43 Topografía Aplicada-Copiar (1)

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TOPOGRAFÍA
Aplicada
E D I T O R I A L
España - México - Colombia - Chile - Ecuador - Perú - Bolivia - Uruguay - Guatemala - Costa Rica
Topografía Aplicada
Autor: Néstor Villalba Sánchez
© Derechos de autor registrados:
Empresa Editora Macro EIRL
© Derechos de edición, arte gráfico y diagramación reservados:
Empresa Editora Macro EIRL
Jefe de edición:
Cynthia Arestegui Baca
Coordinación de edición:
Magaly Ramon Quiroz
Diseño de portada:
Alessandra Bonilla Zapata
Corrección de estilo: 
Hassel Ortiz Huamán 
Diagramación:
Lucero Monzón Morán
Eduardo Siesquén Aquije
Edición a cargo de:
© Empresa Editora Macro EIRL
Av. Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú
Teléfono: (511) 748 0560
E-mail: proyectoeditorial@editorialmacro.com
Página web: www.editorialmacro.com
Primera edición e-book: mayo 2016 
Disponible en: macro.bibliotecasenlinea.com
ISBN N.° 978-612-304-300-1
 ISBN e-book N.° 978-612-304-412-1
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin 
previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.
( 
*
Néstor Villalba Sánchez
Ingeniero civil de la Universidad Nacional de Ingeniería (Lima, 
Perú) con estudios de maestría en Ingeniería de Gestión Vial en 
la Universidad de Piura. 
En el ámbito laboral, ha sido ejecutor de diversos proyectos 
viales al interior y al exterior del país, como la construcción de 
la carretera Juanjuí-Tocache en la selva peruana, la elaboración 
de proyectos en Irsa-Norte del Consorcio Vial Puno y la carretera 
Interoceánica Sur. 
Asimismo, se ha desempeñado en proyectos y obras de ejecución 
con empresas mineras y ha sido docente en la Universidad 
Peruana Unión.
Es autor de Construcción de carreteras, libro basado en su 
experiencia en la carretera Interoceánica Sur. Actualmente, se 
desempeña en la Unidad Gerencial de Conservación de Provías 
Nacional, del Ministerio de Transporte y Comunicaciones del Perú.
Agradecimientos
Quiero agradecer especialmente a los maestros ingenieros, 
docentes, proyectistas, topógrafos, cadistas, compañeros y 
alumnos que me brindaron sugerencias, aportes, inquietudes, y 
críticas para que este texto salga a la luz.
Enrique Estrada, Rafael Bravo, Guido Zamora, Jorge Velásquez, 
Charle Bernui, Alex Astuhuamán, Abel Noa, Jorge Chávez, Luis 
Campo, Jesús Malpartida, Rafael Vicuña, Mario Tabraj, Erika 
Molina, Jenny Avendaño, Tait Baldeón, Américo Taype, Miguel 
Claudio, Miguel Sarango, Santos Medina, Tele Medina, Jorge 
Lozano, Abelardo Arroyo, Segundo Rogelio, Lucas Caballero, a 
todos ellos mi más profundo respeto, admiración y agradecimiento.
For my son
Máximo Gabriel
For my parents
Julio Villalba y Yolanda Sánchez
For my brothers
Julio, Nancy, Marcos, Paul y Henry
ÍNDICE
Introducción ..............................................................................................................................................19
CAPÍTULO 1: Generalidades
1.1 Introducción .......................................................................................................................................21
1.2 Geomática .........................................................................................................................................22
1.3 Topografía: definición ........................................................................................................................31
1.4 Historia ..............................................................................................................................................32
1.5 Clasificación .......................................................................................................................................34
1.6 Plano ...................................................................................................................................................35
1.6.1 Sistema de unidades .............................................................................................................35
1.6.2 Escala .....................................................................................................................................35
1.6.3 Sistema WGS 84 ....................................................................................................................35
1.6.4 Dirección Norte .....................................................................................................................36
1.6.5 Membrete .............................................................................................................................36
1.6.6 Leyenda .................................................................................................................................37
1.6.7 Normas peruanas ..................................................................................................................37
CAPÍTULO 2: Principios básicos de la topografía
2.1 Geometría ..........................................................................................................................................39
2.2 Trigonometría .....................................................................................................................................45
2.2.1 Sistemas de medidas angulares ............................................................................................45
2.2.2 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo ..........................................................47
2.3 Sistema de coordenadas .....................................................................................................................52
2.3.1 Coordenadas rectangulares ..................................................................................................53
2.3.2 Coordenadas cilíndricas ........................................................................................................53
2.3.3 Coordenadas esféricas ..........................................................................................................54
2.4 Ecuaciones básicas de geometría .......................................................................................................56
2.4.1 Geometría cartesiana ............................................................................................................56
2.4.2 Geometría vectorial ..............................................................................................................57
2.4.3 Geometría cilíndrica (polar) ..................................................................................................62
2.5 Cálculo de áreas .................................................................................................................................80
2.5.1 Área en polígono cerrado .....................................................................................................80
2.5.2 Área en perfil ........................................................................................................................82
2.5.3 Área en sección transversal ..................................................................................................83
2.6 Estadísticas y su teoría de errores en la topografía ...........................................................................91
2.7 Proyecciones geométricas ..................................................................................................................98
2.7.1 Geometría descriptiva ...........................................................................................................99
2.7.2 Sistemas de proyección .......................................................................................................100
2.8 Programación digital con calculadora HP .........................................................................................101
2.8.1 Programación en la calculadora .........................................................................................1022.8.2 Preguntas generales al iniciarse en programación .............................................................102
2.8.3 Mapa de proceso de programación ....................................................................................105
CAPÍTULO 3: Instrumentos de medición topográfica
3.1 Descripción ........................................................................................................................................109
3.2 Medición de distancia ......................................................................................................................112
3.2.1 Conceptos básicos ...............................................................................................................112
3.2.2 Límites topográficos según su distancia .............................................................................112
3.2.3 Métodos de medición .........................................................................................................113
3.3 Midiendo ángulos .............................................................................................................................114
3.3.1 Conceptos básicos ...............................................................................................................114
3.3.2 Límites topográficos según su ángulo.................................................................................115
3.3.3 Métodos de medición .........................................................................................................116
3.4 Navegación ........................................................................................................................................118
3.4.1 Cartografía ..........................................................................................................................118
3.4.2 Geodesia .............................................................................................................................122
3.4.3 Límites de zonas en el Perú .................................................................................................142
3.4.4 Métodos de navegación ......................................................................................................143
CAPÍTULO 4: Planimetría
4.1 Introducción ......................................................................................................................................151
4.2 Levantamiento topográfico pequeño ...............................................................................................151
4.3 Poligonal ............................................................................................................................................152
4.3.1 Concepto ............................................................................................................................152
4.3.2 Control de poligonal............................................................................................................155
4.4 Triangulación ....................................................................................................................................199
4.4.1 Concepto .............................................................................................................................199
4.4.2 Redes de triangulación ........................................................................................................201
4.4.3 Control de redes de triangulación .......................................................................................202
4.5 GPS diferencial ..................................................................................................................................212
4.5.1 GPS Diferencial-Modo estático ...........................................................................................212
 4.5.2 GPS Diferencial-Modo RTK.................................................................................................248
CAPÍTULO 5: Altimetría
5.1 Introducción ......................................................................................................................................251
5.2 Nivelación geométrica ......................................................................................................................256
5.3 Aplicaciones ......................................................................................................................................258
5.4 Nivelación sin control de error .........................................................................................................260
