SOLUCIONARIO TP CONJUNTOS NUMERICOS

Vista previa del material en texto

1 
 
 
MÓDULO DE MATEMÁTICA – INGRESO 2023 
TRABAJO PRÁCTICO UNIDAD N° 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTENCIACIÓN, 
RADICACIÓN Y LOGARITMOS – SOLUCIONARIO 
 
1.- Utilice el siguiente diagrama para: 
a) Indicar los conjuntos numéricos ya estudiados. 
b) Ejemplificar con al menos un valor para cada conjunto. 
c) Escribir al menos una operación que no pueda realizar en cada conjunto. 
 
SOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operaciones no posibles de hacer en: 
 
R: √−1 Q: √3 Irr: 
6
4
 Z: 
14
4
 N: 3 - 8 
 
 
2.- Descomponer como producto de factores primos los siguientes números: 
a) 360 = 
b) 210 = 
c) 462 = 
d) 486 = 
 
 
 
 
 
N (ej.: 4) 
Z (ej.: -17) 
Q (ej.: 5/3) Irr (ej.: √2) 
R (ej.: -3,18) 
 
2 
 
 
3.- Obtener el: 
a) mcm (20, 100, 150) = 
b) mcm (75, 120, 160) = 
c) mcm (130,140, 200) = 
d) mcm (15, 78, 100, 135) = 
e) mcd (20, 100, 150) = 
f) mcd (75, 120, 160) = 
g) mcd (130,140, 200) = 
h) mcd (15, 78, 100, 135) = 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
4.- Graficar en la recta numérica los siguientes números racionales: 1, 5̅ ; 
1
3
 ; 
17
9
 ; 
−5
3
 ; 
−12
9
 
 
 
5.- Calcular qué fracción de la unidad representan: 
a) La mitad de la mitad. 
b) Un cuarto de la tercera parte. 
 
4 
 
 
c) El producto del cuadrado de la mitad por la mitad elevada a la octava por dos cuartas partes al 
cubo. 
d) El cociente del cubo de tres cuartos y tres cuartos al cuadrado más cuatro quintos al cubo. 
 
6.- Encontrar el valor simplificado de F: 
𝐹 =
32𝑥 + 34𝑥 + 36𝑥
3−6𝑥 + 3−4𝑥 + 3−2𝑥
 
 
𝐹 = 38𝑥 
 
 
7.- Resolver los siguientes ejercicios: 
a) Si 2𝑎 = 3𝑏, calcule el valor de: 
𝐴 =
2𝑎+2 + 2𝑎+3 + 21+𝑎
3𝑏+1 + 3𝑏−2
=
9
2
 
 
b) Sabiendo que 3𝑎−1 = 5, indicar el valor de: 
𝐵 =
3𝑎+𝑏 + 3𝑎+𝑐
3𝑏+2 + 3𝑐+2
=
5
3
 
 
8.- Indicar si las afirmaciones son Verdaderas(V) o Falsas (F). 
a) [𝑎(−𝑏)]2 = 𝑎2𝑏2 V 
b) (𝑎: 𝑏)3 = 𝑎
3
𝑏3
 
V 
c) [
𝑎3−
𝑏3
8
125
]
0
− 10 = 0 
V 
 
5 
 
d) (𝑎−1)−1 = 𝑎 V 
f) (𝑥𝑚)4. (
1
𝑥2
)
12−𝑚
= 𝑥5𝑚+24 
F 
g) (4𝑎 + 𝑎𝑏)2 = 16(𝑎 + 𝑏)2 F 
h) (−3)−2 (−
1
3
)
𝑝
[(−3)−1]3 = (−3)14, 𝑠𝑖 𝑝 = −5 
F 
i) Para todo número natural n, no siempre existe un consecutivo (n+1). F 
j) Cualquier número es múltiplo de 1. V 
k) El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento que es el 0. F 
l) Para todo número natural n, SIEMPRE existe un antecesor (n-1). F 
 
9.- Aplicar las propiedades de logaritmos. 
 
a) 3 log𝑏 𝑞 −
1
5
log𝑏𝑚 +
3
2
log𝑏 𝑡 − log𝑏(𝑥 + 2) 
log𝑏 [
𝑞3𝑡
3
2 
𝑚
1
5(𝑥 + 2)
] 
b) 4 ln 𝑎 +
ln 𝑦 
2
− 3 ln 𝑧 
ln(
𝑎4𝑦
1
2
𝑧3
) 
c) log𝑏 5 + 4 log𝑏 𝑎 − log𝑏𝑚 +
log𝑏 𝑡
𝑐
−
3 log𝑏 𝑝
2
+ log𝑏 3 − 3 log𝑏 𝑑 + 4 log𝑏 𝑦 
log𝑏 (
15𝑎4𝑡1/𝑐𝑦4
𝑚𝑝
3
2𝑑3
) 
10.- Resolver: 
a) Si en una ciudad de 2 millones de habitantes, la población económicamente activa (población 
que puede trabajar, trabaja o busca empleo) asciende a la mitad y de esta, tres quintos trabajan 
en relación de dependencia (empleados) y el resto son autónomos (independientes). 
 ¿Cuántos habitantes trabajan en relación de dependencia y cuántos son autónomos? 
 ¿Qué fracción representan los empleados del total de habitantes de la ciudad? 
 
