FUNCION_CUADRATICA

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
 
Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinomiales con las que 
trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser 
descripta por una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial 
tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y 
frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración. 
 
Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. 
Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas: 
 
 
y = x2 + 4 
 
 
 
 
Graficando con puntos 
La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de 
esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En 
una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso 
no sucede con una función cuadrática: 
x y=x2 
--------- ----- 
-5.0 25.0 
-4.0 16.0 
-3.0 9.0 
-2.0 4.0 
-1.0 1.0 
0 0 
1.0 1.0 
2.0 4.0 
3.0 9.0 
4.0 16.0 
 
 
 
 
 
 
Características de la Función Cuadrática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¿Cómo calcular el vértice? 
 
 El vértice de una parábola es un punto de coordenadas: 
 
 - xv, “equis” del vértice 
 - yv, “y” del vértice 
 
V(xv ; yv) 
 
 Para hallar xv se aplica la siguiente fórmula: 𝒙𝒗 = − 
𝒃
𝟐 𝒂
 
 Para hallar yv se aplica la siguiente fórmula: 𝒚𝒗 = − 
𝒃𝟐
𝟒 𝒂
+ 𝒄 
 
 Luego el vértice será: 
 V (− 𝒃
𝟐 𝒂
 ; − 𝒃
𝟐
𝟒 𝒂
+ 𝒄) 
 
 
¿Cómo calcular los ceros de una parábola? 
Podemos determinar los ceros de una función cuadrática igualando a cero la función, y=0, y así 
obtendremos la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx +c = 0 
 
 Para calcular los ceros se utiliza la siguiente fórmula: 
𝑥1;2 = 
− 𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎. 𝑐
2 . 𝑎
 
 
 Como puede observarse delante del radical aparece un doble signo, de modo que…si hacemos la elección 
por: 
 - el signo “+” podemos obtener un valor de x, posible corte de la curva con el eje x 
 
𝑥1 = 
− 𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎. 𝑐
2 . 𝑎
 
 
- el signo “-” podemos obtener un valor de x, posible corte de la curva con el eje x 
 
𝑥2 = 
− 𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎. 𝑐
2 . 𝑎
 
 
 
A la expresión que aparece dentro del radical suele llamársela discriminante, y se lo denota con la letra 
delta mayúscula "∆"; de modo que en forma genérica la expresión para calcular los ceros será: 
𝑥1;2 = 
− 𝑏 ± √∆
2 . 𝑎
 
 
Según el valor de "∆": menor, mayor o igual a cero, las gráficas se observarán del 
siguiente modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo se calcula la ordenada al origen? 
 
La ordenada al origen cuando el valor de “x” se hace igual a cero, es el corte de la curva con el eje “y” 
 
y=ax2+bx+c 
 
y=a.02+b.0+c 
 
y=c la ordenada al origen es igual al valor del término independiente 
 
 
¿Cómo se calcula el eje de simetría? 
 
 El eje de simetría es igual a xv. 
 
Eje de simetría= − 
𝒃
𝟐 .𝒂
 
 
 
 
Ejercicio de Aplicación: 
 
Dada la función y=x2 - x - 2 
 
a) Calcular vértice 
b) Calcular ceros 
c) Calcular ordenada al origen 
d) Calcular Eje de simetría 
e) Armar tabla de valores y representar gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) Tabla de Valores y Representación Gráfica 
 
 
x y=x2 – x - 2 
--------- ------------ 
-4.0 18.0 
-3.0 10.0 
-2.0 4.0 
-1.0 0 
0 -2.0 
1.0 -2.0 
2.0 0 
3.0 4.0 
4.0 10.0 
5.0 18.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis completo de la Función cuadrática 
 
