RESUMEN TEORIA

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Matemática Aplicada - Teoría
UNIDAD 1
Conjunto de Números
Números Naturales (N) Números Racionales (Q)
N = 0; 1; 2; 15; 35; 586; 760;... Q = 0,4444; ¼; ⅗; ½;
Números Enteros (Z) Números Irracionales (I)
Z = {… ; −3; −2; −1; 0 ; 1; 2; 3; … } I = π; e; √7; √3
Todos los conjuntos de números presentados anteriormente conforman lo que se conoce como el
conjunto de “Números Reales (R)”.
Recta Númerica
Para ubicar los números en la recta numérica.
● El 0 es tomado como punto de referencia:
❖ A su izquierda se encuentran los números negativos.
❖ A su derecha se encuentran los números positivos.
● La distancia entre dos números debe ser igual en toda la recta.
● Los números enteros se ordenan según su ubicación en la recta numérica:
❖ Cualquier número es mayor que los ubicados a la izquierda.
❖ Cualquier número es menor que los ubicados en la derecha.
Módulo/Valor Absoluto
● Es la distancia al 0 en la recta numérica y siempre es positivo.
● Al módulo de un número N se lo simboliza |n|
Opuestos y Consecutivos
● Opuesto: Tienen distinto signo y el mismo módulo
● Consecutivos: un número y su anterior o un número y su siguiente
❖ Anterior: número que está inmediatamente a su izquierda
❖ Siguiente: número que está inmediatamente a su derecha
Propiedad de Número Entero (Z): Discretud
Entre cada par de elementos consecutivos del conjunto, no es posible encontrar otro elemento del
conjunto.
Potencia
Operación que se usa para para abreviar multiplicaciones de factores iguales.
Propiedades de la potenciación
Radicación
Tiene la particularidad de hacer “el efecto inverso” al de la potencia.
Raíz enésima: (el término “enésimo” hace referencia al índice “n”)
Observación: No se puede calcular, en el conjunto de los números reales, la raíz del índice par de un
número negativo.
Observación: Si n es par
Observación: Si n es impar
Números Racionales (Q)
Un número racional es aquel que podemos escribir como cociente (razón) de números enteros. Lo
notamos: “Q”.
Las fracciones, números decimales, porcentajes, representaciones grá�cas de partes de enteros, entre
otras, las cuales son diferentes representaciones que tienen estos números.
ℚ = {𝑥 = 𝑝/𝑞: 𝑐𝑜𝑛 “𝑝” 𝑦 “𝑞” 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠, 𝑞 ≠ 0}
Observación: Esto no signi�ca que los números racionales pueden representarse sólo como razón de
números enteros (o fracción), pero sí debe cumplir con la condición de poder escribirse de esa manera.
Ejemplo: 0,2 = 2/10.
Fracciones Equivalentes
Son aquellas fracciones que representan un mismo número racional.
También existen otros tipos de representaciones de un número racional, además de las fracciones:
Expresiones Decimales
Otra de las formas de representar un número racional es a través de expresiones decimales. Las
expresiones decimales están conformadas por una parte entera (lo que está antes de la coma) y una
parte decimal (lo que está después o a la derecha de la coma).
La expresión decimal de un número racional podrá ser una expresión decimal:
● Exacta: con una cantidad �nita de cifras decimales (0,8).
● Periódica: con una cantidad in�nita de cifras decimales pero que se repiten de algún modo en
particular, formando un período.
❖ Pura: el período comienza inmediatamente después de la coma (1,232323 … = 1, 23).
❖ Periódica: y otras en las que no (1,42222 … = 1,42).
Podemos pasar de una a otra expresión (de exp. fraccionaria a exp. decimal), existen reglas para pasar
de una forma de representación a otra.
Pasaje entre expresiones decimales y fraccionarias de un número racional
● Para encontrar la expresión decimal de una fracción, se halla el cociente entre los números
enteros que la conforman (numerador dividido denominador).
Para encontrar la expresión fraccionaria de un número decimal, se deben considerar los siguientes
casos:
Razón
Llamamos razón de dos números 𝑎 y 𝑏 (con 𝑏 ≠ 0) al cociente entre ellos en ese orden (𝑎:𝑏).
𝑎/𝑏
𝑎 es el antecedente y 𝑏 es el consecuente.