6 
 
 
 
 
 
 
b) Si en una comunidad dos quintos de los ingresos se emplean en combustible, un octavo en 
electricidad, un doceavo en servicios municipales, un cuarto en mantenimiento de espacios 
públicos y el resto en limpieza: 
 ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? 
 De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas de menor a mayor. 
 
 
c) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, tres onceavos de los votos fueron para el 
partido A, tres décimos para el partido B, cinco catorceavos para el C y el resto para el partido D. 
El total de votos ha sido de 30.800. 
 ¿Cuál es el número de votos obtenidos por cada partido? 
 ¿Cuál es el número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa cinco 
octavos del censo electoral? 
 
7 
 
 
 
 
 
d) Si dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorrido los cinco 
onceavos del trayecto mientras que B los seis treceavos del mismo. 
 ¿Cuál de los dos va primero? 
 ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno de los vehículos? 
𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝐴 =
5
11
 . 572 = 260 
𝐴𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝐵 =
6
13
. 572 = 264 
El automóvil B va primero. El A lleva recorridos 260 km mientras que B lleva 264 km. 
 
e) Un obrero ha realizado una construcción en cuatro meses. En el primer mes le ha dedicado una tercera 
parte del total de horas, en el segundo mes, trabajó cien horas y en el tercer mes realizo la quinta parte de 
horas que hizo en el segundo. Si el total de horas es de doscientas cuarenta ¿Qué parte ha trabajado en el 
último mes? 
1
3
 . 240 + 100 + 
1
5
 . 100 + 𝑥 = 240 
80 + 100 + 20 + 𝑥 = 240 
 200 + 𝑥 = 240 
 𝑥 = 240 − 200 
𝑥 = 40 
40
240
=
𝟏
𝟔
 El obrero ha trabajado la sexta parte en el último mes. 
 
8 
 
f) Un colectivo que sale de Mendoza a San Luis, ha realizado 
5
6
 del recorrido, de los cuales 168 kilómetros 
han sido por la mañana. Si hizo la quinta parte de dicho recorrido por la tarde ¿Cuántos kilómetros le 
quedan por hacer? 
5
6
𝑥 + 
1
6
𝑥 = 𝑥 
(168 + (
1
5
 .
5
6
) 𝑥) +
1
6
𝑥 = 𝑥 
168 + 
1
6
𝑥 + 
1
6
𝑥 = 𝑥 
1
6
𝑥 +
1
6
𝑥 − 𝑥 = −168 
−
2
3
𝑥 = −168 
𝑥 = −168 ∶ −
2
3
 
𝑥 = 252 
1
6
 . 252 = 𝟒𝟐 𝒌𝒊𝒍𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔. 
Al colectivo le quedan por hacer 42 kilómetros. 
 
 
g) Jorge es gerente de producción de una empresa de regalos. Para las fiestas de fin de año, la 
empresa recibió el siguiente pedido: 
“Les proveemos 1155 cajas de chocolate, 462 botellas de vino y 693 panes dulces. Requerimos 
que usen solo estos productos para armar la mayor cantidad posible de canastas de regalo. 
Las canastas deben ser iguales. Cada canasta debe contener el mismo número de cajas de 
chocolate, el mismo número de botellas de vino y el mismo número de panes dulces.” 
Los empleados de la planta no saben cómo proceder con este pedido y le pidieron ayuda a Jorge. 
Jorge debe decirles a sus empleados las siguientes respuestas para que puedan empezar a armar 
las canastas según lo pedido. 
g.1) El máximo número de canastas. 
g.2) El número de cajas de chocolate en cada canasta. 
g.3) El número de botellas de vino en cada canasta. 
g.4) El número de panes dulces en cada canasta. 
 
231 es el máximo número de canastas posibles. Notemos que 231 es el máximo común divisor, 
es decir cualquier número mayor que 231 no es divisor de 1155, 462 y 693 al mismo tiempo. Por 
lo que no es posible armar tal número de canastas y tener el mismo número de producto en cada 
canasta. 
 
