UNIDAD 03-GUÍA DE RESOLUCIÓN

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UNIDAD 03 
 GUÍA DE RESOLUCIÓN 
1.-Se tiene que elegir una clave de 4 dígitos para operar en el cajero automático de un 
banco y se quiere que la clave esté formada por dígitos distintos y que ninguno de ellos sea 
cero. ¿Entre cuántas opciones se puede elegir la clave?. 
Tener en cuenta lo siguiente: 
 El conjunto A está formado por los 9 dígitos distintos de cero, de modo que n=9. 
 Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. 
 Son variaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los dígitos, 
varía la clave. Además, no intervienen todos los elementos en cada arreglo (sólo 
4). 
 Cada conjunto ordenado está formado por 4 dígitos distintos del conjunto A. De 
modo que r=4 y n=9. 
 
Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑉 , = 9.8.7.6 → 𝑉 , = 3024 
Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de 
posibilidades en cada ubicación: 
 
9 8 7 6 
Posibilidad 1 Posibilidad 2 Posibilidad 3 Posibilidad 4 
El producto de las cuatro posibilidades es: 3024 
 
2.-Un bibliotecario debe ubicar en fila, en uno de los estantes , 11 libros diferentes sobre 
un mismo tema .¿De cuántas formas diferentes puede ubicar todos esos libros?. 
Tener en cuenta lo siguiente: 
 El conjunto A está formado por los 11 libros distintos, de modo que n=11. 
 Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. 
 Son permutaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los 
elementos, varía la disposición. Además, intervienen todos los elementos en cada 
arreglo. 
 Cada conjunto ordenado está formado por los 11 libros distintos del conjunto A. 
 
Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑃 = 11! → 𝑃 = 39.916.100 
Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de 
posibilidades en cada ubicación: 
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
El producto de las once posibilidades es: 39.916.100 
 
3.-Los miembros de una Organización se comunican a través de mensajes secretos 
utilizando los siguientes símbolos: ∞, β , ©, ×, ö, ↊, #. 
a)¿Qué cantidad de mensajes de 5 símbolos diferentes hay?. 𝑽𝟕,𝟓 = 𝟐𝟓𝟐𝟎 
b)¿A cuántos mensajes de 6 símbolos tienen acceso sus miembros, si en los mismos, 
pueden usarse los símbolos más de una vez?. 
Tener en cuenta lo siguiente: 
 El conjunto A está formado por 7 símbolos distintos, de modo que n=7. 
 Son arreglos con repetición porque pueden usarse los símbolos más de una vez. 
 Son variaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los 
símbolos, varía el mensaje. Además, no intervienen todos los elementos en cada 
arreglo (sólo 6). 
 Cada conjunto ordenado está formado por 6 símbolos, del conjunto A, que pueden 
repetirse. De modo que r=6 y n=7. 
 
Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑉 , = 7 → 𝑉 , = 117.649 
Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de 
posibilidades en cada ubicación: 
 
7 7 7 7 7 7 
El producto de las seis posibilidades es: 117.649 
 
5.-Por un aviso en el diario, en el que se solicitaban promotores, se presentaron 200 
jóvenes que cumplían con los requisitos pedidos. ¿Cuántas selecciones diferentes se pueden 
hacer si se necesitan 5 promotores?. 
Tener en cuenta lo siguiente: 
 El conjunto A está formado por los 200 jóvenes, de modo que n=200. 
 Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. 
 Son combinaciones porque no interesa el orden, ya que cambiando el orden de los 
jóvenes, no varía el grupo. 
 Cada conjunto está formado por 5 jóvenes del conjunto A. De modo que p=5 y 
n=200. Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝐶 
 
6.-En nuestro país, las patentes de los automotores constan de 3 letras seguidas de 3 
números. ¿Cuántos automotores es posible patentar? (Considere que de las 27 letras del 
abecedario español no se utiliza la ñ). 263. 10
3= 17.576.000 
 
7.-Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: 
 ¿Cuántas maneras de escoger tiene? 45 
 ¿Cuántas maneras , si las 3 primeras preguntas son obligatorias?. 
Puedo elegir 5 de las 7 últimas preguntas, entonces: = = 21 
 ¿Cuántas , si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?. 
1°.- Si contesta todas las cinco primeras preguntas, puede escoger tres de las 
restantes, para completar las ocho. Entonces son: = 10. 
2°.-Si contesta cuatro de las cinco primeras preguntas, puede escoger cuatro de las 
últimas cinco, para completar las ocho. Entonces son: = 5. 
En total son 10 +5.5 = 35 maneras diferentes. 
 
8.-Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De 
cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de 
una persona?. 60 5.4.3=60(variaciones simples) 
10.-Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos :L1,L2,L3,L4 y L5 .Se 
pretende analizar las distintas mezclas posibles que se pueden obtener vertiendo en distinto 
orden los 5 líquidos. 
a)¿Cuántas pruebas diferentes pueden hacerse?. 120 Perm. Simples: 5! 
b)¿Cuántas pruebas diferentes pueden hacerse si el líquido L5 se echa siempre en 3° 
término?. 24 Perm.Simples: 4! 
 
