01-PRODUCTOS-NOTABLES--ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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(a + b + c ) 
Productos notables 
 
 
 
 
 
 
 
Bombones 
 
En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido, 
que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total se 
regalan 240 bombones. 
Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta? 
 
 
 
Son productos indicados que tienen una forma determinada, 
de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo, 
sin necesidad de efectuar la operación. 
 
1. Trinomio cuadrado perfecto 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
Identidad de Legendre 
 
I1: (a + b)
2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) 
I2: (a + b)
2 - (a - b)2 = 4ab 
 
2. Diferencia de cuadrados 
 
(a + b) (a - b) = a2 - b2 
 
3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado 
 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 
(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c) 
 
4. Desarrollo de un binomio al cubo 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
Identidades de Cauchy 
 
I3: (a + b)
3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 
I4: (a - b)
3 = a3 - b3 - 3ab (a - b) 
 
Relaciones particulares: 
 
(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2) 
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2) 
 
5. Suma y diferencia de cubos 
6. Desarrollo de un trinomio al cubo 
 
Según Cauchy se puede escribir así: 
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc 
 
Otras formas más usuales del desarrollo: 
 
3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) 
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc 
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) - 2(a3 + b3 + c3) + 6abc 
 
7. Identidades de Stevin 
 
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 
(x+a)(x + b)(x + c) = 3x+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc 
(x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc 
 
8. Identidad trinómica de Argand 
 
(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n 
Formas particulares más usuales: 
Si: m=1 , n=1 
(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 
Si: m=1, n=0 
(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1 
 
9. Identidad de Lagrange 
 
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2 
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = 
(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2 
 
10.Igualdades condicionales 
 
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relaciones 
notables: 
 
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3 
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 
* a2 
* a3 
+ b2 
+ b3 
+ c2 
+ c3 
 
= -2(ab + bc + ca) 
= 3abc 
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 
2 
(a2 + b2 + c2)2 
 
2 
   

 2 4 
 

3 

3 3 
Problemas resueltos 
 
1. Reducir: 
L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7 
 
Solución: 
 
Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab 
 
5. Reducir: 
 
 
 
 
 
Solución: 
Operando: 
 
 
 
S  
7  5 

7  5 
 
 
 
7  5 
7  5 
tenemos: 
L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7 
 
S  
( 7 

5 )2  ( 7  5 )2 
2 2 
 
2( 7  5 ) 
2 2 
 L = 30 ( 7  5 )( 7  5 ) 7  5 
 
 
2 
 1 
2. Si:  x  
 x 
 
 
 
 3 ; hallar: S  x3  
1 
x3 
 
S  
2(7  5) 
12 
2 
 S = 12 
 
Solución: 
 
 
 1  1 
 
Problemas para la clase 
Desarrollando: x2 + 2x   + = 3
 
 x  x 2 
 
2 1
 
Bloque I 
 
1. Multiplicar: 
 x   1 ; luego de “S” : 
x 
 
8 
S   2 

 
8 
1 2 

 
4 
1 2 

 
1 2  1 2 

S  x 3  
1 
x 3 
 
 
x 

 1  2 
 x 
x 
 1 
1 

x 2 
 
 
a) 1 b) 2 c) 2 2 
 
Reemplazando: S   x  
1 
0  0
 
 S  0 
 
d) 2 e) 84
 
 
 
3. Reducir: 
 
 x 
 
2. Multiplicar: 
S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3) 
- 2x(x2 + 11) - 1 
P  4  15 . 4  15 
 
Solución: 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 16 
 
Operando : 
S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1 
De donde : 
S = - 1 
3. Operar: 
 
S   
3
 

 
 
7  
3
 
 
 
  3 
 
 
 
 
49  
3
 
 
 
14  
3 

 
4. Reducir: 
 
 
 
P  
(a  b) 
 
 
 
 (b  c)3 
abc 
 
 
 
 (a  c)3 
a) 9 b) 5 c) 3 
d) 1 e) 16 
 
4. Reducir: 
 
Si : a + b + c = 0 P   7  3 2   7  3 2 
 
Solución: 
 
Tenemos que: a + b = - c 
b + c = -a 
a + c = -b 
 
a) 2 b) 10 c) 20 
d) 40 e) 16 
 
5. Simplificar: 
Luego reemplazando: 
S  
 x 
2 
y   x 
  
2 
 
y  
; x , y  0 
P  
(-c)  (-a)
3
  (-b)3 
 
- (a  b
3
  c3 ) 
  
3abc 
 y x   y x 
abc 
P = -3 
abc abc 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
a) 2 b) 4 c) 6 
d) 8 e) 16 
 
1 
2 2 
6. Si: 
 
 
Hallar: 
 
 
a + b = 4 
ab = 1 
 
Hallar: a2 
 
2
 
 
 b2  3 
 
3 2
 
P = (a2 + b2)2 
a) x - 1 b) x + 1 c) x + x - 1 
 
 
a) 190 b) 196 c) 197 
d) 198 e) 194 
 
7. Si: 
a + b = 4 
d) x3 - 1 e) x2 + 1 
 
 
3 3 
4. Si: P  4  2 
 
Calcular el valor de: M  P(P 
 
 
 
 
 
6 ) (P  6 ) 
 
