única) 
ii) 
i) 
Actividad 4.5 
Interpretar la siguiente igualdad y demostrarla 
Respuesta:
La igualdad plantea que la suma de los primeros n términos de la sucesión aritmética que comienza en 2 y cuya diferencia es 3 se puede calcular como el producto de la cantidad de términos n , por 3n+1 dividido en 2.
Demostracion (por el principio de inducción)
Paso básico:Se debe probar que vale para 
Por lo tanto se cumple para 
Paso inductivo: Se supone que se cumple para 
Se debe probar que se cumplirá para 
Para la demostración se trabaja con ambos miembros hasta que se prueba la igualdad 
 Por prop del símbolo suma
 Simplificacion del segundo termino
 por reemplazo en el primer termino de la hipotesis
 por suma de fracciones y simplificacion
 por prop. distributiva y simplificacion
Como entonces se cumple la igualdad para 
Conclusion: Una vez demostrado el paso básico y el paso inductivo podemos decir que 
Actividad 4.6
a) Encontrar los seis primeros términos de la sucesión definida por
 
b) Encontrar la forma recursiva de la sucesión dada por
i) 
ii) 
iii) , 
c) Encontrar la fórmula recursiva de las siguientes sucesiones:
i) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 … 
ii) 3 , 6 , 12 , 24 , …
iii) -1 , 4 , -16 , 64 , -256 , ...
Respuestas:
a) 5 , -10 , 20 , -40 , 80 , -160 , ...
b) i)Para cuyos primeros elementos son 3 , 1 , -1 , -3 , .... se observa que es una sucesión aritmética cuyo primer elemento es 3 y la diferencia es -2 . La forma recursiva será:
ii)Para cuyos primeros términos son 1 , -2 , 4 , -8 , 16 ..... se observa que es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es 1 y cuya razón es -2 . La forma recursiva será:
c) i) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , ... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -1 y cuya razón entre dos términos consecutivos es -1 , la forma recursiva es:
ii) 3 , 6 , 12 , 24 , .... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -3 y cuya razón entre dos términos consecutivos es 2 , la forma recursiva es:
 
iii) -1 , 4 , -16 , 64 , -256 , ... es una sucesión geométrica cuyo primer elemento es -1 y cuya razón entre dos términos consecutivos es -4 , la forma recursiva es:
 
Actividad 4.7
1) Obtener la solución de la siguiente sucesión dada por su fórmula recursiva
 con valor inicial 
2) Determinar cuál de las siguientes fórmulas es la solución de la fórmula de recurrencia con valores iniciales y 
i) 
ii) 
Respuesta:
1) con valor inicial 
Los términos son que es una sucesión geométrica de primer termino 1 y razón 
Por lo tanto la formula recursiva es 
2) Para determinar cuál es la solución se reemplaza en la formula recursiva y en las condiciones iniciales de la sucesión y se observa cual la verifica:
i) Para 
 (se verifica)
 (se verifica)
Ahora, para reemplazar en necesito las expresiones de los términos y , según la solución propuesta; y 
Bien, está todo listo para reemplazar en la forma recursiva y ver si verifica 
 
 se reemplazo la posible solución en la forma recursiva 
 se sacaron los paréntesis
 se conmutaron dos términos con el objetivo de asociar posteriormente las potencias de dos por un lado y las de cinco por otro lado
 se sacó factor común la menor de las potencias 
 
 se observó que 4 y 25 son potencias de 2 y 5 respectivamente 
 finalmente se aplica propiedad del producto de potencias de la misma base 
 se observa que se cumple la igualdad. 
Por lo tanto la fórmula explicita es solución de con y 
ii) Para 
No se verifica, por lo tanto no es solución de con y
Actividad 4.8
Clasificar las siguientes relaciones de recurrencia:
 a) orden 1 , grado 1 , homog , coef ctes
 b) orden 2 , grado 1 , homog , coef ctes
 c) orden 1 , grado 1 , no homog , coef ctes
 d) orden 3 , grado 2 , homog , coef vles (n+1)-(n-2)=3
Actividad 4.9
Resolver las siguientes relaciones de recurrencia:
a) con condición inicial 
b) con condición inicial 
c) con condición inicial 
Actividad 4.10 
Encontrar la solución general para las siguientes relaciones de recurrencia:
1) con y 
2) con y 
3) con y 
Respuestas:
1) 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
 
1
 
 
 
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA 
DISCRETA” 
–
UNIDAD I
V
 
-
 
AÑO 20
20
 
 
 
Actividad 4.1
 
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:
 
 
a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 , 
1
 
, 1 es {1}
 
 
b) Si 
??
??
=
 
(
-
1
)
2
??
 
 
 
entonces 
con 
??
?
N
 
es una sucesión infinita y su conjunto 
correspondiente es {
-
1, 1
}
 
 
c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12 
 
es finita y está formada por 6 térm
inos
 
 
d) Las sucesiones 
??
??
=
 
(
-
2
)
2
??
 
 
 
y 
??
??
=
 
2
2
??
 
 
 
con 
??
?
N
 
no son iguales
 
 
Respuestas:
 
a)
 
Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su 
conjunto imagen es {1}
 
b)
 
Falso, el conjunto correspondiente es {
1
}
 
c)
 
Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12
. L
uego 
observando
 
el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos: 
8 y 10 
, 
y por lo tanto en total son 6 t
é
rminos.
 
d)
 
Falso
, dado que 
??
??
=
 
(
-
2
)
2
??
=
 
 
2
2
??
=
??
??
 
por la propiedad de la potenciación que 
indica
 
que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será 
positivo.
 
 
 
Actividad 4.2
 
 
Sea el alfabeto 
Σ
 
= {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta
 
 
a) aaaa 
Î
 
Σ
 
*
 
Ω
 
aaa+aabaca
Ξ
 
Σ
 
*
 
 
b) Sea 
L
1
 
= {x / x es la palabra vacνa o es una palabra de longitud 2 generada 
 
 
por el alfabeto 
Σ
 
} entonces |
L
1
 
| = 10
 
 
1 
 
 RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: “MATEMATICA 
DISCRETA” –UNIDAD IV - AÑO 2020 
 
Actividad 4.1 
Dar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: 
 a) El conjunto correspondiente a la sucesión 1 , 1 , 1 , 1 , 1 es {1} 
 b) Si ??
??
= (-1)
2??
 entonces con ???N es una sucesión infinita y su conjunto 
correspondiente es {-1, 1} 
 c) La sucesión 2 , 4 , 6 , ... , 12 es finita y está formada por 6 términos 
 d) Las sucesiones ??
??
= (-2)
2??
 y ??
??
= 2
2??
 con ???N no son iguales 
Respuestas: 
a) Verdadero, los valores de la sucesión son todos iguales a 1 y por lo tanto su 
conjunto imagen es {1} 
b) Falso, el conjunto correspondiente es {1} 
c) Verdadero, es una sucesión finita pues comienza en 2 y termina en 12. Luego 
observando el comportamiento de los términos explicitados, los restantes son dos: 
8 y 10 , y por lo tanto en total son 6 términos. 
d) Falso, dado que ??
??
= (-2)
2??
= 2
2??
=??
??
 por la propiedad de la potenciación que 
indica que si la base es negativa y el exponente es par el resultado siempre será 
positivo. 
 