13.-En un local comercial hay 6 modelos distintos de notebooks. ¿De cuántas maneras 
diferentes se pueden elegir 4 notebooks, que pueden ser eventualmente del mismo modelo?. 
126 (combinaciones con repetición) 
 
14.- ¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números: 3, y 7 , si el 3 se 
repite dos veces y el 7 tres?. 10 
Perm.con rep. 
15.- ¿Cuántos grupos, de cuatro elementos, se pueden formar con las letras C y S si 
importa el orden y se admite que cada una de ellas puede figurar hasta 4 veces?. 16 
Var.con rep.. 
 
18.-Analice cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y por qué: 
 Dados dos eventos A y B ,la probabilidad de que ocurra A o B ,es siempre la 
suma : P(A)+P(B). F: P(A U B) = P(A) +P(B) –P(A∩ B) 
 
 Si P(A ∩B)=0, entonces Ay B son mutuamente excluyentes. 
V pues A∩ B=∅ 
 
 Dados dos eventos A y B , complementarios entre sí, entonces P(A)=1-P(B) 
V : A U B= Ω y A∩ B=∅ 
 Dos eventos A y B cumplen siempre que :P(Ay B)=P(A).P(B). 
F: sólo si son independientes. 
 
 La probabilidad de un evento aleatorio es un número mayor que cero y 
menor o igual a 1. F: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 
 
 Que dos eventos A y B sean dependientes significa que la posibilidad que 
ocurra A, por ejemplo, imposibilita o anula la posibilidad que ocurra B. 
F: lo afecta pero no imposibilita. 
 
20.-En una cátedra se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos parciales. 
Con ese criterio se aprobó el 70%, sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el 
segundo el 40%.¿Cuál hubiera sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido 
superar ambos parciales?. 
Sean los eventos : 
A: aprobación del primer parcial, B: aprobación del segundoparcial, A U B : aprobación de 
al menos uno de los dos parciales ( que pueden ser eventualmente los dos), A∩ B : 
aprobación de ambos parciales. 
F 
V 
V 
F 
F 
F 
Entonces, los datos son P(A)=0,60 P(B)=0,40 y P(A U B) =0,70 y lo que se quiere 
averiguar es P(A∩ B) . 
 Por la Regla de la Adición: P(A U B) = P(A) +P(B) –P(A∩ B) . Reemplazando resulta: 
 0,70 = 0,60 +0,40 –P(A∩ B) , de donde P(A∩ B) = 0,30 
 
21.-En un estudio para examinar la relación entre el nivel de riesgo de ser afectada una 
zona por los incendios y el uso más frecuente de controles preventivos en la zona , se 
entrevistaron 1500 personas del lugar y se obtuvo la información que aparece en la tabla : 
 
Nivel de riesgo 
 Número de controles preventivos por: 
Total Capacitación recibida (A) Experiencia o saberes previos (B) 
Muy elevado(C) 41 184 295 
Elevado (D) 110 190 300 
Medio (E) 174 432 606 
Medio-bajo (F) 67 228 295 
Bajo (G) 36 38 74 
Total 428 1072 1500 
 
Si A,B,C,D,E,F y G se consideran eventos ,calcule: 
a)P(B)=
𝟏𝟎𝟕𝟐
𝟏𝟓𝟎𝟎
 b)P(E)= 
𝟔𝟎𝟔
𝟏𝟓𝟎𝟎
 c)P(A∩ 𝐹) = 
𝟔𝟕
𝟏𝟓𝟎𝟎
 d)P(B∪ 𝐸) = 
𝟏𝟐𝟒𝟔
𝟏𝟓𝟎𝟎
 e)P(A/G)=
𝟑𝟔
𝟕𝟒
 
f)P(G/A)= 
𝟑𝟔
𝟒𝟐𝟖
 
 
22.-En un bolillero hay 200 bolillas rojas y 100 bolillas negras. Si se extraen bolillas una 
tras otra sin reposición, hallar la probabilidad que: 
a)La primera bolilla que se extrae sea negra y la segunda roja. 
Sean N1: sacar negra en la primera extracción y R2 : sacar roja en la segunda extracción . 
Planteamos : P(N1).P( R2 / N1 )=100/300 . 200/299 = 0,223 aproximadamente 
b) La primera bolilla que se extrae sea negra ,seguida por una roja y luego una negra. 0,074 
aproximadamente 
 
23.-Un aparato tiene dos componentes A y B. Los fallos en el aparato vienen motivados por 
fallos en alguna de las componentes. Al cabo de 5 años, la componente A ha fallado en el 
6% de los aparatos, y la componente B en el 8%.En el 4% de los aparatos han fallado las 
dos componentes. 
a)Los fallos de A y B, ¿son independientes?. 
No, pues se verifica que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) 
b)Si B ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que A haya fallado?. 1/2 
 
