02-ECUACIONES-LINEALES--ALGEBRA-TERCERO-DE-SECUNDARIA

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4 
AÑO 
 
igualdad 
 
 
Ecuaciones Lineales 
 
 
 
 
 
 
 
Los Obstáculos 
 
Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que nos 
lo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retos 
que debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin los 
soñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través de 
un cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en el 
sentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr su 
objetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que los 
tachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible. 
Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de sus 
experimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino. 
 
 
 
 
 
TEORÍA DE ECUACIONES 
 
una 
 
 
 
es 
 
una relación de comparación que 
se establece entre dos expresiones 
el cual nos indica que tienen el 
mismo valor. 
A 
1
er 
miembro 
= B 
2
do 
miembro 
 
 
CLASES DE IGUALDAD 
 
 
 
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales 
 
es es 
 
Aquella que se verifica para todos los 
valores asignados a sus incógnitas 
 
Ejm: (x+1)
2
= x 
2
+ 2x + 1 
 
la igualdad se verifica para cualquier 
valor real de "x". 
Aquella que se verifica para ciertos 
valores particulares que se les atribuye a 
sus incógnitas 
 
Ejm: 2x+1 = x + 7 
se verifica solo si: x = 6 
2(6) + 1 = 6 + 7 
 
 
Aquellos valores que asumen 
las incógnitas las cuales veri- 
fican o satisfacen una deter- 
minada ecuación. 
 
 
 
Conjunto formado por 
todas las soluciones. 
 
 
 
Efectuar en ellas todas las 
operaciones necesarias para 
obtener sus soluciones. 
 
 
 
Ecuaciones son equivalentes 
si todas las soluciones de la 
primera ecuación son tam- 
bién soluciones de la segun- 
da ecuación e inversamente. 
 
 
Conseguirlo se le transforma 
sucesivamente en otras 
equivalentes. 
 
 
 
l 
x 
as ecuaciones: 
+ 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x 
3 
 
on equivalentes puesto que 
m b a s e c u a c i o n e s s e 
erifican solamente para: 
x = 12 
2 
 
s 
a 
v 
 
 
Número de soluciones 
 
 
 
Cuando presenta variables 
en su denominador: 
 
Ej.: x+1 + 
 x - 1 
= 1 
x+2 x - 3 
 
 
 
Admite por lo 
menos una solución 
 
 
 
no existe ninguna 
solución 
C.S. = 
 
 
ECUACIÓN 
 
es 
 
Una igualdad condicional que queda satisfecha solo 
para algunos valores asignados a sus variables. 
Así : 5x - 3 = x + 25 
3 
queda satisfecha solo cuando: x = 6 
 
CONCEPTOS FUNDAMENTALES 
 
 
Solución o raíz Conjunto solución 
 
 Ecuaciones equivalentes 
 
son 
 
es el 
 
es 
 
dos 
 
 
 
 
 
 
Así 
 
Dada la ecuación: 
3 2 2 
x - 5x = x - 11x + 6 
 
Para: x = 1 -4 = -4 
Para: x = 2 -12 = -12 
Para: x = 3 -18 = -18 
 
luego las raíces o soluciones 
son: 
x = 1; x = 2; x = 3 
Así 
 
Como las soluciones de la 
ecuación: 
3 2 2 
x - 5x = x - 11x + 6 
Son : x = 1; x = 2; x = 3 
entonces el conjunto solu- 
ción (C.S.) es: 
 
C.S. = {1; 2; 3} 
para 
 
 
 
 
 
hasta 
 
Conseguir que ello sea 
sencillo y permita hallar el 
valor de la incógnita. 
 
