Hidrodinámica

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HIDRODINÁMICA
FÍSICA
OBJETIVOS
 Identificar las simplificaciones usadas para describir el 
movimiento de un fluido ideal.
 Reconocer la ecuación de continuidad.
 Usar la ecuación de Bernoulli para explicar los efectos 
comunes de flujo de fluidos ideales.
Como se aprecia los fluidos también
pueden estar en movimiento. En
general estos movimientos son un
tanto complejos de describir debido
a varios factores como los remolinos,
el salto del agua sobre piedra, la
fricción, etc. Es por ello que, para
describir estos movimientos de
manera mas sencilla realizaremos
una simplificación y consideraremos
un fluido ideal.
Veamos algunos aspectos previos:
Flujo estable o laminar: 
Se da cuando cada partícula del fluido sigue una
trayectoria uniforme, por lo que trayectorias de
diferentes partículas nunca se cruzan entre si.
Flujo turbulento 
Este es un flujo irregular, caótico, caracterizado con 
pequeñas regiones con torbellinos.
Viscosidad
Es una propiedad que presentan los
fluidos que caracteriza el grado de
fricción interna, o es la resistencia al
flujo, de un fluido.
Esta fricción interna o fuerza viscosa se asocia con la resistencia 
que presentan dos capas adyacentes del fluido a moverse una 
respecto a la otra.
fluido
Así la velocidad del fluido en cualquier punto se 
mantiene constante en el tiempo. 
𝑣
𝑣
Fluido ideal
En el enfoque de dinámica de fluidos simplificado se 
considera cuatro características de un fluido ideal:
1. El fluido no es viscoso.- Se desprecia la fricción 
interna entre las distintas partes del fluido.
2. El flujo es estable.- Todas las partículas de un 
fluido tienen la misma velocidad al pasar por un 
punto dado.
3. El fluido es incomprensible.- La densidad del 
fluido permanece constante con el tiempo.
4. El flujo es irrotacional.- No presenta torbellinos, 
implica que un elemento del fluido no presenta 
velocidad angular neta.
Fluido idealFluido real
Líneas de corriente:
Se llama línea de corriente a la trayectoria tomada por una 
partícula del fluido bajo flujo estable. La velocidad de la 
partícula es tangente a la línea de corriente.
Al conjunto de líneas de
corriente se le conoce como
tubos de corriente.
Las partículas del fluido no
pueden fluir hacia adentro o
hacia afuera del tubo de
corriente a través de la cara
lateral.
Así tenemos:
Cara 
lateral
Ecuación de continuidad:
Como no hay perdidas de fluido dentro de un tubo de 
corriente, la masa del fluido en todo momento 
permanece constante (Conservación de la masa)
∆𝑀1= ∆𝑀2
Como: 𝜌 =
∆𝑀
∆𝑉 ∆𝑀 = 𝜌. ∆𝑉
Reemplazando en (1)
…(1)
𝜌. 𝐴1. ∆𝑥1= 𝜌. 𝐴2. ∆𝑥2
∆𝑥1
∆𝑥2
Además se tiene:
∆𝑥1= 𝑣1. ∆𝑡 ∆𝑥2= 𝑣2. ∆𝑡
Reemplazando en (2)
𝐴1(𝑣1. ∆𝑡) = 𝐴2(𝑣2. ∆𝑡)
𝐴1. 𝑣1 = 𝐴2. 𝑣2 Ecuación de continuidad
Esto implica: 𝐴. 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐴 ∶ área de la sección transversal del tubo (cm²; m²)
Caudal "𝑄"
𝑄 = 𝐴. 𝑣
𝑣: Rapidez del fluido en un determinado punto(cm/s; m/s)
Por conservación de la masa.
∆𝑀1
∆𝑀2
= 𝜌(𝐴. ∆𝑥)
…(2)
𝑣1 𝑣2
Unidad 
en el SI: 𝑚³ 𝑠
Aplicación:
En la figura el diámetro del tubo de la sección (1)
y (2) es de 4cm y 8cm respectivamente. Si por la
sección 1 fluye el agua a razón de 8m/s. Calcule el
caudal y la rapidez por la sección (2).
Resolución:
(1)
(2)
𝑣1 𝑣2
De la ecuación de la continuidad se tiene:
𝐴1. 𝑣1 = 𝐴2. 𝑣2
𝜋𝑟1
2. 𝑣1 = π𝑟2
2. 𝑣2
De los datos:
𝐷1 = 4𝑐𝑚 𝑟1 = 2𝑐𝑚
𝐷2 = 8𝑐𝑚 𝑟2 = 4𝑐𝑚
22 8 = 4²𝑣2
𝑣2 = 2𝑚/𝑠
Reflexión:
Puedes explicar porque cuando 
tratas de tapar la boca de la 
manguera el agua sale con más 
rapidez que cuando no esta 
tapado.
Piden al caudal “𝑄” y 𝑣2
El caudal: 𝑄 = 𝐴1𝑣1
𝑄 = (𝜋𝑟1
2)𝑣1
𝑄 = 𝜋(0,02)²(8) 𝑄 = 0,0032𝜋 𝑚3/𝑠
Ecuación de Bernoulli
El teorema trabajo energía da a pie otra relación muy general 
para el flujo de líquidos, Deducido por el matemático Daniel 
Bernoulli y recibe su nombre.