5.5 Nivelación con control de error ........................................................................................................268
5.5.1 Error de cierre .....................................................................................................................268
5.5.2 Tolerancia del Error de cierre .............................................................................................269
5.5.3 Métodos de corrección .......................................................................................................270
5.6 Redes de nivelación ..........................................................................................................................276
5.6.1 Aproximaciones sucesivas...................................................................................................277
CAPÍTULO 6: Aplicación en campo
6.1 Procesos en un proyecto de estudio ................................................................................................287
6.1.1 Imagen satelital ...................................................................................................................288
6.1.2 Monumentación de hitos ....................................................................................................289
6.1.3 Georreferenciación .............................................................................................................292
6.1.4 Poligonal y nivelación ..........................................................................................................293
6.1.5 Levantamiento topográfico ................................................................................................295
6.1.6 Procesamiento digital .........................................................................................................302
6.2 Procesos en ejecución de obras .......................................................................................................302
6.2.1 Carretera Interoceánica Sur ................................................................................................302
6.2.2 Minera Barrick.....................................................................................................................310
6.3 Base de datos ....................................................................................................................................312
6.3.1 Campo de aplicación ...........................................................................................................315
6.3.2 Historial ...............................................................................................................................315
6.3.3 Fundamento para su estructuración .................................................................................. 317
6.3.4 Alcance entre áreas laborales .............................................................................................319
6.3.5 Trabajo en campo................................................................................................................319
6.3.6 Guardar información en la base de datos ...........................................................................322
6.3.7 Beneficio de la base de datos .............................................................................................3276.4 Software de apoyo ............................................................................................................................329
6.4.1 Google Earth .......................................................................................................................329
6.4.2 MapSource ..........................................................................................................................334
6.4.3 Global Mapper ....................................................................................................................335
6.4.4 Aplicación de Civil 3D ..........................................................................................................338
6.5 Seguridad laboral ..............................................................................................................................353
6.5.1 Desprendimiento de roca ...................................................................................................353
6.5.2 Trabajo en altura .................................................................................................................354
6.5.3 Transporte de personal .......................................................................................................355
6.5.4 Charla de seguridad ............................................................................................................356
6.5.5 Documentación y registro ..................................................................................................356
6.6 Tips laborales ....................................................................................................................................356
CAPÍTULO 7: Dirección de proyecto (Enfoque del PMI 5.a edición)
7.1 Introducción ......................................................................................................................................365
7.2 Planificación ......................................................................................................................................366
7.3 Programación ....................................................................................................................................368
7.4 Presupuesto .......................................................................................................................................370
7.5 Control de obra .................................................................................................................................374
7.5.1 Diagrama Tiempo-Camino ..................................................................................................376
7.5.2 Diagrama Curva S ................................................................................................................377
7.6 Reunión .............................................................................................................................................378
7.7 Enfoque del PMI 5.a edición ..............................................................................................................378
CAPÍTULO 8: Emprender
8.1 Liderazgo ..........................................................................................................................................387
8.2 Selección del personal ......................................................................................................................388
8.3 Aprendizaje en el campo ..................................................................................................................389
8.4 Prácticas de campo ...........................................................................................................................390
CAPÍTULO 9: Replanteo
9.1 Proyección .........................................................................................................................................399
9.1.1 Sistemas de proyección ......................................................................................................399
9.1.2 Tipos de proyección ........................................................................................................... 400
9.1.3 Sistema triédrico .................................................................................................................401
9.2 Lotización .........................................................................................................................................402
9.3 Carretera ..........................................................................................................................................408
9.3.1 Plano planta-tangente (línea recta) ....................................................................................410
9.3.2 Plano planta-curva circular (línea curva) ............................................................................412
9.3.3 Plano planta-curva espiral (línea curva) .............................................................................418
9.3.4 Plano perfil-tangente (línea recta) ......................................................................................437
9.3.5 Plano perfil-curva parabólica simétrica (línea curva) ........................................................ 440
9.3.6 Plano perfil-curva parabólica asimétrica (línea curva) ...................................................... 444
9.3.7 Plano frontal-sección transversal (línea curva) ..................................................................457
Índice de figuras
Capítulo 1
Figura 1.1 La topografía dentro de la geomática ...........................................................................22
Figura 1.2 Diferencia entre la topografía y la geodesia ................................................................. 32
Figura 1.3 Historia de la topografía ............................................................................................... 33
Figura 1.4 La topografía en el proyecto y en la ejecución .............................................................34
Capítulo 2
Figura 2.1 Fórmulas básicas de geometría plana ...........................................................................40
Figura 2.2 Fórmulas básicas de geometría plana........................................................................... 41
Figura 2.3 Formulación de volumen de geometría espacial ..........................................................42
Figura 2.4 Triángulo trigonométrico .............................................................................................. 47
Figura 2.5 Triedro por superficie planas ........................................................................................ 53
Figura 2.6 Superficie cilíndrica .......................................................................................................54
Figura 2.7 Superficie de la Tierra ................................................................................................... 54
Figura 2.8 Comparación de superficie curva con plano en topografía ......................................... 55
Figura 2.9 Comparación del sistema cartesiano en ordenadas ..................................................... 55
Figura 2.10 Cuadrante en el sistema cartesiano analítico-topográfico .........................................56
Figura 2.11 Sistema cartesiano topográfico ................................................................................... 57
Figura 2.12 Área de un polígono .....................................................................................................80
Figura 2.13 Caso común de una superfice de forma irregular ....................................................... 82
Figura 2.14 Tipos de secciones transversales .................................................................................83
Figura 2.15 Árbol estadístico de muestra .......................................................................................92
Figura 2.16 Enfoque con Excel usando sus funciones ....................................................................94
Figura 2.17 Enfoque Excel usando análisis de datos ......................................................................94
Figura 2.18 Esquema de uso de la estadística descriptiva .............................................................95
Figura 2.19 Estructuración de funciones estadísticas según el tipo de variable ...........................96
Figura 2.20 Muestra dentro del universo .......................................................................................98
Figura 2.21 Proyecciones geométricas ...........................................................................................98
Figura 2.22 Carretera en sus tres vistas de proyección: planta, perfil y frontal ............................99
Figura 2.23 Sistema de proyección ...............................................................................................100
Figura 2.24 De sistema 3D a sistema 2D ....................................................................................... 101
Figura 2.25 Ubicación de un programa ........................................................................................ 102
