10-NÚMEROS-COMPLEJOS--ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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4 
AÑO 
. 
Números Complejos I 
 
 
 
 
 
 
Campo de los Números Complejos 
 
Dentro del campo de los números reales (IR) podemos 
 
 
 
2) Al par ordenado (0; 1) se le llama unidad imaginaria y 
se le representa por el símbolo “ ”. 
siempre hallar números “x” tales que: 
 
x2 - 1 = 0 
 
Pero que sobre la ecuación: x2 + 1 = 0 
 
No existe ningún número real “x” que satisfaga esta ecuación 
puesto que el cuadrado de todo número real es positivo o 
cero (x2  0) y en consecuencia: x2 + 1 > 0 
 
 
 
 
Teorema 
 
 
 
 
Demostración: 
= (0; 1) = - 1 
 
 
 
 
 
2 = - 1 
 
 
2= 
 
Se hace necesaria la ampliación de IR a un conjunto en el 
cual pueda resolverse situaciones del tipo anterior, tal 
conjunto es el de los Números Complejos en la que 
definimos un nuevo número “ ”, tal que: 
= (0; 1)(0; 1) 
Efectuando la multiplicación: 
= (0.0 - 1.1; 0.1 + 1.0) 
= (-1; 0) 
= -1 
 
 2 = - 1 
 
Número Complejos 
Finalmente: 
 
2 = -1 
 
Definición.- Se llama número complejo a todo par 
ordenado (a; b) de componentes reales. 
 
Notación: 
Forma cartesiana o binómica de un 
complejo 
 
El número complejo: Z = (a; b); lo podemos expresar como: 
Z = (a; b); donde: a; b  IR 
 
 
Z = (a; b) = a (1;0) + b (0;1) 
Al número “a” se le llama parte real de “Z”: 
IRe(Z) = a 
Al número “b” se le llama parte imaginaria de “Z”: 

1 
 
 Z = a + b 

i 
 
III m(Z) = b 
 
En el sistema de los números complejos se define dos 
operaciones: 
Adición: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) 
Multiplicación: (a; b).(c; d) = (ac - bd; ad + bc) 
Observación: 
 
Representación geométrica (Plano de 
Gauss) 
 
En el plano cartesiano denominaremos al eje “y” como eje 
imaginario y al eje “x” como eje real. Sea: 
 
Z = a + b / a < 0  b > 0 
 
Su representación en el plano de Gauss será como sigue: 
 
1) Al número complejo (x; 0) se le identifica con el número 
real “x”, lo cual se puede escribir: 
 
x = (x; 0) 
 
P 
Afijo 
y (eje imaginario) 
b 
 
Donde OP 
es el radio 
vector del 
complejo: 
 
a 0 x (eje real) 
 
Z = a + bi 
 
3 
) 
Ejemplo: Z
1
; Z
2 
y Z
3 
están ubicados en el plano de Gauss. 
 
Imaginario 
Ejemplo: 
 
Cuál es la relación existente entre “m” y “x” para que el 
3 
Z2 2 
Z1 
 
 
Real 
producto: 
 
sea un número imaginario puro. 
- 4 4 Solución: 
 
 
 
Luego: 
 
-2 Z3 
 
Efectuando la operación dada: 
 
(m + ix)(2 + 3i) = 2m + 3m + 2 x + 3x 2 
 
Z
1 
= (4; 3) = 4 + 3 ; Z
2 
= (-4; 2) = -4 + 2 ; 
Z
3 
= (0; -2) = -2 
 
Cantidades imaginarias 
 
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de 
índice par a un número real negativo. 
 
Agrupando términos: 
(2m - 3x) + (3m + 2x 
para que la expresión sea imaginario puro se debe cumplir 
que: 
 
3 
2m - 3x = 0  2m = 3x  m = 
2 
x
 
 La relación pedida es: m = 1,5x 
 
16 - 1 = 4
 
- 16 = 16(-1) = 
i 
 
Potencias enteras de la unidad imaginaria 
 
5 - 1 = 5
 
- 5 = 5(-1) = 
i 
 
Relación de igualdad 
 
Dos complejos son iguales, si y sólo si, sus partes reales y 
sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así: 
 
a + b = c + d  a = c  b = d 
 
 
Tipos de números complejos 
 
A. Complejo real o puramente real 
 
Es aquel número complejo que carece de la parte 
imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero. 
Notación: 
Estudiaremos el comportamiento del número: n; n  ZZ, 
teniendo en cuenta la siguiente definición: 
 