Actividad 4.2 
Sea el alfabeto Σ = {a,b,c}, responder verdadero o falso, y justificar la respuesta 
 a) aaaa  Σ *  aaa+aabaca Σ * 
 b) Sea L
1
 = {x / x es la palabra vacía o es una palabra de longitud 2 generada 
 por el alfabeto Σ } entonces |L
1
 | = 10 
Matematica Discreta/Desarrollo Actividades Unidad 5 - 2020 (1).pdf
1 
 
RESPUESTAS A LAS ACTIVIDADES INCLUIDAS EN EL LIBRO: 
“MATEMATICA DISCRETA” –UNIDAD V - AÑO 2020 
 
Actividad 5.1 
Sea G = (V , A,  ) donde V = { a , b , c , d , e , f } , A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6 , a7, a8, 
a9, a10, a11, a12} y la función  dada por la tabla 5.2 
ai a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 
( ai ) {a,b} {a,c} {a,e} {a,f} {b,f} {b,d} {b,c} {c,e} {c,d} {d,e} {d,f} {e,f} 
Tabla 5.2. Función  de Actividad 5.1. 
Responder a cada una de las siguientes preguntas, y justificar la respuesta: 
a) ¿Es un grafo simple? 
b) ¿Cuáles son los vértices adyacentes a f ? 
c) ¿Cuáles son las aristas adyacentes a a7 ? 
d) ¿Se verifica la propiedad de los grados? 
 
Respuestas 
a) Si, es un grafo simple, no hay lazos ni aristas paralelas. En el listado de la función no hay 
dos subconjuntos iguales ni subconjuntos unitarios. 
b) Los vértices adyacentes a f son: a , b , d y e 
c) Las aristas adyacentes a a7 son: a1 , a2 , a5 , a6 , a8 y a9 
d) 
v g(v) 
a 4 
b 4 
c 4 
d 4 
e 4 
f 4 
∑𝑔(𝑣)
𝑣∈𝑉
= 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6.4 = 24 
2|𝐴| = 2.12 = 24 
2 
 
Por lo tanto se cumple : ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑉 = 2|𝐴| 
 
 
Actividad 5.2 
a) Dado el grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴,) 
 
Fig. 5.8. Representación de 𝐺. 
 Obtener los siguientes subgrafos de 𝐺 
 i) �̃�c ii) �̃�8 
 iii) �̃�{a,e,g} iv) �̃�{4,5,6} 
b) Indicar si los siguientes grafos son subgrafos de 𝐺 
5.1. 
Fig. 5.9. Grafo 𝐺1 . Fig. 5.10. Grafo 𝐺2. 
 
Desarrollo 
a)Etiquetando las aristas el grafo quedaría 
3 
 
 
 
 
b) 𝐺1 es subgrafo ya que se cumple la definición ..............(ampliar la respuesta) 
𝐺2 no es subrafo de 𝐺 ya que 𝐴2 ⊈ 𝐴 (El conjunto de aristas de 𝐺2 no es subconjunto del conjunto 
de aristas de 𝐺, {𝑑, 𝑓} ∈ 𝐴2 𝑦 {𝑑, 𝑓} ∉ 𝐴) 
 
Actividad 5.3 
Dado el grafo de la Figura 5.13, marcar con una tilde la clasificación que 
corresponda para cada sucesión de vértices que se dan en la Tabla 5.3 e indicar 
la longitud, como en el ejemplo dado. 
 
 
Fig. 5.13. Grafo de la Actividad 5.3. 
 
4 
 
Desarrollo: 
 camino camino 
 camino simple elemental circuito ciclo longitud 
 abierto abierto 
1,5,2,3,4 si si si no no 4 
6,3,4,5,3,6 no - - - - - 
1,4,2,5,3,2,4,6,1 si no no no no 8 
5,1,2,5,3,2,4,6 si si no no no 7 
1,4,6,3,5,2,1 si no no si si 6 
6,4,3,6,1,2 si si no no no 5 
2,5,3,6,4,1,5,6,1,2 si no no si no 9 
 
 
Actividad 5.4 
Sea 𝐺 = (𝑉 , 𝐴, ) donde 𝑉 = {a , b , c , d , e , f } ; 𝐴 = { a1, a2, a3, a4, a5, a6 } y  
dada por tabla 5.4 
ai a1 a2 a3 a4 a5 a6 
(ai) {c,d} {a,b} {d,b} {c,e} {b,e} {a,e} 
Tabla 5.4. Función  
i) Representar gráficamente y determinar las correspondientes matrices. 
ii) Calcular la cantidad de caminos de longitud 3 del vértice b al e. Expresar las 
sucesiones que los representan. 
iii) Hay circuitos? De que longitud?. Describa al menos dos 
iv) Hay ciclos? De que longitud? Describa al menos dos 
 
5 
 
i) 
𝑀𝑎 =
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 (
 
 
0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1 0
0 0
0
0
0
0)
 
 
 
 𝑀𝑖 =
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 (
 
 
0 1 0 0 0 1 
0 1 1 0 1 0 
1 
1 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
0 0 
0 0 
1 
0 
1 
0 )
 
 
ii) La cantidad de caminos de longitud 3 se calculan por medio de la matriz 𝑀𝑎
3 
𝑀𝑎
2 =
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 (
 
 
2 1 1 1 1 0
1 3 2 0 1 0
1
1
1
0
2
0
1
0
2
0
0
0
0
2
2
0
0 0
2 0
3
0
0
0)
 
 
 
 𝑦 𝑀𝑎
3 =
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 (
 
 
2 4 2 2 4 0
4 2 1 5 6 0
2
2
4
0
1
5
6
0
0
4
5
0
4
0
1
0
5 0
1 0
2
0
0
0)
 
 
 
