04-DESCARGAR-MONOMIOS-VALOR-NUMÉRICO-Y-GRADOS

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1 
AÑO 
(x) 
Monomios, Valor numérico, 
Grados 
 
 
 
Antes de empezar este tema, recordemos algo de 
Geometría, específicamente lo referido a las ÁREAS. 
Ejemplos: 
 
 
3 
• x7y5 
2 
 
7 
• a12b2c3xy 
4 
• 2x3y3 + z5  no es un término algebraico 
 
Términos semejantes.- Dos o más términos son 
semejantes si tienen las mismas variables y exponentes 
respectivos iguales. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
Como ya es sabido, para poder determinar el área de 
un rectángulo, bastará multiplicar el ANCHO por el LARGO. 
 
7x2y ; - 3 x2y ; 
 
6 
1 
x2y  son términos semejantes 
5 
2 2 2
 
Así por ejemplo, si tenemos: 
 
• Un rectángulo cuyo ancho mide 5 m y de largo 8 m, 
ax ; abcx ; 
5 
abx  son términos semejantes 
 
¿Por qué? 
tendrá por área: 5 × 8 = 40 m2 
• Un rectángulo cuyo ancho es 7,2 cm y su largo 6,1 m, 
tendrá por área: 7,2 × 6,1 = 43,92 cm2 
 
En general, podemos escribir con respecto al rectángulo 
lo siguiente: 
Reducción de términos semejantes 
 
Dos o más términos semejantes se pueden reducir a 
uno solo, operamos los coeficientes y escribimos la misma 
parte literal. 
 
Ejemplos: 
ÁREA = (ANCHO) × (LARGO) 
 
o de manera simplificada: 
 
A = a × l 
 
Reducir: 
 
A = 7x2 - 5x2 + 8x2 = (7 - 5 + 8)x2 = 10x2 
 
1 1  1 1  5
 
B = abc4 + abc4 =  
2 
 
3 
 abc4 = abc4 
 
donde: A = Área 
a = Ancho 
l = largo 
 
Observa entonces que el área “A” depende de dos variables: 
ancho (a) y largo (l). Entonces escribimos: 
 
A(a; l ) = a × l 
ojo: variables 
 
Esto es justamente un monomio: una expresión que 
depende de una o más variables. 
2 3   6 
 
Algunos errores que cometen los estudiantes 
 
• 3x2 + 2 = (3 + 2)x2 = 5x2 
• 6x2 - 4 = (6 - 4)x2 = 2x2 
• 3x2y - 3 = (3 - 3)x2y = 0 
 
Monomio.- Es un término algebraico, cuyos exponentes 
de sus variables son números naturales. 
 
Ejemplos: Las siguientes expresiones son monomios. 
 
OJO: Las variables 
Parte teórica 
P = 5x
3
 de todo monomio 
están escritas 
4 9 dentro de estos
 
Término algebraico.- Es una expresión algebraica que 
carece de las operaciones de suma y resta. 
M(x;y) = - 7 x .y 
2 
 
paréntesis. 
 
4 9 
Partes de un monomio.- Todo monomio posee las 
siguientes partes: 
 
Problemas resueltos 
 
 
M(x;y) = 
- 7 x . y 
 
Exponentes 
 
1. Si los términos: 6xyb-3; 2xy10, son semejantes, hallar “b”. 
 
 
Coeficiente 
2 Variables Resolución: 
Si son semejantes 6xyb-3; 2xy10, implica que los 
exponentes de sus variables son iguales. 
 
Valor numérico.- Consiste en reemplazar las variables 
de un monomio por números determinados. Así, se 
obtendrá un resultado, denominado VALOR NUMÉRICO. 
 
Ejemplo: 
Si: P
(x) 
= 5x + 3, hallar “P
(4)
” 
 
Luego: b - 3 = 10  b = 13 
 
 
2. Dado el monomio: M
(x;y) 
= 2x2 . y3; calcular “M
(2; - 2)
”. 
 
Resolución: 
Reemplazando: x = 2 ; y = - 2 
Solución: 
Reemplazamos: x = 4 
M
(2; -2) = 2(2)
2 (-2)3 
 
Efectuando las operaciones: 
P
(4) 
= 5(4) + 3 
= 20 + 3 
Luego P(4) = 23 
M
(2; -2) = (2)(4)(-8) = -64 
 
