Resolución-Tema-03

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Resolución Parcial 2 - Tema 3
1) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas, y simétrica de la recta que contiene al punto Q(0,1,2) y es
paralela a la recta r ∶ (−1,0,1) + µ(1,1,1)
Ecuación Vectorial: s ∶ (0,1,2) + β(1,1,1), con β ∈ R
Ecuación Paramétrica: s ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = β
y = 1 + β
z = 2 + β
β ∈ R
Ecuación Simétrica:
x − 0
1
=
y − 1
1
=
z − 2
1
2) Estudiar la posición relativas de las siguientes rectas (en caso de que sean secantes, dar las coordenadas
del punto donde se cortan): r ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 + µ
y = −µ
z = −1 − µ
µ ∈ R ; s ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = −2β
y = −1 + 2β
z = 2β
β ∈ R
Observemos los vectores directores de cada una:
#»
d1 = (1,−1,−1) y
#»
d2 = (−2,2,2). Podemos observar que
son paralelos:
#»
d1 = −2
#»
d2, por lo tanto las rectas serán paralelas. Para determinar si coincidentes o disjuntas
armamos el siguiente sistema:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 + µ = −2β
−µ = −1 + 2β
−1 − µ = 2β
µ ∈ R
Resolviendo este por cualquier método, encontramos que es un sistema sin solución, lo cual indica que las
rectas son paralelas disjuntas (no coincidentes).
3) Analizar la posición relativa entre los siguientes planos (en caso de que sean secantes, dar la ecuación de la
recta donde se intersecan):
π1 ∶ x − 4y + 5z = 0 y π2 ∶ 2x + 3y − z = 0
Consideremos los vectores normales de cada plano #»n1 = (1,−4,5) y
#»n2 = (2,3,−1). Claramente no son paralelos,
por lo tanto los planos serán secantes. Buscaremos la recta de intersección entre ellos (usaremos el método de
Gauss, puede hacerse por cualquier otro método)
La matriz ampliada correspondiente es
⎛
⎝
1 −4 5 0
2 3 −1 0
⎞
⎠
→
⎛
⎝
1 −4 5 0
0 11 −11 0
⎞
⎠
. Al despejar y hacer susti-
1
tución hacia atrás obtenemos que la recta de intersección es
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = −α
y = α
z = α
α ∈ R
4)
a) Utilizar el método de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎩
x + 2y = 8
3x − 4y = 4
La matriz ampliada correspondiente al sistema dado es
⎛
⎝
1 1 −2 5
2 3 4 2
⎞
⎠
Aplicamos el método de Gauss:
⎛
⎝
1 2 8
3 −4 4
⎞
⎠
− 3F1 + F2 → F2
⎛
⎝
1 2 8
0 −10 −20
⎞
⎠
Despejando y haciendo sustitución hacia atrás obtenemos una única solución (x, y) = (4,2)
b) Clasificarlo en compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Este sistema es es compatible determinado.
c) Dar una interpretación geométrica del sistema y la solución hallada.
Geométricamente son dos rectas en el plano que se intersecan en el punto (4,2)
5) Verdadero o Falso. Justifique adecuadamente.
a) La recta
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 2 + µ
y = 1 − µ
z = 4 + 2µ
µ ∈ R es perpendicular al plano x − y + 2z = 4
VERDADERO. El director de la recta
#»
d = (1,−1,2) y el normal del plano #»n = (1,−1,2) son paralelos
(por tratarse del mismo vector)
b) El punto P (−1,2,1) pertenece al plano −x + 2y + z = 4
FALSO. Si reemplazamos x = −1, y = 2, z = 1 en la ecuación del plano, vemos que no se satisface la
igualdad.
c) Dos vectores serán perpendiculares si el producto cruz entre ellos es cero.
FALSO. Para que sean perpendiculares, el producto punto entre ellos debe ser cero.
d) Si una recta está contenida en un plano, el normal del plano y el director de la recta son perpendiculares.
VERDADERO. El normal del plano es perpendicular a cualquier vector en él, en particular al vector
director de cualquier recta contenida en él.
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e) Dos planos que se intersecan en una recta se pueden representar mediante un sistema de ecuaciones
Compatible Determinado.
FALSO. La situación planteada se representa con un sistema compatible indeterminado.
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