El concepto de razón es más amplio ya que incluye el cociente entre cualquier par de números no
necesariamente enteros. Dos razones de números enteros pueden ser iguales (concepto de fracciones
equivalentes).
Proporción
Cuando dos razones son iguales estas forman una proporción.
𝑎/𝑏 = 𝑐/𝑑
Se lee “𝑎 es a 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑.” (𝑎 y 𝑑 son los extremos, 𝑏 y 𝑐 los medios).
● Además las proporciones veri�can la siguiente propiedad fundamental:
𝑎/𝑏 = 𝑐/𝑑 ↔ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐 ----------- 7/2 = 21/6 ↔ 7. 6 = 2. 21
Esto es, en una proporción, “el producto de los extremos es igual al producto de los medios.”
Magnitudes
La magnitud es una medida asignada para cada uno de los objetos de un conjunto medible.
● Dos magnitudes son directamente proporcionales: (o están en relación de proporcionalidad
directa) cuando el cociente entre las cantidades que se corresponden es constante. El número
que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k).
● Dos magnitudes son inversamente proporcionales: (o se relacionan de manera inversamente
proporcional) cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. El
número que se obtiene al multiplicar las cantidades se denomina constante de
proporcionalidad inversa (k).
Aproximación
● Por redondeo:
➔ Si la cifra es un cinco o mayor que cinco, redondeamos añadiendo una unidad más.
➔ Si la cifra es menor que cinco, el dígito que está a su izquierda queda igual y no se
modi�ca.
● Por truncamiento: se eliminan las cifras que están a la derecha de la unidad a la que debemos
truncar, es decir, se “corta” el número en la cifra que se desea.
Densidad
Densidad del conjunto ℚ en la recta numérica:
El conjunto de números racionales es denso, lo que signi�ca que entre dos números racionales siempre
hay otro número racional.
Observación: existen cifras decimales que tienen una cantidad in�nita de cifras decimales no
periódicas.
Números Irracionales (I)
Un número irracional es aquel que no es racional, es decir, que no puede expresarse como un cociente de
números enteros. Su expresión decimal tiene in�nitas cifras decimales no periódicas. Notamos “I” al
conjunto de los números irracionales.
Observación: Existen números irracionales que presentan cierta regla de formación, pero no período.
Por ejemplo: 0,202200222000
Números Reales ( R )
El conjunto de los números reales (ℝ) es la unión entre el conjunto de los racionales y el de los
irracionales. Esto es, cualquier número racional o irracional es un número real.
Y recíprocamente, un número real o bien es racional o bien irracional.
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad donde hay por lo menos un elemento desconocido al que llamamos
incógnita, la cual se expresa generalmente con una letra. Cada lado de la igualdad es un miembro.
Ejemplo:
1er miembro 2do miembro
38000 + 20. 𝑥 = 63000 (*)
Un valor de la incógnita que satisface la igualdad recibe el nombre de solución de la ecuación. Resolver
una ecuación es encontrar el conjunto solución de la misma.
Cada miembro de una ecuación es una expresión algebraica.
Expresión Algebraica
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o más
operaciones. A los números se los llaman coe�cientes, y a las letras se las llaman variables.Cada
miembro de una ecuación es una expresión algebraica. Una expresión algebraica es una combinación
de letras y números relacionados entre sí por una o más operaciones. A los números se los llaman
coe�cientes, y a las letras se las llaman variables.
Pero, por qué a las letras se las llama variables? Como su nombre lo indica, una variable puede variar y
asumir distintos valores. Esta situación cambia cuando la expresión algebraica aparece involucrada en
una ecuación, pues en la ecuación la incógnita no puede tomar cualquier valor, sino sólo aquel o
aquellos valores que son solución de la misma.
Por este motivo es necesario hacer la distinción entre los términos “variable” e “incógnita”. Cuando en
una expresión algebraica a la variablese le da un valor especí�co, obtendremos, a través de un cálculo,
un valor numérico para la expresión.
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir la o las variables
por números.
Las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones equivalentes.
La propiedad matemática que nos asegura que la nueva ecuación es equivalente a la original se llama
propiedad uniforme y establece lo siguiente:
● Al sumar o restar a ambos miembros de una ecuación un mismo número, se obtiene una
ecuación equivalente.