 
 
9 
 
 
Con la información de la descomposición en números primos, obtenemos que en cada canasta 
debe haber 5 cajas de chocolate, 2 botellas de vino y 3 panes dulces. 
1155 cajas de chocolate dividido por 231 canastas = 5 cajas de chocolate por canasta 
462 botellas de vino dividido por 231 canastas = 2 botellas de vino por canasta 
693 panes dulces dividido por 231 canastas = 3 panes dulces por canasta 
 
h) Se desean repartir 180 alfajores, 240 chupetines y 360 caramelos entre cierto número de niños, 
de tal manera que, cada uno reciba una cantidad exacta de alfajores, chupetines y caramelos. 
¿Cuál es el mayor número de niños que cumplen con lo pedido? 
Es un problema donde tenemos que buscar el máximo común divisor. 
El mayor número de niños que pueden recibir la misma cantidad de golosinas son 60. 
 
i) En diciembre de 2021 una empresa pide un préstamo a un banco por un monto equivalente a la cuarta 
parte de lo que ganará en 2 años. 
Si la empresa proyecta una ganancia mensual media de $500.000, y destinará una veinteava parte de sus 
ganancias mensuales a ir pagando la deuda:i.1) Considerando que se toman en cuenta tanto el mes en el que se sacó el préstamo como el mes 
en el que se paga, ¿cuánto deberá la empresa en enero de 2023 bajo estas condiciones? 
i.2) ¿De cuánto es el valor absoluto de la deuda para esa fecha? 
i.3) Desde la perspectiva de la empresa escriba el valor numérico de la deuda considerando el signo. 
i.4) Desde la perspectiva del banco escriba el valor numérico de la deuda considerando el signo. 
i.5) Qué fracción de la ganancia mensual debería haber pagado la empresa para quedar sin deuda 
pagando la última cuota en junio de 2023. 
 
Ganancia en 2 años: $500000/mes * 24 meses = $12000000 
Deuda inicial: $12000000/4 = $3000000 
Pago mensual: $500000/20 = $25000 
Pago total a enero de 2023: $25000/mes *13 meses =$325000 
Deuda a enero de 2023: $3000000 - $325000 = $2675000 
 
Deuda en valor absoluto $2675000 
 
Deuda desde la perspectiva de la empresa $-2675000 
Deuda desde la perspectiva del banco $2675000 
 
$3000000-X*18 = 0 => X = $3000000/18 = $166667 
$166667/$500000 = 1/3 de la ganancia mensual es lo que debería destinar la empresa a pagar la 
deuda para cancelarla totalmente en junio de 2023. 
 
 
10 
 
 
j) Una empresa internacional de dispositivos tecnológicos posee sucursales en Francia, Brasil y 
México. Cuando el sistema operativo de una de las sucursales se reinicia, todas sus 
computadoras dejan de funcionar durante un tiempo y sus tareas deben llevarse a cabo por las 
otras dos sucursales. 
Para evitar males mayores, los ingenieros de la empresa establecen que los sistemas deben 
reiniciarse cada cierto tiempo según indica la siguiente tabla: 
 Tiempo (días) 
Francia 56 
Brasil 48 
México 50 
 
Calcular cuántas veces los tres sistemas se reinician en el mismo día durante un período de 25 
años. 
 
El reinicio de computadoras coincide cada 8400 días. Si consideramos que un año tiene 365 (sin 
contar años bisiestos), en un periodo de 25 años hay 9125 días, por lo tanto, el reinicio simultaneo 
coincide una sola vez en 25 años. 
Los ingenieros coinciden que solo haya un día en 25 años en el que la empresa no disponga de 
computadoras. 
 
11.- Resolver los siguientes ejercicios, en aquellos casos que corresponda, racionalizar hasta 
llegar a la mínima expresión: 
a) (
3
4
)
2
+ [1, 1̂ − 0, 6̂]
−1
+ √(−
1
8
)
−13
∙ (−2)−4 = 
 
 
 
11 
 
 
b) [(1, 5̂ − 0, 2̂ ):(1 − 1/3)] + 0, 3̂ ∙ 0,9 − (0,2: 0, 1̂ ) = 
 
 
 
c) [(1, 6̂ − 1, 2̂): (1 −
1
3
)] + 0, 1̂ ∙ 0,9 − (0,5: 0, 3̂) = 
 
 
 
d) (
4
36
)
−2
+ √−8
3
+ (
1
3
)
2
∙ (
1
3
)
−5
+ √√43
3
= 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
e) (𝟒)−𝟏 + (
√𝟑
𝟐
)
𝟐
− √(
𝟏
𝟖
)
−𝟏𝟑
+ (𝟎, �̂�)
−𝟏
 
 
 
 
f) √16 ∙ log5 125 +
2
18
∙ log1/4 16 + 3 ∙ log√3 3 = 
 
 
g) 
√0,592̅̅ ̅̅ ̅:3
4
−1
(0,6̅+1)3∙√0,36
+
2
0,5
= 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
h) (√(
15
4
 − 
1
5
1
20
∶ 
71
3
) . 100 + 43
3
) − 4 = 
= 𝟑 
i) 
(
7
5
 − 
3
5
 − 
1
2
) . (1 − 
5
6
)
−2
√(−3) . (−
1
3
)
−23
 . 
2
3
 . 6
= 
= −
𝟗
𝟏𝟎
 