 
Así 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 
 
según 
 
 
su el 
 
Estructura 
 
fraccionaria será 
 
 
Compatibles incompatibles o 
absurdas 
 
cuando cuando 
 
 
irracional 
 
 
Cuando la incógnita se en- 
cuentra dentro de un radical. 
Ej.: 
 
 
y es 
 
 
determinada indeterminada 
 
 
Así: 
Ej: 
x+1 + x - 4 = 7 si 
 
existe un número 
finito de soluciones 
si 
 
el número de solu- 
ciones es ilimitada 
x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6 
al reducir se obtiene: 
5 = 6 
 la ecuación es absurda 
 
 
a  0  b  lR  x = - 
b 
a 
solución única 
(Compatible determinada) 
 
 
 
 
a = 0  b = 0  0 x = 0 
 
"x" admite cualquier solución 
(Compatible indeterminada) 
 
 
 
 
 
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 
 
forma general 
 
ax + b = 0 
 
 
 
Análisis de sus raíces Teoremas 
 
si de 
 
 
 
Transposición Cancelación 
 
 
 
si 
* a+b = c 
si 
 
a = c-b 
si 
 
* a+c = b+c 
 
 
a = b; si: c lR 
* ab = c a = c ; si: b 0 
b 
* ac = bc 
* a = b 
a = b; si: c  0 
* a = c 
b 
a = bc ; si: b 0 c c 


a = b; si: c 0 
 
 
si 
 
a = 0  b  0 0x = -b 
no existe ningún valor "x" 
que multiplicado por cero 
de como resultado "-b" 
(Incompatible ó absurda) 
 
 
Problemas resueltos Cancelando (x - 3): 
1 + x - 3 = 1 
1. Resolver: 
Solución: 
 
2x 
 
3x 
3 5 
 
 
9x 
15 
 
 40 
x = 3 .......... (2) 
 
De (1) y (2) se observa una contradicción. 
Concluimos: la ecuación no tiene solución o es 
incompatible. 
 
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los 
denominadores : 15 
 
15 
2x 
  15 
3x 
  15 
9x 
  1540

 
 
3. Resolver: 
 
3 

x  2 
 
5x 
x2  4 
 
 
3 

x  2 
 
x 
x2  4 
     
 3   5   15  Solución: 
 5(2x) + 3(3x) = 9x + 600 
10x + 9x = 9x + 600 
 
Reduciendo las fracciones a común denominador resulta: 
eliminando 9x: 10x = 600  x = 60 3(x  2) 

(x  2)(x  2) 
5x 
x 2  4 
 
3(x  2) 

(x  2)(x  2) 
x 
x 2  4 
 
2. Resolver : 
 
1 
 1 
x  3 
 
1 
x  3 
 
3(x  2) 

x 
2 
 4 
 
5x 
x 2  4 
 
 
3(x  2) 

x 
2 
 4 
 
x 
x 2  4 


 
Solución: 3(x  2)  5x 
 
3(x  2)  x 
x 2  4 x 2  4 
Tener presente que el denominador es diferente de cero. 
Es decir : x - 3  0  x  3 ...... (1) 
Para: x = 2  x = -2, los denominadores se anulan por 
tanto: x  ± 2 ........ (1) 
 
Reduciendo la ecuación: 
1  x  3 
x  3 
 
1 
x  3 
3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x  6x = - 12 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 18 
 
De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observa 
una contradicción 
 
Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución o 
es incompatible. 
 
 
 
 
Bloque I 
 
1. Resolver: 
 
Problemas para la clase 
4. Resolver : 
 
x  4 
 
x  1  1 5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x) 
 
Solución: 
Transponiendo: 
 
 
 
x  1 
 
x  4  1 
 
 
 
 
 
x  1 
4 
a) 
17 
13 
d) 
2 
17 
b) 
4 
 
19 
e) 
4 
2 
c) 
13 
Elevando al cuadrado miembro a miembro: 
2 
x  4  12  2 
 
x  1 
2 
x  1 
 
2. Resolver : 
 
x 
 
3x 
 
 
x  6 
 x  4  1  2 x  1  x  1 
2 5 2 
Reduciendo se tiene: 
a) 1 b) 2 c) 3 
4  2 x  1  x  1  2 d) 4 e) 5 
Al cuadrado : x - 1 = 4  x = 5 
Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta: 
 
 
x  3 
 
2  3x 
 
4x 
x  4  x  1  1  5  4  5  1  1 3. Resolver: 
2 7 3 
3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad) 
 la solución es: x = 5 
 
