Sistemas de numeracion

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INFORMÁTICA I
Licenciatura en Ciencias de la 
Atmósfera y Meteorología Aplicada
Sistemas de Numeración
Unidades de Medida
• En el Sistema Binario la mínima unidad de medida 
es el bit que podemos considerarlo como el estado 
de un interruptor (abierto o cerrado) donde cada 
estado está representado por un dígito binario 0 o 1.
• Los bits se agrupan en bytes que son conjuntos de 8 
bits. 
• Aunque formalmente pueden existir bytes de entre 
6 y 9 bits lo que normalmente nos encontraremos 
son bytes de 8 bits, por eso también se les llama 
octetos.
Unidades de Medida
• Para la memoria y el almacenamiento se utiliza 
el sistema binario, donde cada unidad son 1024 
de la unidad anterior, así pues tenemos:
• 1024 bytes son 1 Kilobyte (K, KB, Kibi, KiB o Kibibyte)
• 1024 K son 1 Megabyte (Mega, MB, MiB o Mebibyte)
• 1024 MB son 1 Gigabyte (Giga, GB, GiB o Gibibyte)
• 1024 GB son 1 Terabyte (Tera, TB, TiB o Tebibyte)
• 1024 TB son 1 Petabyte (Peta, PB, PiB o Pebibyte)
Unidades de Medida
• Para comunicaciones y velocidad de transmisión de datos se 
utiliza el sistema decimal y por tanto las unidades son múltiplos 
de 10 y no de 2. Aquí se usa como base los bits por segundo 
(bps). Atención: son bits no bytes.
• Las unidades más usadas son:
– Kilobit (Kbps) = 1.000 bits por segundo
– Megabit (Mbps) = 1,000.000 bits por segundo (1.000 Kpbs)
– Gigabit (Gbps) = 1.000,000.000 bits por segundo (1.000 Mbps)
• En ocasiones las velocidades de Internet se miden en kilobytes 
por segundo (KB/s), contando en bytes no en bits, lo que refleja 
no la velocidad de transmisión sino las unidades de capacidad 
por segundo que se transmiten, teniendo que multiplicar por 8 
para obtener la velocidad real de transmisión.
Unidades de Medida
• Frecuencia: La velocidad de procesamiento 
del procesador, memoria, gráficos, etc. se 
mide en hercios, siendo un hercio (hz) un ciclo 
o repetición de un evento por segundo.
• El hercio ya se ha quedado lento y los 
dispositivos ahora funcionan a megahercios 
(Mhz, millones de hercios) o a gigahercios 
(Ghz, mil millones de hercios).
Sistemas de Numeración
• Decimal
• Binario
• Octal
• Hexadecimal
Sistema Binario
• El sistema binario es un sistema de 
numeración en el que los números 
se representan utilizando 0 y 1. 
• Por tanto su base es 2 (número de 
dígitos del sistema). Cada dígito o 
número en este sistema se 
denomina bit (contracción de 
binary digit).
• En computación se utiliza el 1 para 
encendido y 0 para apagado. 
Convertir de decimal a binario
• Se va dividiendo el número decimal por 2 y se 
anota el resto (un 0 si el resultado de la división es 
par y un 1 si es impar).
• Para sacar la cifra en binario tomamos el último 
cociente (siempre será 1) y todos los restos de las 
divisiones de abajo arriba, orden ascendente.
• Ejemplo, si queremos 
convertir el número 
28 a binario:
Convertir un número fraccionario
• Dividimos la parte entera y la fraccionaria.
• La parte entera la dividimos por 2…..
• La parte fraccionaria la multiplicamos por 2. Vamos tomando la 
parte entera del resultado para formar el número binario. Luego, 
la parte fraccionaria que queda la vuelvo a multiplicar por 2…..
• Ejemplo: Convertir a binario el número 42,375
Convertir un número fraccionario
• Otro ejemplo: Como convertir el número 
325,625 a octal:
• Y el número 250,25 a hexadecimal:
Convertir de binario a decimal
• Multiplicamos cada digito binario por 2^n donde 
el exponente n es la posición de cada dígito de 
derecha a izquierda comenzando de 0.
• Se suman todos los productos y el resultado será 
el número equivalente en decimal.
Convertir un número fraccionario
• Sólo debemos recordar que estamos tratando 
con un sistema numérico de posición.
• Ejemplo: Veamos como convertir a decimal el 
número 110.001
• El resultado es 6,125
Suma y resta
• Las operaciones binarias que se pueden 
realizar con número binarios son las mismas 
que en cualquier otro sistema: suma, resta, 
multiplicación y división.