0 = 1; 1 = 
 
1= 7 = 4. 3 = - 
2 = -1 8 = 4. 4 = 1 
3 = 2. = - 9 = 8. = 
4 = 2. 2 = (-1)(-1) = 1 10 = 8. 2 = -1 
5 = 4. = 11 = 8. 3 = - 
6 = 4. 2 = -1 12 = 8. 4 = 1 
 
Se observa que las potencias de “ ” se repiten cada cuatro 
veces y sólo toman uno de los cuatro valores: 
 
; -1; - ; 1 
 
 Z = a + 0 = a ; a IR 
 
B. Complejo imaginario puro 
Propiedades 
 
1. Se observa: 
 
 
 
 
4 = 1; 8 = 1; 12 = 1; ... 
 
Es aquel número complejo que carece de la parte real; 
es decir su parte real es cero, además su parte 
imaginaria es diferente de cero. Notación: 
 
Z = 0 + b ;  b  IR - {0} 
esto implica que la unidad imaginaria elevada a un 
múltiplo de cuatro es igual a la unidad. 
o 
i
 4 
 1 
 
también: 
 
C. Complejo nulo 
 
Es aquel número complejo que presenta la parte real e 
o 
i 4 1  i 
 
Ejemplo: 
o 
o 
i 4  2  -1 
o 
i 4  3 
 
 
 
o 
 
 -i 
imaginaria igual al número cero, es decir las dos 
componentes son nulas. Notación: 
 
Z = 0 + 0 = 0 
22 = i4  2 = -1 43 = i4  3 = - 
o 
81 = i4 1 = 
 
1 
+ 
+ 
-2 
20 
i i i i 
Z 
Calcular: 
 
 
Solución: 
Se observa: 
 
3682 + 1783 + -214 
 
 
 
o 
3 682 = 4 + 2 
o 
1 783 = 4 + 3 
Opuesto de un complejo 
 
El opuesto de un complejo: Z = a + b , es: 
Z* = - a - b 
La representación geométrica de: Z = a + b (a > 0  b > 
o o
 
- 214 = -( 4 + 2) = 4 - 2 0) de su conjugado y su opuesto: 
 
 
o o o b Z = a + bi 
 3682 + 783 -214 = i4  2 + i4  3 + i4 -2 
= 2 3 + = - 1 - - 1 = - 2 - 
 
2. + 2 + 3 + ... + 4n = 0 ; n  IN 
 
 
 
-a a 
 
 
 
(Eje real) 
 
Ejemplo: 
Calcular: 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
1  i1  i2  i3  ...  i1999 
1  i  i2 
 
 
-b 
Z* = -a - bi 
 
 
Propiedades 
 
 
 
Z = a - bi 
Como: 1 = 00 ; entonces el numerador será: 
2000 + + 2 + 3 + ... + 1999 
Ordenando: 
Z; Z
1
; Z
2 
 C| 
 
1. Z = Z  Z es complejo real. 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 

0 
 
+ i5  i6  i7  i8 + ... + 2000 
0 
 
2. Z = Z 
Se observa que cada cuatro términos se obtiene cero, 
luego el numerador será cero, entonces se tiene: 
 
0 
= 0 
1  i  i2 
3. Z = - Z = Z*  Z es complejo imaginario puro. 
 
4. Z + Z = 2IRe(Z) 
 
5. Z - Z = 2 IIm(Z) 
 
3. Propiedades de potenciación: 6. Z1  Z2 = Z1 ± Z2 
 
(1 + i )2= 2 i 
(1 + i )3= 2 i(1 + i ) 
(1 + i )4= - 4 
(1 - i)2= -2 i 
(1 - i)3= -2 i (1 - i) 
(1 - i)4= - 4 
 
7. Z1.Z2 
 
= Z1 . Z2 
 Z  Z 
 1  1
 
1 + i 
1 - i 
= i
 
1 - i 
1 + i 
= - i
 
8.   = 
 2 
;  Z2  (0; 0) 
Z 2 
 
 
Conjugado de un complejo 
9. ( Zn ) = ( Z )n;  n  IN 
 
Dado el conjunto: Z = a + b ; se define el complejo 
conjugado de Z, denotado por Z como: 
 