● Al multiplicar o dividir a ambos miembros de una ecuación un mismo número (distinto de
cero), se obtiene una ecuación equivalente
Atendiendo al número de soluciones que puede tener una ecuación, pueden darse los siguientes:
● Que no tenga solución: Ej - x + 2 = x + 3. No existe ningún valor que sumado a dos de lo
mismo que sumado a 3.
● Que tenga 1 o varias soluciones: Ej - x + 2 = 3. Solo tiene una solución que es x = 1, ya que
uno sumado a dos, da como resultado 3.
● Que tenga in�nitas soluciones: Nos encontramos con varios tipos:
❖ No tiene identidad: Ej - x + y = 5. Tiene in�nitos pares de números que suman 5,
pero no todos los pares de números suman 5.
❖ Tiene Identidad: Ej. 2x + 2 = 2. Cualquier valor de las incógnitas es solución.
Logaritmos
El logaritmo en base a de x es y: log a (x) = y
log a (x) = y si solo si a elevado a y = x
Observaciones:
● Los logaritmos en base 10, se llaman logaritmos decimales y, generalmente, se omite en su
escritura al 10, escribiendo solo log(𝑥).
● Otro logaritmo muy utilizado, es el llamado logaritmo natural o neperiano, cuya base es el
número irracional 𝑒 y se escribe ln(𝑥).
● Los logaritmos pueden dar por resultado cualquier número real.
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en la que al menos una de las
cantidades involucradas es desconocida. Dicho/s valor/es desconocido/s es/son la/s incógnita/s de la
inecuación.
La desigualdad puede aparecer representada por cualquiera de los símbolos “<”, “≤”, “>”, “≥”. Al igual
que las ecuaciones, las inecuaciones tienen dos miembros; estas son las expresiones a cada lado de la
desigualdad.
Una solución de una inecuación es un valor de la incógnita que satisface la desigualdad.
Ejemplo:
1. 𝑥 < 1 Es una inecuación en la incógnita “x”. “x” es el primer miembro y “1” es el segundo
miembro. La inecuación 𝑥 < 1 tiene in�nitas soluciones y podemos representarlas en la recta
real de la siguiente manera:
Intervalos
El subconjunto de la recta real que hemos representado anteriormente es un intervalo. Cabe observar
que el hecho de que las soluciones de ciertas inecuaciones sean intervalos responde a que en cualquier
de los casos, estamos asumiendo que la incógnita puede asumir cualquier valor real, pero esto no
siempre es así. Existen intervalos acotados e in�nitos y pueden ser representados de distintas maneras.
Podría suceder que, en alguna situación, la incógnita represente una cantidad que solo puede variar en
el conjunto de los números enteros. En esos casos ya no utilizaremos intervalos para representar el
conjunto solución. Aun así, podremos representar las soluciones en la recta real.
¿Cómo se resuelve una inecuación? Básicamente, el procedimiento es el mismo que para resolver
ecuaciones y está validado por la misma propiedad uniforme. El único reparo que debemos tener al
resolver inecuaciones es el siguiente: Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación
por un número negativo, la desigualdad cambia y se obtiene una inecuación equivalente a la
primera.
UNIDAD 2
Variables
Una cantidad que varía se reconoce en Matemática como una variable. Cuando las variables en juego
están relacionadas, la variación de una de ellas depende de la otra. Es así que una de las variables es
dependiente (en tanto depende de la otra), mientras que la otra es independiente.
● Para representar grá�camente una relación entre dos variables lo hacemos en un sistema de
coordenadas cartesianas. En el mismo, la variable independiente se representa en el eje 𝒙 y la
variable dependiente en el eje 𝒚.
● Cada punto del grá�co representa un par ordenado de valores (uno para cada cantidad
variable: independiente y dependiente, en ese orden) que están relacionados entre sí.
● Para ubicar puntos en el plano se utiliza un sistema de referencias formado por dos ejes
perpendiculares llamado sistema de coordenadas cartesianas. La escala en los ejes se determina
considerando un segmento unidad (que puede ser distinto en cada eje). El punto donde se
cortan los ejes se llama origen de coordenadas y es el 0 de cada eje. El plano queda dividido en
cuatro zonas llamadas cuadrantes, que se enumeran como se indica en el dibujo.