 
 
j) Grafique el intervalo que resulta de la intersección entre un intervalo cerrado cuyos extremos 
son los resultados obtenidos en los incisos anteriores y el intervalo (−
3
2
;
7
5
]. 
 
k) 
8
√2
= 
8 × √2
√2 × √2
=
8 × √2
√2 × 2
=
8 × √2
√4
=
8 × √2
2
= 4 × √2 
 
 
l) 
𝑎+𝑏
√(𝑎−𝑏)2
3 = 
(Hay una diferencia con la guía, recomendación: realizar los dos ejercicios) 
 
(𝑎 + 𝑏) × √(𝑎 − 𝑏)
3
√(𝑎 − 𝑏)2
3
× √(𝑎 − 𝑏)
3
= 
 
(𝑎 + 𝑏) × √(𝑎 − 𝑏)
3
√(𝑎 − 𝑏)2 × (𝑎 − 𝑏)
3
=
(𝑎 + 𝑏) × √(𝑎 − 𝑏)
3
√(𝑎 − 𝑏)3
3
=
(𝑎 + 𝑏) × √(𝑎 − 𝑏)
3
(𝑎 − 𝑏)
 
 
 
 
14 
 
 
ll) log
√2
4 √8
4
= 
log
( √2
4
)
4(√8
4
)
4
= log2 8 = 3 
 
m) log
16
(log8 2√2) = 
= log24 2
−1 = −
1
4
 
n) log10 2√2√2√2 = 
=
15
8
log10 2 
 
ñ) 
𝑎∙𝑏∙ √𝑐2
5
√𝑎2∙𝑏7∙𝑐12
5 = 
 
= 
1
𝑐2
 . √
𝑎3
𝑏2
5
 
 
 
o) 
(
 
 
[(
3
9
−
4
3
)
(log1−log0,1)
] + 1,234̂ ÷
ln 𝑒(
𝑒
𝑒
+0,2) ∙ (2 ∙ 5)2 ∙ log2 32 + √121
(
1
3)
−
8
4
∙ log2 32 ∙ √121
− (
1
3
∙ 𝜋−6/5)
0
)
 
 
2
= 
 
(
 
 
[(
3
9
−
4
3
)
(log1−log0,1)
] + 1,234̂ ÷
ln 𝑒(
𝑒
𝑒
+0,2) ∙ (2 ∙ 5)2 ∙ log2 32 + √121
(
1
3)
−
8
4
∙ log2 32 ∙ √121
− (
1
3
∙ 𝜋−6/5)
0
)
 
 
2
= 
1°) Separar en términos. 
2°) Identificar que no importa el valor dentro del paréntesis del tercer término, al estar elevado a 
la cero vale 1. 
 
 
 
15 
 
 
(
 
 
[(
3
9
−
4
3
)
(log 1−log 0,1)
] + 1,234̂ ÷
ln 𝑒(
𝑒
𝑒
+0,2) ∙ (2 ∙ 5)2 ∙ log2 32 + √121
(
1
3)
−
8
4
∙ log2 32 ∙ √121
− 1
)
 
 
2
= 
 
3°) Trabajar con el primer término por ser más simple, siempre resolviendo desde adentro hacia 
afuera. Calcular logaritmos log 1 = 0 y log 0,1 = -1, de esta forma el exponente queda 0-(-1)=1 
 
4°) Por lo tanto resta solo hacer la resta de fracciones, siendo el 9 el mcm, entonces 
3−12
9
= −1 
(
 
 
[(−1)(1)] + 1,234̂ ÷
ln 𝑒(
𝑒
𝑒
+0,2) ∙ (2 ∙ 5)2 ∙ log2 32 + √121
(
1
3)
−
8
4
∙ log2 32 ∙ √121
− 1
)
 
 
2
= 
 
 
5°) Pasar a fracción el número decimal como: 1,234̂ =
1234−12
990
=
1222
990
=
611
495
 
 
6°) Separar en términos el numerador y operar sobre el denominador por ser más sencillo. Eliminar el 
exponente negativo dando vuelta la fracción. Simplificar el exponente quedando: 
 (
1
3
)
−
8
4
= 3
8
4 = 32 = 9; calcular log2 32 = 5⇔ 2
5 = 32; calcular √121 =
11 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 112 = 121 
([(−1)(1)] +
611
495
÷
ln 𝑒(
𝑒
𝑒
+0,2) ∙ (2 ∙ 5)2 ∙ log2 32 + √121
9 ∙ 5 ∙ 11
− 1)
2
= 
 
 
7°) Operar sobre el primer término del denominador 
𝑒
𝑒
= 1, por lo tanto, el exponente queda 1+0,2 = 1,2, 
que por propiedades de los logaritmos baja multiplicando y siendo el argumento igual a la base nos queda: 
1,2 ∙ ln e = 1,2 =
12
10
=
6
5
. 
 