 100110101
 + 11010101
———————————
 1000001010
 10001 11011001 
 -01010 -10101011
—————— ———————
 00111 00101110
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el 
sistema decimal, tomando una unidad prestada 
de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, 
lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa 
unidad prestada debe devolverse, sumándola, 
a la posición siguiente.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
0 - 0 = 0
0 - 1 = 1 (me llevo 1)
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
Multiplicación
Multipliquemos ahora 10110 por 1001:
 
 10110 
 x 1001 
 ———————
 10110 
 00000 
 00000 
10110 
————————— 
11000110
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1
• Todo número multiplicado por 0 da 0.
• Todo número multiplicado por 1 da 1.
Luego, se suman los 
resultados.
Se multiplica cada dígito.
División con números decimales
División
• La división en binario es similar a la decimal, la única 
diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro 
de la división, estas deben ser realizadas en binario. 
Compara el divisor con el primer dígito 
del dividendo. Si el divisor es el número 
más grande, sigue añadiendo dígitos al 
dividendo hasta que el divisor sea el 
número más pequeño.
Si la división es posible, entonces, el 
divisor sólo podrá estar contenido una 
vez en el dividendo, es decir, la primera 
cifra del cociente es un UNO.
Por cada resta se adiciona un 1 al 
cociente y se baja la siguiente cifra del 
dividendo.
Si no es posible la resta se coloca un 0 en 
el cociente y se baja la siguiente cifra en 
el dividendo.
 Dividendo Divisor
 1110111 1001
 - 1001 1101 Cociente
 01011
 -1001
 001011
 -1001
 0010 Residuo
Ejercicios
-111 1101
 1000
 -111
 00111
 0
Código ASCII
• El sistema binario se utiliza también para representar texto.
• El Código Estándar Americano para el Intercambio de 
Información (ASCII) fue desarrollado a partir de los códigos 
telegráficos, pero luego fue adaptado para representar 
texto en código binario en los años 1960 y 1970. 
• La versión original de ASCII utiliza 8 bits (recuerda cada 
número binario es un bit) para representar cada letra o 
carácter, con un total de 128 caracteres diferentes.
• Cuando hablamos de caracteres nos referimos tanto a 
letras, como a números, como a signos ($, /, etc.).
Código Unicode
• Mientras ASCII se encuentra todavía en uso hoy en día, el 
estándar actual para la codificación de texto es Unicode. 
• El principio fundamental de Unicode es muy parecido a 
ASCII, pero Unicode contiene más de 110.000 caracteres, 
cubriendo la mayor parte de las lenguas impresas del 
mundo.
• La relativamente simple versión de 8 bits de Unicode 
(referido como UTF-8) es casi idéntica a ASCII, pero las 
versiones de 16 y 32 bits (referido como UTF-16 y UTF-
32) le permiten representar casi cualquier tipo de 
lenguaje impreso.
ASCII vs Unicode
Como se almacena un número
• En la memoria de un computador podemos 
encontrar distintos tipos de datos.
• Los números los veremos almacenados en dos 
posibles formatos estándar:
– Punto fijo
• Número binario con signo
• Número binario sin signo
– Punto flotante
• Precisión simple
• Precisión doble
Punto Fijo
• Uno de los formatos de punto fijo mas utilizado es:
• La propiedad fundamental de este formato es que permite 
representar números negativos, por lo cual se utiliza el bit 
más significativo de la palabra binaria que se está 
manejando. 
• Esto lleva a que en un formato de palabra de n bits, la 
capacidad de representación sea de hasta para 
números positivos y negativos. El bit de signo será 
siempre el más significativo.
Punto Flotante
• Como la memoria de los ordenadores es limitada, no se pueden 
almacenar números con precisión infinita: en algún momento 
hay que cortar. Pero ¿cuánta precisión se necesita? ¿Cuántos 
dígitos enterosy cuántos fraccionarios?
– Para un ingeniero construyendo una autopista no importa si es 10 o 10,001 mtros de 
ancho.
– Para alguien diseñando un microchip 0,0001 metros (la décima parte de un milímetro) 
es una diferencia enorme ─ pero nunca tendrá que manejar distancias mayores de 0,1 
metros.
– Un físico necesita usar la velocidad de la luz (más o menos 300000000) y la constante 
de gravitación universal (más o menos 0,0000000000667) juntas en el mismo cálculo.
• Para satisfacer a todos, el formato tiene que ser preciso para 
números de órdenes de magnitud muy diferentes.
