PRACTICA INVERNAL 2 AM 1

Vista previa del material en texto

EJERCICIOS DE PRÁCTICA 
 
 
Ejercicio 1: Sea la función definida por 𝑓(𝑥) = ln (
𝑥
2𝑥−1
) se pide: 
a. Dominio. 
b. Intersección con los ejes coordenados. 
c. Simetría. 
d. Asíntotas, aplicando límites. 
 
a. Dominio: 
 
Como sabemos el argumento de los logaritmos debe ser mayor a 0. Es decir: 
 
𝒙
𝟐𝒙−𝟏
> 𝟎 𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔: 
 
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏{
𝒙 > 𝟎
𝒚
𝟐𝒙 − 𝟏 > 𝟎 → 𝒙 >
𝟏
𝟐
 ∴ (
𝟏
𝟐
, ∞) ó 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐{
𝒙 < 𝟎
𝒚
𝒙 <
𝟏
𝟐
 ∴ (−∞,𝟎) 
 
𝑫𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 = (−∞,𝟎) ∪ (
𝟏
𝟐
,∞) 
 
b. Intersección con los Ejes Coordenados: 
 
 ∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒚 = 𝟎 
 
0 = ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 
 
𝑒0 =
𝑥
2𝑥 − 1
 → 
𝑥
2𝑥 − 1
= 1 → 𝑥 = 2𝑥 − 1 → 𝒙 = 𝟏 
 
∩ 𝒄𝒐𝒏 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝒉𝒂𝒈𝒐 𝒙 = 𝟎 
 
𝒚 = 𝐥𝐧 (
𝟎
𝟐. 𝟎 − 𝟏
) → 𝒚 = 𝐥𝐧(𝟎) → 𝒚 = ∞ ∴ 𝑵𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
c. Simetría: 
 
Simetría Par: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) 
𝐥𝐧 (
𝒙
𝟐𝒙 − 𝟏
) ≠ 𝐥𝐧(
−𝒙
−𝟐𝒙 − 𝟏
) 
 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑷𝒂𝒓 
 Simetría Impar: 𝒇(𝒙) = −𝒇(−𝒙) 
 𝐥𝐧 (
𝒙
𝟐𝒙−𝟏
) ≠ −𝐥𝐧 (
−𝒙
−𝟐𝒙−𝟏
) 
∴ 𝑵𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓í𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 
 
 
 
d. Asíntotas: 
 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→0
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→0
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln (
0
0 − 1
) = ln(0) = −∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
lim
𝑥→
1
2
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→
1
2
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln(
1
2
1 − 1
) = ln(∞) = ∞ ∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 
 
𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔: 
lim
𝑥→∞
ln (
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln lim
𝑥→∞
(
𝑥
2𝑥 − 1
) = ln [
𝑥
𝑥. (2 −
1
𝑥
)
] = ln [
1
(2 −
1
∞
)
] = ln (
1
2
) 
∴ 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 2: Resolver los siguientes Límites 
𝑎. lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1+𝑥
 𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1
. (
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
𝑥
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
1
. lim
𝑥→∞
(
𝑥2 + 1
2 + 3𝑥2
)
𝑥
 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→∞
𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
𝑥2 (
2
𝑥2
+ 3)
. lim
𝑥→∞
[
𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
𝑥2 (
2
𝑥2
+ 3)
]
𝑥
 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 (𝑥) 
 
1 +
1
∞2
2
∞2
+ 3
 . [
1 +
1
∞2
2
∞2
+ 3
]
∞
 → 
1 + 0
0 + 3
 . [
1 + 0
0 + 3
]
∞
 → 
1
3
 . [
1
3
]
∞
 → 
1
3
 . 0 = 0 
 
 
𝑏. 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→0
2𝑥 + 𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
=
3
2
 
 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→0
(
2𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ 
𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
) 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→0
2𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
3𝑥 − 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥
 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 (𝑥)𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 
 
lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥. (3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
+ lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥. (3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
lim
𝑥→0
2
3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥
+ (lim
𝑥→0
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑥
 . lim
𝑥→0
1
3 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥
) 𝐸𝑙 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 
 
2
3 − 𝐶𝑜𝑠 0
+ (1 .
1
3 − 𝐶𝑜𝑠 0
) = 
2
3 − 1
+ 
1
3 − 1
= 1 +
1
2
= 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Analice la continuidad de la función 
 
