Ejercicio28_TP3

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Matemática
P
S
P
b
28. Dada
1-x
x)x(f  se pide:
a. Graficar f.
b. Indicar dominio e imagen de f.
c. Escribir ceros, asíntotas, intervalos de positividad y negatividad de f.
ráctico 3 - ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCIÓN RACIONAL- EJERCICIO 28 1
OLUCIÓN Y COMENTARIOS
ara graficar analizaremos primero los ítems b y c.
. Indicar dominio e imagen de f
 La función f está definida para cualquier número real distinto de 1, ya que este valor de x
anula el denominador.
Luego Domf = 1
 Encontrar el conjunto de imágenes equivale a encontrar el conjunto de números reales que
son imagen de algún elemento del dominio de la función.
Para hallar el conjunto de imágenes igualamos la función a y e intentamos despejar x.
y)y1(x
yyxx
yyxx
1)-(xyxy
1-x
x




Vamos a dividir miembro a miembro por 1 – y por lo que debe ser 1 – y 0 ó lo que es lo
mismo y 1.
Luego:
1ycon
y1
y
x 



Hemos logrado despejar x, siempre que y 1. Lo que significa que no tengo ningún
elemento del dominio cuya imagen sea igual a 1.
Por tanto Imf = 1 .
c. Escribir ceros, asíntotas, intervalos de positividad y negatividad de f.
 Buscamos los ceros de la función, igualando la fórmula de la misma a cero: 0
1-x
x

Pero el cociente es cero solo si el numerador es cero.
Luego es:
0C0 
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 Asíntota vertical es la recta x = 1 ya que es
1-x
x
lím
1x


Asíntota horizontal es la recta y = 1 ya que es 1
1-x
x
lím
x


(Verificar que esto es cierto)
 Intervalo de positividad
Para hallar el intervalo de positividad veamos cuando es f(x) > 0, es decir analizamos
0
1-x
x  .
Como la fórmula es un cociente este es mayor que cero cuando el numerador y el
denominador tienen el mismo signo. Por lo que debemos analizar las siguientes situaciones:
x > 0  x -1 > 0  x < 0  x -1 < 0
x > 0  x > 1  x < 0  x < 1
x > 1  x < 0
C+ = (-; 0) U (1; + )
 Intervalo de negatividad
Para hallar el intervalo de negatividad veamos cuando es f(x) < 0, es decir analizamos
0
1-x
x  .
Como la fórmula es un cociente este es menor que cero cuando el numerador y el
denominador tienen el distinto signo. Por lo que debemos analizar las siguientes situaciones:
x > 0  x -1 < 0  x < 0  x -1 > 0
x > 0  x < 1  x < 0  x > 1
0< x < 1  x 
C - = (0; 1)
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a. Graficar f.
Ahora sí podemos contestar al ítem a, en donde se nos pide el gráfico de la función.
Para ello tenemos es cuenta las respuestas que encontramos.
Domf = 1 Imf = 1
A.V. : x = 1 A.H.: y = 1
0C0  C+ = (-; 0) U (1; + ) C - = (0; 1)
Con lo que un gráfico aproximado de f es: