guia Sumas restas multiplicacion division

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Asignatura: Introducción Al Algebra / Profesor: Rafael Palacios 
Semana 1 – Clase 2 - Sumas, Restas, Multiplicación y división 
 
Suma 
Sumando + Sumando = Suma 
La suma tiene 6 propiedades en el sistema de los números reales 
1. Ley Clausurativa. 
a + b es un número real 
2. Ley Asociativa 
a + (b + c) = (a + b) + c 
3. Ley conmutativa 
a + b = b + a 
4. Propiedad de identidad 
El número real 0 se llama identidad aditiva pues para todo número real “a”: a + 0 = a = 0 + a 
5. Propiedad del inverso 
Para todo número real “a” existe un único número real (llamado “inverso aditivo de a”) representado por 
“-a” de manera que: a + (-a) = 0 = (-a) + a 
6. Propiedad Distributiva 
Esta es la propiedad más importante. La mayoría de los errores en todos los ramos matemáticos de 
universidad ocurren por utilizar mal esta propiedad). 
a(b + c) = ab + ac 
(a + b)c = ac + bc 
Nota Importante, signo de los paréntesis: 
Cuando el paréntesis está precedido por el signo +, éste se elimina manteniendo los signos de cada término 
encerrados por el paréntesis. 
-3ab2 + c + (1- ab2-3c) 
Cuando el paréntesis está precedido por el signo -, éste se elimina, de modo que cada término encerrados por 
el paréntesis quedan con el signo contrario. 
xy3z – 4x2y3z -3-(-2+ xy3z - x2y3z+2a) 
 
 
 
Resta 
Minuendo – sustraendo = diferencia 
Propiedades de la substracción y negativos 
Hablar de propiedades en la resta no es adecuado. Para que tenga propiedades debemos transformarla en 
suma. De todas formas aquí van 4 puntos a tener en cuenta en las restas. 
1. – (-a) = a 
2. –(ab) = (-a)*(b) = a * (-b) 
3. -a = (-1) * a 
4. (-a) * (-b) = ab 
Multiplicación 
Factor * factor = producto 
Notar que el signo * representa multiplicación. 
La multiplicación tiene 6 propiedades principales 
1. Ley Clausurativa. 
A*b es un número real 
2. Ley Asociativa 
a *(b * c) = (a * b) * c 
3. Ley conmutativa 
a * b = b * a 
4. Propiedad de identidad 
El número real 1 se llama identidad multiplicativa pues para todo número real “a”: a * 1 = a = 1 * a 
5. Propiedad del inverso 
Para todo número real “a" ≠ 0, existe un único número real (llamado “inverso multiplicativo de a”) 
representado por 
1
𝑎
 de manera que: a * 
1
𝑎
 = 1 = 
1
𝑎
 *a 
6. Propiedad Distributiva 
Esta es la propiedad más importante. La mayoría de los errores en todos los ramos matemáticos de 
universidad ocurren por utilizar mal esta propiedad). 
a(b + c) = ab + ac 
(a + b)c = ac + bc 
De las propiedades básicas pueden derivarse varias más: 
 
7. Ley cancelativa o anulativa 
Si a + c = b + c, entonces a = b 
Si ac = bc y c ≠ 0, entonces a = b 
8. Ley de la multiplicación por cero 
a * 0 = 0 * a = 0 
si a * b = 0, entonces a = 0 ó b = 0 (ó ambas) 
 
División 
Dividendo /divisor = cociente + resto (resto = “número entero del resto” / “Divisor”) 
Hablar de propiedades en la división no es adecuado. Para que tenga propiedades debemos transformarla en 
producto. 
Para todas las fracciones 
𝑎
𝑏
 𝑦 
𝑐
𝑑
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 ≠ 0 𝑦 𝑑 ≠ 0 se cumplen lo siguiente: 
1. Fracciones equivalentes 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
2. Regla de los signos 
−
𝑎
𝑏
=
−𝑎
𝑏
=
𝑎
−𝑏
 
3. Cancelativa 
𝑎𝑐
𝑏𝑐
= 
𝑎
𝑏
 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 0, b≠ 0 
4. Adición y sustracción con común denominador 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑏
= 
𝑎 ± 𝑐
𝑏
 
5. Adición y sustracción con distintos denominadores 
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
6. Multiplicación 
𝑎
𝑏
∗
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
7. División 
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∗
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 0 
 
8. División de cero y división por cero 
0
𝑏
 = 0, 𝑏 ≠ 0 
0
0
 , 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 
𝑎
0
 , es indefinido, 𝑎 ≠ 0 
 
Guía de ejercicios clase 2 
I) Sabiendo los nombres de los componentes de la suma, resta, multiplicación y división resuelva los 
siguientes ejercicios: 
1) ¿Cuál es el resto si el divisor es 2 y el dividendo 25? 
2) Si usted sabe que el minuendo es el producto entre 2 y 3, que el sustraendo es el cociente que se 
obtiene al dividir 7 en 8, ¿cuál es la diferencia? 
3) Encuentre 4 pares de factores que den como producto el número 64. 
4) Encuentre el resto si usted sabe que el divisor es la suma entre 5 y 8 y que el dividendo es el 
minuendo en una resta donde el sustraendo es 7 y la diferencia es 97. 
5) Encuentre la suma si se sabe que el primer sumando es el resto que se obtiene al dividir 8 en 5, el 
segundo sumando es el producto entre los factores 12 y 5 y el tercer sumando es el resto que se 
obtiene al dividir 5 en 8. 
6) Si usted sabe que en el resto de una división el dividendo es la diferencia entre 7 y 5, y el divisor es 
la suma entre 4 y 3. Además sabe que el cociente de la división inicial (no el del resto) es el 
producto entre 1 y 3. Encuentre el dividendo y el divisor de la división inicial (no la dada del resto). 
7) Cuál es el resultado de la división que se obtiene si sabe que el dividendo es la diferencia entre 7 y 
7 y el Divisor es el producto que se obtiene al multiplicar 7 y cero. 
8) Encuentre la diferencia entre el inverso aditivo de 5 y el inverso multiplicativo de 5. 
II) Haciendo uso de las propiedades aprendidas resuelva los siguientes ejercicios. 
1) Cuanto debe valer b si usted sabe que 
10
𝑏
= 
35
4
 
2) Cuanto debe valer a si usted sabe que 
𝑎
35
= 
35
4
 
3) Si usted sabe que a + c = b + c, además sabe que b + c = 38 y que c vale 7, ¿cuánto vale a? 
4) Calcule 
2
3
+
3
6
+
4
12
+
5
15
 
5) Calcule 
−2
3
+
3
−4
+
−4
5
∗
5
−8
 
6) Calcule −
2
3
∗
−3
4
∗
4
−5
 
7) Calcule 
2
3
/
3
4
+
4
5
/
5
8
 
III) Calcule usando la propiedad distributiva los siguientes ejercicios 
1) -a*(b+6) – (-ab +12a) 
2) −
1
𝑎
∗ (2𝑎 − 5𝑎3 + 3𝑎2) 
3) 
2
5
(15𝑎 + 5𝑏 − 10𝑐) 
 
4) 3𝑎 ∗ (
2
6
−
5
15
+
10
30
) 
5) 12𝑎𝑏 ∗ (
1
𝑏
+
3
𝑎
−
𝑐
12
) 
IV) Resuelva los siguientes ejercicios 
1) 2a – 5b + 3b 
2) 𝑎3: 𝑏2 ∗ 𝑏3 
3) √𝑎
3
: √𝑏 ∗ √𝑏 
4) 6: 2(2 + 1)