G ra dos .- Pa ra u n mo no mi o cu al qu ie ra p ue de n 
3. Indicar el valor que puede tomar el coeficiente de M
(x;y) 
en: 
determinarse dos tipos de grados: 
M(x;y) = mn
mn xm + n ym - n 
a. Grado absoluto (G.A.): Se suman los exponentes de 
las variables del monomio. 
 
si se sabe que: G.R.
(x)
 
 
Resolución: 
 
= 7 y G.R.
(y) 
= 5 
Ejemplos: 
De los datos del problema: 
Si tenemos los monomios: 
G.R.(x) = 7  m + n = 7 ....... 1 
P
(x;y) 
= 5x3y5; M
(a;b;c) 
= a4b3c2
 
 
entonces sus grados absolutos serán: 
 
 
G.A.(P(x;y) ) = 3 + 5 = 8; G.A.(M(a;b;c) ) = 4 + 3 + 2 = 9 
 
b. Grado relativo (G.R.): Es el exponente de la variable 
indicada. Ejemplos: 
 
Si tenemos los polinomios: 
G.R.
(y) 
= 5  m - n = 5 ....... 2 
sumando las ecuaciones 1 y 2 
m + n + m - n = 7 + 5 
2m = 12 
 
m = 6 y n = 1 
 
Piden: mnmn = 6 . 16.1 = 6 . 16 = 6(1) = 6 
 
 
4. Hallar el grado del siguiente monomio: 
 
 
P
(x;y) 
= 5x3y5; entonces 
 
 
G.R.(x) = 3 
G.R.(y) = 5 
 
 
 
Resolución: 
 
M(x, y, z) = 2 
 
2 (x2y3)5z2 
Realizando operaciones en el monomio: 
 
G.R.(a) = 4 
 
2 2 (x2)5(y3)5z2 
M(a;b;c) = a
4b3c2; entonces G.R.(b) = 3 
G.R.(c) = 2 
 
 
 
Finalmente: 
2 2 x10 . y15 . z2 
Grado = Grado Absoluto = 10 + 15 + 2 = 27 
 
 
5. Hallar “m”, si la expresión es de octavo grado. 
 
5 
P(x, y, z) = xm + 2 . y1 - n . zn + 2 
4 
 
3 
 
 
Resolución: 
Dato del problema: GRADO = 8 
m + 2 + 1 - n + n + 2 = 8 
 
7. Si: M
(x; y)
 
 
 
1 
 
= 2x3y2, hallar “ 
 
M 1 ” 
(2; ) 
4 
Resolviendo: m + 5 = 8  m = 3 
 
 
Problemas para la clase 
a) b) 1 c) 8 
2 
 
1 1 
d) 
4 
e) 
8 
 
Bloque I 
 
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un monomio? 
 
3 
8. Dado el monomio: P
(a; b) 
= - 
5 
de la expresión: 
 
 
a2b; determinar el valor 
I. M(x; y) = 5x2y7 
II. P(a; b) = 3a4b- 5 
III. Q(x; y) = x3y½ 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) II y III 
d) I y II e) Sólo III 
 
2. Indicar las partes del siguiente monomio: 
 
 
M = 
3 
x 
4 
. y 
6 
J = P
(1; 0) 
- P
(5; 1) 
 
 
2 
a) 15 b) - 15 c) 
3 
d) 0 e) 1 
 
9. Hallar el grado absoluto de los siguientes monomios: 
 
 
a) M
(x) 
= 7x2 G.A.: 
(x; y) 2 2 
b) P
(x; y) 
= - x5y3 
 
G.A.: 
 
3 
2 3
 
3. Dado el monomio: P
(a; b) 
= 3a5b7 
¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa? 
c) Q
(x; y; z) 
= 
2 
xy z
 
G.A.: 
 
I. 3 es el coeficiente del monomio. 
II. “a” es la única variable. 
III. 5 y 7 son los exponentes. 
 
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 
 
d) J
(x; y) 
= - 8x2y4z5 G.A.: 
 
10.Dados los siguientes monomios, determinar el valor 
pedido: 
 
2 
 4 d) I y II e) II y III a) M(x) = 3 
x
 
 G.R.
(x) 
= 
 
4. Dados los siguientes monomios: 
M
(x; y) 
= 5x3y4 
 
b) P
(x; y) 
= 2x4y7 G.R.
(y) 
= 
3 2 4 N(a; b) = - 3a
4b c) M(x; y) = - 5x (y ) G.R.(x) = ; G.R.(y) = 
7 
10
 