Figura 2.26 Resultado del comando STO ...................................................................................... 102
Figura 2.27 Mapa de proceso de programación ...........................................................................106
Capítulo 3
Figura 3.1 Equipos de topografía ................................................................................................. 110
Figura 3.2 La superficie curva de la Tierra y su plano tangente .................................................. 112
Figura 3.3 Triángulo plano (izquierda) y triángulo esférico (derecha) ..........................................115
Figura 3.4 Método de medición angular de repetición directa................................................... 117
Figura 3.5 Método de medición angular de repetición directa e inversa ................................... 117
Figura 3.6 Medidas angulares para latitud y longitud .................................................................120
Figura 3.7 Cartografía: proyecciones y propiedades ...................................................................121
Figura 3.8 La Tierra y sus modelamientos ...................................................................................122
Figura 3.9 Modelo matemático elipsoide .....................................................................................123
Figura 3.10 Diagrama de relación de variables dependientes e independientes ........................124
Figura 3.11 Línea central del meridiano base o de referencia .....................................................129
Figura 3.12 Modelo de proyección UTM ......................................................................................130
Figura 3.13 Distancia en coordenadas UTM a distancias topográficas ........................................ 137
Figura 3.14 El Perú posee tres zonas (17, 18 y 19) ........................................................................ 142
Figura 3.15 Google Earth ..............................................................................................................144
Figura 3.16 GPS Navegador Garmin MONTERRA.......................................................................... 145
Figura 3.17 Distanciómetro láser Disto-DB .................................................................................. 145
Figura 3.18 Estación total (labor en el campo topográfico) .........................................................146
Figura 3.19 Estación con punto fijo .............................................................................................. 147
Figura 3.20 Estación por resección por distancia .........................................................................148
Figura 3.21 Estación por resección por ángulo ............................................................................ 149
Capítulo 4
Figura 4.1 Levantamiento topográfico local ................................................................................152
Figura 4.2 Poligonal cerrada (ABCDE) y Poligonal abierta (PQRSTU) ..........................................153
Figura 4.3 Poligonales cerradas y sus formas de medidas angulares ..........................................154
Figura 4.4 Poligonales abiertas y sus formas de medidas angulares ..........................................154
Figura 4.5 Control de cierre (poligonal abierta) ..........................................................................155
Figura 4.6 Árbol de proceso de corrección de poligonal .............................................................157
Figura 4.7 Cierre angular en poligonal cerrada............................................................................158
Figura 4.8 Cierre angular en poligonal abierta ............................................................................159
Figura 4.9 Cálculo de las azimutes ...............................................................................................160
Figura 4.10 Rango del azimut ........................................................................................................ 160
Figura 4.11 Proyección de lados en poligonal cerrada ................................................................. 161
Figura 4.12 Proyección de lados en poligonal abierta .................................................................. 162
Figura 4.13 Error lineal en poligonal cerrada ...............................................................................163
Figura 4.14 Error lineal en poligonal abierta ................................................................................164
Figura 4.15 Triangulación para determinar la distancia a puntos no accesibles ..........................201
Figura 4.16 Red de triángulos ....................................................................................................... 201
Figura 4.17 Red de cuadriláteros .................................................................................................. 202
Figura 4.18 Red de polígono con punto central ...........................................................................202
Figura 4.19 Árbol de estructuración de compensación angular ..................................................203
Figura 4.20 Estacionamiento de la base y su antena con su repetidora ...................................... 249
Figura 4.21 Levantamiento topográfico usando estación total y prisma .....................................250
Capítulo 5
Figura 5.1 La curvatura de la Tierra y la refracción .....................................................................252
Figura 5.2 Error por curvatura y refracción .................................................................................253
Figura 5.3 Error de curvatura y de refracción .............................................................................254
Figura 5.4 Nivelación en distancias pequeñas .............................................................................255
Figura 5.5 Nivelación en distancias grandes ................................................................................255
Figura 5.6 Nivelación geométrica en perfil y planta ....................................................................257
Figura 5.7 Nivel medio del mar ....................................................................................................258
Figura 5.8 Bench Mark .................................................................................................................258
Figura 5.9 Control de error de cierre en nivelación ..................................................................... 269
Figura 5.10 Redes de nivelación con 3 circuitos internos (con 5 BM) ..........................................277Capítulo 6
Figura 6.1 Árbol de proceso de un proyecto de estudio topográfico .........................................288
Figura 6.2 Imagen satelital del Google Earth ...............................................................................288
Figura 6.3 Intercambio de formatos digitales por medio de Global Mapper..............................289
Figura 6.4 Armadura y encofrado del hito geodésico .................................................................290
Figura 6.5 Curado de hitos ........................................................................................................... 291
Figura 6.6 Sembrado de hito geodésico en campo .....................................................................291
Figura 6.7 Carta de puntos geodésico, emitida por el IGN ..........................................................292
Figura 6.8 Plantilla de puntos geodésicos ....................................................................................293
Figura 6.9 Lectura de poligonal iniciando en el punto geodésico ...............................................294
Figura 6.10 Carta de BM emitida por el IGM ................................................................................294
Figura 6.11 Nivelación geométrica con nivel óptico ....................................................................295
Figura 6.12 La lectura poligonal y de nivelación ..........................................................................295
Figura 6.13 Levantamiento topográfico general ..........................................................................296
Figura 6.14 Método para un levantamiento topográfico de casa ................................................298
Figura 6.15 Método para un levantamiento topográfico de carretera ........................................298
Figura 6.16 Levantamiento topográfico de seccionamiento en carretera ...................................299
Figura 6.17 Método para un levantamiento topográfico urbano ................................................300
Figura 6.18 Triangulación de un talud ..........................................................................................300
Figura 6.19 Triangulación en un camino y talud ...........................................................................301
Figura 6.20 Detalle de levantamiento topográfico para pontones ..............................................301
Figura 6.21 Curvas de nivel que representan el modelo de terreno............................................302
Figura 6.22 Árbol de proceso de interacción del área topográfica ..............................................303
Figura 6.23 Procedimiento de replanteo de rayado de talud ......................................................304
Figura 6.24 Procedimiento de rayado de talud ............................................................................305
Figura 6.25 Topografía en rayado de talud de excavación ..........................................................306
Figura 6.26 Topografía en rayado de talud de conformación de terraplén ................................306
Figura 6.27 Levantamiento topográfico en mejoramiento .........................................................307
Figura 6.28 Levantamiento topográfico en derrumbe .................................................................307
Figura 6.29 La topografía en la medición de la base de un pontón I ...........................................308
Figura 6.30 La topografía en la medición de la base de un pontón II ..........................................308
Figura 6.31 Topografía en el control de la losa de concreto del puente ......................................309
Figura 6.32 Control topográfico de la prueba de carga del puente .............................................309
Figura 6.33 Árbol de trabajo en supervisión minera .................................................................... 310
Figura 6.34 Perfilado de talud en PAD con motoniveladora ........................................................ 311
Figura 6.35 Levantamiento topográfico para valorización ........................................................... 312
Figura 6.36 Árbol conceptual de la base de datos en cinco pasos ............................................... 313
Figura 6.37 Árbol de uso de la base de datos ............................................................................... 315
Figura 6.38 Historial de base de datos usados en diferentes obras ............................................. 315
Figura 6.39 Base de datos usada en la topografía de Interoceánica sur ...................................... 316
Figura 6.40 Base de datos en la topografía de Vale (ampliación) ................................................ 316
Figura 6.41 Base de datos en la topografía de la carretera andina de Trujillo ............................. 317
Figura 6.42 Base de datos en la topografía de supervisión de la Minera Barrick ........................ 317
Figura 6.43 Esquema de las tablas relacionales que intervienen en la base de datos ................ 318
Figura 6.44 Base de datos de relación de las áreas interna y externa ......................................... 319
Figura 6.45 Derrumbe en carretera .............................................................................................. 320
Figura 6.46 Mejoramiento en carretera ....................................................................................... 320
Figura 6.47 Replanteo de alcantarilla en la progresiva 32+240 .................................................... 321
Figura 6.48 Control de ubicación de los aleros de un pontón ...................................................... 322
Figura 6.49 Relación Archivo y Fotografía .................................................................................... 329
Figura 6.50 Lado izquierdo vista en 2D y el lado derecho vista en 3D .........................................333