10.( n Z ) = 
 
n 
Z ;  n  IN 
 
Z = a - b 
 
Módulo o valor absoluto de un complejo 
 
Ejemplo: 
 
 
 
Z = 3 + 5  Z = 3 - 5 
Dado: Z = a + b ; el módulo o valor absoluto de Z es un 
número real no negativo denotado por |Z| tal que: 
 
 2 
2 
2 
 
Z 
Eje imaginario 
 
|Z + Z |2 = (Z 
 
+ Z )( Z  Z ) 
b (a; b) = a + bi 
1 2 1 2 1 2 
|Z| 
|Z
1 
+ Z
2
|2 = (Z
1 
+ Z
2
)( Z1 + Z2 ) 
Efectuando se tiene: 
 Eje real 
 
= Z Z + Z 
 
Z + Z 
 
Z + Z Z 
a 1 
1 1 2
 
2 1 2 2 
 
 
 
|Z| = 
 
 
 
a2  b2 
 
 
pero: 
= |Z1|
2 + (Z1 Z2 + Z2 Z1 ) + |Z2|
2
 
Z
1 
Z2 + Z2 Z1 = 2IRe(Z1. Z2 ) 
Geométricamente, el módulo nos representa la magnitud 
 
y IRe(Z . Z )  |Z . Z | 
del radio vector del complejo Z de origen (0; 0) y extremo 
final el afijo de Z. 
 
Entonces: 
1 2 1 2 
 
Ejemplo: 
 
Hallar el módulo de los siguientes complejos: 
|Z
1 
+ Z
2
|2 = |Z
1
|2 + 2IRe(Z
1
. Z2 ) + |Z2|
2
 
 
 |Z1|
2 + 2|Z1. Z2 | + |Z2|
2
 
 
 |Z1|
2 + 2|Z1|.| Z2 | + |Z2|
2
 
a) Z = 3 + 4  |Z| = 32  42 = 5 
Pero: | Z2 | = |Z2| 
b) W = 
1 
- 
3 
 
 | Z
 
 
|2 2 | Z
 
 
| . | Z 
 
|  | Z |2
 
2 2 1 1 2 2 
 
2 
 1   3  4
 
Trinomio cuadrado perfecto 
|Z1 + Z2|
2  (|Z1| + |Z2|)
2 
 |W| =     -  = = 1 
 2    4 
 
 
 
Propiedades 
 
Quitando exponentes por ser números positivos: 
 |Z
1 
+ Z
2
|  |Z
1
| + |Z
2
| l.q.q.d. 
 
10.||Z
1
| - |Z
2
||  |Z
1 
- Z
2
| 
 
11.|Z1 + Z2|
2 + |Z1 - Z2|
2 = 2[|Z1|
2 + |Z2|
2] 
 
 
1. |Z|  0 
Z; Z
1
; Z
2 
 C| 
Ejemplo: 
Siendo Z un número complejo, calcular: 
M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2 
2. |Z| = | Z | = |Z*| 
 
 
3. |Z|2 = Z. Z 
 
4. |IRe(Z)| |Z|; |IIm(Z)|  |Z| 
 
5. |Z1.Z2| = |Z1|.|Z2| 
si: |Z| = 2 
 
Solución: 
Utilizando la propiedad: 
M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2 = 2[|Z
1
|2 + 12] 
como: |Z| = 2 
 M = 2[22 + 1]  M = 10 
 
 
6. 
Z1 
Z2 
Z1 
= ;  Z2 
2 
 
 (0; 0) 
 
 
 Problemas resueltos 
 
7. |Zn| = |Z|n;  n  IN 
 
1. Efectuar: 
 
 
 1  3i  2 - 3i 
8. | n Z | = n | Z | ;  n  IN; n  2 Z = 
  
 
 
9. |Z
1 
+ Z
2
|  |Z
1
| + |Z
2
| 
 
 
 
Solución: 
 5  2i  1 - i 
Demostración: 
Partiendo de la siguiente igualdad: 
Multiplicando se tiene: 
 
 2 - 3i  6i - 9i2 
 
 
11  3i 
Z =    Z = 
 5 - 5i  2i - 2i  7 - 3i 
 
a) 1 b) 2 c) 3i 
d) 2i e) N.A. 
 

1 
i 
Multiplicando al numerador y denominador por: 7 + 3 . 
 