P
(x) 
= 
2 
x
 
 
marca la respuesta incorrecta: 
 
a) 5 es un coeficiente b) 10 es un exponente 
c) “x” es una variable d) 3 es un coeficiente 
7 
e) es un coeficiente 
2 
 
5. Si tenemos: f
(x) 
= 2x3, calcular los siguientes valores 
numéricos: 
 
a) f(1) = b) f(0) = 
d) Q(x; y) = 35x
3 G.R.(x) = ; G.R.(y) = 
 
Bloque II 
 
1. En el siguiente monomio: 
P
(x; y) 
= (3a - 5)xa + 7y2a - 4 
 
se cumple que: G.A. = 15. Indicar su coeficiente. 
 
a) 7 b) 4 c) 5 
d) 3 e) 11 
 
2. Hallar el coeficiente del monomio: 
c) f(3) = d) f(- 2) = M(x; y) = (a + b)x
2a + 1
 . y
3b - 5
 
 
6. Calcular el V.N. de: P
(x) 
= - 5 . x756, para: x = 1. sabiendo que: G.R.(x) = 7 ; G.R.(y) = 13 
 
a) 1 b) - 1 c) 756 a) 3 b) 6 c) 9 
d) 5 e) - 5 d) 7 e) 4 
 
a) 5 b) 18 c) 14 
d) 36 e) - 5 
 
a) 6 b) 9 c) 13 
d) 5 e) 4 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
a) - 1 b) 0 c) 1 
d) 2 e) 3 
 
a) 24 b) 8 c) 6 
d) 30 e) 12 
 
a) 1 b) 2 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
3. Para el siguiente monomio: 
Q(x; y) = - 5x
7a + 1 . y3a + 5 
1 1 
a) b) - 
2 2 
 
3 
3 
c) 
8 
 
se sabe que: G.R.
(x) 
= 22 ; determinar el valor del G.A. 
d) - 
8 
 
Bloque III 
e) 0 
 
1. Si en el siguiente monomio: 
4. Si los monomios: 
 
P(a; b) 
 
= 5a2n + 1bn - 5 
 
M
(x; y) 
= 4xa + 5 . y7 ; N
(x; y) 
= - 
1 
x2ay4 
2 
se sabe que: G.A. = 14, calcular: G.R.
(a)
 
poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de “a”. 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
 
5. Dados los monomios: 
 
2. Para el siguiente monomio: 
7 
Q
(x; y) 
= xn - 1y3n + 2 
9 
2 9 se cumple que: G.A. = 21. Calcular: G.R.(y) 
 a + 3 3b + 5 
 
2b + 11
 
2 + a
 
A(x; y) = 5 
x y ; B(x; y) = 7 
x . y 
 
se sabe que ambos poseen el mismo G.A., determinar 
el valor de “b”. 
a) 15 b) 17 c) 20 
d) 22 e) 32 
 
3. Calcular el valor numérico de: 
1 1 
E = a2 + 2ab + b2 ; para: a = ; b = - 
6. Dado el monomio: P
(x; y) 
= 3x2y, determinar el valor de: 
E = P
(1; 0) 
+ P
(1; 1) 
2 2a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
4. Sean “t
1
” y “t
2
” dos términos semejantes, ¿qué valor 
debe tener “m”? 
5 7 
 7 + m 10
 
7. Si: M
(x; y) 
= 6x2y6; determinar el valor de: 
E = M
(1; 1) 
+ M
(2; 1) 
t1 = 3 
a ; t2 = 2 
a
 
 
 
 
5. Calcular el grado del siguiente monomio: 
2 
x 2 
8. Si: P(x) = 2 
 
; calcular: P(P(P(2) ) )
 
M(x, y) = xm + 6 
5 
. y10 - m 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 10 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) 19 
 
6. Calcular el valor de “m”, si la siguiente expresión es de 
sexto grado: 
9. Sabiendo que: Q
(x) 
= 
x  1 
; calcular: Q 
x  1 (Q(Q(3) ) ) 
P
(x, y, z) 
= 7 2 x
m + 1 . y1 - p . zp + 2 
 
a) 3 b) 2 c) 1 
d) 4 e) 5 
 
10.Si tenemos: M
(x; y) 
= 2x2 . y3, calcular: 
 