Hallar: 
ab = 1 
 
S = a3 + b3 
a) 6 b) 9 c) 3 
d) 2 e) 0 
 
5. El valor numérico de: 
a) 52 b) 51 c) 50 
d) 49 e) 60 
 
S  
3 
6 
 
3 10  
3 
6 
 
3  10 
 
8. Calcular el valor de: 
 
S  
32 
1  3(22  1)(24  1)(28  1)(216  1)(232  1)(264  1) 
 
 
a) 4 b) 8 c) 16 
d) 160 e) 64 
 
9. Multiplicar: 
a) 1 b) 2 c) 2 
d) 2 2 e) 4 
 
6. Siendo: 
A = (a + b)2 - (a - b)2 
B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2 
C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2 
P   2  3  5  2  3  5  2 6 AB Obtener: S  
C 
a) 0 b) 1 c) 2 
a) 1 b) 2 c) -2 
d) 2 6 e) 10 d) 4 e) 4ab 
 
10.Multiplicar: 
R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4 + y4) 
7. Si: 
 
 
x  
3a 
 
 
 b2 
 
 
; y  
a 
 
 
 3b2 
; 
 
 
 
ab  32 
a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4 
d) x6y6 e) x8y8 
 
Bloque II 
2a 2b 
Determinar el valor de: 
 
2 2 
w  x  y 3  x  y 3 
 
1. Encontrar el equivalente de: 
R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac) 
Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a 
 
a) x + y + z b) xyz c) x2y2z2 
d) x2 + y2 + z2 e) xy + yz + zx 
 
 
 
 
 
8. Evaluar: E 
 
 
 
 
 
x10  x10  3 
 
 
2. Hallar el valor numérico de: 
Siendo: x  x 
1 
 3 
 
 
Para: 
 
 
a3 
b3 
E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2] 
 
2  1 
2  1 
a) 1 b) 2 c) 5 
d) 7 e) 3 
 
9. Si: 
 
a) 9 b) 4 2 
 
c) 6 2 
 
ab  
3 
100  
3 
10  1 
d) 6 e) 1 
 
3. Siendo: 
a = x(x2 + 3)  b = 3x2 + 1 
a2  b2  
3 
10  1 
Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4 
 
a) 100 b) 88 c) 64 
d) 168 e) 60 
 
 xyz 
 xy  yz  xz 
 
a) 9 b) 99 c) 999 
d) 9999 e) 1 
 
a) 216 b) 192 c) -216 
d) -192 e) 190 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
  


3 

10.Obtener el valor de: 
S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8 
 
 
a) 5 b) 3 c) 4 
d) 2 e) 1 
Para: a  2  1  b  2  1 
7. Si: 
a) 28 b) 30 c) 34 
d) 47 e) 62 
x + y + z = 1 
x3 + y3 + z3 = 4 
Calcular: 
 
Bloque III 
 
1. Reducir: 
 
P  
1 

x  yz 
 
1 
y  zx 
 
 
1 
z  xy 
S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2 + 1) a) -2 b) 2 c) -1 
d) 1 e) 3 
Si: a  4  15  4  15 
8. Si: a + b + c = 0 ; reducir: 
 
 a2 b2
 
 
c2   a2  ab  b2 

       

 
 
2. Si: a + b + c = 0 
S  
 bc 
 
ac 

ab   b2  bc  c2 
 
Calcular: M  
(a  b) 
 
 (b  c)3 
 
 (c  a)3 
a) 3abc b) 3 c) -3 
d) -3abc e) 1 
(a  b) (b  c) (c  a) 
 
a) 3 b) -3 c) 4 
d) -2 e) 16 
 
9. Si se cumple que: 
(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z 
Hallar: 
 
3. Si: 
6 
x  6 y  
6 
z  0
 
 
E  
 x 
 
y 
9 
 x 
  

 
7 
 z 


 
8 
 z  x 
 
2z  z  y 
  z  y 

 
9 
3 
Calcular: L 
 
 (x  y  z) 
     
 
 
 
a) 1 b) 2 c) -2 
d) 4 e) 8 
 
4. Si: 
a3 + b3 + c3 = 4abc 
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1 
Calcular: 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
10.Si: a2 + b2 + c2 = 12 
ab + bc + ac= 12 
abc = 8 
Calcular: 
E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc) 
Considerar: a + b + c > 0 
 
a  b 
 
a  c 
 
b  c 
 ab  ac  bc 
c b a 
 
a) 0 b) 1 c) -1 
d) -3 e) 3 
 
5. Sabiendo que: 
 
 
Autoevaluación 
 
 
2 2 
 3x 2y   3x 2y 
x  3 1  
3 14 
 3 1  
3 14 1. Reducir: S    
2y 3x
    
2y 3x
 
5 5 5 5    
Calcular: E = 5x3 + 3x + 1 
 
a) 1 b) 11 c) 3 
d) 4 e) 8 
 
6. Simplificar: 
 
(x  y)4  (y  z)4  (z  x)4 
 
 
 
 
 
 
2. Simplificar: P 
 
 
 
 
 
5  2 

5  2 
 
 
 
 
 
5  2 
5  2 
S 
(x  y)2 (y  z)2  (x  y)2 (z  x)2  (y  z)2 (z  x)2 
 
a) ab b) ac + cd c) cd + ab 
d) -cd - ab e) 0 
 
a) 20 b) 19 c) 22 
d) 23 e) 40 
 
2 
 
7 7 7 
5. Simplificar: 
2
 
a) 
3
 b) 
2
 c) 
6
 R = (a + b + c + d) - (a + b + c) (a + b + d) - 
 
14 
d) 
3 
 
14 
e) 
5 
(b + c + d) (a + c + d) 
 
3. Si : a + b + c = 0 
 
 
Calcular : 
 
R  
a 
 
 b2 
 
 c2 
ab  bc  ac 
 
a) 1 b) 2 c) - 1 
d) - 2 e) 0 
 
4. Reducir: K  ( 8  3)
2 
 ( 8  3)2 
Claves 
1. d 2. d 3. d 
4. c 5. d