𝑔(𝑥) = {
𝑥 −
2
3
 𝑥 < 2
7 𝑥 = 2
√2𝑥2+1−3
𝑥−2
 𝑥 > 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→2+
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
=
0
0
 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
lim
𝑥→2+
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
 .
√2𝑥2 + 1 + 3
√2𝑥2 + 1 + 3
= lim
𝑥→2+
(√2𝑥2 + 1)
2
− 32
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
lim
𝑥→2+
2𝑥2 + 1 − 9
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2𝑥2 − 8
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2. (𝑥2 − 4)
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
 𝐷𝑖𝑓. 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
lim
𝑥→2+
2. (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)(√2𝑥2 + 1 + 3)
= lim
𝑥→2+
2. (𝑥 + 2)
√2𝑥2 + 1 + 3
=
2. (2 + 2)
√2. (2)2 + 1 + 3
=
8
6
=
𝟒
𝟑
 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐−
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐+
𝒈(𝒙) ∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒈(𝒙) =
𝟒
𝟑
 
 
3° Condición: 𝑔(2) ≠ lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) ∴ 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑻𝒊𝒑𝒐 𝑬𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 (∃ 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒) 
Redefiniendo la Función: 
 
𝑔(𝑥) =
{
 
 
 
 𝑥 −
2
3
 𝑥 < 2
𝟒
𝟑
 𝒙 = 𝟐
√2𝑥2 + 1 − 3
𝑥 − 2
 𝑥 > 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando las condiciones de Continuidad para el punto x = 2 
1° Condición: ∃ 𝒈(𝟐) = 𝟕 
2° Condición: Analizamos los Límites Laterales 
lim
𝑥→2−
𝑥 −
2
3
= 2 −
2
3
=
6 − 2
3
=
𝟒
𝟑
 
Ejercicio 4: Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = log2(𝑥 + 2); se pide: 
 
a. Determinar la existencia de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
b. Hallar el Dominio de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
c. Escribir (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
 
a. Condición de existencia de (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
(𝒇𝒐𝒈)𝒙 ∃ 𝒔𝒊 𝑫𝒐𝒎 𝒇 ∩ 𝑹𝒈𝒐 𝒈 ≠ ∅ 
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙 ≥ 𝟏 → 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = [𝟏,∞) 
𝑹𝒈𝒐 𝒇 = [𝟎,∞) 
 
Para saber el Rgo de g(x), hacemos: 
𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 + 𝟐 > 𝟎 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = 𝒙 > −𝟐 → 𝑫𝒐𝒎 𝒈 = (−𝟐,∞) 
 
𝟐𝒈 = 𝒙 + 𝟐 → 𝒙 = 𝟐𝒈 − 𝟐 → 𝑹𝒈𝒐 𝒈 = (−∞,∞) 
 
[𝟏,∞) ∩ (−∞,∞) = [𝟏,∞) ≠ ∅ 𝑳𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 
 
b. Para encontrar el Dominio de (𝑓𝑜𝑔)𝑥 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = {𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒈/ 𝒈(𝒙) ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇} 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = (−𝟐,∞)/ 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) ∈ [𝟏,∞) 
 
𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝟏 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑. 
 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 ≥ 𝒄
{
 
 
 
 
𝒂 ≥ 𝒃𝒄 𝒃 > 𝟏 
𝒂 ≤ 𝒃𝒄 𝟎 < 𝒃 < 𝟏
 
 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝑶𝒑𝒄𝒊ó𝒏, 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 
𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒂 𝟎, 𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐 
𝒍𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔.
 
 
(𝒙 + 𝟐) > 𝟎 → 𝒙 > −𝟐 𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟐𝟏 → 𝒙 ≥ 𝟐 − 𝟐 → 𝒙 ≥ 𝟎 
 
(−𝟐,∞) ∩ [𝟎,∞) = [𝟎,∞) 
 
𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = (−𝟐,∞) ∩ [𝟎,∞) → 𝑫𝒐𝒎 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = [𝟎,∞) 
 
c. La función (𝑓𝑜𝑔)𝑥 
 
(𝒇𝒐𝒈)𝒙 = √𝒍𝒐𝒈𝟐(𝒙 + 𝟐) − 𝟏