 11  3i  7  3i 
 
5. Hallar los valores reales de “x” e “y” que satisfacen la 
ecuación: 
Z =    x - 2y + x - y = 2 + 5
 
 7 - 3i  7  3i 
 
77  33i  21i  9i2 
Z = 
49 - 9i2 
 
Solución: 
Ordenando: 
 
 
 
(x - 2y) + (x - y) = 2 + 5 
 
 
 
 
2. Reducir: 
68  54i 
Z = 
58 
68 
 Z = 
58 
 
 
 
5
 
54 
+ 
58 
 
 
 
9
 
Igualando: 
 
 
 
 
Resolviendo:
 
 
 
x - 2y  2 

x - y  5 
 1  i   1 - i 
W =   +   x = 8; y = 3 
 
 
Solución: 
Se sabe: 
 
 
 
 
 
1  i 
1 - i 
 1 - i 
 
 
 
 
= 
 1  i
 
 
 
 
1 - i 
1  i 
= -
 
 
 
6. Cuál debe ser el valor que se le asigne a “k” a fin de 
que: 
3  4i 
1 - ki 
sea real; sea imaginario puro. 
 W = 5 + (- )9 = - = 0 
 W = 0 
 
Solución: 
 
3. Simplificar: 3  4i 
1 - ki 
 
es real 
3  4i 
= a 
1 - ki 
1 + i 
 1 + i 
1 - 
1 + i 
1 - 
2000 
 3 + 4 = a - ak 
de la igualdad: a = 3; -ak = 4 
 
4 
1 - i  k = - 3 
 
3  4i 
es imaginario puro  
3  4i 
= b
 
Solución: 
Como: 
 
 
 
entonces tenemos: 
 
 
 
1  i 
1 - i 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  i 

 
 
 
 
 
 
 
2000 
1 - ki 
de donde: 3 + 4 = bk + b 
de la igualdad: 
bk = 3; b = 4 
 
 k = 
1 - ki 
 
 
 
 
3 
4 
1 + i 
1 + i 
1 - 
1 - i 
i 
2000 1 
=  
1 - 


 
 
 
o 
 
 
 
 
Bloque I 
 
 
Problemas para la clase 
 
 
4. Reducir: 
= 2000 = i4 = 1 
1. Simplificar: 
 
 
 
(1  i)2 
Z 
 
 
 
(1  i)2 

2
32
 
41
45 9 5
 
S = - 37 + i + i i i 
 
Solución: 
 
22.230
 
 
 
(401)
45 
a) 1 b) 0 c) 2 
 
1
 
S = ( - 1)37 + i + i 
 
37 
d) -1 e) 
2
 
 1 

4.230
 o 45
 
 
 i 
+ i + i
 
2. Reducir: 
S =   4 
 
o o 
i8  i13  i32 
S = (- )37 + i4 + i4 1 
o 
S = - 37 + 1 + i4 1 
W 
2 - i17 
 
 i18 
- i 
- i23 
o 
S = - i4 1 
o 
+ 1 + i4 1 = 1 
 
a) -2 b) -4 c) -8 
d) 8 e) 16 
 
- 
 
2 
3. Reducir: 
 
 
Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8 
9. Hallar “n” para que al dividir: 
 
5  3ni 
2  i 
el resultado sea un número imaginario puro. 
 
4. Simplificar: 
 
3(1  i)6 
Z 
(1 - i)6 
 
 
2(1 - i)7 
- 
(1  i)7 
 
5 
a) 
3 
 
3 
d) - 
5 
 
5 
b) - 
3 
 
10 
e) - 
3 
 
3 
c) 
5 
a) -3 - 4i b) -3 - 2i c) 3 + 2i 
d) -3 + 2i e) 2 - i 
 
5. Reducir: 
 
10.Reducir: 
 
 
 
 
 
3(1 - i) 
 
S  
1  i 
- 
i 
 
 
3(1  i) 
 
i 
1 - i 
 
 
 
 
 
1 - i 
- 4  3i 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 6 
a) 
2 
 
1  i 
d) 
2 
b) 
2 
 
i 
e) 
2 
c) 
2 Bloque II 
 
1. Simplificar: 
 
 
 
 
 
 1 
E  
 
 
 
 
4 
i 1 - i 


6. Dar W , si: 
 
 
W  
1  i 
 
i 
 1 - i 1  i 
i 1 - i a) 16i b) 16 c) -16 
16 
 
1 - i 
a) 
2 
 
1 - 4i 
d) 
2 
 
1  i 
b) 
2 
 
 
e) -i 
 
1  4i 
c) 
2 
d) 18 e) 
 
