Vectores en el plano

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 UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
 ALGEBRA Y ANALISIS GEOMÉTRICO / MATEMÁTICA 
 VECTORES EN EL PLANO 
 
1.-Enfoque geométrico 
Desde este enfoque, los vectores son segmentos caracterizados por su longitud (módulo), 
dirección (dada por la recta que lo contiene ) y sentido (orientación dada por la ubicación 
de la flecha). 
Cada vector queda entonces identificado por tres características fundamentales: 
 Módulo 
 Dirección 
 Sentido 
 
 
Usaremos 𝐴�⃗� para denotar el vector con punto inicial u origen A y punto final B y , 
generalmente, con 𝑢 ,�⃗�, �⃗� los vectores cuyos puntos extremos no están especificados a los 
que denominaremos vectores libres .Por otra parte: 
 El número |�⃗� | indica el módulo del vector 𝑢 . 
 El vector 0⃗ denota el vector nulo, es decir, el vector de módulo cero. 
 Cualquier vector de módulo 1 se dice vector unitario y suelen llamarse versores. 
 
Dos vectores libres son iguales o equivalentes cuando tienen igual módulo, dirección y 
sentido. Si dos vectores tienen igual dirección y módulo pero sentido opuesto decimos que 
son vectores opuestos. 
Ejemplos: 
 
2 
 
2.-Enfoque algebraico 
En un plano coordenado, los vectores son segmentos orientados cuyos , origen y extremo , 
son puntos con dos coordenadas ( abscisa y ordenada). La diferencia: extremo-origen , da 
como resultado un par ordenado de números reales , que son las componentes 
cartesianas del vector. 
Así, por ejemplo, si el origen de un vector es el punto A (2,-3) y el extremo es el punto 
B(0,-1) ,sus componentes cartesianas son : 
 𝐴�⃗� = (0 − 2, −1 + 3) → 𝐴�⃗� =(-2,2) 
Con respecto al vector 𝐴�⃗� del ejemplo anterior, el vector con las componentes cartesianas 
(-2,2), es un vector equivalente a él con origen en O(0,0) y extremo en el punto de 
coordenadas ( -2,2), como se puede visualizar en el gráfico siguiente: 
 
 
 
3.-Operaciones desde el punto de vista algebraico y geométrico con 
vectores 
 
3.1- Suma 
Para �⃗� = (a1, a2) y 𝑏 = (b1, b2) , analíticamente la suma entre ambos vectores es: 
 
 �⃗� + 𝑏= (a1, a2) + (b1, b2) =(a1+b1,a2+b2 ) 
 
 
 Nota: Queda como ejercicio, demostar que esta operación cumple las propiedades 
conmutativa, asociativa, tiene al vector nulo como elemento neutro,y, para cada vector, 
existe su opuesto tal que la suma entre él y su opuesto da el vector nulo. 
 
 Gráficamente, desde el enfoque geométrico, se tienen los siguientes métodos: 
        








x
y
A
B
0
a
3 
 
Método del paralelogramo: Este método permite solamente sumar vectores de a pares. 
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos 
coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo 
del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (como se observa en el 
siguiente gráfico).El resultado de la suma es el vector que se encuentra en la diagonal de 
dicho paralelogramo y que parte del origen de ambos vectores, al cual, también se lo llama 
resultante. 
 
 
 
 
Ejemplo: Obtener analítica y gráficamente la siguiente suma: �⃗� + 𝑏 ,donde 
�⃗� =(2, 5) y 𝑏 = (-3,5). 
 
Analíticamente: �⃗� + �⃗�= (-1,10) 
 
 Gráficamente : 
 
 
Método del polígono: Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; 
es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro .El vector 
resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del 
último. 
        
















x
y
a
b
a+b
4 
 
Se muestran los siguientes ejemplos gráficos: 
 
 
3.2- Resta 
 
Para �⃗� = (a1, a2) y 𝑏 = (b1, b2 ) , analíticamente la resta entre ambos vectores es: 
 
 �⃗� − �⃗�= (a1, a2) - (b1, b2) =(a1-b1,a2-b2 ) 
Gráficamente, para restar un vector 𝑢 de un vector �⃗� simplemente se suma �⃗� con el 
opuesto a 𝑢. 
 
 
 
 
Ejemplo: Obtener analítica y gráficamente la siguiente suma: �⃗� − 𝑏 ,donde 
�⃗� =(2, 5) y 𝑏 = (-3,5). 
 
Analíticamente: �⃗� − �⃗�=(5,0) 
 
 Gráficamente: 
5 
 
 
 
3.3-Multiplicación de un escalar por un vector 
 
El resultado es otro vector que se obtiene multiplicando cada una de sus componentes por 
dicho escalar, el cual conserva la dirección pero no necesariamente el módulo y sentido. Si 
el escalar es positivo, el vector resultante tiene el mismo sentido pero si el escalar es 
negativo, el sentido será opuesto. 
Analíticamente para un escalar k y un vector �⃗� = (𝑎 , 𝑎 ) ∶ 
 𝑘�⃗� = 𝑘(a , a ) = (ka1, ka2) 
 
En el siguiente gráfico, se muestra el efecto de multiplicar un vector �⃗� por un escalar k: 
 k�⃗� donde, en cuyo caso, k > 0 ¿por qué? 
 -k�⃗� donde, en cuyo caso, -k < 0 ¿por qué? 
 
