PPT Semana 1 Campos escalares y vectoriales Derivada total y parcial de un vector La diferencial de una función Geometría diferencial Agosto

Vista previa del material en texto

DINÁMICA
2022
1
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares y vectoriales.
Logro
Al finalizar la sesión el estudiante conocerá y comprenderá los conceptos y principios de los campos escalares y vectoriales, derivada total y parcial de un vector, la diferencial de una función y geometría diferencial que le permitirá plantear y solucionar problemas realizando cálculos al respecto los cuales tendrán bases y/o principios similares a los que utilizará en su vida profesional generando criterio en el estudiante.
	
 
2
3
Campo Gravitatorio
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares y vectoriales.
CAMPO
CAMPO ESCALAR
CAMPO VECTORIAL
4
Consideremos el campo gravitatorio
Un hecho fundamental de la gravitación es que dos masas ejercen fuerzas entre sí, existe interacción entre ellas.
Es el concepto de campo que considera a una partícula de masa como modificando en alguna forma el espacio que la rodea y formando un campo gravitatorio.
CAMPO
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares y vectoriales.
En una determinada región del espacio se tiene un “campo físico” cuando en ella se presentan u observan propiedades físicas. 
Estas propiedades pueden ser : Escalares, Vectoriales, Tensoriales.
CAMPO
Producido por una distribución dada de partículas de masa
Es necesario calcular la fuerza que ejerce este campo en otra partícula de masa colocada en el.
5
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares y vectoriales.
 
 
=
 
=
=
6
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares y vectoriales.
 