 
 
16 
 
 
 
8°) Resolver (2 ∙ 5)2 = 22 ∙ 52 = 4 ∙ 25 = 100 y log2 32 = 5⇔ 2
5 = 32, mientras que en el segundo 
término del numerador debemos calcular √121 = 11 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 112 = 121. 
 
9°) Identificar que el segundo término queda 
611
495
÷
611
495
 = 1, operar la suma y la resta y elevar al 
cuadrado. 
 
([−1] +
611
495
÷
6
5
∙ 100 ∙ 5 + 11
9 ∙ 5 ∙ 11
− 1)
2
= (−1 +
611
495
÷
611
495
− 1)
2
= (−1 + 1 − 1)2 = 1 
 
 
12.- Responder Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: 
 
a) La racionalización de 
2
3√2
 es igual a 
√2
3
 V 
b) El precio de una rueda de auto es $8.000. Si por comprar en efectivo se obtiene un descuento 
del 5%, el valor final es de $7.600 
V 
c) {𝒙|𝒙 ∈ ℝ ∧ 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟗 } representa el conjunto solución del intervalo [𝟑; 𝟗] F 
d) La racionalización de 
√3
√3+2
 es igual a 1. F 
e) Producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los 
exponentes. 
V 
f) Cociente de potencias de distinta base elevados al mismo exponente es igual al cociente de las 
bases elevadas a la resta de los exponentes. 
F 
g) Potencia de potencia se coloca la misma base y se suman los exponentes. F 
h) El resultado de un logaritmo debe ser un número natural. F 
i) La base de un logaritmo nunca puede ser un número negativo. V 
j) Cuando en el argumento de un logaritmo hay un cociente o fracción se puede expresar como una 
suma de logaritmos del numerador y el denominador. 
F 
k) Cuando en el argumento de un logaritmo hay un producto se puede expresar como una suma 
del logaritmo aplicado a cada uno de los factores. 
V 
l) Para calcular un logaritmo siempre se debe respetar la base indicada, no es posible hacer 
cambio de bases para obtener los resultados. 
F 
ll) √4√2
3
= 2 
F 
 
17 
 
m) Un inversor sabe que capitalizando un negocio se puede duplicar la inversión en cada año. Si 
invierte $1 entonces al cabo de 11 años obtendrá $2.048. 
1𝑒𝑟 𝑎ñ𝑜 = 2 . 1 = 21 
2𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜 = 2 . (21) = 22 
3𝑒𝑟 𝑎ñ𝑜 = 2 . (22) = 23 
… 
11𝑎𝑣𝑜 𝑎ñ𝑜 = 2 . (210) = 211 = $𝟐. 𝟎𝟒𝟖 
V 
n) Una profesora empezó a dar clases particulares de teatro por las cuales cobro $22.500. Si la 
cantidad de horas que enseñacoincide con el precio de cada hora entonces dicto clases por más 
de 284 horas. 
𝑥 . 𝑥 = 22.500 
𝑥2 = 22.500 
𝑥 = √22.500 
𝑥 = 𝟏𝟓𝟎 horas 
F 
ñ) Al truncar a la centésima el resultado de 
2√2 + 3√6
2 + 3√3
 se obtiene 1,41. 
√2 = 𝟏, 𝟒𝟏4213562 
V 
o) El resultado de log2(log2 256) + log√2(log2 4) es un número irracional. 
3 + 2 = 𝟓 no es un número irracional 
F 
 
 
13.- Indicar si las siguientes expresiones son Verdaderas (V) o Falsas (F), en caso de ser falsas, escribir la 
expresión correcta. 
EXPRESIÓN V o F EXPRESIÓN CORRECTA 
a) (𝑎3𝑏2) = (𝑎𝑏)5 F (𝑎𝑏)5 = 𝑎5𝑏5 
b) 03 = 0 V 
c) −(−4)0 = −1 V 
d) √8 + √2 = √10 F √23 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2 
e) [(−𝑎)𝑏]4 = 𝑎4𝑏4 V 
f) 1 +
3𝑎
𝑎+𝑏
=
4𝑎+𝑏
𝑎+𝑏
 V 1 +
3𝑎
𝑎+𝑏
=
(𝑎+𝑏)+3𝑎
𝑎+𝑏
=
4𝑎+𝑏
𝑎+𝑏
 
g) 
4𝑎
𝑏
=
4
𝑏
.
𝑎
𝑏
 F 4𝑎
𝑏
=
4
1
.
𝑎
𝑏
= 4.
𝑎
𝑏
 
h) 
5
0
= 0 F La división por 0 no está definida 
 
18 
 
 
 
14.- Dado que 28 × 152 = 57600, encontrar: √57600 × √3
3
8
3
 usando propiedades. 
 