● Para localizar un punto se dan sus coordenadas cartesianas, o sea, un par de números, que se
escriben en un orden determinado, por lo que se les llama par ordenado y se representan entre
paréntesis y separados con un punto y coma. El primer elemento del par se llama abscisa y
corresponde al valor de ese punto sobre el eje x y el segundo se llama ordenada y corresponde
al valor de ese punto en el eje y.
Funciones
Una relación en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la
variable dependiente se denomina relación funcional o función.
El conjunto de valores donde varía la variable independiente es el dominio de la función o conjunto de
partida y el conjunto de valores donde varía la variable dependiente es el codominio de la función o
conjunto de llegada.
Sea 𝑓 una función y 𝑥 un valor de su dominio, 𝑦 = 𝑓(𝑥) es la imagen de 𝑥 por la función 𝑓. Así, el
conjunto imagen de una función en el subconjunto del codominio de los valores que son imagen de
algún elemento del dominio.
Una relación se puede representar grá�camente (en un sistema de coordenadas cartesianas) o a través
de tablas, como ya hemos visto, pero también existen otras formas de representación: sagital y a través
de una ley o fórmula.
Una cuestión no menor a observar en relación con la grá�ca de una relación funcional, es que,
dependiendo de si el dominio es un conjunto discreto o no, la grá�ca estará conformada por puntos
separados unos de otros, o bien, por puntos unidos a través de una curva.
● Si el dominio de una función es un conjunto discreto, su grá�ca será un conjunto de puntos
aislados entre sí.
● Si el dominio de una función es un conjunto continuo, su grá�ca estará conformada por un
conjunto de puntos unidos a través de una curva.
Funciones crecientes, decrecientes y constantes:
● Una función es creciente en un determinado intervalo si a medida que aumentan los valores
de la variable independiente (y), aumentan los valores correspondientes en la variable
dependiente (x) en dicho intervalo.
● Una función es decreciente en un determinado intervalo si a medida que aumentan los valores
de la variable independiente (x), disminuye los valores correspondientes en la variable
dependiente (y) en dicho intervalo.
● Una función es constante en un determinado intervalo si a medida que aumentan los valores
de la variable independiente (x), se mantienen los valores correspondientes en la variable
dependiente (y) en dicho intervalo.
Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente que tienen imagen cero.
Grá�camente representan los valores de la variable independiente donde la grá�ca de la función corta
al eje x.
Conjunto de positividad y negatividad
● El conjunto de positividad de una función es el conjunto formado por los valores de la
variable independiente para los cuales el correspondiente valor de la variable dependiente es
positivo.
● El conjunto de negatividad de una función es el conjunto formado por los valores de la
variable independiente para los cuales el correspondiente valor de la variable dependiente es
negativo.
Valores de una función
● El valor máximo de una función se corresponde con el mayor valor del conjunto imagende la
función.
● El valor mínimo de una función se corresponde con el menor valor del conjunto imagen de la
función.
Función de proporcionalidad directa
Una función, al poseer la particularidad de relacionar variables que representan magnitudes
directamente proporcionales, se denomina función de proporcionalidad directa.
La grá�ca de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de
coordenadas (o un conjunto de puntos aislados –en el caso de que el dominio sea un conjunto
discreto- alineados sobre una recta tal).
Observación: puede que, en algunos casos, cuando el dominio de la función no contenga a el valor 0,
no observemos el hecho de que la grá�ca para por el origen de coordenadas, sin embargo si uno
“prolonga” dicha grá�ca, podría veri�carse este hecho.
La ley de una función de proporcionalidad directa es de la forma 𝒚 = 𝒌. 𝒙, donde k es la constante de
proporcionalidad.
Funciones lineales
Las funciones lineales son aquellas para las que el cociente 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦/𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥 se mantiene
constante para cualquier par de puntos de su grá�ca
Su grá�ca también es una recta y, en el caso de que dicha recta pase por el origen de coordenadas, se tratará
de una función de proporcionalidad directa. La ley de una función lineal es de la forma: y = k. x + h
Donde 𝑘 y ℎ son números constantes. 𝑘 es el cociente 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦/𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥, que representa
grá�camente la pendiente de la función lineal. Y ℎ es la ordenada al origen y representa grá�camente
el valor donde la recta corta al eje de las ordenadas (y).