Figura 6.51 Imagen en una calle usando Street view de Google Earth Pro .................................333
Figura 6.52 Imagen en una esquina usando Street view de Google Earth Pro ............................334
Figura 6.53 Árbol de proceso desde una data en txt a Global Mapper .......................................336
Figura 6.54 Árbol de proceso, desde Global Mapper a GPX ........................................................ 337
Figura 6.55 Interrelación de archivos AutoCAD en modo de referencia externa ........................338
Figura 6.56 Interrelación de documentos AutoCAD en modo de Shortcut .................................339
Figura 6.57 Desprendimiento de roca ..........................................................................................354
Figura 6.58 En los trabajos de alturas se usa el arnés de seguridad ............................................354
Figura 6.59 Vehículo con implementos de seguridad ..................................................................355
Figura 6.60 Medición con eclímetro hacia el prisma .................................................................... 357
Figura 6.61 Combinación de labor entre Estación total, eclímetro y wincha .............................. 357
Figura 6.62 Relación de tabla de Estación total y Eclímetro a coordenadas................................358
Figura 6.63 Control de hundimiento por uso de sapo ..................................................................359
Figura 6.64 Procedimiento de ida y vuelta (n. o personal: 2) ........................................................ 359
Figura 6.65 Procedimiento de ida (n. o personal: 3) ..................................................................... 359
Figura 6.66 Equipos que podríamos usar en campo ....................................................................360
Figura 6.67 Algunas aplicaciones para el Iphone ......................................................................... 361
Figura 6.68 Esquema de replanteo de puntos ..............................................................................362Capítulo 7
Figura 7.1 Diagramas (Espacio-Acción, Acción-Tiempo, Tiempo-Camino) .................................368
Figura 7.2 Programación de obras usando diagramas de flecha y de tiempo .............................369
Figura 7.3 Programación de eventos planeados y eventos ejecutados ....................................... 370
Figura 7.4 Mapa de proceso del presupuesto.............................................................................. 371
Figura 7.5 Modalidades del costo directo .................................................................................... 372
Figura 7.6 Costo unitario y su estructura en topografía ..............................................................372
Figura 7.7 Comparación de presupuestos.................................................................................... 374
Figura 7.8 Planificación de las labores topográficas en el tiempo ............................................... 375
Figura 7.9 Distorsión de la programación entre lo planeado y lo ejecutado .............................. 375
Figura 7.10 Diagrama Tiempo-Camino de una labor topográfica ................................................ 376
Figura 7.11 Curva S comparación de lo planeado y lo ejecutado ................................................. 377
Capítulo 9
Figura 9.1 Proyección del objeto (punto P)...................................................................................400
Figura 9.2 Proyección del objeto (triángulo A, B y C) ...................................................................400
Figura 9.3 Elementos de una proyección ......................................................................................401
Figura 9.4 Proyección sobre los paralelos seleccionados .............................................................401
Figura 9.5 Proyección vista de un plano común ...........................................................................401
Figura 9.6 Labor topográfica de replanteo para lotización ..........................................................402
Figura 9.7 Gráfico de puntos a replantear ....................................................................................404
Figura 9.8 Distancia y azimut para la manzana G1 .......................................................................405
Figura 9.9 Distancia y azimut para la manzana G5 .......................................................................405
Figura 9.10 Diseño geométrico de una carretera .........................................................................408
Figura 9.11 Elementos geométricos básicos ................................................................................. 410
Figura 9.12 Puntos intermedios al tramo en tangente ................................................................. 411
Figura 9.13 Elementos geométricos de un plano planta-curva circular ....................................... 413
Figura 9.14 Elementos geométricos característicos de la curva circular ..................................... 415
Figura 9.15 Análisis vectorial de cálculo de progresiva ................................................................ 415
Figura 9.16 Cálculo de las coordenadas en una progresiva determinada en curva circular ........ 418
Figura 9.17 Cálculo de coordenadas en tramo curva circular ...................................................... 419
Figura 9.18 Cálculo de coordenadas en curva circular y dos curvas circulares 
con contenido de curvas espirales ............................................................................................... 429
Figura 9.19 Elementos geométricos básicos en plano perfil-tangente (línea recta) ....................438
Figura 9.20 Elementos geométricos básicos en plano perfil-curva parabólica 
simétrica (línea curva) ...................................................................................................................440
Figura 9.21 Datos de trabajo en una sección ................................................................................458
Figura 9.22 Distancia horizontal en relleno y corte ...................................................................... 459
Figura 9.23 Cálculo de área en sección transversal ......................................................................460
Figura 9.24 Aproximación del área de corte y relleno en función de H .......................................463
Figura 9.25 Dos secciones típicas de trabajo de valorización ......................................................467
Figura 9.26 Emplantillado de calzada ........................................................................................... 470
Figura 9.27 Estructura del emplantillado ..................................................................................... 472
Índice de tablas
Tabla 2.1 Lanzamiento de dado 200 veces ..................................................................................... 93
Tabla 2.2 Frecuencia binomial ........................................................................................................ 97
Tabla 3.1 Errores para cada valor de arco terrestre .....................................................................113
Tabla 3.2 Errores sistemáticos según el equipo topográfico ........................................................ 114
Tabla 3.3 Especificación angular de una estación total ...............................................................115
Tabla 3.4 Error angular según la longitud del triángulo ............................................................... 116
Tabla 3.5 Ubicación de un punto en diferentes coordenadas ...................................................... 143
Tabla 4.1 Matriz de ensamble y matriz de conexión ....................................................................209
Tabla 5.1 Errores en función de la distancia de nivelación (T) .....................................................254
Tabla 5.2 Tipos de nivelación y sus respectivos errores ...............................................................269
Tabla 6.1 Modelo de nomenclatura usado en topografía ............................................................297
Tabla 6.2 Licencias de Google Earth .............................................................................................330
Tabla 6.3 Ingreso de datos y salida de información a replantear .................................................362
Tabla 7.1 Insumos, pagos de personal y alquiler .......................................................................... 373
Tabla 9.1. Puntos calculados a replantear pasando a distancia y azimut .....................................404
Introducción
En esta publicación se pretende integrar todos los fundamentos académicos adquiridos 
en la universidad así como la experiencia laboral obtenida en las innumerables obras en 
las que he participado como asesor y ejecutor.
Los primeros capítulos corresponden a los conceptos académicos básicos. El capítulo uno 
Generalidades abarca las pautas básicas para realizar una empresa propia. El capítulo 
dos Principios básicos de la topografía contiene conceptos de la topografía: su historia, 
clasificación laboral y conceptos matemáticos de sistemas de coordenadas, geométricos, 
trigonométricos y teoría de errores. El capítulo tres Instrumentos de medición topográfica 
presenta los diferentes equipos usados para desarrollar una labor topográfica, así como 
también sus usos y los errores que se cometen en alternar los equipos. El capítulo cuatro 
Planimetría contiene los procedimientos de planimetría como poligonales y triangulación.
El capítulo cinco Altimetría contiene los procedimientos de altimetría como perfil de 
control y redes de nivelación. Los últimos capítulos corresponden a procesos, formatos 
y aplicaciones que se han desarrollado en la experiencia laboral del autor. En el capítulo 
seis Aplicación en campo se establecen los procesos de las labores en campo y de la 
implementación de unabase de datos; así también una breve descripción de los software 
de apoyo. En el capítulo siete Dirección de proyecto se establecen los procesos para una 
programación de trabajo en campo, y del presupuesto requerido para esta labor y, por 
último, para poder administrarlo mediante indicadores. El capítulo ocho Emprender 
brinda las pautas básicas para que realice su propia empresa. Finalmente, el capítulo 
nueve Replanteo corresponde a las modificaciones de la parte geométrica de un diseño 
de carretera.
El autor espera que este libro sea de gran utilidad para los estudiantes y profesionales 
interesados en los fundamentos teóricos y casuísticas de la ciencia de la topografía.
Capítulo
1.1 Introducción
La topografía como ciencia ya no es exclusiva de una asignatura, puesto que está 
pasando a ser un elemento del conjunto de la geomática. Con el avance de la tecnología 
y las herramientas de medición se están desarrollando nuevos tratamientos, análisis, 
interpretación, difusión y almacenamiento de información geográfica.
La geomática contiene a la topografía y a otras disciplinas como la astronomía, 
cartografía, fotogrametría, geodesia, percepción remota y al sistema de información 
geográfica (véase Figura 1.1). 
En la actualidad, el profesional que está inmerso en la topografía debe tener un 
mayor compromiso por conocer las otras disciplinas debido a la interrelación 
que existen entre ellas; tanto por el crecimiento de la magnitud de la obra, como 
por los avances tecnológicos de las herramientas electrónicas de topografía y su 
respectivo software.
1
Generalidades
22 Topografía aplicada
Figura 1.1 La topografía dentro de la geomática
Fuente: el autor.
1.2 Geomática 
La palabra geomática es un término compuesto por geo, «Tierra», y mática, 
«informática». Se le llama también información espacial, información geoespacial, 
e incluso tecnología geoespacial). La ingeniería geomática es la ciencia y tecnología 
de la recopilación, análisis, interpretación y distribución y uso de la información 
geográfica de los datos especiales relacionados con la característica de la Tierra. 
A. Topografía
La topografía es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos 
que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie terrestre, con 
sus formas y detalles; tanto naturales como artificiales (véase planimetría y 
altimetría). Esta representación tiene lugar sobre superficies planas, limitándose 
a pequeñas extensiones de terreno.