√57600 × √3
3
8
3
 Problema original 
√28 × 152 × √3
3
8
3
 Reemplazar el dato 
√28 × 152 × √
9
8
3
 
√28 × √152 ×
√27
3
√8
3 Producto y cociente de raíz de igual índice 
√22×4 × √152 ×
√9
3
√23
3 
Reescribir 27 y 8 como productos de factores primos 
Reescribir la potencia 8 como producto de 2 y 4 
√(24)2 × √152 ×
√9
3
√23
3 Propiedad: potencia de una potencia 
24 × 15 ×
√9
3
2
 
Propiedad: índice y exponente del radicando son simplificables 
entre sí 
23 × 15 × √9
3
 Propiedad: numerador y denominador son simplificables 
 
 
15.- Racionalizar la siguiente expresión: 
 
√5 + √20
2√3 + √2
=
6√15 − 3√10
10
 
 
 
 
i) 𝑙𝑜𝑔√3√
1
81
5
= −
8
5
 
V 
j) √√64𝑥6
3
= √2 𝑥 
F √√64𝑥6
3
= √√43𝑥6
3
= √4𝑥2 = 2𝑥 
 
19 
 
 
16.- Hallar la fracción irreducible de cada expresión decimal, separar en términos y resolver: 
 
a) 
3,9̅
0,8
− 1,06̅ −
0,17̅
0,5̅ ∙ 0,1
= 
 
b) (0, 2̅ − 1,03̅ ∙ 
45
31
) ∙ (1, 1̅)−1 = 
 
 
 
c) 0,29̅5 ∙ (0,29̅−1)5: (0, 24̅̅̅̅ ∙ 5,5 + 0, 3̅ ∶ 0,25) = 
 
 
 
20 
 
 
d) (1 + 0, 3̅)2 ∶ (0, 6 ̅ − 0,83̅ ∙ 1,5) + (−4) ∙ √0,125
3
∶ [−16 ∙ (−0,75)] = 
 
e) 0,06̅ ∙ (0, 4̅ ∙ 0,4 ∶ 1,6)−1 + 3,6 ∙ 0,46̅ − 0,04̅:√2, 2̅ − 0, 4̅ = 
 
f) 
0,7+1,3̅
1,22
+ 0, 12̅̅̅̅ ∙ 3,3 − 0,9 ∙ 0,17̅ + √1, 7̅ ∙ 0,25 = 
 
 
 
 
21 
 
 
g) 1, 5̅: [√0,04 − 1,03̅ − (1,23̅: 0,74 − 2,14̅)] = 
 
h) (√
0,9 ̅− 0,8̅
0,072̅̅̅̅ ∶ 1,1
0,8̅
)
−1
= 
 
17.- Aproximar por redondeo los siguientes números a los diezmilésimos. Indica en cada caso si la 
aproximación es por exceso o por defecto y cuál es el error de aproximación (truncando a los 8 
decimales). 
 
 
22 
 
 
18.- Considerar el siguiente argumento que hizo el profesor Gómez en una clase y responder. 
 
Sea 𝑎 = 0, 1̅ un decimal periódico. Vemos que 0, 1̅ tiene periodo 1. 
Transformemos 0, 1̅ en una fracción usando el método aprendido: 
01−0
9
=
1
9
 
Sea 𝑏 = 0, 11̅̅̅̅ un decimal periódico. Vemos que 0, 11̅̅̅̅ tiene periodo 11. 
Transformemos 0, 11̅̅̅̅ en una fracción usando el método aprendido: 
011−0
99
=
11
99
=
1
9
 
Sea 𝑐 = 0, 111̅̅ ̅̅ ̅ un decimal periódico. Vemos que 0, 111̅̅ ̅̅ ̅ tiene periodo 111. 
Transformemos 0, 111̅̅ ̅̅ ̅ en una fracción usando el método aprendido: 
0111−0
999
=
111
999
=
1
9
 
Se concluye entonces que 0, 1̅ = 0, 11̅̅̅̅ = 0, 111̅̅ ̅̅ ̅ . 
 
a) ¿Cree que el profesor tiene razón? 
 
b) ¿Será posible que diferentes decimales periódicos sean iguales a la misma fracción? 
 
En realidad 𝑎, 𝑏 y 𝑐 no son diferentes decimales periódicos, sino el mismo decimal expresado en 
diferentes maneras. 0, 1̅ es la representación decimal de un número con parte entera 0 y le sigue 
una cadena infinita de 1s después de la coma. 
0, 11̅̅̅̅ y 0, 111̅̅ ̅̅ ̅ representan exactamente el mismo decimal: 0,111111111111111… 
Si observamos las fracciones obtenidas al aplicar la transformación, vemos que 
1
9
=
11
99
=
111
999
. Son 
todas fracciones equivalentes, representan exactamente la misma fracción, 
1
9
. 
 