¿Qué es una solución de una ecuación en dos variables?
En este caso, será un par ordenado (𝑥, 𝑦) que satisfaga la igualdad.
Hallar un par (𝑥, 𝑦) que sea simultáneamente solución de dos ecuaciones dadas, equivale a resolver un
sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas.
Sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se consideran de manera simultánea y se
representan conjuntamente a través de una llave. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar, si existen,
soluciones comunes a todas las ecuaciones. En particular, resolveremos sistemas de dos ecuaciones lineales
en dos incógnitas.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas es hallar, si existen, pares ordenados (𝑥, 𝑦)
que sean solución de ambas ecuaciones.
¿Cómo se interpretará gráficamente una solución del sistema?
Será un punto que pertenezca a ambas rectas simultáneamente, es decir los puntos de contacto de las dos
rectas.
Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas puede ser:
Método de sustitución
El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla
en la otra ecuación.
Despejo 𝑦 de la ecuación (2): 𝑦 = 36 − 𝑥 (fórmula de sustitución)
Funciones exponenciales
Estas funciones que se caracterizan por tener la variable en el lugar del exponente
UNIDAD 3
Operaciones financieras
Se denomina “operación financiera” a toda modi�cación cuantitativa en el capital por desplazamiento
del mismo en el tiempo. Existe una prestación y una contraprestación y entre ellos debe haber un
tiempo corrido.
Según se liquiden los intereses de la operación �nanciera podemos encontrar dos regímenes de
capitalización.
REGÍMENES DE CAPITALIZACIÓN:
● Régimen de interés simple
● Régimen de interés compuesto
Elementos de las operaciones �nancieras (ciertas):
● Capital: es todo conjunto de bienes dedicados a la productividad. A los �nes de su estudio en
las operaciones �nancieras, serán medidos en unidades monetarias simbolizándose con 𝐶.
● Tiempo: es la cantidad de períodos entre un momento inicial y un momento �nal. Sin tiempo
transcurrido no hay operación �nanciera, debe estar expresado en la misma unidad de tiempo
que la tasa de interés simbolizándose con 𝑛.
● Tasa de interés: es el rendimiento de un peso de capital en un periodo. Será utilizada en su
expresión al tanto por uno y la simbolizamos con 𝑖. Se calcula de la siguiente manera:
Entonces: 𝑖 = 𝐼 / 𝐶 ⇨ 𝑖 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 / 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎l
La matemática �nanciera se asienta sobre dos pilares fundamentales que son las operaciones de
capitalización y actualización. Relacionadas por un concepto que les da sentido “el valor tiempo del
dinero”.
Régimen de interes simple
En este caso los intereses de cada periodo se calculan sobre el capital inicial y no producen nuevos
intereses.
La suma �nal llamada monto “M” es:
𝑀 = 𝐶 + 𝐼
𝑀 = 𝐶 + 𝐶 . 𝑖 . 𝑛 (sacando factor común C)
𝑀 = 𝐶 ( 1 + 𝑖 . 𝑛)
El monto es una función del tiempo, por lo tanto, la pendiente de la función es el producto 𝐶 . 𝑖 que
multiplica a la variable independiente.
Observaciones: Los intereses son constantes e iguales en todos los periodos. El capital que produce
intereses es siempre el mismo. Los intereses si no son retirados hasta el �nal de la operación quedan
improductivos.
Observación: Para formular “n” debemos pensar que estamos indicando tiempo de la operación en
términos del tiempo en que trabaja la tasa. Mostrando una relación que debe ser usada en la misma
unidad de tiempo. Para este caso debemos relacionar el tiempo de la operación con el periodo de la
tasa.
Régimen de interes compuesto
En este caso los intereses de cada periodo se calculan sobre el capital más los intereses producidos en el
periodo anterior, es decir los intereses se suman al capital y generan nuevos intereses para el periodo
siguiente.
Su fórmula es 𝑀𝑐= 𝐶 (1 + 𝑖) elevado a la n
Observaciones: Los intereses de cada periodo se adicionan al capital del periodo inmediato anterior.
El capital productor de intereses de cada periodo es variable y creciente. Los intereses de cada
periodo son variables y crecientes.