 
5. Resolver : x 
 
Solución: 
x  5  7 
 
 
 
x  5  7  x 
 
 
 
4. Resolver: 
 
 
1 

x  2 
 
 
1 

x  3 
 
 
3 
x2  x  6 
 
Elevando al cuadrado miembro a miembro: 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 7 
 
2 
x  5  (7  x)2 
 
 x + 5 = 49 - 14x + x2 
 
5. Resolver: 
x2 - 15x + 44 = 0 
x - 11 
x - 4 
Verificando en la ecuación original: 
 
 
x 2 
 
 
1 
 
 
4 x 2  x 
 
 
1 
 
 
9x 2  12x 
 
 
 x  1 
 
 
1 
x  x  5  7 a) 3 
b) 
2 
c) 
6 
 
Si: x = 11 
 
11 
 
11  5  7 
 
 11 + 4 = 7 (Falso) 
 
1 1 
d) - e) 
Si: x = 4  4  4  5  7  4 + 3 = 7 (Verdadero) 
6 4 
 la única solución es: x = 4 
 
6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4) 
 
6. Resolver: 
 
 
(x - 3)2 + 5x = (x + 2)2 
 
Solución: 
 
Llevando 5x(x - 4) al primer miembro: 
(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0 
Extraemos el factor común (x - 4): 
a) 1 b) -1c) 2 
d) 3 e) 2 
 
7. Resolver: 
(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0 
x - 4 = 0  (x - 2) - 5x = 0 
7  3  x = 3 
Despejando para c/u se tiene: 
 
1 
a) 2 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 5 
x = 4 x = - 
2 
 
2 
8. Resolver: 
 
 
x  1 
 
x 
 
x 
 
1 
 
 
5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique: 
 
x.y 
z 
2 3 2 6 
A. 1  
2 
a) -1 b) 1 c) 2 
d) -3 e) 5 
2  
x  2 
x  4 
 
9. Resolver: 
 
 
 
x  m 
 
x  n 
 1 
 
B. 1 
3  
5 
1 
 
 
1 
3  
5 
2 1 
m n y 
3 

5 15 
 
mn 
a) - 
m  n 
 
b) m + n c) 
mn 
m - n C. 
z  3 

2z  5 
2z  5 
 2 
z  3 
d) m - n e) mn 
 
10.Resolver: 
2(x - 5)2 + x2 = (x - 6)2 + 2(x2 - 1) 
 
 
1 1 1 
a) 
5 
b) - 
7 
c) 
4 
 
a) 6 b) 5 c) 2 
 
1 
d) -2 e) 
2 
 
Bloque II 
 
1. Resolver: (x + 5)3 - x3 - 15x2 = 50 
 
1 
d) 1 e) - 
5 
 
6. Resolver: 
 
1 
- 
2x - 3 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
5 
x(2x - 3) x 
 
 
a) 0 b) -1 c) -2 
d) 1 e) 2 
5 
a) 
3 
b)
 
4 1 
3 
c) 
3 
 
1 
 
2. Resolver: 
 
x  1 
 
x  1  1 
d) 3 e) - 
3 
 
5 
a) 
4 
4 
b) 
5 
1 
c) 
4 
7. Resolver: 
 
2x  a 
 
x - b 
 
3ax  (a - b) 
d) 1 e) -1 
b a ab 
 
3. Resolver: x  13  x  2  3 a) 2b b) 2a c) a + b 
Hallar la inversa de su solución d) a - b e) 1 
 
1 
a) 3 b) 
3 
1 
d) 4 e) 
4 
 
c) 2 
8. Resolver: 
 
 
 
 
 
7 
 
 
5(x - 2) 
- 
x  2 
 
 
11 
 
 
2(x - 3) 
 3 
x  3 
 
 
9 
4. Sea la ecuación de 1er grado: 
(m - 7) x2 + (m2 + 2m + 6)x + 3m + 2 = 0 
Hallar “x”. 
a) 
2 
 
1 
b) 
2 
 
1 
c) - 
2 
 
 
1 
a) 0 b) 7 c) 
3 
d) 
2 
 
9. Resolver: 
e) - 
2 
 
1 
d) - 
3 
 
e) -7 
x 
a2 - b2 
 
2x 
a  b 
 
a  b - 1 

2(a - b) 
 
x 
 1 
a - b 
 
c  
2 2 a 
2 
 
a - b 
a) 
2 
 
a  b 
b) 
2 
 
a  b 
 
 
c) a + b 
d) VVV e) VVF 
 
5. Calcular “n”, si la ecuación: 
(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2 x + 15 
d) a - b e) 
3 
 
10.Resolver: 
 
3 
1 
- 
x - 1 

 
 
 
 
 
1  9
 
 
 
 
 
 
- 1

es incompatible 
 
a) 2 b) 3 c) 1 
d) 4 e) 5 
 
 2 x  1  
 
4  x  1 
 
6. Resolver: 
 
 
 
x - a 
 
x - b 
 
x - c 
 2 
1 
 
1 
 
1 
a)  b) 5 c) 4 
d) 3 e) 2 
 
bc 
abc  0 
 
ac ab 
 
a b 

 
Bloque III a) 1 b) a + b + c c) a + b - c 
 
a  b  c 
1. Resolver : d) 2 
e) a - b - c 
x 
 
x 
 
x 
ab bc ac 
 
 1  abc  x(a  b  c) 
 
7. Resolver: 
 
 
 
x  1 
 
 
 
 
a - b  1 
 1 
abc 
a) 
a  b  c 
a  b  c 
b) 
abc 
x  a  b x  a - b 
c) abc d) a + b + c 
e) 1 
a 
a) 
b 
a 
b) 
b  1 
a 
c) 
b - 1 
 
2. Resolver: 
 
 
 
x  1 
 
x  1 
 
a  1 
d) 
b 
 
a - 1 
e) 
b 
 x 1 x 1 
 
1 8. Resolver: 
1  
x  1 2 
x  1 
a  b - x 
c 
 
 
a  c - x 
b 
 
 
b  c - x 
a 
 
 
4x 
 1 
a  b  c 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
a) a + b + c b) a - b - c 
c) a - b d) a + b 
 
3. Resolver: 
 
 
 
3 
a 
 
 
 
x  
3 
a 
 
 
 
x  3 5a 
a  b 
e) 
c 
 
 
5 4 2 
 
9. Resolver: 
 
x - ab 
 
x - bc 
 
x - ac 
 a  b  c
 
a) 
4 
a
 
b) 
5 
a c) 
4 a  b b  c a  c 
 
d) 
a 
e) a2 
 
a) a + b + c b) ab + bc + ac 
5 
 
4. Marcar V o F 
 
I. La ecuación: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8) 
es indeterminado. 
II. La ecuación : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)
 
a  b  c 
c) 
2 
e) abc 
 
10.Si: a  b  -c; resolver: 
 
a b 
 x  1 
a - b 
d) 
c 
 
 
 
 
c - b 
 x  1 
    
es incompatible.  c  
 
  a  
 a  c 
III. La ecuación: 8x  9  1  x 
a c 
es indeterminado. 
 
a) VFV b) FFF c) VFF 
 
a) a b) c c) ac 
d) ac + 1 e) ac - 1 
 
a) 13 b) 12 c) 11 
d) 10 e) 9 
 
Autoevaluación 
 
1. Resolver: 8 - 3x + 25x2 = (1 - 5x)2 
 
a) - 2 b) - 1 c) 0 
d) 1 e) 2 
4. Sea la ecuación de 1er grado: 
(a + 5) x2 + (a + 3) x + 7 - 3a = 0 
Hallar “x”. 
 
a) 9 b) -5 c) -3 
d) 11 e) 12 
 
2. Resolver: x  1  
x  2 
 
x  3 
 
x  4 
2 3 4 5 
5. Hallar “x” en: 
 
67 
a) 
53 
53 
b) 
67 
37 
c) 
53 
 
4  23  1 
 
x  3  3 
 
53 
d) 
37 
 
 
e) 1 
 
a) 1 b) 20 c) 30 
d) 40 e) 12 
 
 
 
3. Resolver: x  6  x  2  4 , indicar: x2 + x + 1