 
𝑀𝑎
3 = (𝑀𝑎x𝑀𝑎)x𝑀𝑎 = 𝑀𝑎
2x𝑀𝑎 
𝑀𝑎
4 = (𝑀𝑎𝑥𝑀𝑎)𝑥(𝑀𝑎𝑥𝑀𝑎) = 𝑀𝑎
2𝑥𝑀𝑎
2 = 𝑀𝑎
3𝑥𝑀𝑎 
Observando el elemento de la 2° fila y 5° columna de 𝑀𝑎
3 , se deduce que hay 6 
caminos de longitud 3 desde el vértice 𝑏 al vértice 𝑒. Ellos son: 
b,d,b,e ; b,e,b,e ; b,a,b,e ; b,e,a,e ; b,e,c,e ; b,d,c,e 
iii) 
 
Actividad 5.5 
Dado el grafo 𝐺 de la Figura 5.17, responder verdadero o falso a las siguientes 
afirmaciones y justificar la respuesta: 
i) No posee vértices istmos 
ii) Todas las aristas son puentes 
6 
 
iii) �̃�5 es conexo 
iv) �̃�𝑑 no es conexo 
 
Fig. 5.17. Grafo 𝐺 
 
 
Desarrollo 
i) Falso, 3 es un vértice istmo, si lo elimino el Subgrafo que queda no es 
conexo 
ii) Falso, la arista c no es puente, si la elimino el Subgrafo que queda sigue 
siendo conexo 
iii) Falso, 5 es un istmo, lo que significa que �̃�5 no es conexo 
iv) Verdadero, la arista d es puente, lo que significa que �̃�𝑑 no es conexo 
 
Actividad 5.6 
a) Responder Verdadero o Falso y justificar la respuesta: 
i) Todo grafo completo es regular. 
ii) Todo grafo regular es completo. 
iii) No existe un grafo k-regular de n vértices donde tanto k como n son números 
impares. 
iv) Existe un grafo 5-regular con 25 aristas. 
b) Dados los siguientes grafos conexos, clasificar según sean completos, bipartitos 
y/o regulares. Además indicar vértices istmos y/o aristas puentes. 
7 
 
 
 Fig. 5.24. Grafo G1. Fig. 5.25. Grafo G2. Fig. 5.26. Grafo G3. 
 
 
 
Desarrollo 
a) I) Verdadero, todos los vértices de 𝐾𝑛 tienen grado 𝑛 − 1 
ii) Falso, podemos dar ejemplos de grafos regulares y no completos 
 
iii) Verdadero, no existe un grafo k-regular con k impar y cantidad de 
vértices impar dado que la suma de los grados debiera dar par por la 
propiedad ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑉 = 2|𝐴| ya que ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑉 = 𝑘. 𝑛 = 2|𝐴| y el producto de 
dos impares nunca es par. 
iv) Para determinar si el grafo existe calculemos la cantidad de vértices que 
tendría que tener de acuerdo a la propiedad ∑ 𝑔(𝑣)𝑣∈𝑉 = 2|𝐴| 
5𝑛 = 2 .25 → 𝑛 = 10 
Para que se cumplan las condiciones dadas el grafo debe tener 10 vértices. 
Por lo tanto la afirmación que se da es Verdadera 
(Observación, el grafo no es único) 
Acá un ejemplo de grafo que cumple las condiciones 
8 
 
 
b) 
 Conexo completo bipartito bipartito completo regular 
G1 Si no no no no 
G2 Si si no no si 
G3 Si no si no no 
 
 
Actividad 5.7 (4° clase) 
Dados los grafos de las Figuras 5.36 a 5.38: 
• Analizar si se puede aplicar los Teoremas que hablan sobre la existencia de 
Circuitos de Euler y Ciclos de Hamilton. 
• En cada grafo obtener ambos, siempre que existan. 
 
 Fig. 5.36. Grafo G1. Fig. 5.37. Grafo G2. Fig. 5.38. Grafo G3. 
 
 
9 
 
Desarrollo 
 
G1 posee circuito de Euler ya que todos los vértices tienen grado par. Uno de los circuitos de Euler 
es: a,g,b,h,a,d,b,e,i,c,f,e,j,c,a 
 
G2 no posee circuito de Euler pero sí posee camino de Euler, todos los vértices tienen grado par, 
salvo dos que tienen grado impar: g y b, los cuales serán el inicio y el fin del camino: 
g,e,b,a,d,c,f,h,c,e,f,d,e,h,a,c,g,a,f,b,d,g,b 
 
G3 no posee ni circuito ni camino de Euler ya que no se cumplen las condiciones necesarias y 
suficientes. 
Para Hamilton solo existen condiciones suficientes, por ejemplo, que el grado de todos los vértices 
debe ser mayor o igual que la cantidad de vértices dividido en dos 
 
 
10 
 
 
En G1 , n= 10 y n/2 = 5 , no se cumple la condición suficiente ya que hay vértices de grado 2. 
Entonces no se puede aplicar el teorema. Solo resta aplicar la definición, buscando recorrer todos 
los vértices sin repetir: 
Si partimos de g,h o d se observa que para recorrer los vértices i, j y f hay que pasar dos veces por 
a, b , e y c. Por lo tanto G1 no posee ciclo ni camino de Hamilton 
En G2 , n= 8 y n/2 = 4 , se cumple la condición suficiente ya que todos los vértices tienen grado 5 
al menos, por lo tanto podemos afirmar que G2 posee ciclo de Hamilton. Uno de ellos es 
g,d,b,e,f,h,c,a,g 
En G3 , n= 8 y n/2 = 4 , no se cumple la condición suficiente ya hay vértices de grado 3, por lo 
tanto no se puede aplicar el teorema y para saber si el grafo posee o no ciclo o camino de Hamilton 
hay que buscar un recorrido que no repita vértices. Efectivamente, se puede recorrer el grafo sin 
repetir vértices y volviendo al vértice de partida. Uno de estos ciclos es b,e,a,h,f,c,d,g,b 
 
 
Actividad 5.8 
Dados los siguientes pares de grafos, determinar si son isomorfos. Justificando en 
cada caso su respuesta: G2 
a) G1 
 
 
 
Fig. 5.41. Grafos G1 y G2. 
b) G3 G4 
11 
 
 
Fig. 5.42. Grafos G3 y G4. 
c) G5 G6 
 
 
 
 
Desarrollo 
 
No son isomorfos, se observa que 
G1 posee un ciclo de long 4 y no de 
long.3 y G2 posee un ciclo de long 3 y 
no de long 4 
 
 
 
12 
 
 
 