En este régimen de Interés compuesto existe la capitalización de los intereses. Capitalizar los intereses
signi�ca transformar los intereses en capital para que produzcan nuevos intereses en los periodos
siguientes.
Tasa periódica efectiva de interés
Es el rendimiento (interés) de un peso de capital en un periodo de tiempo, independientemente de la
forma de la forma de capitalización (periódica o sub-periódica) M = C. e elevado a i+n
El “monto máximo” representa el mayor monto que se podría obtener con la misma tasa nominal.
Para obtenerlo se aplica límite al monto con la tasa subperiódica proporcional cuando la frecuencia de
capitalización tiende a in�nito.
ENFOQUE DE PROPORCIONALIDAD: capitalización subperiódica y continua.
Monto con capitalización subperiódica.
● Tasa subperiódica proporcional “j/m”: es la tasa que resulta de dividir la tasa nominal
constante por la frecuencia de capitalización.
● Tasa periódica nominal “j”: es la tasa que se ofrece una institución �nanciera, periódica
nominal “j” que capitaliza sub-periódicamente, en tal caso, debe encontrarse una tasa
subperiódica planteándose proporcionalidad.
Operaciones de actualización
La operación �nanciera de actualización es un modelo matemático tal que, al aplicarlo a una suma
disponible en el momento futuro “n”, lo convierte en un capital equivalente disponible en el momento
presente, es decir, toma un valor disponible en un momento futuro y lo valúa en un momento más
cercano en el tiempo.
“El valor tiempo del dinero” está basado en la premisa de que un inversor pre�ere recibir un pago de
una suma �ja de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo valor nominal en una fecha futura. En
particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero y considerar
otro concepto relacionado “el costo de oportunidad”.
La diferencia entre el valor futuro y el valor presente se denomina descuento y se de�ne como la
compensación o el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su
vencimiento dentro de “n” unidades de tiempo. El descuento, propiamente dicho, no es más que una
disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su
vencimiento, porlo tanto, se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe
el valor futuro).
Simbología:
● N = valor nominal, valor escrito o valor futuro.
● V = valor efectivo, valor presente, valor actual
● D = descuento (N – V = D)
● d = tasa de descuento
Comercial = Descuento Simple = Nominal
Racional = Interés Compuesto = Efectivo
Nota: la utilización de tasas de interés o descuento para realizar la actualización nos ubica frente al
régimen racional o comercial. A su vez, según cuál sea el comportamiento para la actualización
aparecen otros tipos de tasas en compuesto.
Observación:
● En la actualización utilizando tasas de interés (régimen racional), el valor efectivo invertido
por el tiempo que media entre la fecha de vencimiento del documento y la fecha del descuento
a la tasa interés, debe reproducir el valor nominal o futuro.
● En la actualización utilizando tasas de descuento (régimen comercial), el valor efectivo
invertido por el tiempo que media entre la fecha de vencimiento del documento y la fecha del
descuento a la tasa de descuento, no reproduce el valor nominal o futuro.
Refinanciación de deudas y Sustitución de documentos
Para llevar a cabo estas operaciones se debe establecer una “equivalencia �nanciera”. Que podría
de�nirse como sigue: “La suma de los valores actuales de los documentos reemplazados, debe ser igual a
la suma de los valores actuales de los nuevos documentos”.
Rentas
Se puede de�nir a las Rentas como operaciones �nancieras compuestas ya que en ellas existe pluralidad
de prestaciones o contraprestaciones. Siendo una sucesión de pagos o cobros con vencimientos en
épocas equidistantes que se producen en un lapso de tiempo.
Elementos de una renta:
● C= Término, periodicidad o cuota
● i = Tasa de interés, es la tasa que se utiliza para realizar las operaciones �nancieras de
contemporización (actualización o capitalización). Deberá estar expresada en la misma unidad
de tiempo en que se den los pagos o cobros.
● n = Número de periodos, que coincide con el número de cuotas a abonar/cobrar. Época inicial
del pago de las cuotas: es el inicio del periodo en el que se abona la primera cuota. Además, ese
pago, puede estar al principio o al �nal del periodosiendo “cuota adelantada” o “cuota
vencida” respectivamente.
● Época de valuación: es el momento que se elige para contemporizar todas las cuotas. Aquellas
cuotas ubicadas con anterioridad a la época de valuación serán capitalizadas. Aquellas ubicadas
con posterioridad a la época de valuación serán actualizadas.