 
Topografía
Geodesia
Fotogrametría
Astronomía
Cartografía
Teledetección
Geomática
Sistema de 
información
geográfica
G
e
n
e
ra
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a
d
e
s
23
B. Geodesia1
Estudia la superficie de la Tierra. Se utiliza en proyectos de grandes extensiones 
de terreno como carreteras, represas, catastro tomando en consideración la 
curvatura terrestre.
La geodesia suministra con sus teorías y resultados de mediciones y cálculos, la 
referencia geométrica para las otras geociencias; así como para los sistemas de 
información geográfica, el catastro, la planificación, la ingeniería, la construcción, 
el urbanismo, la navegación aérea, marítima y terrestre, entre otros, e inclusive 
para aplicaciones militares y programas espaciales.
Para la medición de la Tierra, la geodesia considera su curvatura, que ha significado 
la invención de la triangulación, métodos, cálculos de mínimos cuadrados para 
reducir los errores; aunque los equipos de campo y cálculos simplifican que el 
objetivo está en conocer la red geodésica que la represente mejor.
A partir del desarrollo de la tecnología, la informática y la comunicación satelital 
se han dado aplicación directa de los equipos de geodesia a los trabajos de 
topografía como parte de su aplicación.
1 Herrera, R. Curso de Geodesia Satelital. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).
PROCESAMIENTO-CPU Y SOFTWARE
CAMPO-ESTACIÓN TOTAL PRODUCTO-PLANOS
24 Topografía aplicada
 ¾ La geodesia en la historia2
Una nueva era de la geodesia comenzó en el año 1617, cuando el holandés W. 
Snellius inventó la triangulación para el levantamiento de áreas grandes como 
regiones o países. La primera aplicación de la triangulación fue el levantamiento de 
Württemberg por Wilhelm Schickard. En esta época, la geodesia fue redefinida como 
«la ciencia y tecnología de la medición y la determinación de la figura terrestre». 
Jean Picard realizó la primera medición de arco en el sur de París, cuyos resultados 
iniciaron una disputa científica sobre la geometría de la figura terrestre.
El elipsoide de rotación, achatado en los polos fue definido por Isaac Newton en 
1687, con su «hipótesis de gravitación», y de Christiaan Huygens en 1690, con base 
en la «teoría cartesiana del remolino». La forma de un elipsoide combinó también 
con algunas observaciones antes inexplicables, por ejemplo el atraso de un reloj 
pendular en Cayena, calibrado en París, observado por J. Richter en 1672, o el 
hecho del péndulo del segundo cuya longitud aumenta, aproximándose a la línea 
del ecuador.
El desarrollo del cálculo de probabilidades (Laplace, 1818) y del Método de 
los mínimos cuadrados (C. F. Gauss, 1809) perfeccionaron la rectificación de 
observaciones y mejoraron los resultados de las triangulaciones. El siglo XIX comenzó 
con el descubrimiento de Laplace, en donde la figura física de la Tierra es diferente 
2 Wikipedia. [Recurso electrónico]. Disponible en https://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia.
1
9
2
0
1
9
8
0
CAMPO-TEODOLITO
CAMPO-GPS DIFERENCIAL
PROCESAMIENTO-MANUAL Y
MÉTODOS
PROCESAMIENTO-CPU Y
SOFTWARE
PRODUCTO-RED GEODÉSICA
PRODUCTO-RED GEODÉSICA
PRODUCTO-PLANOS
G
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25
del elipsoide de rotación, comprobado por la observación de desvíos de la vertical 
como diferencias entre latitudes astronómicas y geodésicas. En 1873 J. O. B. Listings 
usó, por primera vez, el nombre geoide para la figura física de la Tierra. El final del 
siglo fue marcado por los grandes trabajos de mediciones de arcos meridianos de 
los geodesistas junto con los astrónomos, para determinar los parámetros de aquel 
elipsoide que tiene la mejor aproximación con la Tierra física. Los elipsoides más 
importantes eran los de Friedrich Bessel (1841) y de Clarke (1886 1880).
En los años siguientes, la base teórica de la Geodesia fue perfeccionada, en primer 
lugar por D’Alembert, «Determinación del Achatamiento de la Tierra a través de 
la precesión y nutación» y también por Laplace, que determinó el achatamiento 
únicamente a través de observaciones del movimiento de la Luna, tomando en 
cuenta la variación de la densidad de la Tierra.
La geodesia moderna comienza con los trabajos de Helmert, que usó el «método de 
superficies» en lugar del «método de medición de arcos» y extendió el teorema de 
Claireau para elipsoides de rotación introduciendo el «Esferoide Normal». En 1909 
Hayford aplicó este método para el territorio entero de Estados Unidos.
En el siglo XX se formaron asociaciones para realizar proyectos de dimensión global 
como la Association Géodésique Internationale (1886 - 1917, Central en Potzdam) 
o la L’Union Géodésique et Géophysique Internationale (1919). La geodesia recibió 
nuevos empujes a través del vínculo con la computación, que facilitó el ajuste de 
redes continentales de triangulación, y de los satélites artificiales para la medición 
de redes globales de triangulación y para mejorar el conocimiento sobre el geoide. 
H. Wolf describió la base teórica para un modelo libre de hipótesis de una Geodesia 
tri-dimensional que, en forma del WGS84, facilitó la definición de posiciones, 
midiendo las distancias espaciales entre varios puntos vía a GPS, y llegó el final de 
la triangulación.
C. Fotogrametría3
Es una técnica para determinar las propiedades geométricas de los objetos y las 
situaciones espaciales a partir de imágenes fotográficas. Puede ser de corto o 
largo alcance. 
La palabra fotogrametría deriva del vocablo fotograma (de phos, photós «luz» 
y gramma «trazado, dibujo»).Entonces el concepto de fotogrametría es medir 
sobre fotos. 
Si trabajamos con una foto podemos obtener información en primera instancia 
de la geometría del objeto, es decir, información bidimensional. Por el contrario si 
trabajamos con dos fotos, en la zona común a estas (zona de solape), podremos 
tener visión estereoscópica; o dicho de otro modo, información tridimensional.
3 Curso de Fotogrametría. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI).
26 Topografía aplicada
D. Sistema de información geográfica4
También conocido con los acrónimos SIG en español o GIS en inglés. Es un conjunto 
de herramientas que integra y relaciona diversos componentes (usuarios, 
hardware, software, procesos) que permiten la organización, almacenamiento, 
manipulación, análisis y modelización de grandes cantidades de datos procedentes 
del mundo real, que están vinculados a una referencia espacial, lo cual facilita 
la incorporación de aspectos sociales, culturales, económicos y ambientales que 
conducen a la toma de decisiones de una manera más eficaz.
En el aspecto más formal, es cualquier sistema de información capaz de integrar, 
almacenar, editar, analizar, compartir y mostrar la información geográficamente 
referenciada. Mientras que en un sentido más genérico, los SIG son herramientas 
que permiten a los usuarios crear consultas interactivas, analizar la información 
espacial, editar datos, mapas y presentar los resultados de todas estas operaciones.
Las principales cuestiones que puede resolver un sistema de información 
geográfica, ordenadas de menor a mayor complejidad, son:
1. Localización. Pregunta por las características de un lugar concreto.
2. Condición. El cumplimiento o no de unas condiciones impuestas al sistema.
3. Tendencia. Comparación entre situaciones temporales o espaciales. 
4 Curso de SIG de Posgrado en Gestión Vial. Universidad de Piura. 
CAMPO-VUELO Y FOTO
PRODUCTO-PLANOS
PROCESAMIENTO-ESTEREOSCOPIO
CPU Y SOFTWARE
G
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s
27
4. Rutas. Cálculo de rutas óptimas entre dos o más puntos.
5. Pautas. Detección de pautas espaciales.
6. Modelos. Generación de modelos a partir de fenómenos o actuaciones 
simuladas.