En G3 y G4 se cumplen las condiciones necesarias (poseer la misma cantidad de vértices, 6, 
poseer la misma cantidad de aristas, 10, poseen 2 vértices de grado 2 y 4 de grado 4 , poseer la 
misma cantidad de ciclos, 6 de long. 
3 , etc). Con lo cual se sospecha que 
son isomorfos, y se debe proceder a 
demostrarlo, buscando la función 
biyectiva f entre los vértices y 
mostrando que , para una elección 
determinada de los vértices, las 
matrices de adyacencia son iguales. 
f: V1 → V2 
v a b c d e f 
f(v) 6 4 2 1 3 5 
 
𝑀𝑎(𝐺3) =
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓 (
 
 
0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1 0
1 1
0
1
1
0)
 
 y 𝑀𝑎(𝐺4) =
6 4 2 1 3 5
6
4
2
1
3
5 (
 
 
0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 1 0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1 0
1 1
0
1
1
0)
 
 
 
Queda demostrado con f y las matrices de adyacencia que los grafos G3 y G4 son isomorfos. 
 En G5 y G6 se cumplen las condiciones 
necesarias (poseer la misma cantidad de 
vértices, 6, poseer la misma cantidad de aristas, 
12, poseer la misma cantidad de ciclos de long. 3 
, los mismos grados, etc). Con lo cual se 
sospecha que son isomorfos, y se debe proceder 
a demostrarlo, buscando la función biyectiva 
entre los vértices y mostrando que, para una elección determinada de los vértices, las matrices de 
adyacencia son iguales. 
13 
 
f: V1 → V2 
V 1 2 3 4 5 6 
F(v) s t o m p n 
𝑀𝑎(𝐺3) =
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6 (
 
 
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1 0
0 1
0
1
1
0)
 
 y 𝑀𝑎(𝐺4) =
𝑠 𝑡 𝑜 𝑚 𝑝 𝑛
𝑠
𝑡
𝑜
𝑚
𝑝
𝑛 (
 
 
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1 0
0 1
0
1
1
0)
 
 
Queda demostrado con f y las matrices de adyacencia que los grafos G5 y G6 son isomorfos.
14 
 
Actividad 5.9 
i) Determinar si los grafos de las Figuras 5.46 y 5.47 son árboles. En los casos 
afirmativos verificar la propiedad que se refiere a la cantidad de vértices y aristas. 
 
Fig. 5.46. Grafo G1. Fig. 5.47. Grafo G2. 
ii) Indicar Verdadero o Falso, justificando su respuesta 
a) Existe un árbol de 10 vértices y 10 aristas |V|= |A|+1 
b) Si un grafo posee 10 vértices y 9 aristas entonces es un árbol 
c) En un árbol todos los vértices son istmos y todas las aristas son puentes. 
d) Existe un árbol con 5 vértices de los cuales solo uno es istmo. 
 
 
Desarrollo: 
i) Solo el grafo G2 es árbol. Es conexo y acíclico. 
Tiene 8 vértices y 7 aristas confirmando la propiedad |V| = |A| + 1 
G1 no es árbol, tiene un ciclo: 6 , 2 , 4 , 3 , 6 
15 
 
ii) A)Falso, no se cumple que |V| = |A| + 1 y ésta es una condición necesaria para ser 
árbol 
b) Falso, la condición |V| = |A| + 1 es necesaria pero no suficiente. Ejemplo: 
 
c) Falso, siempre hay vértices hojas (pendientes), mínimo dos, y los vertices hojas 
nunca son istmos 
d)Verdadero, ejemplo en el siguiente árbol de 5 vértices, solo uno es istmo: e 
 
 
Actividad 5.10 
Desarrollo 
i) Adyacentes a w1: w2 
Adyacentes a w2 : w3 y w1 
Adyacentes a w3: Ninguno 
Adyacentes a w4: w1 y w2 
ii) Aristas adyacentes a 𝑎5: 𝑎1 , 𝑎4 y 𝑎3 
iii) Pozo: w3 . 
iv) Fuente: w4 
𝑣 𝑔+(𝑣) 𝑔−(𝑣) 𝑔(𝑣) 𝑔𝑛(𝑣) 
16 
 
𝑤1 2 1 3 1 
𝑤2 2 2 4 0 
𝑤3 1 0 1 1 
𝑤4 0 2 2 -2 
v) Verificación de las propiedades: 
∑ 𝒈+(𝒗) = 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟎 = 𝟓 =𝒗∈𝑽 |𝑨| 
∑ 𝒈−(𝒗) = 𝟏 + 𝟐 + 𝟎 + 𝟐 = 𝟓 =𝒗∈𝑽 |𝑨| entonces ∑ 𝒈
+(𝒗) =𝒗∈𝑽 ∑ 𝒈
−(𝒗) =𝒗∈𝑽 |𝑨| 
∑ 𝒈(𝒗) =𝒗∈𝑽 𝟑 + 𝟒 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟏𝟎 
𝟐|𝑨| = 𝟐. 𝟓 = 𝟏𝟎 entonces ∑ 𝒈(𝒗) =𝒗∈𝑽 𝟐|𝑨| 
 ∑ 𝒈𝒏(𝒗) =𝒗∈𝑽 𝟏 + 𝟎 + 𝟏 + (−𝟐) = 𝟎 
 
Actividad 5.11 
Con referencia al digrafo D = (V, A,) de la Figura 5.51 
Responder: 
a) ¿Cuáles son todos los caminos simples y circuitos de longitud 6 que comienzan con la 
secuencia w4w1w2? (enunciado modificado del impreso) 
b) ¿Cuáles son todos los caminos elementales y ciclos cuyo vértice inicial es w3? Dar la 
longitud de cada uno. 
c) ¿Existen vértices pozos o vértices fuentes? 
Desarrollo: 
a) Realizando el diagrama de árbol comenzando en la secuencia w4 w1 w2 y completando 
hasta obtener 7 vértices para formar un camino o un circuito de longitud 6 se obtuvo los 
siguientes: 
w4 w1 w2 w1 w5 w4 w5 (camino simple) 
w4 w1 w2 w3 w1 w5 w4 (circuito) 
w4 w1 w2 w3 w4 w5 w4 (circuito) 
17 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) No existen ni puentes ni pozos 
 
 
Actividad 5.12 
Desarrollo 
Dado que: 
Caminos simples 
W3 w1 (long1) 
W3 w1 w2 (long2) 
W3 w1 w2 w4(long3) 
W3 w1 w2 w4 w5 (long4) 
W3 w1 w2 w3 (long3) 
W3 w1 w5 (long2) 
W3 w1 w5 w4 (long3) 
W3 w4 (long1) 
W3 w4 w1 (long2) 
W3 w4 w1 w2 (long3) 
W3 w4 w1 w5 (long3) 
W3 w4 w5 (long2) 
 
ciclos 
W3 w4 w1 w2 w3 (long4) 
 