19.- Marcar la o las respuestas correctas: 
 
a) El desarrollo de la expresión logb(a
3. c−2) es: 
 3 logb(a) + 2 logb(c) 
 3 − logb(a) − 2 − logb(c) 
 3 logb(a): 2 logb(c) 
 3 logb(a) − 2 logb(c) OPCIÓN CORRECTA 
 Ninguna es correcta 
 
 
 
23 
 
 
b) ¿Cuál es el valor de log2√4 + log3 (1/9)? 
 1/2 
 2 
 0 
 -1/2 
 -1 OPCIÓN CORRECTA 
 Ninguna es correcta 
c) El desarrollo de la expresión logb(a
−3. c5) es: 
 −3 logb(a) + logb 5(c) 
 3 − logb(a) + 5 − logb(c) 
 3 logb(a): 5 logb(c) 
 −3 logb(a) + 5 logb(c) OPCIÓN CORRECTA 
 Ninguna es correcta 
d) El desarrollo de la expresión logb(a
−3. c−2) es: 
 3 logb(a) + 2 logb(c) 
 3 − logb(a) − 2 − logb(c) 
 −3 logb(a) − 2 logb(c) OPCIÓN CORRECTA 
 3 logb(a): 2 logb(c) 
 Ninguna es correcta 
e) La expresión combinada (𝟐 −
𝟏
𝟔
)
−𝟏
+ (𝟎, 𝟎�̂�) + √(
𝟏𝟔
𝟏𝟐𝟏
) + (𝟎, 𝟎�̂�) ∙ (
𝟏
𝟑
)
−𝟐
∙ 𝟐 equivale a: 
 5 
 2 
 −3 
 Ninguna es correcta 
 
 
 
24 
 
 
20.- Dada la siguiente expresión: 
 
 
 
 
21.- Encontrar los conjuntos resultado de cada operación. 
 
a) {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ |𝑥| < 2} ∩ {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ 2 < 𝑥 ≤ 8} 
{ } = ∅ 
b) {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ |𝑥| ≥ 4,5} ∩ {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ |𝑥| < 6} 
(−6;−4,5] ∪ [4,5; 6) 
c) {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ 𝑥 < 0} ∪ {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ 𝑥 ≥ 0} 
ℝ 
d) {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ − 5 ≤ 𝑥 < 5} ∪ {𝑥 ⫽ 𝑥 ∈ ℝ ˄ 𝑥 ≤ 5} 
(−∞;5] 
 
 
 
 
25 
 
 
22.- Resolver el siguiente crucigrama. 
 
 R A 
 A B 
 D E C I M A L E S S 
N I O 
A M C M L 
T A P U 
U C I R T 
R A C I O N A L I Z A C I O N 
A O T M 
L N E P O T E N C I A 
E R S 
S V B 
 I R R A C I O N A L E S 
 N L S 
M C D O E 
 I 
 C 
 E 
 
REFERENCIAS HORIZONTALES: 
3. Logaritmos de base 10. 
5. Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los factores 
comunes y no comunes entre los números elevados a su mayor exponente. 
8. Operación mediante la cual se elimina el número irracional del denominador. 
9. Operación que implica la multiplicación de factores iguales. 
11. Números cuya expresión tiene infinitas cifras decimales no periódicas. 
12. Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los factores 
comunes elevados a su menor exponente. 
REFERENCIAS VERTICALES: 
1. Operación inversa a la potenciación. 
2. Valor de un número que corresponde a la distancia de dicho número al punto de origen o cero. 
4. Números que no siempre tienen un antecesor. 
6. Número que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. 
7. Representa un subconjunto de los números reales en la recta numérica. 
10. Elemento de la potencia que se transforma en el radicando de la raíz. 
11. Elemento de la raíz que se transforma en el denominador del exponente fraccionario de una potencia. 
 
 
 
 
26 
 
 
23.- Simplifique hasta su mínima expresión aplicando propiedades de potenciación. 
 
a) (
23
𝑎2
:
𝑐3
32
)
−2
 : (
𝑐3
𝑎2
)−1 ∶
1
𝑏−1
)
−1
= 
=
𝑎4𝑐3
5184𝑏
 
 
b) ((
𝑎
𝑏2
)
2
. ((
𝑐3
𝑎2
) . (
𝑎
𝑑
)
−1
)
−2
)
−1
= 
𝑏4𝑐6𝑑2
𝑎8
 
 
c) ((
2
52
)
2
(
63
22
. (
2
3
)
−1
)
−2
)
−1
= 
 
=
𝟓𝟒. 𝟑𝟖
𝟐𝟐
 
 
24.- Marcar si las siguientes propiedades son Verdaderas (V) o Falsas (F). De una pequeña justificación. 
 