 
2. Reducir: 
 
S  
i
 
 
i 
 
 
 
473 
 
 
 
 
 
 3i515 
i9 
 
 
 
 
 
 5i 
 
 
 
 
 
989 
 
7. Hallar el módulo del siguiente complejo: 
Z = 4 + 3i 
 
 
a) 5 b) 5 c) 2 
 
d) 7 e) 10 
 
8. Hallar “a” para que el resultado de dividir: 
 
4  3ai 
2 - i 
 
a) 3i b) i c) -i 
d) -3i e) 3 
 
3. Sumar: 
S = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3)+(4 + i4) + ... + (4n + i4n) 
 
a) n(2n + 1) b) 2n(4n + 1) c) 0 
d) n(4n + 1) e) 2n(4n - 1) 
 
4. Reducir: 
18
 
sea un número real. 
 
 
3 4 4 
10
1112 
i9 
K 
14
1516 
 i13 
i423679 
18
192002 
 i17 
a) 
4 
 
3 
d) - 
4
 
b) 
3 
 
2 
e) - 
3
 
c) - 
3 a) 3 b) -3 c) 3i 
d) 1 e) -3i 
5. Siendo: i = - 1 , calcular: 
 
i  i2  i3  i4  ...  i1003 
W 
2  i  i2  i3 
 
2 
 
1 
a) -1 b) 1 c) 
2 
Bloque III 
 
1. El equivalente de: 
 
1 
d) - 
2 
 
1 
e) 
2 
i
 
S  
1  i 
1  
1  i 
1  
1  i 
6. Si: 
 
    
1  
1  i 
1  
1  i 
 
1 
 
1 

a 
 (i  3  a) 
A  
 i 3 3i 
1  i 
    
2
 
  1  
1 
 
2 
  
a 
 9 3i  9 
 
a) 1 - i b) 1 c) 0 
d) 1 + i e) i 
donde: i = - 1 ; a = 2; calcular: A4 + 1 
2. Sean los números complejos: 
a) i + 1 b) 80i + 1 c) 81 
d) 82 e) a + 81 
m = 1 + yi 
i = - 1 
 
7. El equivalente de: 
 
 
 
 x y 
 - 
 y x 
n = u + vi 
tal que: {y, u, v} z+ cumpliéndose además: 
m + n = a + 7i 
mn = -7 + 11i 
Siendo: 2 < a < 8 
es “S”. Si la raíz cuadrada del número complejo: (1 + i) es 
“x + yi”. Hallar el valor de “S”. 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
8. Reducir: 
Calcule: a2 + y2 + u2 + v2 
 
a) 48 b) 50 c) 52 
d) 54 e) 56 
 
3. Si “Z” es un número complejo y satisface: 
 
1 - z 
 
W  
(1  i) 
 
(1  3i) 
 1 
1  z 
 
donde: i = - 1 
i - 3 entonces: 
 
a) 1 - 3i b) -2 c) 10 
d) 2 e) -10 
 
9. Simplificar: 
 
- 2 
9 
i 
S 
1  i5 
a) Re(z) > 0 
b) Im(z)  0 
c) “z” es un número real. 
d) “z” es un número imaginario puro. 
e) Re(z) < 0 
 
4. En “C| ” los valores de “x” e “y” al resolver la ecuación: 
 
 
a) 1 b) i c) -i 
d) 10 e) 0 
 
10.Reducir: 
 
 
 
son: 
xi 
1  yi 
 
 
 
3 
 
3x  4i 
x  3y 
 
 
 
3 
 
3 4 6 5
 
a) x = ±1 ; y = ± 
4 
b) x = ±2 ; y = ± 
2 
W1  - 2i 4i i - - 8 i 4 
c) x = ±3 ; y = ± 
3 
2 
d) x = ±3 ; y = ± 
3 
a) 1 + i b) i - 1 c) -1 - i 
d) 1 - i e) 2i - 1 
 
5 
e) x = ±2 ; y = ± 
4 
 
5. Reducir: 
 
W  
1  2i 
 
3  4i 
 
5  6i 
 ... + 2 002 términos
 
2 - i 4 - 3i 6 - 5i 
 
a) 2 002 b) 2 002i c) -2 002i 
d) 2 000 e) 2 008i 
 
 
 