24.-En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C.El 30% de la población lee A , el 
20% lee B ,el 22% C, el 12% lee A y B ,el 9% A y C ,y el 6% B y C, finalmente, el 3% lee 
A,B y C. Se pide: 
a)Porcentaje de personas que leen al menos uno de los tres periódicos. 48% 
b)Porcentaje que sólo lee A. 12% 
c)Porcentaje que leen B o C , pero no A. 18% 
 
25.-Si A y B son sucesos independientes con P(A)= y P(B)= entonces : 
A)P(A∪ B)= B) P(A∪ B)= C) P(A∩ B)=0 D) P(A∩ B)= Opción B) 
 
26.-Un lote de 8 aparatos contiene tres defectuosos. Un inspector prueba uno de ellos; si es 
defectuoso lo retira y si no lo es lo devuelve al lote. Un segundo inspector elige un aparato 
al azar y lo prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?. 
 0,34 aproximadamente 
28.-Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 200 piezas al día con 
un 4% de defectuosas, la máquina B produce 300 con un 5% de defectuosas, y la C fabrica 
400 con un 2% de defectuosas. Al final del día ,una pieza es tomada al azar, la probabilidad 
de que proceda de la máquina A, sabiendo que es defectuosa, es aproximadamente: 
a)0,652 b)0,046 c) 0,348 d)ninguna de las anteriores Opción d) 
 
29.-Atendiendo al nivel de contaminación, una ciudad está dividida en tres zonas A, B y C. 
El 45% de la población vive en la zona A , el 30% en B y el resto en C. El nivel de 
contaminación influye en la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar; dicha 
enfermedad afecta a 3 de cada 100 personas que viven en A, mientras que sólo afecta a 4 de 
cada 100 de las que viven en B y a 5 de cada 100 en C. 
Sean los sucesos 
A: persona que vive en la zona A, B: persona que vive en la zona B, C: persona que vive en 
la zona C , D: la persona sufre la enfermedad y N: la persona no es afectada por la 
enfermedad . 
Entonces un diagrama sería: 
 
a)Hallar la probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población sufra 
enfermedad y viva en la zona A. 
Aquí , que una persona elegida al azar en esta población sufra enfermedad y viva en la zona 
A, corresponde al suceso : 𝐷 ∩ 𝐴. Por lo tanto, calculamos: 
 𝑃(𝐷 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) = 45/ 100 . 3/ 100 =0,0135 
b) Hallar la probabilidad de que una persona elegida al azar viva en la zona B sabiendo que 
está afectada por dicha enfermedad. 
Que una persona elegida al azar viva en la zona B sabiendo que está afectada por dicha 
enfermedad, corresponde al suceso: B / D. Por lo tanto, calculamos la probabilidad 
condicional: 𝑃(𝐵 /D)=
( ∩ )
( )
≅ 0,3157 
 
30.-El 30% de los vuelos que llegan a un aeropuerto son vuelos nacionales regulares, el 
45% vuelos internacionales regulares y el 25% restante vuelos charter. La proporción de 
personas que viajan por razones de trabajo en cada tipo de vuelo son: 
 En vuelos nacionales regulares, el 90%. 
 En vuelos internacionales regulares, el 50%. 
 En vuelos charter, el 10%. 
Las restantes viajan por diferentes motivos personales. Elegimos un avión al azar y 
preguntamos a 1 persona(al azar también) de las que acaban de bajar de ese avión, 
resultando que viaja por motivos personales .¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo por 
motivos personales fuera por charter?. 
. 𝑷(𝑪𝑯 /N)≅ 0,46875 
 
31.-Una organización mensualmente, estudia dos grupos de industrias y las clasifica como 
de elevado riesgo o de poco riesgo .En un informe reciente publicó sus investigaciones 
sobre 13 compañías de la industria metalúrgica y 27 de construcción, con los resultados 
resumidos en el siguiente cuadro: 
 Riesgo 
Industria 
 Poco Riesgo (Pr) Elevado Riesgo(Er) Total 
Metalúrgica (M) 4 9 13 
Construcción (C ) 16 11 27 
 Total 20 20 40 
Si una persona elige aleatoriamente una de esas industrias para invertir en sus acciones, 
calcule : a)P(Pr/M) = 
𝟒
𝟏𝟑
 b) P(Er/C) = 
𝟏𝟏
𝟐𝟕
 c)P(M y Er) = 
𝟗
𝟒𝟎
 d)P(M o Pr) = 
𝟐𝟗
𝟒𝟎
 
e)P(C/Pr) = 𝟎, 𝟖1 
 
32.-Si A y B son sucesos que verifican : P(A)=0,32 ; P(B)=0,85 ; P(B/Ac)=0,8 ,entonces 
P(Ac/B) es igual a : a)0,8 b)0,544 c)0,2 d)0,64 
Opción D)