 
18 
 
 
𝑀𝑎 =
(
 
 
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0)
 
 
 ,𝑀𝑎
2 =
(
 
 
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0)
 
 
 ,𝑀𝑎
3 = 
(
 
 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0)
 
 
 ,𝑀𝑎
4 =
(
 
 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0)
 
 
 
a)Los valores de los elementos ubicados en las diagonales de todas las matrices son ceros, lo 
cual significa que no hay caminos cerrados y por lo tanto no hay circuitos . 
b) En la matriz 𝑀𝑎
3 se observa un único valor no nulo, lo cual dice que hay un único camino de 
longitud 3 y este es comienza en c y termina en e 
c) La matriz 𝑀𝑎
4 es nula y las siguientes potencias también lo serán , entonces no existen caminos 
de longitud 4 o mas de 4 
Actividad 5.13 
Desarrollo 
Para conformar la matriz de incidencia se necesita etiquetar a las aristas. 
 
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 
 
w1 -1 0 -1 1 0 0 
Mi= w2 0 1 1 -1 1 1 
 w3 0 0 0 0 -1 -1 
 w4 1 -1 0 0 0 0 
a) La suma de los elementos de cada fila representa el grado neto de cada nodo cambiado de 
signo. 
b) La suma de los valores absolutos representa el grado total 
 
Actividad 5.14 
Desarrollo 
a) Dado que se cumple la condición necesaria y suficiente, el digrafo posee circuito de Euler. 
Uno de ellos es a , b , c , b , d , c , a 
b) Se cumple la condición necesaria y suficiente para poseer camino de Euler en D2 . Todos 
19 
 
tienen vértice de inicio en 3 y el vértice final en 6 . 
Son 11: 
326435712476 ; 326471243576 ; 324357126476 ; 324357647126 ; 324712643576 
324764357126 ; 357126432476 ; 357124764326 ; 357124326476 ; 357647124326 
357643247126 
 
Una manera de encontrarlos 
ordenadamente es realizando un 
diagrama de árbol. Aquí, por 
simplificar, no están especificados 
aquellos caminos que repetían 
aristas 
 
 
 
 
 
c) Existe un único ciclo de Hamilton 
que comienzan en 7 y es: 71264357 
 
Actividad 5.15 
Desarrollo 
D1 es un árbol con raíz, porque es árbol dirigido (su grafo asociado es árbol no dirigido) y además 
es un árbol dirigido con raíz, ya que existe 𝑖 tal que 𝑔+(𝑖) = 0 y se cumple que ∀𝑣, 𝑔+(𝑣) = 1 con 
𝑣 ≠ 𝑖 
D2 no es un árbol con raíz, porque es árbol dirigido (su grafo asociado es árbol no dirigido) pero no 
20 
 
es árbol dirigido con raíz ya que existe un vértice de grado de entrada 2 , 𝑔+(𝑔) = 2 
Actividad 5.16 
Desarrollo 
T1 es un árbol con raíz 4 – ario, todos los vértices tienen a lo sumo 4 hijos 
T2 es un árbol con raíz 2 – ario ( o binario), todos los vértices tienen a lo sumo 2 hijos. No es 
completo, hay vértices con un hijo 
T3 es un árbol con raíz 2 – ario ( o binario) y completo, todos los vértices tienen exactamente 2 
hijos 
T4 es un árbol con raíz 2 – ario ( o binario) , completo y total, todos los vértices tienen exactamente 
2 hijos y los vértices hojas están todos en el último nivel. 
 
Actividad 5.17 
T(6) 
Recorrido en orden previo: 6831524 
Recorrido en orden intermedio: 3851624 
Recorrido en orden posterior: 3518426 
T(a) 
Recorrido en orden previo: abg5h1f4de3c2 
Recorrido en orden intermedio: 5gh1bf4a3edc2 
Recorrido en orden posterior: 51hg4fb3e2cda 
Actividad 5.18 
Desarrollo 
21 
 
i) ii) 
a) la altura del árbol i) es 5 y la altura del árbol ii) es 4 
b) Los vértices hojas jamás pueden ser operadores ya que ellos necesitan términos y los vértices 
hojas al no tener hijos, no pueden representar entonces a las operaciones 
c) se deja para el estudiante 
 
 
Actividad 5.19 
Desarrollo 
1) 
Recorrido en preorden 
− + 4 ∗ 5 + 1 𝑥 ÷ −𝑧 2 3 
Recorrido en entreorden 
(4 + 5 ∗ ( 1 + 𝑥 ))– ((𝑧 − 2) ÷ 3) 
Recorrido en posorden 
4 5 1 𝑥 + ∗ +𝑧 2 − 3 ÷ − 
2) a) 
22 
 
 
↑ ÷ 2 −% 1 𝑥− ↑ 𝑥 2 ↑ 𝑦 2 ÷ 1 2 notación prefija 
2 1 𝑥 ÷ 𝑥 2 ↑ 𝑦 2 ↑ − − ÷ 1 2 ÷ ↑ notacion posfija 
(2 ÷ ((1 ÷ 𝑥) − ((𝑥 ↑ 2) − (𝑦 ↑ 2)))) ↑ (1 ÷ 2) notacion infija 
 
 
b) 
÷ ↑ −2 ∗ 3 𝑥 2 ↑ + ÷ 𝑥 5 1 ÷ 1 2 notacion prefija 
2 3 𝑥 ∗ −2 ↑ 𝑥 5 ÷ 1 + 1 3 ÷ ↑ ÷ notación posfija 
((2 − (3 ∗ 𝑥)) ↑ 2) ÷ (((𝑥 ÷ 5) + 1) ↑ (1 ÷ 2))) notacion infija 
 
3) 2 3 2 𝑎 ↑ ∗ −𝑏 𝑐 + 2 ↑ − está en notación posfija 
 
Análisis de la expresión 
2 3 2 𝑎 ↑ ⏟ ∗⏟ −⏟ 
𝑏 𝑐 +⏟ 2 ↑⏟ −
⏟ 
 
Construcción del árbol 
 
Las otras notaciones son: 
− − 2 ∗ 3 ↑ 2 𝑎 ↑ +𝑏 𝑐 2 (notación prefija) 
23 
 
 ( 2 − ( 3 ∗ (2 ↑ 𝑎)) − ( (𝑏 + 𝑐) ↑ 2)
notación infija 
 
 
 