 
 
6. Un valor de “n” que verifica la igualdad: 
Autoevaluación 
 
 
1. Reducir la expresión: 
(1  i)n  ( 2i)n  64i 
 
1 - i9 
W = 
1  i3 
a) 10 b) 5 c) 100 
d) 5i e) 3 
 
7. Hallar el módulo del número complejo “z”: 
z = (3 + 4i) (5 - 12i) (2 2 + i) (1 + 3 i) 
 
 
a) i b) - i c) 1 
d) 0 e) - 1 
 
a) 170 b) 250 c) 390 
d) 420 e) 510 
2. E l v a l o r d e (- 
es: 
- 1 ) 4n + 3 , donde “n” es entero y positivo 
 
8. Si la gráfica del número complejo: 
 
Z  
1  ai 
; a  IR+
 
 
 
a) - 1 b) 
 
- 
 
i 
e 2 
 
 
c) i 
1 - ai 
en el que se muestra en la figura, el valor de “a” es: 
Im 
z 
 
 
0 Re 
 
 
 
a) 4 b) -2 c) 1 
d) -1 e) 2 
 
9. A partir de: 
(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = x + yi 
Calcular: 
 
x  y 
x - y 
d) - i e) 1 
 
 
3. Calcular “x - y” si se cumple: 
(1-i)2 + (1-i)4 + (1-i)6 + (1-i)8 = x + yi 
sugerencia, buscar en cada paréntesis (1 - i)2 
 
a) 6 b) 5 c) 4 
d) 3 e) 2 
 
 
4. Calcular el valor de: 
|4 + |12i - |-3 + 4i||| 
donde: i = - 1 
sugerencia, empezar a calcular los módulos de adentro 
hacia afuera. 
 
a) 185 b) 185 c) 17 
d) 17 e) 16 
donde: i = - 1 
 
1 
a) 
2 
 
1 
d) 
6 
1 
b) 
4 
 
1 
e) 
3 
1 
c) 
5 
5. Calcular el valor de “a” para que el complejo: 
 
2 - ai 
1  2i 
sea imaginario puro. 
 
a) 1 b) - 1 c) 0 
10.Si: z  C| , hallar “Z” en: d) - 2 e) 2 
z - 12 
 
5 

z - 8i 3 
 
z - 4 
 1 
z - 8 
 
a) 6 + 17i b) 4 + 9i c) 6 + 10i 
d) 6 + 8i e) -4i 
 
 
4 
AÑO 
4 
Números Complejos II 
 
 
 
 
 
 
Forma polar o t rigonomét rica de un 
número complejo 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Hallar la forma trigonométrica de: 
Sea: Z = a + b , un número complejo diferente del nulo. Es 
decir: |Z|  0. 
 
Eje imaginario 
Z = a + bi 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
Z = - 
 1 
+ 
32 2 
 
 1 

 
  3 

|Z| 
b
 |Z| =  - 
2 
 
 2 
  |Z| = 1 
 

a Eje real 
   
 
 
 2 
 
De la figura: a = |Z| cos ; b = |Z| sen
donde: 
 
tan = 
b 
a 
tan = 
- 
1 
2 
Gráficamente: 
 
- 
1 
+ 
3 
i 
= - 3   = 120° 
 
 
 
 
3 
entonces: 
Z = a + b  Z = |Z|cos + |Z| sen
 
 Z = |Z| (cos + sen) 
 
Observación: al ángulo “” se le denomina el argumento 
del complejo “Z” denotado por: Arg(Z), es decir: 
2 2 
 
 
 
 
- 
1 
2 
Luego: 
2 
|Z| 

Arg(Z) = . 
 
“” puede tomar infinitos valores como: 
 

1 
= ; 
2 
=  + 2; 
3 
=  + 4; ... 
Z = - 
1 
+ 
2 
 
Observación: 
3 
= 1(cos120° + sen120°) 
2 
 
 
Argumento principal de un número 
complejo 
 
De todos los valores de “”; elejimos aquel que se encuentra 
en el intervalo [0; 2> es decir: 0   < 2; a dicho “” se 
le denomina argumento principal, cuya notación es: 
 
Arg(Z) = 
- Para calcular el argumento principal de “Z” se debe 
observar en qué cuadrante se encuentra el afijo de “Z” 
y luego calculamos a partir de: 
 
tan = - 
b 
a 
- Otra notación que se emplea frecuentemente al expresar 
un número complejo en su forma polar es: 
Z = |Z| (cos + sen) = |Z| c s
Así: 
  


  

 
Observación: 
Z = 5  cos 

isen  = 5c s 
4  4 
 
- Al argumento de “Z” también se le denomina Amplitud. 
- El argumento es el ángulo generado por el radio vector 
al girar en sentido antihorario desde el eje real positivo 
hacia un punto cualquiera del radio vector. 
 