Veamos:
Las fuerzas externas al fluido realizan trabajo mecánico.
𝑊𝐹𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑀
𝑊𝐹1 +𝑊𝐹2 = 𝐸𝑀𝑓 − 𝐸𝑀0
+𝐹1 . ∆𝑥1 +
+(𝑃1. 𝐴1)∆𝑥1
𝑃1. ∆𝑉 − 𝑃2. ∆𝑉 =
1
2
∆𝑚.𝑣2
2 + ∆𝑚.𝑔ℎ2−(
1
2
∆𝑚. 𝑣1
2 + ∆𝑚. 𝑔ℎ1)
Se divide a todos los términos entre el volumen ∆𝑉
𝑃1 − 𝑃2 = −(
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌. 𝑔ℎ1)
Ordenando:
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔ℎ2
Ecuación de Bernoulli
ℎ1
ℎ2
𝐹1
𝐹2
∆𝑥1
∆𝑥2
𝑣1
𝑣2
𝐴1
𝐴2
∆𝑚
∆𝑚
Del gráfico:
N.R.
(−𝐹2. ∆𝑥2) = 𝐸𝐶𝑓 + 𝐸𝑃𝐺𝑓 − (𝐸𝐶0 + 𝐸𝑃𝐺0)
−(𝑃2. 𝐴2)∆𝑥2
1
2
𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔ℎ2
∆𝑉1 = ∆𝑉2∆𝑚1 = ∆𝑚2 = ∆𝑉
La expresión anterior:
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Nos indica que en flujos laminares, la suma de la presión y 
energía mecánica por unidad de volumen tienen el mismo 
valor en todos los puntos a lo largo de la línea de corriente
Aplicación 2:
Por la sección transversal de una cañería de 60 cm² corre
agua a razón de 1m/s. En un trozo de la misma, el caño
sube 10 cm y se estrecha hasta que la sección vale 20
cm². Calcula la rapidez y la presión, en esta sección, si en
aquella era de 20 kPa. (g=10m/s²)
Resolución: Piden 𝑣2 y 𝑃2
De la ecuación de continuidad
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
60 1 =
𝑣2 = 3𝑚/𝑠
De la ecuación de Bernoulli.
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔ℎ2
20000+
20000+ 500= 𝑃2 + 4500 + 1000
20500= 𝑃2 + 5500
𝑃2 = 15 000𝑃𝑎
𝑃2 = 15 𝑘𝑃𝑎
10 cm
𝑃1 = 20000𝑃𝑎
𝐴1 = 60𝑐𝑚²
𝐴2 = 20𝑐𝑚²
𝑣1 = 1m/s
𝑣2
(1)
(2)
𝑃2
(20)𝑣2
N.R.
Respecto al N.R.
1
2
1000 1² = 𝑃2 +
1
2
1000 3² + 1000(10)(0,1)
Aplicación 3:
Se tiene un tanque que contiene agua
como se muestra en la figura. Se abre
un agujero a la atmosfera siendo su
diámetro muy pequeño comparado
con el del tanque, determine la rapidez
a la cual el líquido sale por el agujero.
(g=10m/s²)
= 8,45m
Resolución :
Empleando la ecuación de Bernoulli
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔ℎ2
Respecto al nivel de referencia N.R. se tiene:
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑣1 ≈ 0 (baja muy lentamente)
ℎ2 = 0
…(1)
En (1)
𝑃𝑎𝑡𝑚 +
𝜌𝑔ℎ =
1
2
𝜌𝑣2
2
𝑣2 = 2𝑔ℎ
𝑣2 = 2(10)(8,45)
𝑣2 = 13𝑚/𝑠
(1)
(2)
𝑣2 N.R.
Piden 𝑣2
= 8,45m
Además:
1
2
𝜌. (0)² + 𝜌𝑔ℎ =
1
2
𝜌𝑣2
2 +𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(0)
Reemplazando:
Aplicación 4
El tubo horizontal mostrado se conoce como el
tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la
rapidez de flujo de un fluido incompresible.
Determine la rapidez de flujo de agua en el punto
(1) si la diferencia de presión 𝑃1 − 𝑃2 = 6𝑘𝑝𝑎.
Considere 𝐴1 = 2𝐴2 = 2𝑚²
Resolución:
De la ecuación de la continuidad
𝐴1. 𝑣1 = 𝐴2. 𝑣2
De a ecuación de Bernoulli
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2 + 𝜌𝑔ℎ2
El punto (1) y (2) están al mismo nivel: ℎ1 = ℎ2
𝑃1 +
1
2
𝜌. 𝑣1
2 = 𝑃2 +
1
2
𝜌𝑣2
2
𝑣2 = 2𝑣1
𝑃1 − 𝑃2 =
1
2
𝜌( (2𝑣1)
2−𝑣1
2)
1
2
𝜌(3𝑣1
2)
6000 =
1
2
(1000)(3𝑣1
2) 𝑣1 = 2𝑚/𝑠
(1)
(2)
Piden 𝑣1
𝑣1 𝑣2
𝐴1 𝐴2
(2)𝑣1 = (1)𝑣2
N.R
1
2
𝜌𝑣2
2 −
1
2
𝜌. 𝑣1
2
𝑃1 − 𝑃2 =
𝑃1 − 𝑃2 =
Reemplazando:
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