 
 
Ejemplo: Obtener analítica y gráficamente :−3 𝑎 ⃗ , donde �⃗� =(-2, 1) 
Analíticamente: −3�⃗�= (6,-3) 
 
 Gráficamente: 
        
















x
y
a
b
a+b
-b
a-b
6 
 
 
 
 
Observación: Queda como ejercicio, demostrar que esta operación cumple las propiedades 
asociativa, distributiva respecto a la suma de vectores, distributiva respecto a la suma de 
escalares y tiene, como elemento neutro multiplicativo escalar, al 1. 
 
Para practicar: Con lo visto hasta ahora : 
 Calcula analíticamente 2�⃗�-�⃗� para �⃗� = (1, −2) y �⃗�=(0,3). 
 Resuelve gráficamente estas operaciones y verifica con el resultado obtenido 
anteriormente 
 
 
4.-Expresión analítica del módulo de un vector 
 
Teniendo en cuenta que el módulo de un vector es la distancia entre los puntos 
correspondientes a origen y extremo del mismo, en la figura, es la medida de la hipotenusa 
del triángulo rectángulo formado Por lo tanto , aplicando el Teorema de Pitágoras , el 
módulo de �⃗� es |�⃗�| = √𝑎 + 𝑏 . 
 
 
Para pensar……….. 
En base a la expresión del módulo de un vector ,¿cómo podríamos obtener la expresión de 
un vector unitario( vector de módulo1) de igual dirección y sentido al dado? 
        








x
y
a
-3 a
7 
 
5.-Expresión de un vector en términos de: 
 5.1-Los versores 
 
Considerando un sistema de ejes ortonormado, los versores ubicados respectivamente sobre 
los semiejes positivo de las x y positivo de las y , son los de componentes cartesianas (1,0), 
y (0,1) .Al primero llamaremos i y al segundo j. 
De este modo, todo vector en el plano puede escribirse en función de los respectivos 
versores. Así, dado �⃗� = (𝑣 ,𝑣 ) resulta �⃗� = (𝑣 ,0)+(0, 𝑣 )= 𝑣 (1,0)+ 𝑣 (0,1)= 𝑣 i+𝑣 j 
 
Luego �⃗� = 𝑣 i+𝑣 j es otra forma de escribir un vector llamada forma canónica. 
 
En el gráfico, a.i es el vector componente en la dirección del eje x y b.j es el vector 
componente en la dirección del eje y , donde a1 y a2 son números reales cualesquiera. 
 
 
 
 
Ejemplo : En el gráfico la forma canónica del vector es : �⃗�=1 .i +4.j . 
 
 
 
        







x
y
i
j
a.i
b.j
a
        












x
y
a
8 
 
 5.2-Módulo y ángulo que forma con el semieje positivo de las x. 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta la figura anterior, donde Ф es el ángulo que forma el vector con el 
semieje positivo de las abscisas y a = |�⃗�|, podemos expresar sus componentes del siguiente 
modo: cos Ф = → 𝑎 = a.cosФ y 𝑠𝑖𝑛Ф = → 𝑎 = a.sinФ . 
 De modo que �⃗� = |�⃗�|(cosФ 𝑖 + sinФ𝑗) donde i denota el versor (vector unitario) sobre 
el eje x y j denota el versor (vector unitario) sobre el eje y. 
 
Conclusión : 
A un vector cualquiera �⃗� lo podemos expresar : 
 Como par ordenado de números reales : �⃗�=(𝑎 , 𝑎 ). 
 En forma binómica o cartesiana : �⃗�=𝑎 𝑖 + 𝑎 𝑗 
 En función del módulo y ángulo que forma con el semieje positivo x : 
 �⃗�=|�⃗�|( cos𝜃 𝑖 + sin𝜃𝑗) 
 
Una aplicación: Una lancha quiere atravesar un río (en dirección norte). Lo hace entonces 
a una velocidad de 10 m/s, en dirección perpendicular a la orilla, pero la corriente la 
desplaza con una velocidad de 6m/s, en dirección noreste. Se pregunta : 
 ¿Cuál es el vector resultante que representa la velocidad real de la lancha?. 
 ¿Cuál es el módulo o intensidad de dicho vector?. 
        









x
y
o

a
a.sin
a.cos


a1
a 1
a 1
a 1
a 1
a 2
(a1, a2 )
 
 ¿Cuál es el ángulo que forma ese vector con la orilla?.
 Escriba el vector resultante en función del módulo y ángulo obtenidos.
 
 
 
6.-Relaciones entre vectores
 Paralelismo : 
Dos vectores son paralelos si existe un escalar no nulo k tal que 
caso, el ángulo que forman ellos es 0° o 180°.
 Ortogonalidad: 
Dos vectores no nulos son ortogonales si el ángulo que ellos forman es de 90°.
 