 
Operaciones con número complejos 
 
Dados los números complejos: 
 
Z = |Z| (cos + sen) 
W = |W| (cos + sen) 
 

n 
n 
Multiplicación para: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1), se obtienen las “n” raíces. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
Z.W: 
ZW = |Z||W| (cos( + ) + sen( + )] 
ZW = |Z||W| c s( + ) 
 
 
 
 
Z = 3(cos25° + sen25°) 
W = 2(cos20° + sen20°) 
Ejemplo: 
 
 
Hallar las tres raíces de: 3 1 
 
Solución: 
 
 
Z = 1 = 1 + 0 
 
 
 
 
 
 
 
| Z | 1 

  0
ZW = 6[cos(25° + 20°) + sen(25° + 20°)] 
  0  
2k 

 
 0  2k 

= 6[cos45° + sen45°] 3 1 = 1 cos
   isen 

  3   3 
 
División 
 
 
Z | Z | 
W 
= 
| W | 
[cos( - ) + sen( - )]
 
 
3 1 = cos120°k + sen120°k 
 
Si: k = 0  Primera raíz: cos0° + sen0° = 1 
Si: k = 1  Segunda raíz: cos120° + sen120° = 
Z | Z | 
W 
= 
| W | 
c s( - )
 
 
- cos60° + sen60° = - 
 1 
+ 
3 
2 2 
Ejemplo: 
 
 
 
 
Z ÷ W: 
 
 
Z = 8 (cos65° + sen65°) 
W = 2 (cos35° + sen35°) 
Si: k = 2  Tercera raíz: cos240° + sen240° = 
 
 1 3 
- cos60° - sen60° = - - 
2 2 
 
 Z 8 
W 
= 
2 
[cos(65° - 35°) + sen(65° - 35°)]
 
= 2(cos30° + sen30°) 
Finalmente: 
 
 

 1 
 1 
3 1 = 
 - 
2 



 
 
 
 
 
3 i  w 
2 
Potenciación (Teorema de Moivre)  - 
1 
- 
3 i  w 2 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Dado: 
Calcular: Z9 
Solución: 
 
Zn = |Z|n(cosn + senn) 
Zn = |Z|n c sn
 
 
 
 
 
Z = 2(cos20° + sen20°) 
 
 
 
 
Z9 = [2(cos20° + sen20°)]9 
Z9 = 29[cos180° + sen180°] 
Z9 = 512(cos180° + sen180°) 


Geométricamente: 
 
w 
 
 
 
 
 
w2 
 
 
Propiedades 
 
 
1 

2 2 
 
 
Eje imaginario 
 
 
 
1 
Eje real 
 
Radicación 
1. 3 1 = w 
 2 
w 
donde: w2 = w 
La raíz de un complejo es en forma general, otro complejo 
y tiene tantas soluciones como lo indique el índice de la 
raíz. 
 
2. La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual 
a cero. 
 
n | Z |

cos
    2k  


 
sen
   2k 

 
1 + w + w2
 
= 1 - 
 1 
+ 
3 
- 
 1 
- 
3 
= 0
 
n Z =    i 
  
 
 
2 2 2 2 
1 + w + w2 = 0 
 
 
3. 3 1 = w  w3 = 1 
 
4. En general “w” elevado a una potencia múltiplo de tres 
es igual a la unidad. 
 
w3n = 1 ;  n  IN 
Solución: 
Sea: 
 
 
 
 
Calculando: 
 
 
 
Z = r (c o s  + sen) 
Z = r(cos - sen) 
Z = r[cos(-) + sen(-)] 
 
 
Forma exponencial de un complejo 
Z r(cos   isen) 
Z 
= 
r[cos(-)  isen(-)] 
 
Teorema de Euler 
 
 
 
donde: 
 
 
 
 
e  = cos + sen
= cos2 + sen2
dato: argumento = 60° 
2 = 60° 
 = 30° 
Además: 
e: es el número de Euler: e  2,718281... 
: argumento en radianes 
 
| (ZZ) 
 
2 | = 
 
| (Z) 
 
4 | = |Z|
4 = r4 = 16 
= (0; 1) 
Luego: 
r = |Z| = 2 
 
Entonces tenemos una nueva representación para el 
complejo. 
 
