Factorización I

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Factorización I
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 11
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Entender el significado de factorizar
polinomios.
✓ Utilizar los diversos criterios para
factorizar.
✓ Resolver problemas diversos con la ayuda
de la factorización.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Divide y vencerás
3. Factorización
4. Criterios para factorizar
2. Definiciones previas
5. Problemas diversos
- ÁLGEBRA
DIVIDE Y VENCERÁS
Una frase que se puede aplicar en muchos contexto de
la vida pero hoy nos centraremos en el contexto de las
matemáticas. La técnica divide y vencerás consiste en:
1. Descomponer un problema en un conjunto de subproblemas
más pequeños.
2. Se resuelven estos subproblemas.
3. Se combinan las soluciones para obtener la solución para el
problema original.
- ÁLGEBRA
Un polinomio está definido sobre ℤ si todos sus 
coeficientes pertenecen a ℤ
Ejemplos
1. 𝑃 𝑥 = 2𝑥6−5𝑥4 + 7
𝑃 𝑥 está definido sobre ℤ , 
2. 𝐹 𝑥; 𝑦 = 3𝑥5+6𝑥2𝑦 − 𝑦2 + 8
𝐹 𝑥; 𝑦 está definido sobre ℤ , pues {3; 6; −1; 8} ⊂ ℤ
3. 𝑄 𝑥 = 5𝑥4+ 3𝑥2 + 2
𝑄 𝑥 NO está definido sobre ℤ , pues {5; 3; 2} ⊄ ℤ
II. FACTOR
Es importante mencionar que trabajaremos 
solamente con polinomios definidos sobre ℤ.
𝑓 𝑥 es factor de 𝑃 𝑥 si:
⋄ 𝑓(𝑥) es de grado 1 a más.
⋄
𝑃(𝑥)
𝑓(𝑥)
es exacta (𝑅(𝑥) = 0)
Ejemplos
1. ¿ 𝑥 − 1 es factor de 𝑥5 − 4𝑥2 + 3?
⋄ 𝑥 − 1 es de grado 1
⋄ ¿
𝑥5 − 4𝑥2 + 3
𝑥 − 1
es exacta?
Por el teorema del resto.
𝑥 − 1 = 0 𝑥 = 1
Reemplazando en: 𝑥5 − 4𝑥2 + 3
𝑅(𝑥) = 1 − 4 + 3 = 0 es EXACTA𝑥 = 1
DEFINICIONES PREVIAS
I. POLINOMIO DEFINIDO SOBRE ℤ
pues {2; – 5; 7} ⊂ ℤ
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𝟐. 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
sus factores son:
𝑥 + 4
𝑥 + 5
(𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
𝟑. 𝑀(𝑥) = (𝑥 + 3)2(𝑥 − 7)
𝑥 + 3
(𝑥 + 3)2
𝑥 − 7
(𝑥 + 3)(𝑥 − 7)
(𝑥 + 3)2(𝑥 − 7)
III. FACTOR PRIMO (F.P.)
𝑓 𝑥 es un factor primo de 𝑃 𝑥 si se cumple lo
siguiente:
⋄ 𝑓(𝑥) es un factor de P(x).
⋄ 𝑓 𝑥 no se puede expresar como producto de
factores.
Observación:
Todo polinomio lineal no se puede expresar
como producto de factores.
Ejemplos
𝟏. 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 4)(𝑥 + 5)
sus factores primos son:
𝑥 + 4,
𝑥 + 5
𝟐. 𝑀(𝑥) = (𝑥 + 3)2(𝑥 − 7)
sus factores primos son:
𝑥 + 3
𝑥 − 7
sus factores son:
∴ 𝑥 − 1 es factor de 𝑥5 − 4𝑥2 + 3.
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Observación 2 
Los polinomios de la forma 𝒙𝟐 + 𝒂 (𝑎 > 0)
no pueden expresarse como producto de sus
factores. Ejemplos
𝑥2 + 1, 𝑥2 + 4, 𝑥2+ 7, 𝑥2 + 𝑦2, . . .