• Básicamente, tener un número fijo de dígitos enteros y 
fraccionarios no es útil ─ y la solución es un formato con un 
punto flotante.
Punto Flotante
• Los números de coma flotante decimales normalmente 
se expresan en notación científica con un punto 
explícito siempre entre el primer y el segundo dígitos. El 
exponente o bien se escribe explícitamente incluyendo 
la base, o se usa una e para separarlo de la mantisa.
Punto Flotante
• Las dos representaciones más usadas de 
punto flotante están definidas en el estándar 
754 de la IEEE:
– Precisión simple: 8 bits para el exponente
– Precisión doble: 11 bits para el exponente
IEEE = El Instituto de Ingeniería Eléctrica y Electrónica es una 
asociación mundial de ingenieros dedicada a la normalización y el 
desarrollo en áreas técnicas.
Punto Flotante
• Ejemplo de precisión doble:
• 64 bits para la representación normalizada : 1 bit para el signo, 11 bits para el exponente y 52 
bits para la mantisa.
• Si el bit del signo es 0 el número es positivo, y si el bit es 1, el número es negativo.
• El exponente se calcula en exceso. Va desde +1023 hasta el -1022 en la precisión doble y de +127 
a -128 en la precisión simple (El exponente 0 tiene asociado al número 127 = 01111111).
• Entonces, el exponente se calcula como E = k – 1023 o E = k – 127. Donde k es el valor del 
exponente obtenido (de los 8 u 11 bits).
• Por lo tanto la representación de punto flotante se pude expresar como:
Un número está normalizado si tiene la forma dado que los números 
normalizados en base 2 tienen siempre un 1 a la izquierda, éste suele quedar implícito (pero debe ser 
tenido en cuenta al calcular el valor de la secuencia).
Punto Flotante
• Ejercicio: Exprese en formato IEEE 754 de 
precisión simple, el valor del número 45.25.
• Pasando la mantisa a base 2 y normalizando, se tiene: 45=101101 y 
0.25=0.01
Overflow / Underflow
• Sea el siguiente formato de punto flotante de 32 bits (base 2, normalizado)
• El rango de valores representable por cada uno de los campos es:
–Exponente (8 bits con sesgo de 128) : -128 ... +127
–Mantisa (23 bits normalizados) : los valores binarios representables oscilan entre 
1.00... Y 1.11...
• Obsérvese que la cantidad de números representables es 232(igual que en punto 
fijo). Lo que permite la representación punto flotante es ampliar el rango 
representable a costa de aumentar el espacio entre números representable (un 
espacio que no es uniforme). 
Operaciones bit a bit
• Una operación bit a bit o bitwise opera sobre números binarios 
a nivel de sus bits individuales. Es una acción primitiva rápida, 
soportada directamente por los procesadores. 
• En procesadores simples de bajo costo, las operaciones de bit a 
bit, junto con los de adición y sustracción, son sustancialmente 
más rápidas que la multiplicación y la división, mientras que en 
los modernos procesadores de alto rendimiento usualmente las 
operaciones se realizan a la misma velocidad.
• Las operaciones básicas posibles son:
– AND
– OR
– XOR
– NOT
AND
• El AND toma dos números enteros y realiza la operación 
AND lógica en cada par correspondiente de bits. 
• El resultado en cada posición es 1 si el bit 
correspondiente de los dos operandos es 1, y 0 de lo 
contrario, por ejemplo:
 0101 AND 0011 = 0001
• El AND puede ser usado para filtrar determinados bits, 
permitiendo que unos bits pasen y los otros no. También 
puede usarse en sistemas de mayor fiabilidad.
OR
• Una operación OR toma dos números enteros y 
realiza la operación OR inclusivo en cada par 
correspondiente de bits. 
• El resultado en cada posición es 1 si el bit 
correspondiente de cualquiera de los dos 
operandos es 1, y 0 si ambos bits son 0, por 
ejemplo:
 0101 OR 0011 = 0111
XOR
• El XOR toma dos números enteros y realiza la 
operación OR exclusivo en cada par 
correspondiente de bits. 
• El resultado en cada posición es 1 si el par de bits 
son diferentes y cero si el par de bits son iguales. 
Por ejemplo:
0101 XOR 0011 = 0110
NOT
• El NOT es el complemento, es una operación 
unaria que realiza la negación lógica en cada bit, 
invirtiendo los bits del número, de tal manera 
que los ceros se convierten en 1 y viceversa. 
Por ejemplo:
 NOT 10011 = 01100
• El NOT forma el complemento a uno de un valor 
binario dado.
Preguntas?
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