Algunas aplicaciones de DERIVADA (vel-acel-razon de cambio)

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La Derivada
Algunas aplicaciones
Velocidad
Aceleración
Razón de cambio
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES
- 2021 -
Profesora:Lic. Nelida Pérez
VELOCIDAD (instantánea)
Es la DERIVADA DE LA FUNCION posición s=f(t) con respecto al tiempo. 
En el instante t, la velocidad es:
)
 
La pendiente de la tangente en P, es la lectura del velocímetro en ese instante.
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VELOCIDAD (instantánea)
Además de indicarnos qué tan rápido se mueve un objeto, la VELOCIDAD nos da la dirección del movimiento.
Cuando el objeto se mueve hacia adelante (s aumenta), la velocidad es positiva; cuando el objeto se mueve hacia atrás (cuando s disminuye), la velocidad es negativa.
Si vamos a casa de un amigo en auto, el velocímetro mostrará por ejemplo 80 k/hora de ida, pero de vuelta no indicará -80, aunque la distancia a nuestra casa disminuya.
El velocímetro siempre muestra la RAPIDEZ, que es el valor absoluto de la velocidad.
función posición
 s=f(t) 
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ACELERACIÓN
La razón de cambio de la velocidad de un cuerpo es la aceleración del mismo. 
La aceleración mide qué tan rápido el cuerpo pierde o gana rapidez
DEFINICIÓN
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
Si , entonces la aceleración del cuerpo en el instante t es:
 
Es decir es derivar dos veces la función posición.
Caída Libre (en Tierra)
El movimiento de los cuerpos en caída libre bajo la acción de la gravedad fue un tema del que que ocuparon físicos y matemáticos. Investigaciones experimentales y teóricas revelaron que la distancia recorrida en caída libre por un cuerpo lanzado desde el reposo es proporcional al cuadrado de la distancia de tiempo que ha estado cayendo. 
Lo cual se expresa , s es la distancia, g la aceleración debida a la gravedad de la Tierra, t el tiempo. t usualmente se mide en segundos. El valor de g depende de las unidades utilizadas para medir la distancia.
en sistema métrico, (s en metros)
en sistema inglés, (s en pies)
Ejemplo: movimiento vertical
SOLUCIÓN:
En el sistema de coordenadas, s mide la altura del suelo hacia arriba, de modo que la velocidad es potitiva, al ir hacia arriba, y negativa hacia abajo.
Una carga de dinamita impulsa una roca pesada, con una velocidad de lanzamiento de 160 pies/seg. Alcanza una altura de , pies después de t segundos.
¿qué tal alto llega la roca?
¿cuál es la velocidad y la rapidez de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo, yendo hacia arriba? ¿y yendo hacia abajo?
¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t de su vuelo después de la explosión?
¿cuándo toca al suelo la roca?
 
La velocidad es cero cuando o sea cuando t=5.
En ese instante la tangente a la curva en horizontal, tiene un máximo en t=5
pies. Es la altura máxima alcanzada por la roca.
b) Debemos resolver =256. Se obtienen dos valores t=2 segundos, o t=8.
La rapidez tanto subiendo como bajando es 96 pies/segundo.
La gráfica de s no es la trayectoria de la roca, es una gráfica de la altura de la roca en función del tiempo
c) .
La aceleración siempre se esta dirigiendo hacia abajo, cuando asciende se va frenando, cuando cae, va cada vez más rápido
d) La explosión levantó la roca, en t=0 y cayó al suelo en t=10. 
Estos valores se obtienen resolviendo =0. 
Esquema gráfico de la trayectoria de la roca. 
v=0
256 pies
400 pies
ALTURA en pies
Razón de Cambio
Consideremos la función que expresa el radio de una esfera en función de su volumen.
Por ejemplo, pensemos que estamos inflando un globo, cuando cambiamos la cantidad de aire que ingresamos, cambia el radio. Se notará seguramente cómo es el cambio de acuerdo al ritmo que se vaya inflando.
Calcular la razón de cambio del radio r con respecto al Volumen V al inflar un globo esférico.
Solución
La función r que expresa el radio r en función del volumen es
 (se obtiene del volumen de la esfera V=)
Volumen medido en centímetros cúbicos.
Continuación de la solución
Razón de cambio instantáneo del radio respecto del Volumen
 
Razón de cambio del radio para 
0,0020 cm/por unidad de volumen
= 
La superficie de una lámina metálica cuadrada varía con la temperatura, según la función 
 ( en y en grados).
Calcula la superficie de la lámina para: , y .
Solución 
 Debemos evaluar la función en cada temperatural
 
 
 
 
 
Calcula la variación media (o promedio) de la superficie en el intervalo de temperaturas 
Solución 		
 
La variación media es de 0,0018 m2 en el intervalo [10º,100º].
La superficie de una lámina metálica cuadrada varía con la temperatura, según la función 
 ( en y en grados).
 
Calcular la variación instantánea cuando la temperatura es de 40º.
Solución: para obtener la variación instantánea debemos calcular la derivada de la función y evaluar en 40.
 En este caso se trata de una función compuesta. También podría desarrollarse el cuadrado y luego derivar como polinomio.
 
Respuesta: La variación instantánea es de 0,0018018 m2 cuando la temperatura de la placa es 40º.