 
7.-Vectores linealmente dependient
 
Que un vector dependa linealmente
multiplicación de un escalar por este último vector
dirección. En caso contrario, se dice que los vectores son 
Por ejemplo, el vector �⃗�=(4,2) es line
 
Asimismo, un vector �⃗� se dice linealmente dependiente de otros 
se puede expresar de la forma : 
combinación lineal de los vectores 
Por ejemplo, �⃗�=(2,3) se puede escribir c
¿Cuál es el ángulo que forma ese vector con la orilla?. 
Escriba el vector resultante en función del módulo y ángulo obtenidos.
Relaciones entre vectores 
son paralelos si existe un escalar no nulo k tal que 
caso, el ángulo que forman ellos es 0° o 180°. 
Dos vectores no nulos son ortogonales si el ángulo que ellos forman es de 90°.
Vectores linealmente dependientes e independientes 
dependa linealmente de otro, significa que se puede expresar como la 
multiplicación de un escalar por este último vector, para lo cual , deberán tener 
En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente independientes
=(4,2) es linealmente dependiente del vector 𝑏=(2,1) , ¿por qué?
se dice linealmente dependiente de otros digamos, 
expresar de la forma : k1 𝑏 + k2 𝑐 , lo que se conoce con el nombre de 
combinación lineal de los vectores 𝑏 𝑦 𝑐. 
se puede escribir como la combinación lineal : 2(1,0
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Escriba el vector resultante en función del módulo y ángulo obtenidos. 
 
son paralelos si existe un escalar no nulo k tal que �⃗� = k . 𝑤. En este 
Dos vectores no nulos son ortogonales si el ángulo que ellos forman es de 90°. 
significa que se puede expresar como la 
, para lo cual , deberán tener la misma 
linealmente independientes. 
=(2,1) , ¿por qué? 
digamos, �⃗� 𝑦 𝑐 , cuando 
ue se conoce con el nombre de 
2(1,0) +(0,3) . 
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Decimos entonces que �⃗� es linealmente dependiente de los vectores (1,3) y (0,3) 
respectivamente. 
 
Cuando en un conjunto de vectores uno de ellos depende linealmente de los otros, diremos 
que es un conjunto de vectores linealmente dependientes. 
En caso contrario, es decir, cuando ninguno de ellos se puede poner como combinación 
lineal de los demás, es un conjunto de vectores linealmente independientes. 
 
Por ejemplo, los versores i=(1,0) y j=(0,1) tienen la particularidad de que ninguno de ellos 
se puede poner escribir como combinación lineal del otro, lo cual, significa que son 
linealmente independientes y nos permite representar cualquier vector del plano de forma 
única como combinación lineal de ellos. 
Se suele decir que dichos versores forman una base estándar o canónica de R2. 
 
 
8.-Otra operación entre vectores : El Producto escalar o interno 
 
El resultado de esta operación es un número real que se obtiene de la siguiente manera: 
𝑢.�⃗�=|�⃗�||�⃗�|cosϴ (donde ϴ es el ángulo entre ambos vectores que cumple 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) 
Para analizar : A qué es igual el producto escalar : 
 De dos vectores que son perpendiculares? 
 De dos vectores que son paralelos y de igual sentido? 
 De dos vectores que son paralelos y de sentido contrario? 
 De un vector por sí mismo? 
 
Comprobando previamente que entre los versores se verifica: 
i. 𝑖 = 1 , 𝑗. 𝑗 = 1 , 𝑖. 𝑗 = 0 , 𝑗. 𝑖 = 0 
Se obtiene otra expresión para el producto escalar la cual es : 
 
 𝒖 .�⃗� = 𝒖𝟏 . 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐. 𝒗𝟐 donde 𝒖=(𝒖𝟏, 𝒖𝟐) y �⃗�=(𝒗𝟏, 𝒗𝟐) 
 
En efecto: Sean �⃗� = 𝑢1i+u2j y �⃗� = 𝑣1i+v2j, entonces 𝑢.�⃗� =( 𝑢1i+u2j).( 𝑣1i+v2j)→ 
𝑢.�⃗�=u1.v1.(i.i) +u1.v2.(i.j)+ u2v1.(j.i)+ u2.v2.(j.j)→ �⃗�.�⃗� = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 . 𝑣 
 
Nota: Queda como ejercicio, demostrar que esta operación cumple la propiedad 
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conmutativa y la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores. 
 
Algo más…… 
El producto escalar de vectores resulta una herramienta útil para la Física, pues se puede 
calcular el trabajo de una fuerza como el producto escalar entre dicha fuerza y el 
desplazamiento del cuerpo sobre el que está aplicada la fuerza. 
 Por ejemplo, si le aplicamos una fuerza �⃗� a un objeto , se produce un desplazamiento d y 
si llamamos 𝜭 al ángulo determinado por ambos vectores, el trabajo realizado por la 
fuerza es T= �⃗� |𝐷|cos 𝜃. 
Cuando el ángulo es menor que 90° , se favorece el desplazamiento ; cuando es mayor que 
90° ,el desplazamiento se dificulta, y cuando es de 90° no hay trabajo porque no hay 
componente de la fuerza en el sentido del desplazamiento.