PROPIEDAD V F EXPLICACIÓN 
1n = 1 X 
an. am = an+m X 
(
a
b
)
−n
=
b
a
 X 
(
a
b
)
−n
=
bn
an
 
(
a
b
)
−1
=
b
a
 
a1 = 1 X 
a1 = a 
a0 = 1 
a−1 =
1
a1
 X 
 
(an)m = an.m X 
 
27 
 
 
 
25.- Encontrar el valor de cada cálculo combinado. 
a) 
√(1−
2
3
)
−2
+
0,2−0,6̂
5−1
+(
2
3
)
2
0,5 .(0,6̂ )2−
1
9
= 24 
 
b) √(2 −
1
4
) : 8 −
3
16
5
+ [
3
4
. (−0,5) +
7
8
]
2
=
3
4
 
 
c) √1 −7
8
3
+ (2 . 
3
10
+ √0,04)
−1
−
3
2
=
1
4
 
 
26.- Indicar cuáles de los siguientes números son irracionales. 
0,8 √3
2
 
2𝜋 1
√2
 
0, 87̅̅̅̅ √−7
3
 
 
27.- Completar la tabla marcando con una x si los siguientes números pertenecen a los conjuntos numéricos 
indicados. 
 ℕ ℤ ℚ 𝕀 ℝ 
28 x x x x 
3π x x 
1
3
 
 x x 
−30 x x x 
√81 x x x x 
2,025̅̅̅̅ x x 
−√64 x x x 
√−121 
 
 
 
28 
 
 
 
28.- Expresar las siguientes fracciones en decimales, luego, aproximar por redondeo a la décima y calcular 
cuál es el error de aproximación. 
a) 9619
10.000
 = 0,9619 ≅ 1 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = −0,0381 
b) 2648
10000
 = 0,2648 ≅ 0,3 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = −0,0352 
c) 9250
10000
= 0,925 ≅ 0,9 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = 0,025 
d) 7756
10000
= 0,7756 ≅ 0,8 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = −0,0244 
e) 4659
10000
= 0,4459 ≅ 0,4 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = 0,0459 
f) 7820
10000
= 0,782 ≅ 0,8 
𝜀 = 𝑥 − �̅� = −0,018 
 
29.- Para cada uno de los siguientes conjuntos expresar como intervalo y notación de conjunto la solución. 
Representar en la recta numérica. 
a) (−∞; −2) ∩ (− 
7
2
 ; 3 ] 
(−
7
2
;−2) 
{𝑥 ∕ 𝑥 ∈ ℝ ∧ −
7
2
< 𝑥 < −2} 
 
b) (−∞; − 
1
2
 ] ∩ (−1; 3] 
(−1;−
1
2
] 
{𝑥 ∕ 𝑥 ∈ ℝ ∧ −1 < 𝑥 ≤ −
1
2
} 
 
 
 
 
29 
 
 
c) (−∞; 3] ∩ (7; +∞] 
∅ 
 
d) (−∞; 3) ∩ (− 2 ; 0 ] ∩ [2; 5) 
[2 ; 3) 
{x ∕ x ∈ ℝ ∧ 2 ≤ x < 3} 
 
e) (−4; −1) ∪ (− 3 ; −2 ] 
(−4; −1) 
{𝑥 ∕ 𝑥 ∈ ℝ ∧ −4 < 𝑥 < −1} 
 
 
30.- Comparar las siguientes expresiones y completar con “<”, “>” o “=” según corresponda. 
 
√27
3
 = √9
2
 
√25 > 2
2/5 
3√36
3
 > √38
4
 
𝜋√76
3
 = 49√𝜋2
3
 
√100 < √10000
3
 
√3𝑥2 > √√3𝑥2 
√1
4
 = √1
2
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
31.- Simplificar las siguientes expresiones aplicando operaciones o propiedades con raíces. 
a) √27
12
 
 
b) √𝑥9
6
 
 
c) √125 𝑥5 
 
d) √
 8 𝑦7
𝑥5 𝑧6
 
 
 
 
31 
 
 
e) 8√23 − 8√2 + √25 − 4√2 
8√2 
 
f) 49√3
𝑛
√5
𝑛
+ √152
𝑛
÷ (23 − 8)1/𝑛 
50√15
𝑛
 
 
32.- Amplificar los índices. 
 
a) √9
5
 
 
b) √2
4
 
 
 
33.- Si el Ln(k) = 0,7 calcular Ln
√k
3
10
+ Ln(10k2) 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
34.- Despejar A de la siguiente expresión usando propiedades de logaritmos. 
 
𝐿𝑜𝑔𝐴 =
1
2
−
1
3
𝑙𝑜𝑔𝐵 + 𝑙𝑜𝑔𝐶 −
2
5
𝑙𝑜𝑔𝐷 
 
 
 
 
 