 
 
7. Hallar el grado del siguiente monomio: 
2 
M(1;1)  M(2;1) 
E = 
M(1;2) 
M(x, y, z) = [x2y3]4 . z2 
3 
a) 11 b) 25 c) 22 
d) 27 e) 32 
 
a) 7 b) 2 c) 4 a) 2x3 b) 
d) 6 e) 8 d) x2 e) 
 
 
 
a) 10 
 
 
b) 6 
 
 
c) 9 
d) 8 e) 7 
 
a) 10 b) 7 c) 5 
d) 2 e) 8 
 
8. Qué valor debe tomar el coeficiente de M
(x; y) 
” en: 
M(x; y) = mn
mnxm + n . ym - n 
10.En la siguiente expresión se tienen tres términos 
semejantes: 
si se sabe que: G.R.(x) = 8 y G.R.(y) = 6 m, n  lN 
5xa + b + 3x3 - 7xb + 1 
al reducir a uno solo se obtiene: 
 
 
 
 
 
9. Hallar la suma de los siguientes términos semejantes: 
(c + 5)x4c - 3 ; (2c)xc + 9 
 
a) x13 b) 7x11 c) 7x13 
d) 17x13 e) 13x17 
x3 c) - x3 
xb 
 
11.Si: F
(x + 2) 
= x + F
(x) 
y F
(3) 
= 1; hallar: F
(5) 
+ F
(1)
. 
a) 0 b) 1 c) - 4 
d) 4 e) 2 
 
12.Si: F
(2x - 5) 
= 3x2 ; hallar el valor de: F
(13)
. 
 
a) 81 b) 243 c) - 81 
d) - 243 e) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoevaluación 
 
 
1. Indicar las partes del siguiente monomio y dar como
 7 
3. En el monomio: P
(x; y) 
= 
9 
x y 
 
, se tiene que:
 
respuesta la suma del coeficiente y los exponentes. 
 
5 2
 
G.A. = 11. Hallar: G.R.
(x)
 
a + 2 2a + 3 
P(x; y) = 2 x . y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 5 2 
 
a) 2 b) 4 c) 7 
d) 9 e) 11 
 
4. Si: P
(x) 
= 4x2; calcular el valor de: P
(3)
. 
a) 12 b) 144 c) 36 
d) 28 e) 44 
2. Dado el siguiente monomio: M
(x; y) 
= 
3 
x y , calcular:
 
G.A. + G.R.
(x) 
- G.R.
(y)
. 
5. Si: J (x; y) = 3x
2y3, hallar: J (0; 0) + J(1; 1). 
a) 6 b) 3 c) 0 
d) 1 e) 5 
 
NOTAS CURIOSAS 
 
A continuación, y también en el próximo capítulo, podrás encontrar algunos efectos ópticos o 
también llamadas “ILUSIONES”, cuyos orígenes se deben individualmente a las particularidades 
anatómicas y fisiológicas del ojo. Estas ilusiones son debido a efectos como el “punto ciego”, la 
“irradiación”, el “astigmatismo”, “el cansancio de la retina”, etc. 
 
ILUSIÓN ÓTICA 1: IRRADIACIÓN 
 
 
Observa a una distancia de 30 cm la figura izquierda y verás 
qué lados del cuadrado parece que tienen un rebajo en el 
centro como el de la figura derecha. 
 
 
 
 
 
ILUSIÓN ÓPTICA 2: PUNTO CIEGO 
 
 
 
 
 
 
 
Esta ilusión es conocida como “el experimento de Mariotté”. Cierra el ojo derecho y mira 
fijamente (sin parpadear) con el izquierdo la crucesita superior a una distancia de 20 a 25 cm, 
durante 30 segundos. Notarás que el gran círculo blanco que hay en medio desaparece por 
completo. 
 
ILUSIÓN ÓPTICA 3: ASTIGMATISMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mira estas letras con un ojo, ¿son todas iguales de negras? Por lo general una de ellas parece 
más negra que las demás. Pero si giras la figura 45° ó 90°, otra letra parecerá más negra que las 
demás. 
 
ILUSIÓN ÓPTICA 4: CANSANCIO DE RETINA 
 
 
Ahora, concentra la vista en el cuadradito blanco que está arriba; al cabo de medio minuto 
aproximadamente, notarás que desaparece la franja blanca que hay debajo.