Data source Data layers
Street data
Buildings data
Vegetation data
Integrated data
GIS Software
Spatial data
Satellite
Data
Environmental
Data
Demographic
Data
Transport
Data
Employment
Data
Other Tabular
Data
28 Topografía aplicada
E. Astronomía5 
Es la ciencia que se ocupa del estudio de los cuerpos celestes del universo, 
incluidos los planetas y sus satélites; los cometas y meteoroides; las estrellas 
y la materia interestelar; los sistemas de materia oscura, estrellas, gas y polvo 
llamados galaxias y los cúmulos de galaxias; por lo que estudia sus movimientos 
y los fenómenos ligados a ellos. Personajes como Aristóteles, Tales de Mileto, 
Anaxágoras, Aristarco de Samos, Hiparco de Nicea, Claudio Ptolomeo, Hipatia 
de Alejandría, Nicolás Copérnico, Tycho Brahe, Johannes Kepler, Galileo Galilei, 
Christiaan Huygens o Edmund Halley han sido algunos de sus cultivadores.
La astronomía como posición fue aplicada para la resolución de los problemas 
relacionados con la determinación del Norte (Azimut de una dirección) y las 
coordenadas geográficas de un lugar (posicionamiento de un punto en la 
superficie terrestre). 
F. Cartografía6
Es la ciencia que se encarga de la representación de la superficie de la Tierra en un 
plano mediante cartas y mapas. La ubicación de los puntos se puede representar 
mediante coordenadas geodésicas o cartesianas, pero esto en forma analítica 
lo cual necesita representarse en un plano, y para poder realizarlo es necesario 
hacer proyecciones cartográficas. 
5 Wikipedia. [Recurso electrónico]. Disponible en https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa. 
6 Zúñiga, W. (2011). 
CONSTELACIÓN ESTELAR PRODUCTO-ORIENTACIÓN AL NORTE
G
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29
La proyección cartográfica es un sistema de representación gráfico que establece 
una relación ordenada entre los puntos de la superficie curva de la Tierra y los 
de una superficie plana (mapa). Estos puntos se localizan auxiliándose en una 
red de meridianos y paralelos, en forma de malla. La única forma de evitar las 
distorsiones de esta proyección sería usando un mapa esférico pero, en la mayoría 
de los casos, sería demasiado grande para que resultase útil.
En un sistema de coordenadas proyectadas, los puntos se identifican por las 
coordenadas cartesianas (x e y) en una malla cuyo origen depende de los casos. 
Este tipo de coordenadas se obtiene matemáticamente a partir de las coordenadas 
geográficas (longitud y latitud) que no son proyectadas. Las representaciones 
planas de la esfera terrestre se denominan mapas, y los encargados de elaborarlos 
o especialistas en cartografía se llaman cartógrafos.
G. Teledetección7
La teledetección o detección remota es la adquisición de información a pequeña 
o gran escala de un objeto o fenómeno, ya sea usando instrumentos de grabación 
o de escaneo en tiempo real (inalámbricos) o que no están en contacto directo 
con el objeto como aviones, satélites, astronave, boyas o barcos. En la práctica, la 
teledetección consiste en recoger información a través de diferentes dispositivos 
de un objeto concreto o un área. Son ejemplos de teledetección, la observación 
terrestre o los satélites meteorológicos, las boyas oceánicas y atmosféricas, las 
imágenes por resonancia magnética (MRI en inglés), la tomografía por emisión de 
positrones (PET en inglés), los rayos-X y las sondas espaciales. 
 
7 Roggero, V. Curso de SIG en Gestión Vial. Universidad de Piura.
30 Topografía aplicada
CAMPO-VUELO Y SCANER
PRODUCTO-MODEL 3D PRODUCTO-PLANOS
PROCESAMIENTO-CPU Y 
SOFTWARE
CAMPO-SATÉLITES
PRODUCTO-IMAGEN PRODUCTO-PLANOS
PROCESAMIENTO-CPU Y 
SOFTWARE
G
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31
Hay que tener presente que a diferencia de la fotogrametría, que necesita puntos 
georreferenciados en el terreno, los cuales aparecen en las fotos para hacer la 
labor de procesamiento. El escaneo nos determina la ubicación de los puntos cloud 
tomado por el escáner ya que se encuentra georreferenciado en tiempo real.
1.3 Topografía: definición8
Es una ciencia que pertenece a la rama de la ingeniería, que tiene como finalidad 
determinar el relieve de la superficie de terreno, bajo un enfoque de sistemas de 
proyección. Para cumplir con su objetivo establece hipótesis (la superficie de terreno 
está sobre una superficie plana) y procedimientos como sistema de referencia con 
un punto base de referencia y la orientación del norte, para determinar todos los 
demás puntos relacionados al punto base. Se debe tener en cuenta que un punto 
con coordenadas (x, y, z) referido a un sistema de coordenadas, se subdivide en 
planimetría que se focaliza sobre las coordenadas (x, y) y la altimetría que toma la 
ordenada z.
8 Mora S. Curso de Topografía. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). 
360° Digital Cameras
Lasser Scanners
Wheel Encoders
Interial Measurement Unit
Interface for IP-S2
GNSS Antenna
VEHÍCULO-EQUIPADO
CAMPO-RECORRIDO PRODUCTO-MODEL 3D
32 Topografía aplicada
Figura 1.2 Diferencia entre la topografía y la geodesia
La topografía realiza la representación de la superficie terrestre sobre una superficie 
plana limitándose a pequeñas extensiones de terreno, utilizando la denominación 
de «geodesia» para áreas mayores, donde la representación de la superficie 
terrestre es sobre una superficie curva (geoide).
El fundamento en la topografía se da en base al triangulo plano, donde la suma de 
sus ángulos internos suman 180 grados. Y su sistema de referencia cartesiano (ejes 
de referencia perpendiculares) es usado para ubicar un punto, por lo que utiliza 
términos de norte, este y cota.
En cambio en geodesia se usa un triángulo esférico, donde la suma de sus ángulos 
internos está comprendido en un rango de 180 y 540 grados, y su sistema de 
referencia esférico de parámetros son radio, latitud,azimut. 
Por lo tanto, en un levantamiento de topografía se desprecia la curvatura de la 
Tierra y en un levantamiento geodésico sí se considera.
1.4 Historia 
La topografía en su inicio era conocida como agrimensura, debido a que era una 
técnica de medida que se desarrolló en los campos agrícolas.
La agrimensura ha sido un elemento esencial en el desarrollo del entorno humano, 
desde el comienzo de la historia registrada (hacia el 3000 a. C.); es un requisito en 
la planificación y ejecución de casi toda forma de la construcción. 
Sus aplicaciones actuales más conocidas son en transporte, edificación y 
construcción, comunicaciones, cartografía y la definición de los límites legales de la 
propiedad de terrenos.
GEODESIA
*Áreas grandes
*Superficies curvas
TOPOGRAFÍA
*Áreas pequeñas
*La superficie es plana
L
1
L
2
P
UNA SUPERFICIE
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Las técnicas de la agrimensura se han aplicado a lo largo de gran parte de nuestra 
historia escrita. En el Antiguo Egipto, cuando el Nilo inundaba los campos de cultivo 
que se encontraban en las riberas, se establecieron límites utilizando la geometría. 
La casi perfecta cuadratura y orientación Norte-Sur de la Gran Pirámide de Guiza, 
construida hacia el 2570 a. C., confirma que los egipcios dominaban la agrimensura9.
A continuación señalamos algunas zonas donde se aplicó:
 • Registro de tierras en Egipto (3000 a. C.).
 • Registro de instrumentos de agrimensura en Mesopotamia (1000 a. C.).
 • Bajo el Imperio romano, los agrimensores se establecieron como una profesión, 
y crearon las divisiones básicas; así como el registro de los impuestos de las 
tierras conquistadas (300 d. C).
 • El Domesday Book fue el principal registro de Inglaterra completado por orden 
de Guillermo I de Inglaterra en 1086.
 • El catastro de la Europa continental fue creado en 1808 por Napoleón Bonaparte: 
«Un buen catastro será mi mayor logro en mi derecho civil». Contenía el número 
de parcelas de la tierra, su uso y valor; 100 millones de parcelas de tierra, se 
triangularon y midieron haciéndose mapas a escala de 1:2500 y 1:1250.
 • Las mediciones a gran escala son un prerrequisito para realizar un mapa. A 
fines de 1780, un equipo de la cartografía de Gran Bretaña, inicialmente bajo 
mando del General William Roy comenzó la tarea principal de la triangulación 
utilizando el teodolito Ramsden.9
Los conceptos e hitos que marcaron la topografía en sus inicios por el 
año 3000 a. C y las diferentes culturas alrededor del mundo han aportado a su 
desarrollo. Actualmente con la tecnología de la electrónica, software y redes 
sociales sus cambios serán mayores.
Figura 1.3 Historia de la topografía
9 Bravo, Rafael. (2013). Curso de Topografía. Universidad los Andes.
3000
2000
1000
-1000
-2000
-3000
-4000
0
Historia
Egipto
Mesopotamia
Roma
Inglaterra
Europa
34 Topografía aplicada
1.5 Clasificación
Con la topografía se inicia la obra civil y con ella finaliza. En principio nos indica el 
relieve y las condiciones que tiene esta superficie para que en el diseño de la obra se 
contemple. Asimismo para dar conformidad de la culminación de la obra se realiza 
un As-Built10. Esta última labor se ejecuta debido a los diferentes problemas que se 
presentan en la construcción; por ello se opta por variar lo que indican los planos.
Podemos decir que la topografía participa en una obra civil de dos maneras básicas:
 • Proyecto: Consiste en llevar la superficie de terreno en estudio a planos 
topográficos11, a esta labor se le conoce como levantamiento topográfico.
 • Ejecución: La labor topográfica consiste en plasmar en campo la información del 
plano de ingeniería12, a este proceso se le conoce como replanteo topográfico.
Figura 1.4 La topografía en el proyecto y en la ejecución
La topografía apoya en diferentes tipos de proyectos civiles (saneamiento, civiles, 
minero, portuario, ambiental, geológico, arqueológico, etc.). Cada uno de ellos 
cuenta con sus términos de referencia para dicha obra. 
10 Consiste en realizar un levantamiento topográfico, es decir, cómo culminó la obra. 
11 El plano topográfico contiene básicamente curvas de nivel y estructuras existentes.
12 El plano de ingeniería consiste en utilizar el plano topográfico y otras informaciones adicionales en las que se 
aplica la ingeniería de especialidad según la concepción de la obra civil.
Proyecto
Ingeniería
de Detalle
Plano
Topográfico
Plano de
Ingeniería
Superficie de
Terreno Obra Civil
Ejecución
Superficie de
Terreno
G
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35
1.6 Plano
En la elaboración del plano existen condiciones mínimas con las que debe contar. 
Entre ellas tenemos:
1.6.1 Sistema de unidades
El sistema de unidades empleado en las labores de topografía corresponde al 
metro, pero en caso de usar otras como las inglesas (pie), o alguna unidad múltiplo 
o submúltiplo deberían ser mencionadas en el plano. De manera similar debe 
mencionarse la unidad angular, que en muchos casos corresponde al sistema 
sexagesimal que comprende grados, minutos y segundos.
1.6.2 Escala 
La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el 
número a la izquierda del símbolo «:») y el valor de la realidad (el número a la 
derecha del símbolo «:») y un ejemplo de ello sería 1:100.000, lo que indica que 
una unidad cualquiera en el plano representa 100.000 de esas mismas unidades 
en la realidad. En otras palabras, dos puntos que en el plano se encuentran a 
1 cm estarán en la realidad a 100.000 cm; si están en el plano a 1 m en la realidad 
estarán a 100.000 m y así con cualquier unidad que se tome.
 
La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, 
donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación 
y el de la realidad. Ejemplo:
1.6.3 Sistema WGS 8413
El WGS 84 es un sistema de coordenadas geográficas mundial que permite 
localizar cualquier punto de la Tierra (sin necesitar otro de referencia) por medio 
de tres unidades dadas. WGS 84 son las siglas en inglés de World Geodetic System 
84, que significa «Sistema Geodésico Mundial, 1984». Se trata de un estándar en 
geodesia, cartografía, y navegación, que data de 1984. Es utilizado para definir las 
coordenadas geodésicas (latitud, longitud y altura). Cuenta con un elipsoide de 
revolución asociado. 
En el Perú se han elaborado con otro sistema de coordenadas geográficas que 
corresponde al PSAD 56 (Provisional Sudamericano 56).
WGS 84 corresponde a un datum satelital (geocéntricos), es decir, están definidos 
mediantes órbitas de los satélites. Estos parámetros orbitales se basan en las 
13 Herrera, R. Curso de Geodesia Satelital. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). 
0 40 80 120
1:2,500
160 200m
36 Topografía aplicada
coordenadas adoptadas por un número de estaciones de rastreo, un modelo 
geopotencial adoptado para el campo gravitacional terrestre y un conjunto 
de constantes. Por el contrario, PSAD 56 corresponde a un datum local (No 
geocéntricos), es decir, el modelo matemático era escogido de tal manera que 
sea lo más tangente posible a una determinada región o continente. 
1.6.5 Membrete
Es un recuadro que limita un sector de nuestra zona de trabajo parcialmente o en 
su totalidad. Esta información contiene el nombre del encargado de elaborar el 
plano, la empresa para la cual trabaja, la escala, la fecha, entre otros.
N 8’492,800
N 8’492,600
E 
 3
42
,8
00
E 
 3
42
,6
00
NOTA
1. La unidad de dibujo está en el sistema métrico internacional.
2. La superficie de elevación está referenciada al datum orthometrico - PB 63.
3. La malla está referenciada al UTM - WGS 84 ZONA 17 SOUTH.
1.6.4 Dirección Norte
Norte geográfico: También se le llama Norte Verdadero. Es el norte que usa 
la Tierra como eje de giro. Son las líneas paralelas que marcan los meridianos 
dirección norte que vemos en los mapas; sin embargo estás líneas no son paralelas 
realmente pues convergen en Norte Geográfico.G
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37
1.6.6 Leyenda
Debido a que en el mapa topográfico se debe plasmar toda la información posible, 
se debe recurrir (sobre todo en aquellos elaborados en escalas pequeñas) al uso de 
símbolos convencionales para representar las características más importantes del 
terreno. La descripción de los símbolos empelados constituye la leyenda del plano. 
1.6.7 Normas peruanas
Para poder realizar las labores de topografía es necesario conocer las normativas 
relacionadas al proyecto que están solicitando, así como los términos de 
referencia del contratista. Dentro de las instituciones y ministerios se presentan 
las normativas y el soporte técnico necesario para realizar las labores afines al 
proyecto, y son las siguientes:
A. El Instituto Geográfico Nacional (IGN)14
“Ente Rector de la Cartografía del Perú”, conforme a la Ley N. 27292. Es un 
organismo público ejecutor del Sector Defensa, con personería jurídica de 
Derecho Público interno que tiene por finalidad fundamental elaborar y actualizar 
la Cartografía básica oficial del Perú, información que es proporcionada a las 
entidades públicas y privadas para los fines del Desarrollo y Defensa Nacional.
Tiene entre otras funciones actuar como organismo competente del Estado 
para normar actividades geográficas-cartográficas que se ejecutan en el ámbito 
nacional.
El IGN cuenta con especificaciones y normativas como:
 • Especificaciones técnicas para la producción de Mapas topográficos a escala 
de 1:1000
 • Especificaciones técnicas para la producción de Mapas topográficos a escala 
de 1:5000
 • Normas técnicas de levantamiento geodésico
14 Instituto Geográfico Nacional. [Recurso electrónico]. Disponible en http://www.ign.gob.pe/index.php. 
LEYENDA
TOPOGRAFÍA TERRENO EXISTENTE PUNTOS GEODÉSICOS
TERRENO TERCEROS PUNTOS POLIGONAL
CARRETERA PUNTOS NIVELACIÓN
ACCESO TUBERIA DE AGUA
FAJA TRANSPORTADORA POSTE DE ELECTRICIDAD
LÍMITE DE LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO LETREROS INFORMATIVO
GUARDIA VIA
ALCANTARILLA TMCCERCO ALAMBRE
ALCANTARILLA MARCOMURO
BADENTUBERIA DE IMPULSIÓN
38 Topografía aplicada
Además ofrece servicios como:
 • Geodesia
 • Fotogrametría
 • Cartografía
 • Diversos, este último posee los siguientes ítems:
 – Puntos geodésicos o satelital, valores y descripción, de acuerdo a la Red 
Geocéntrica Nacional.