Dada la función que se observa y= -2x2 +x +6, representada en la figura, se pretenden analizar las siete 
características de la lista a derecha. Entendiendo que para ello tenemos que recordar que las funciones 
muestran distintos comportamientos que, en algunos casos, pueden analizarse a partir de los intervalos 
reales vistos al comienzo del cursado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El dominio de una función, D(f), es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está 
definida, es decir, los valores que puede tomar la variable “x”. En el caso de la función representada: 
D(f): (-∞ ; ∞)= IR 
El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales 
 
 La imagen de una función, I(f), también llamado rango, es el conjunto de todos los valores que toma la 
función, es decir, todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable 
independiente que se transforma en él por la función. En el caso de la función representada: 
 
I(f): (−∞; 6,13) 
 
 
 Una función crece en un intervalo (a,b) de su dominio si en el mismo se verifica que para x1 y 
x2 cualesquiera: x1>x2 se cumple que y1 >y1. Esto quiere decir que a medida que observo valores 
crecientes de x, debo observar que las imágenes de la función, las f(x), son también crecientes. En el 
caso de la función representada: Interv. Crec.: (−∞; 0,25) 
 
 
 Una función es decreciente en un intervalo (a;b) de su dominio si en el mismo se verifica que para x1 y 
x2 cualesquiera: x1<x2, se cumple que y1 > y2. Esto quiere decir que a medida que observo valores 
crecientes de x, debo observar que las imágenes de la función, las f(x), disminuyen; es decir, disminuye 
la variable dependiente y. En el caso de la función representada: 
Interv. Decrec.: (0,25; ∞) 
 
 El Conjunto de positividad (C+) de una función f es un subconjunto del dominio cuyas imágenes son 
números positivos, es decir y>0; CUIDADO…y no puede ser cero. En el caso de la función representada: 
C + : (- 1,5; 2) 
 
 El Conjunto de negatividad (C-) de una función f es un subconjunto del dominio cuyas imágenes son 
números negativos, es decir y<0; CUIDADO…y no puede ser cero. En el caso de la función 
representada: 
C - : (- ∞;- 1,5) ∪ (2; ∞) 
 
 Un valor de la función es el máximo si es el mayor valor que toma la función en todo su dominio. En 
la función representada: 
Máximo de la función: f(0,25) = 6,13 
 
Es decir, el máximo valor que toma la función, referido a todo su dominio es 6,13 y lo alcanza en el valor 
de x=0,25 
 
 Un valor de la función es el mínimo si es el menor valor que toma la función en todo su dominio. En 
la función representada: 
Mínimo de la función: …………… 
 
Es decir, la función no tiene mínimo; ya que el menor valor que tomaría la función sería infinito, 
pero…infinito no es un número, es un símbolo, para indicar un valor que nunca puede alcanzarse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
1) Dadas las siguientes funciones 
 
 1.1) y=x2 – 4 
 1.2) y=-(1/2) x2 + x 
 1.3) y= (1/2)x2 + 2x – 2 
 1.4) y= 2x2 + 6x + 9 
 
 
a) Calcular vértice 
b) Calcular ceros 
c) Calcular ordenada al origen 
d) Calcular Eje de simetría 
e) Armar tabla de valores y representar gráficamente 
 
 
 
2) Observar los gráficos y completar la tabla 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Ceros Vértice Dominio Imagen Interv.
Crec. 
Interv. 
Decrec. 
C+ C- Máximo Mínimo 
y1 
y2 
y3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Unir con flechas los elementos de una Función Cuadrática 
 
❖ 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
❖ −
𝑏
2.𝑎
; 
4.𝑎.𝑐−𝑏²
4.𝑎
 
 
 
❖ 
−𝑏
2.𝑎
 
 
❖ “c” 
 
 
 
 
 
 
 
Son los valores de x donde la Parábola 
intersecta el eje “x”. Se los denomina CEROS. 
Es una recta paralela al eje “y”, que pasa por el 
vértice de la Parábola, es única y la divide en 
dos partes iguales 
Es el valor donde la curva intersectaal eje “y”. 
Es coordenada del punto de la Parábola donde 
encontramos el valor máximo o mínimo de la 
misma.