=
=
=
7
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares.
Es una función que a cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud escalar, definida por un número (su magnitud) con su signo, y su unidad.
Un ejemplo típico es la densidad de masa. Es usual decir que la densidad de masa es la masa dividida por el volumen.
Hay que definir una densidad para cada punto.
8
Esto se hace tomando un elemento de volumen muy pequeño (por ejemplo             alrededor de un punto       , y midiendo la masa,            , de la materia contenida en dicho elemento, de forma que la densidad de masa es
Otros ejemplos son:
La densidad de carga,      
La presión de un gas o de un líquido,       .
La temperatura,       .
El potencial eléctrico,      .
Sólo consideraremos campos univaluados, esto es, que a cada punto del espacio asignan un único valor de la magnitud correspondiente.
Campos escalares y vectoriales. 
Campos escalares.
9
Campos escalares y vectoriales. 
VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES EN DOS DIMENSIONES
El concepto de campo en general, y de campo escalar en particular, es abstracto por lo que se hace necesario inventar formas de representar los campos escalares.
Cuando tenemos un campo dependiente de solo dos variables,  X    e  Y    , existen varias posibilidades: 
ELEVACIÓN
MAPAS DE DENSIDADES
CURVAS DE NIVEL
10
Campos escalares y vectoriales. 
VISUALIZACIÓN DE CAMPOS ESCALARES EN DOS DIMENSIONES
GRAFICAS MIXTAS
usar curvas de nivel junto con colores, como en los mapas topográficos,
o diagramas 3D coloreados según la altura.
o diagramas 3D con curvas de nivel
o todo junto
11
Campos escalares y vectoriales. 
Campos VECTORIALES.
Un campo vectorial, matemáticamente, es una aplicación que a cada punto del espacio asigna un valor de una magnitud vectorial.
Magnitud vectorial (esto es, con módulo, dirección y sentido).
Un ejemplo sería la distribución de velocidades en el aire, que en cada punto de la atmósfera posee tanto una intensidad como una dirección y un sentido.
12
Otros ejemplos son:
El campo eléctrico,     
El campo magnético,     
  El campo gravitatorio, 
El flujo de calor, 
Como con los campos escalares, sólo consideraremos campos univaluados, esto es, que a cada punto del espacio asignan un único valor de la magnitud correspondiente.
Campos escalares y vectoriales. 
Campos VECTORIALES
13
Un diferencial de una magnitud, dA, es una cantidad muy pequeña de dicha magnitud.
DIFERENCIAL
Campos escalares y vectoriales. 
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
Pero si el movimiento es irregular, nos puede interesar un análisis más detallado del movimiento. 
La pregunta que surge de manera inmediata es ¿cómo de pequeño? ¿pequeño comparado con qué?
Por ejemplo, si estamos considerando el movimiento rectilíneo de una partícula, nos puede interesar el desplazamiento neto Δx, durante un periodo finito Δt.
 En ese caso consideraríamos intervalos de 
 tiempo muy cortos, en los cuales se realizan 
 desplazamientos minúsculos. A esos 
 intervalos, que serían instantes, los
 denotamos por dt y a los desplazamientos 
 pequeños por dx y los llamamos 
 diferenciales.
14
Un diferencial no tiene por qué referirse al incremento de una variable.
DIFERENCIAL
Campos escalares y vectoriales. 
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
También se pueden definir diferenciales de magnitudes vectoriales. Un desplazamiento en el espacio viene dado por el incremento del vector de posición.
En los casos dt y dx sí puede considerarse como incrementos muy pequeños en las variables t y x.
Supongamos ahora, que nos piden describir la temperatura de una habitación.
 es decir, es el producto de tres 
 diferenciales de variables diferentes.
Si consideramos un desplazamiento muy pequeño comparado con el tamaño del sistema obtenemos un diferencial de camino
que, de nuevo, es una combinación de los incrementos infinitesimales de tres variables diferentes.
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
15
Cuando tenemos una función de una o varias variables f(u, v,……) y las variables cambian en una cantidad diferencial, el valor de la función f también cambia de manera diferencial
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Campos escalares y vectoriales. 
Así obtenemos la regla de que la diferencial de una suma es la suma de diferenciales
En el caso de un producto obtenemos
16
El concepto básico de derivada es el siguiente:
 Una derivada es un cociente entre dos 
 cantidades muy pequeñas
DERIVADA
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADAS
Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…
El ejemplo más claro para ilustrarlo es el de velocidad instantánea. Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo exactamente?
En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado.
17
Numéricamente, se puede hallar un valor aproximado de la derivada a partir del cociente entre incrementos. Así, si tenemos la tabla de posiciones:
DERIVADA
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADAS
Se define entonces la velocidad instantánea como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, cuando ambas cantidades se hacen muy pequeñas, reduciéndose a diferenciales
obtendríamos que la velocidad en t = 0.35 s (intermedio a 0.30 s y 0.40 s) vale aproximadamente
18
El concepto de velocidad instantánea se generaliza a toda derivada de una función f respecto a una variable u: El cociente entre el diferencial de la función y el de la variable
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADAS.
El que una función valga 0 (u otro valor conocido) en un punto no implica que su derivada sea nula en dicho punto.
La derivada consiste en un cociente entre incrementos. Por tanto, no nos basta con conocer el valor de la función en un punto. Necesitamos conocer cómo varía entre ese punto y uno vecino.
Hay que destacar que, del mismo modo que un diferencial no siempre representa el cambio en una variable, un cociente entre diferenciales no siempre es una derivada.
19
Por ello, es siempre preferibleusar la notación de Leibniz, como el cociente entre diferenciales dA / dx en la que aquella variable respecto a la que se deriva en un momento dado es la que aparece en el denominador de la expresión
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADAS.
De la definición de derivada como cociente de diferenciales se deduce que las dimensiones de una derivada son las del numerador (la magnitud que se deriva) dividida por la del denominador (respecto a qué se deriva).
DIMENSIONES DE LA DERIVADA
Así, para la velocidad instantánea, cociente entre un diferencial de posición y uno de tiempo, las dimensiones son L/T.
20
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Campos escalares y vectoriales. 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL.
Geométricamente, la derivada de una magnitud, A, respecto a otra, x, se obtiene representando A frente a x. Si consideramos dos puntos de la curva, la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos vale
Considerando ahora intervalos cada vez más pequeños, la recta secante tiende a convertirse en la recta tangente y la pendiente de la recta tangente equivale a la derivada dA/dx.
21
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Campos escalares y vectoriales. 
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL.
Esta interpretación se relaciona con una aplicación muy importante de las derivadas: la aproximación lineal. Si tenemos una magnitud dependiente de otra de una forma suave, de forma que alrededor de un cierto punto no hay un cambio sustancial de dirección, podemos hacer la aproximación de que para puntos próximos
 o, equivalentemente
Esta es justamente la ecuación de la recta tangente a la curva en x = x0 , entonces, la aproximación lineal consiste en sustituir la función por la recta tangente. Por supuesto, esto solo es una aproximación válida en puntos próximos al de tangencia.
Así, por ejemplo, para un resorte, tenemos que cuando su longitud es la de reposo, l0, no ejerce fuerza alguna, pero si estiramos o comprimimos el resorte aparece una fuerza en sentido opuesto
22
DERIVADA DE UNA SUMA
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADA DE SUMAS Y PRODUCTOS.
La derivación puede extenderse al caso de una magnitud vectorial respecto a una escalar. Algebraicamente equivale a multiplicar el vector por el escalar 1/dt
DERIVADA DE UN PRODUCTO
23
CASO DE MAGNITUDES VECTORIALES
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADA DE SUMAS Y PRODUCTOS.
Las reglas de derivación de sumas y productos se pueden extender al caso de magnitudes vectoriales. Así, para los productos tenemos
24
CASO DE MAGNITUDES VECTORIALES
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADA DE SUMAS Y PRODUCTOS.
Una de las propiedades más importantes de las derivadas es la regla de la cadena, o de Leibniz.
25
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Campos escalares y vectoriales. 
DERIVADA DE SUMAS Y PRODUCTOS.
Las derivadas se pueden reiterar. Así, la segunda derivada de y respecto a x es la derivada de la primera derivada, lo que en la notación de Leibniz se escribe
PROPIEDADES Y EJERCICIOS
DERIVADA DE 
26
DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS
f= C
 
p
PROPIEDADES y ejercicios
DERIVADA DE 
27
EJEMPLOS
PROPIEDADES Y EJERCICIOS
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
28
EJEMPLOS
PROPIEDADES Y EJERCICIOS
29
EJEMPLOS
PROPIEDADES Y EJERCICIOS
30
DERIVADA DE 
EJEMPLOS
PROPIEDADES Y EJERCICIOS
31
EJEMPLOS
EJERCICIOS
32
EJEMPLOS
EJERCICIOS
33
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
EJEMPLOS
EJERCICIOS
34
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO
EJEMPLOS
34
EJERCICIOS
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
conclusiones
36
1
Debemos tener presente que es importante recordar conceptos básicos del calculo diferencial.
2
Hemos recordado las principales derivadas tanto de la suma, como del producto y también de una función logarítmica y exponencial.
3
Hemos visto las aplicaciones prácticas de los campos escalares y hemos definido el campo escalar y vectorial.
4
Hemos realizado ejercicios al respecto que han recordado nuestras habilidades matemáticas.
Concepto de diferencial y derivada.
GRACIAS 
37