4) Si b 2 ÷ = 4 entonces b = 8 y si a b + = 7 con b = 8 entonces a = −1 
Entonces la expresión: 
a 2 b 4 ÷ ⏟ 
2

⏟ 
4
 +
⏟ 
3
 toma el valor 3 
Y la expresión 
 +  a 2 ⏟ 
1
 ÷ b 2 ⏟ 
4
a
⏟ 
4−1⏟ 
5
4
 toma el valor 
5
4
 
 
 
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18/12/2020 EXAMEN FINAL 18/12/20 - 2° cuestionario (Para REGULARES 2019 Y ANTES): Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=165276&cmid=62374 1/2
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/ DISCRETA / EXAMENES FINALES MATDISCRETA 2020
/ EXAMEN FINAL 18/12/20 - 2° CUESTIONARIO (PARA REGULARES 2019 Y ANTES)
Comenzado el viernes, 18 de diciembre de 2020, 16:29
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 18 de diciembre de 2020, 16:44
Tiempo empleado 15 minutos 2 segundos
Puntos 2,25/3,00
Calificación 7,50 de 10,00 (75%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
En el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 } se define la relación R cuyo digrafo es:
Seleccione las afirmaciones VERDADERAS sobre R 
Seleccione una o más de una:
R no es transitiva
R es antisimétrica 
R es una relación de equivalencia 
R no es una relación de orden
 
Indicar Verdadero o Falso o, si corresponde, que no es proposición
 
x N , x | ( x + 1 )
 x Z , 8 | (24x)
 3 | ( 6x + y ) , ∀x,y ∈ Z
Verdadero
Verdadero
Falso
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=62374
18/12/2020 EXAMEN FINAL 18/12/20 - 2° cuestionario (Para REGULARES 2019 Y ANTES): Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=165276&cmid=62374 2/2
Pregunta 3
Finalizado Puntúa 0,25 sobre 1,00
Dada la expresión algebraica
÷ + * a b a c 
Indicar cuales de las siguientes afirmaciones son Verdaderas
 
Seleccione una o más de una:
Está dada en notación prefija
Para a = 1 , b = 1 y c=-1 toma el valor -2
Para a = -1 , b = 0 y c=-1 toma el valor 1
Para a = 1 , b = -1 y c=2 toma el valor 0
◄ examen final 18/12/20 - 1° cuestionario (para regulares 2019 y antes)
Ir a...
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=62373&forceview=1
Matematica Discreta/EXAMEN FINAL 23_10_20 - 1° cuestionario_ Revisión del intento.pdf
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=139992&cmid=57236 1/6
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/ DISCRETA / EXAMEN FINAL MD 2020 / EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° CUESTIONARIO
Comenzado el viernes, 23 de octubre de 2020, 15:05
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 23 de octubre de 2020, 16:04
Tiempo empleado 59 minutos 31 segundos
Puntos 6,67/12,00
Calificación 5,56 de 10,00 (56%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Indique cual de las siguientes afirmaciones es Verdadera
(Sugerencia: No haga tablas, aplique leyes, es el camino mas corto) 
Seleccione una:
( ¬ t Λ r ) Λ ¬ s implica lógicamente a r
( ¬ t ν s ) Λ ¬ s implica lógicamente a ¬ t 
( ¬ t Λ ( q → t)) implica lógicamente a q
Ninguna de las opciones dadas
Sea A = { a , b , c , d } y R definida en A por medio de 
R = { ( a , a ) , ( b , b ) , ( c , c ) , ( d, d ) , (b , a ) , (b , d ) , ( b , c ) , ( a , c ) , ( d , c ) } 
 
Indique cual de las siguientes afirmaciones es Verdadera
Seleccione una:
R es una relación de orden estricto
R es reflexiva, asimétrica y transitiva
Su diagrama de Hasse es 
Ninguna de las opciones dadas
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=57236
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=139992&cmid=57236 2/6
Pregunta 3
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 4
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 5
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
 Complete la frase: 
" El máximo común divisor de dos números primos es ...............
Seleccione una:
1
El número primo menor
El producto de los números primos
El mayor primo
Sea la suma: 
100
∑
i= 1
−2 . (−1) i− 1
escriba su valor 
Respuesta: 0
La relación de recurrencia,
 b = -2 , b = 3,
 b + 2b +b =0 , n ≥ 3
 tiene como solución general a:
Seleccione una:
1 2
n n-1 n-2 
b = (1+n)(-1) , n∈ Nn n
b = (1+n)(-2) , n∈ Nn n
b = (1+2n)(-1) , n∈ Nn n 
Ninguna de las opciones dadas
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=139992&cmid=57236 3/6
Pregunta 6
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 7
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Sea el siguiente Digrafo 
 
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre él
Seleccione una:
No posee vértices fuente
No existen ciclos v7- v7
Posee circuito de Euler
Ninguna de las opciones
Dados los siguientes grafos
 G1 G2
 
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre ellos
Seleccione una:
Son isomorfos
En ambos la suma de los grados de sus vértices es 30
Ambos poseen camino de Euler
Ninguna de las opciones dadas
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
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Pregunta 8
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 9
Finalizado Puntúa 0,67 sobre 1,00
Sea A un conjunto con al menos dos elementos 0 y 1 y sean + y . 
dos operaciones binarias cerradas definidas en A.
Si (A, + , . ) tiene estructura de Algebra de Boole, seleccione la
afirmación FALSA , que se hace sobre la terna.
Seleccione una:
 
. y + son mutuamente distributivas
. y + son asociativas
Existe neutro respecto de ambas operaciones 
 Ninguna de las opciones dadas
Dado el siguiente grafo 
 
