Practico-Der-Int

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Derivadas e Integrales en una variable
1) Derivar
a) y = (x2 + x3)4
b) y = 1√
x
+ 1
5
√
x3
c) y = x
2 − x + 2√
x
d) y = tanx
1 + cosx
e) y = x2 sinπx
f) y = x cos−1 x
g) y = t
4 − 1
t4 + 1
h) y = ln(x lnx)
i) y = emx cosnx
j)
√
x cos
√
x
k) y = (arcsin 2x)2
l) y = e
1/x
x2
m) f(x) = sin(x + x2)
n) f(x) = sin(cosx
x
)
o) f(x) = (x + sin5 x)6
p) f(x) = sinx
2 sin2 x
1 + sinx
2) Para cada una de las siguientes funciones f , encuentre f ′(f(x)).
a) f(x) = 1
1 + x
b) f(x) = sinx
c) f(x) = x2
d) f(x) = 17
3) Para cada una de las siguientes funciones f , encuentre f(f ′(x)).
a) f(x) = 1
x
b) f(x) = x2
c) f(x) = 17
d) f(x) = 17x
4) Integrar por sustitución
a) ∫ e5x dx. Resp:
1
5
e5x +C
b) ∫ cos 5xdx. Resp:
sin 5x
5
+C
c) ∫ sinaxdx. Resp: −
cosax
a
+C
d) ∫
lnx
x
dx. Resp:
1
2
(lnx)2 +C
e) ∫
1
3x − 7 dx. Resp:
1
3
ln∣3x − 7∣ +C
f) ∫
1
1 − x dx. Resp: − ln∣1 − x∣ +C
g) ∫ sin2 x cosxdx. Resp:
sin3 x
3
+C
h) ∫ cos3 x sinxdx. Resp: −
cos4 x
4
+C
i) ∫
tanx
cos2 x
dx. Resp:
tan2 x
2
+C
j) ∫
cosx√
2 sinx + 1
dx. Resp:
√
2 sinx + 1+
C
k) ∫
x√
2x2 + 3
dx. Resp:
1
2
√
2x2 + 3 +C
l) ∫
x2√
x3 + 1
dx. Resp:
2
3
√
x3 + 1 +C
m) ∫
sinx
cos3 x
dx. Resp:
1
2 cos2 x
+C
1
5) Integrar por partes
d(uv) = udv + v du, si integramos, obtenemos uv = ∫ udv + ∫ v du. Ó, dicho de otra
forma: ∫ udv = uv − ∫ v du
Esta es la fórmula de integración por partes. Se usa frecuentemente para integrar las
expresiones que pueden ser representadas en forma de producto de dos factores, u y
dv, de tal manera que la búsqueda de la función v, a partir de su diferencial dv, y el
cálculo de la integral ∫ v du, constituyan en conjunto un problema más simple que el
cálculo directo de la integral ∫ udv. En general, se usa para reducir en uno el grado de
un polinomio multiplicando a otra función; en ocasiones esto no es aśı, como se verá en
algunos ejemplos.
a) ∫ xex dx. Resp: ex(x − 1) +C
b) ∫ x lnxdx. Resp:
1
2
x2 (lnx − 1
2
) +C
c) ∫ x sinxdx. Resp: sinx − x cosx +C
d) ∫ lnxdx. Resp: x(lnx − 1) +C
e) ∫ arcsinxdx. Resp: xarcsinx +
√
(1 − x2) +C
f) ∫ ln(1 − x)dx. Resp: x − (1 − x) ln(1 − x) +C
g) ∫ ex sinxdx. Resp:
1
2
ex(sinx − cosx) +C
6) Resuelva las siguientes integrales aplicando el método que crea conveniente.
a) ∫ ee
x
ex dx
b) ∫ x
√
1 − x2 dx
c) ∫
lnx
x
dx
d) ∫
arctanx
1 + x2 dx
e) ∫ ln
√
1 + x2 dx
f) ∫ x2ex dx
g) ∫ x3ex
2
dx
2