● Época �nal: es el �nal del último periodo en el que se paga la última cuota.
Tomaremos como referencia para clasi�car las rentas, la coincidencia o no de la época inicial y la época
de valuación.
Clasificación de las rentas:
● Rentas Inmediatas: coincide la época inicial y la época de valuación
● Rentas Diferidas: la época de valuación de las cuotas es anterior al comienzo del pago de las
mismas. Existe lo que se denomina periodo de diferimiento “d” en el que no se abonan cuotas.
● Rentas Anticipadas: en este caso la época de valuación es posterior a la época inicial de pago
de las cuotas.
Cabe aclarar que la clasi�cación vale para cuotas adelantadas (aquellas que se abonan al inicio del
periodo).
Renta inmediata
Con cuota vencida: La época de valuación coincide con la época inicial (renta inmediata). Vamos a
determinar el valor global de la renta, teniendo en cuenta que debemos proyectar las cuotas al
momento de la valuación, considerando el número de periodos y la tasa de interés. Una vez
contemporizar las cuotas al momento inicial, las sumamos y obtenemos el valor �nanciero buscado
Con cuota adelantada: La época de valuación coincide con la época inicial (renta inmediata). Vamos a
determinar el valor global de la renta, teniendo en cuenta que debemos proyectar las cuotas al
momento de valuación, considerando el número de periodos, la tasa de interés y además que las cuotas
se pagan al comienzo de cada uno de los periodos. Una vez contemporizadas las cuotas al momento
inicial, las sumamos y obtenemos el valor �nanciero.
Dato complementario: Utilización de Excel para conocer la tasa de interés de una anualidad o valor
�nanciero actual:
● En la planilla de Excel ir a la pestaña fórmulas.
● En ese menú buscar las “�nancieras”.
● Luego identi�car la función TASA • Ingresar y completar los datos:
❖ Nper (n° de cuotas);
❖ Pago ($del valor de la cuota);
❖ Va (con signo negativo el valor �nanciero presente)
❖ click en aceptar
❖ predeterminar en la casilla de Excel que muestra el resultado de la tasa, pestaña de
número, “general” (cambiar porque aparece porcentaje)
Imposiciones
Se puede de�nir a las Imposiciones como operaciones �nancieras compuestas, ya que en ellas existe
pluralidad de prestaciones o contraprestaciones. Siendo una sucesión de cuotas con vencimientos en
épocas equidistantes que se producen en un lapso de tiempo. En este caso la época de valuación
coincide con la época �nal.
Dato complementario: Utilización de Excel para conocer la tasa de interés de un valor �nanciero �nal:
● En la planilla de Excel ir a la pestaña fórmulas.
● En ese menú buscar las “�nancieras”.
● Luego identi�car la función TASA
● Ingresar y completar los datos:
❖ Nper (n° de cuotas);
❖ Pago ($ del valor de la cuota con signo negativo);
❖ Vf ($ de la suma reunida futura)
❖ click en aceptar
❖ predeterminar en la casilla de Excel que muestra el resultado de la tasa, pestaña de
número, “general” (cambiar porque aparece porcentaje)
Rentas diferidas
Son las rentas en que la época inicial de pago de las cuotas es posterior a la época de valuación de la
renta. Existe un periodo “d” de diferimiento en el cual no se abonan cuotas. Se simboliza el valor actual
de una renta diferida en d períodos.
Cuota adelantada Cuota vencida
Rentas anticipadas
Son las rentas en que la época inicial de pago de las cuotas es anterior a la época de valuación de la
renta. Existe un periodo “a” de anticipación en el cual se abonan cuotas., y luego de la época de
valuación se abonan “n – a” cuotas restantes Se simboliza el valor actual de una renta anticipada en “a”
periodos.
Cuota adelantada Cuota vencida
Rentas perpetuas o perpetuidades
Son aquellas rentas donde el número de términos o de cuotas tiende a in�nito (n→∞). Pueden ser
inmediatas, diferidas o anticipadas. Las obtenemos aplicando límite cuando n tiende a in�nito a las
respectivas rentas temporarias.
APORTADO POR: KATALINA REGGIARDO Y JOAN M. SIGISMONDO