 – Bench Mark, valores y descripción, de acuerdo a la Red de Nivelación 
Geodésica.
 – Normas técnicas de cartografía.
B. El Ministerio de Transportes y Comunicaciones (MTC)
Bajo la Ley N. 29158 “Ley Orgánica del Poder Ejecutivo”, que estableció 15 
ministerios entre los que figuraba el Ministerio de Transportes y Comunicaciones, 
cuya función es integrar interna y externamente al país, para lograr un racional 
ordenamiento territorial vinculado a las áreas de recursos, producción, mercados 
y centros poblados; a través de la regulación, promoción, ejecución y supervisión 
de la infraestructura de transportes y comunicaciones.
Normas 
 • Manual de carreteras “Diseño geométrico 2013”
 • Manual de carreteras “Mantenimiento o conservación vial 2013”
 • Manual de diseño de carreteras no pavimentadas de bajo volumen de tránsito
 • Manual de dispositivo de control del tránsito automotor para calles y carreteras
C. El Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento
Tiene como misión mejorar las condiciones de vida de la población facilitando 
su acceso a una vivienda adecuada y a los servicios básicos, para propiciar el 
ordenamiento, crecimiento, conservación, mantenimiento y protección de los 
centros de población y sus áreas de influencia; además fomentar la participación 
de las organizaciones de la sociedad civil y la iniciativa e inversión privada.
Normas 
 • Reglamento nacional de edificaciones
Capítulo
2
Principios básicos 
de la topografía
2.1 Geometría 
Dentro de las figuras elementales que forman parte de nuestra base académica, 
unas son de geometría plana y las otras de geometría del espacio.
Al enfrentarse a figuras más complejas lo recomendable es hacer uso de un tipo de 
software, para reducir los tiempos de cálculos que en muchos casos son tediosos. 
Ejemplificaremos algunas figuras geométricas elementales que sirven para tener 
una idea de la magnitud y comprobación frente a información que nos llegue a la 
mano (véase Figura 2.1 y 2.2).
Hay que tener presente que estos principios básicos de geometría nos permiten 
estimar de manera práctica y rápida, los valores aproximados de dimensión de área 
y volumen, y el software nos permite tener la precisión adecuada. 
Dentro de la experiencia académica y laboral, existen casos donde profesionales 
suelen fiarse solamente del software y que por una configuración inadecuada 
de éste, realizan reportes erróneos en cuanto a medición de áreas y volúmenes. 
Uno de los más usados corresponde al cálculo de volumen de acopios de material 
chancado que le podemos asemejar a un cono.
40 Topografía aplicada
Figura 2.1 Fórmulas básicas de geometría plana
h
b
Rectángulo
A b h= ⋅
P b h= +2 2
b
ah
Paralelogramo
A b h= ⋅
P b a= +2 2
a
D
d
Rombo
A
d D
=
⋅
2
P a= 4
4a d D2 2 2= +
a h c
b
B
Trapecio
A
b B
h=
+
2
P a b B c= + + +
a c
b
h
C A
B
Triángulo escaleno
A
b h
=
⋅
2
A s s a s b s c= − − −( )( )( ) s
a b c
=
+ +
2
P a b c= + + h c senA a senC= ⋅ = ⋅
b
c a
C
B
A
Triángulo rectángulo
A
b a
=
⋅
2
a c senA c B= ⋅ = ⋅cos
P a b c= + + b c senB c A= ⋅ = ⋅cos
c a b2 2 2= +
b
a
r
Pentágono regular
A
ab
r r sen= = + = °
5
2
5
8
10 2 5
5
2
722 2
P b=5 4 4r a b
2 2 2
= + Ángulo ernoint α = °108
Ángulo externo β = °72
a
r
r= + = °
4
6 2 5 36cos Núm diagonales ND. =5
b
r
rsen= − = °
2
10 2 5 2 36
P
ri
n
c
ip
io
s 
b
á
si
c
o
s 
d
e
 l
a
 t
o
p
o
g
ra
fí
a
41
Figura 2.2 Fórmulas básicas de geometría plana
a
b
b
a
r
r
a
r
h
c
L
a
r
L
Polígono regular de n lados Ángulo interno:
Ángulo interno:
Núm. diagonales:
Círculo Sector circular
Segmento circular
A
n a b
n a
n
=
⋅ ⋅
= ⋅
°
2
1802 tan
P n b n a
n
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
°
2
180
tan
a r
n
= ⋅
°
cos
180
b r sen
n
= ⋅
°
2
180
α =
− ⋅ °( )n
n
2 180
ND
n n
=
⋅ −( )3
2
A r= π 2
P r= 2π
A r=
°
π
α2
360
L r=
°
π
α
180
P r L= +2
A r sen= ⋅
°
−
2 π α α
360 2( )
h r= −1
2
cos
α( ) c r sen= ⋅2 2
α
P L c= + r
h c
h
= +
2 8
2
α en grados sexagesimales
L r=
°
π
α
180
42 Topografía aplicada
Figura 2.3 Formulación de volumen de geometría espacial
a
c
b
r
r
h
r
h g
h
C
h
a
h
r
C
Prisma recto
Esfera
Cilindro
Cono
Pirámide
Segmento esférico
A a b a c b c= ⋅ + ⋅ + ⋅2 2 2
V a b c= ⋅ ⋅
A r= ⋅4π 2
V r= ⋅4
3
π
3
A r h rTOTAL = +2π ( )
A r
BASES
2
= 2π A r hLATERAL = ⋅2π
V r h= ⋅ ⋅π 2
A r g rTOTAL
2 = ⋅ +π π
A rBASES = π
2
A r gLATERAL = ⋅π
V r h= ⋅π 
2
3
g h r2 2 2= +
A cBASE
2 
=
π
4
A r h c hSUP. CURVA
2 2
= ⋅ = +2
4
4π π ( )
V h c h h r h= +



 = −( )π π6 34 3
2
2
A A ATOTAL LAT BASE= +
A
Perímetro h
LAT
BASE C
=
⋅
2
V
A h
=
⋅BASE
3
A A ATOTAL SUP.CURVA BASE= +
r h c
h
= +
2 8
2
P
ri
n
c
ip
io
s 
b
á
si
c
o
s 
d
e
 l
a
 t
o
p
o
g
ra
fí
a
43
 ¾ Ejemplos aplicativos
Ejemplo 1: Área y perímetro del rectángulo
Ejemplo 2: Área y perímetro del triángelo escaleno
Dado un rectángulo con los lados b y h. Se desea conocer el área y perímetro 
de dicho rectángulo. Sabiendo que:
Dados los dados a,b y c de un triángulo ecaleno. Se desea conocer el área 
y perímetro de dicho triángulo. Sabiendo que el lado c es el lado mayor y 
h la altura del triángulo.
Solución: Para determinar el área y el perímetro utilizaremos las ecuaciones 
respectivas.
Solución: Para determinar el área y el perímetro utilizaremos las ecuaciones 
respectivas.
b : = 25 h : =15
Área b h: = ⋅ =375
Perímetro b h= ⋅ + ⋅ =2 2 80
a : =100 c : =35 b : =117 h : = 28
s
a b c
: =
+ +
=
2
126
Área
b h
: =
⋅
=
2
1638
Área s s a s b s c: ( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ − =2 1638
Perímetro a b c: = + + =252
44 Topografía aplicada
Ejemplo