Seleccione la/s afirmación/es VERDADERAS que se hacen sobre G
Seleccione una o más de una:
G es un grafo simple
No posee ciclos de longitud 6
6,3,4,5,3,6 no es un camino simple
 5,1,2,5,3,2,6,4,5 es un circuito de longitud 8
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
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Pregunta 10
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 11
Finalizado Puntúa 0,50 sobre 1,00
Sea el Digrafo representado por la matriz de Incidencia que se da
Seleccione las afirmaciones FALSAS que se hacen sobre él
Seleccione
una o más de una:
Es un digrafo simple
No existen vértices pozo
Existen vértices fuente
No hay vértices aislados
Dados los grafos G y G 
Seleccione las afirmaciones VERDADERAS que se hacen sobre ellos 
Seleccione una o más de una:
1 2
G y G no son isomorfos1 2
Ambos grafos tienen vértices con los mismos grados
La función siguiente es un isomorfismo entre G y G 1 2
La suma de los grados en ambos grafos es 30
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 1° cuestionario: Revisión del intento
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Pregunta 12
Finalizado Puntúa 0,50 sobre 1,00
Dadas las siguientes expresiones lógicas, señale cuales corresponden a leyes lógicas 
Seleccione una o más de una:
¬ (p→q )↔p∧¬q
p∨q↔ (p∧¬q )∨ (q∧¬p )
¬ (p∧q )↔¬p∨¬q
¬ (p→q ) ↔ (¬p→¬q )
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examen final 23/10/20 - 2° cuestionario ►
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Matematica Discreta/EXAMEN FINAL 23_10_20 - 2° cuestionario_ Revisión del intento.pdf
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 2° cuestionario: Revisión del intento
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/ DISCRETA / EXAMEN FINAL MD 2020 / EXAMEN FINAL 23/10/20 - 2° CUESTIONARIO
Comenzado el viernes, 23 de octubre de 2020, 16:15
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 23 de octubre de 2020, 16:27
Tiempo empleado 12 minutos 9 segundos
Puntos 1,00/3,00
Calificación 3,33 de 10,00 (33%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
En el conjunto A = { a , b , c , d , e , f } se define la relación R cuyo digrafo es:
Seleccione la afirmación Verdadera que se realiza sobre ella 
Seleccione una:
R(a) = { a , f }
 R es una relación de equivalencia 
R no es transitiva
Ninguna de las opciones dadas
Sea la sucesión
1 , 3 , 5 , 7 , .....
Entonces la suma de los cincuenta primeros términos de dicha sucesión es:
Seleccione una:
2550
2500
2475
Ninguna de las opciones dadas
https://frt.cvg.utn.edu.ar/
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=57625
23/10/2020 EXAMEN FINAL 23/10/20 - 2° cuestionario: Revisión del intento
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Pregunta 3
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Sea G = ( V , A , φ) un grafo no dirigido.
Indique cuales de las siguientes afirmaciones son VERDADERAS 
Seleccione una o más de una:
G es un árbol no dirigido si y solo si es conexo 
Si G es un árbol no dirigido entonces es conexo
Si G es un árbol no dirigido entonces posee al menos dos vértices pendientes
Si G es un árbol no dirigido entonces |V| = |A| + 1
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https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=57236&forceview=1
Matematica Discreta/FINAL 09.10.pdf
Matematica Discreta/FINAL 14_08_20..pdf
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 1/10
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/ DISCRETA / EXAMEN FINAL MD 2020 / FINAL 14/08/20
Comenzado el viernes, 14 de agosto de 2020, 15:20
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 14 de agosto de 2020, 16:13
Tiempo empleado 52 minutos 30 segundos
Puntos 13,00/20,00
Calificación 6,50 de 10,00 (65%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Dadas las siguientes premisas
Elegir la conclusión adecuada de tal modo que el razonamiento sea válido
Seleccione una:
¬ p Λ r
¬ q ν r
¬ p Λ ¬ q
¬ p
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https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=1
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=49906
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 2/10
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 3
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Sea el Digrafo simple representado por la matriz de adyacencia M
que se da
 
 
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre él
Seleccione una:
Posee vértices fuente
No posee pozos
Posee circuito de Euler
Ninguna de las opciones dadas 
Selecciona la afirmación FALSA que se haga sobre G
Seleccione una:
No posee vértices istmos ni aristas puentes
Posee al menos un vértice istmo
No posee ciclo de Euler ni camino de Euler
Posee ciclo de Hamilton y camino de Hamilton
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 3/10
Pregunta 4
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 5
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Para determinado valor de a la expresión ↑ a 2 
toma el valor 4 
 
¿Cual es el valor de la expresión + a ↑ a 2 para el
mismo valor de a?
Seleccione una:
6
16
8
Ninguno de los valores dados
Selecciona la afirmación VERDADERA
Seleccione una:
Existe un grafo que posee 10 vértices y cuyos grados sean: 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 4 
Existe un grafo regular con 5 vértices y 35 aristas
Existe un grafo completo con 20 aristas. 
Existe un grafo bipartito completo con 4 vértices y 5 aristas. 
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 4/10
Pregunta 6
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 7
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
 
Sea X = { a , b } y sea P(X) = { Ø , {a} , {b} , {a,b} }
Señale cual es la estructura algebraica que posee 
(P(X), , ∩ ) , donde la primera operación es la diferencia simetrica
y la segunda es la operación intersección
Seleccione una:
Anillo
Cuerpo
Grupo 
Ninguna de las opciones dadas
* a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b
Sea A = {a,b,c,d} y sea la operación * definida por la tabla
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seleccione la afirmación Falsa que se hace sobre ella
Seleccione una:
 El elemento neutro es b
Existe el inverso de todo elemento
a' = a y b' = b
Existe x tal que a*x = d
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 5/10
Pregunta 8
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 9
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 10
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
 
Seleccione una:
Grupo Abeliano
Anillo
Anillo conmutativo
Ninguna de las opciones dadas
Entre las siguientes afirmaciones hay solo una afirmación verdadera, seleccione la opción
correcta:
Seleccione una:
( ¬ t ν s ) Λ ¬ s es equivalente a ( ¬ t ν ¬ s )
¬ (¬ t  ↔  s )    es equivalente a   ( ¬ s ↔  t )
( ¬ t Λ ¬ q ) es equivalente a ¬ q 
( ¬ t Λ ¬ r ) ν ( r → t )    es equivalente a ( ¬ r ν t )
Sean los siguientes predicados definidos en el universo de los números enteros:
p(x) : " x es negativo "
q(x) : " x satisface la ecuación x - 2x + 1 = 0 "
 Seleccione la expresión lógica que resulte verdadera:
Seleccione una:
2
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 6/10
Pregunta 11
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 12
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Seleccione una:
Verdadero
Falso
Seleccione a la expresión algebraica que representa a la zona sombreada
Seleccione una:
( C - A ) U ( B - A ) 
 ( C U B ) - A 
 ( B - A - C ) U ( C - A - B ) 
NINGUNA DE LAS OPCIONES DADAS
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 7/10
Pregunta 13
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 14
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 15
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Diga Verdadero o Falso:
 Sea A = { a , b , c , d , e , f , g , h , i , j , k }
 Los siguientes conjuntos son, ambos , particiones de A
 { { a , b , c , d } , { e , f } , { i } , { g , h , j , k } }
 { { a , b , c , d } , { e , f , g } , { i , j , k } , { h } }
 