𝟑. 𝑀(𝑥) = (𝑥2 + 1)(2𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
Sus factores primos son:
𝑥2 + 1, 2𝑥 − 3, 𝑥 + 5
Observación 3 
Si 𝑃 𝑥 = 𝑓𝒎 𝑥 . 𝑔𝒏 𝑥 y 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 no se
pueden descomponer, entonces 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥
son sus factores primos
𝟒. 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 4)𝟑(𝑥2 + 3)𝟐
Sus factores primos son:
𝑥 − 4, 𝑥2 + 3
Es el proceso mediante el cual el polinomio es
expresado como una multiplicación indicada y/o
potencias de sus FACTORES PRIMOS.
Ejemplos
𝑥2 − 7𝑥 𝑥(𝑥 − 7)
Polinomio Factores primos
𝑥 , 𝑥 − 7
𝑥2 − 16 (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) 𝑥 + 4 , 𝑥 − 4
𝑥2 + 3𝑥 + 2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) 𝑥 + 2 , 𝑥 + 1
𝑥 + 3 (𝑥2 − 9) 𝑥 + 3 2(𝑥 − 3) 𝑥 + 3 , 𝑥 − 3
FACTORIZACIÓN
Factorizado
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Criterio del factor común
𝟏. Factorice 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3
Se extrae “𝑥” con el menor exponente:
𝑃(𝑥) = 𝑥3
Sus factores primos son: 𝑥 , 2𝑥 + 5
2. Factorice 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥5𝑦3 + 𝑥4𝑦4 + 𝑥4𝑦3
= 𝑥4 𝑦3
(2𝑥 + 5)
(𝑥 + 𝑦 + 1)
Sus factores primos son: 𝑥 , 𝑦, , (𝑥 + 𝑦 + 1)
CRITERIOS PARA FACTORIZAR
Consiste en extraer la(s) variable(s) y/o
constante(s) con el menor exponente que se
repite en todo el polinomio.
Ejemplos
𝑃(𝑥) = 2𝑥3𝑥 + 5𝑥3
x3
Se extrae “𝑥” e “𝑦” con su menor exponente: 𝑥4 𝑦3
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑥4 𝑦3 + 𝑥4𝑦𝑦3 + 𝑥4𝑦3
𝟑. Factorice 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑥 + 3 + 𝑥 + 2 𝑥 + 4
Se extrae lo común:
𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2
Sus factores primos son: 𝑥 + 2 , 2𝑥 + 7
( 𝑥 + 3 + 𝑥 + 4 )
𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑥 + 3 + 𝑥 + 2 𝑥 + 4
𝑥 + 2
𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2 (2𝑥 + 7)
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Criterio del agrupamiento
𝟏. Factorice 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
= 𝑥2(𝑥 + 1)
= (𝑥 + 1)
+ (𝑥 + 1)
Sus factores primos son: 𝑥 + 1 , 𝑥2 + 1
𝑀(𝑎, 𝑏) = 𝑎2𝑏2 + 7𝑏2 + 𝑎2 + 7
= 𝑎2(𝑏2 + 1) + 7(𝑏2 + 1)
(𝑥2 + 1)
= (𝑏2 + 1) (𝑎2 + 7)
Sus factores primos son: 𝑏2 + 1 , 𝑎2 + 7
Consiste en agrupar términos convenientemente
buscando formar un factor común en cada grupo.
Ejemplos
Tiene 4 términos, agrupemos de 2 en 2:
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
𝟐. Factorice 𝑀(𝑎, 𝑏) = 𝑎2𝑏2 + 7𝑏2 + 𝑎2 + 7
𝟑. Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 + 6
𝑃 𝑥; 𝑦 =
Agrupamos para formar un factor común:
𝑥 𝑦 + 3 + 2 𝑦 + 3
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑦 + 3 𝑥 + 2
Sus factores primos son: ቊ
𝑦 + 3
𝑥 + 2
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= (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
= (𝑥 − 6)2
𝟑. Factorice 𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 + 1
Agrupamos convenientemente:
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1
2 −𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 1 + 𝑦 𝑥 + 1 − 𝑦
Criterio por identidades
Consiste en utilizar los productos notables para
lograr la factorización. Por lo general utilizaremos
diferencias de cuadrados, trinomio cuadrado
perfecto, suma y diferencia de cubos entre otros.
𝟏. Factorice 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 25
Ejemplos
= 𝑥2 − 52
Sus factores primos son: 𝑥 + 5 , 𝑥 − 5
𝟐. Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥2 − 12𝑥 + 36
= 𝑥2 − 2.6. 𝑥 + 62
Su factor primo es: 𝑥 − 6
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