Seleccione una:
Verdadero
Falso
Sean R y R las siguientes relaciones: 
Dar el valor de verdad a la siguiente afirmación:
Seleccione una:
1 2
Verdadero
Falso
Dados los números enteros
 -31 y 8
 Seleccione la afirmación verdadera que se hace sobre ellos
Seleccione una:
-31 div 8 > 0
-31 div 8 = - 3
-31 mod 8 = 1
-31 mod 8 = -7
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
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Pregunta 16
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 17
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Los siguientes pasos son los que se siguieron para determinar la solución
general de 2x+10y=16.
Marque el renglón donde se cometió el primer error o marque si no hubo
error
 
Seleccione una:
mcd(2,10)=2
2=2.1+10.0
16=2.8+10.0
16=2.8+10.0 +10k - 10k , con k cualquier entero
16=2(8+5k) + 10(1-k) , con k cualquier entero
x=8+5k
 y=1 - k , con k cualquier entero
En ningun renglon hay error
 
La siguiente igualdad
 
se cumple para 
Seleccione una:
Para todo x , y , z enteros
Para ningún valor de x , y , z enteros
Solo para x , y , z divisores de 111
Para ninguna opción anterior
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
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Pregunta 18
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 19
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
El 10° término de la sucesión 
 
3 , 3 , 6 , 9 , 15 , 24 , ...
 
es:
Seleccione una:
63
102
165
Ninguna de las opciones dadas
La sucesión 
 
3 , 3 , 6 , 9 , 15 , 24 , ...
 
está representada por la fórmula:
Seleccione una:
a = 3 , a = 3 , a = a + a , con n≥31 2 n n-1 n-2
a = 3 , a = a + 3 , con n≥21 n n-1
a = 3 , a = 3 , a = a + a , con n≥31 2 n n-2 n-3
Ninguna de las opciones dadas
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119596&cmid=49906 10/10
Pregunta 20
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
La sucesión 
 
3 , 3 , 6 , 9 , 15 , 24 , ...
 
está representada por la fórmula:
Seleccione una:
a = 3 , a = 3 , a = a - a , con n≥31 2 n n-1 n-2
a = 3 , a = a + 3 , con n≥21 n n-1
a = 3 , a = 3 , a = a + a , con n≥20 1 n n-1 n-2
Ninguna de las opciones dadas
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Matematica Discreta/FINAL 14_08_20._.pdf
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119595&cmid=49906 1/10
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/ DISCRETA / EXAMEN FINAL MD 2020 / FINAL 14/08/20
Comenzado el viernes, 14 de agosto de 2020, 15:20
Estado Finalizado
Finalizado en viernes, 14 de agosto de 2020, 16:20
Tiempo empleado 59 minutos 40 segundos
Puntos 12,33/20,00
Calificación 6,17 de 10,00 (62%)
Pregunta 1
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Dadas las siguientes premisas
Elegir la conclusión adecuada de tal modo que el razonamiento sea válido
Seleccione una:
¬ p Λ r
¬ q ν r
¬ p Λ ¬ q
¬ p
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https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=7
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/index.php?categoryid=26
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88
https://frt.cvg.utn.edu.ar/course/view.php?id=88#section-12
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/view.php?id=49906
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119595&cmid=49906 2/10
Pregunta 2
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Sea el Digrafo simple representado por la matriz de adyacencia M
que se da
 
 
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre él
Seleccione una:
Posee vértices fuente
No posee pozos
Posee circuito de Euler
Ninguna de las opciones dadas 
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119595&cmid=49906 3/10
Pregunta 3
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 4
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Sea el Digrafo cuya gráfica se da
Seleccione la afirmación VERDADERA que se hace sobre él
Seleccione una:
Es un árbol con raíz e
Es un árbol de altura 4
a y d son vértices hermanos
No es árbol dirigido 
Selecciona la afirmación FALSA que se haga sobre G
Seleccione una:
No posee vértices istmos ni aristas puentes
Posee al menos un vértice istmo
No posee ciclo de Euler ni camino de Euler
Posee ciclo de Hamilton y camino de Hamilton
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
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Pregunta 5
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 6
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Para determinado valor de a la expresión ↑ a 2 
toma el valor 4 
 
¿Cual es el valor de la expresión + a ↑ a 2 para el
mismo valor de a?
Seleccione una:
6
16
8
Ninguno de los valores dados
Sea A conjunto con al menos dos elementos 0 y 1 y sean + y . dos
operaciones binarias cerradas definidas en A.
Si (A, + , . ) tiene estructura de Algebra de Boole, seleccione la
afirmación FALSA , que se hace sobre la terna.
Seleccione una:
 
. y + son mutuamente distributivas
(A , + ) y (A , . ) son semigrupos
Existe neutro respecto de ambas operaciones
 Ninguna de las opciones dadas
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119595&cmid=49906 5/10
Pregunta 7
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
Pregunta 8
Finalizado Puntúa 0,00 sobre 1,00
 Sea X = { a , b } y sea P(X) = { Ø , {a} , {b} , {a,b} }
Señale cual es la afirmación VERDADERA que se hace sobre 
(P(X), U , ∩ ) , donde la primera operación es la UNIÓN y la segunda
es la operación es la INTERSECCIÓN
Seleccione una:
(P(X), U, ∩ ) es CUERPO 
(P(X), U, ∩ ) es ANILLO
Ninguna de las opciones dadas
(P(X), U, ∩ ) es ALGEBRA DE BOOLE 
* a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b
Sea A = {a,b,c,d} y sea la operación * definida por la tabla
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seleccione la afirmación Falsa que se hace sobre ella
Seleccione una:
 El elemento neutro es b
Existe el inverso de todo elemento
a' = a y b' = b
Existe x tal que a*x = d
14/8/2020 FINAL 14/08/20: Revisión del intento
https://frt.cvg.utn.edu.ar/mod/quiz/review.php?attempt=119595&cmid=49906 6/10
Pregunta 9
Finalizado Puntúa 0,33 sobre 1,00
Pregunta 10
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Pregunta 11
Finalizado Puntúa 1,00 sobre 1,00
Sabiendo que ( p → q ) = 0
indique el valor de verdad de 
¬ q  → ¬ p 
¬ p → ( ¬ q Λ r )
( ¬ p Λ q ) Λ r
Verdadero
Depende de r
Falso
Indicar cuál expresión se implica lógicamente de la siguiente:
[ ( ¬ p → q ) Λ ( ¬ ( s ν t ) → ¬ q ) ] 
Seleccione una:
  Ninguna de las opciones dadas
¬ p → ¬ ( s ν t )  
p → ¬ ( s ν t )  
 s ν t