Z
1 
= Z = 2 = 2(cos30° + isen30°) = 3 + i 
 
Z2 = Z = 3 - i 
 
 
Ejemplo: 
Z = |Z| (cos + sen) = |Z|e  
3. Resolver: 
 
 
(Z - )n = (Z + )n 
Expresar: Z = 1 + ; en la forma exponencial. Donde: Z  C; n  ZZ+ 
 
Solución: 
Calculamos el módulo de Z: 
Solución: 
 
 i 
n 
(Z - )n = (Z + )n   
Z - 
 = 1
 
|Z| = 12  12  |Z| = 2  Z  i
Calculamos el argumento principal: 
Z - i 
n 1 
 1  1 
Z  i 
=
 
 = arctan   = arctan   = arctan(1) = 
 1   1 
 

4 Aplicando proporciones: 
 
(Z - i)  (Z  i) 
 
n 1  1 
 Z = 2 e 4 
(Z  i) - (Z - i) 
= 
1 - n 1 
 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Calcular: 
2Z 
2i 
=
 
n 1  1 
1 - n 1 
 
 
 
Solución: 
 
Z = (cos10° - sen10°)12 
 
 
 
Z = [cos(-10°) + sen(-10°)]12 
 
 
 
Calculando: 
( 1  1)i 
Z = ... 
1 - n 1 
 
 
2k i 
Z = cos12(-10°) + sen12(-10°) 
Z = cos(-120°) + sen(-120°) 
Z = cos120° - sen120° 
 
“” en “”: 
3 1 = e n 
 
 
2k
(e n 
... 
 
 
 
 1)i 
 1 3 
Z = - 
2 
- 
2 
Z = 
1 - e 
 
2ki 
n 
 
2. El cociente de dos números complejos, conjugados entre 
sí, tiene argumento 60° y el conjugado del cuadrado de 
su producto tiene módulo 16. Hallar ambos números 
complejos. 
donde: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1) 
 
4. Reducir: 
 
[4(cos 7  isen7)]8 [2(cos 8  isen8)]9 
[4(cos 9  isen9)]10 [2(cos 2  isen2)]4 
 
Solución: 
3 
- 
1 
48 (cos 56  isen56)29 (cos 72  isen72) 
410 (cos 90  isen90)24 (cos 8  isen8) 
 
48.29 [cos(56  72)  isen(56  72)] 
 
 
Ordenando: 
 
 3 
= 
2 2 
 
 
1 3 1 3 1 
410.24 [cos(90  8)  isen(90  8) 
 
(22 )8 .29 [cos 128  isen128] 
(22 )10 .24 [cos 98  isen98] 
6 - 1 = 
 2 
+ 
2 
; 
2 
- 
2 
 
- 
3 
- 
1 
2 2 
; ; - ; - + ; 
2 2 
 



 
225 
224 
[cos(128° - 98°) + sen(128° - 98°)]
 
2[cos30° + sen30°] 
6. Si: 1, w, w2 son las tres raíces cúbicas de la unidad. 
Calcular el valor de: 
R = (1 + w - w2)(1 + w2 - w4)(1 + w4 - w8) 
(1 + w8 - w16) ... 6n factores 
 
 3 
 
 1 

2  i  Solución: 
 2 
 
3 + 
 2  Reduciendo las potencias, considerando que: w3n = 1, 
tendremos: 
 
R= (1  w - w2 )(1  w2 - w)(1  w - w2 )... 
5. Hallar las seis raíces de 6 - 1 . 
 
Solución: 
 
Z = -1 |Z| = 1 
"6n" factores 
observamos que los factores se repiten en forma 
alternada, ordenando: 
 
R = (1  w - w2 )...(1  w2 - w)...  
"3n" factores "3n" factores 
 = 

 
-1
 
R = (1 + w - w2)3n(1 + w2 - w)3n 
Recordando: 
 
Z = 1[cos + isen] 
 
1 + w + w2 = 0 
1  w  -w 
2
 

1  w 
2 
 -w 
6 1 

cos
    2k  


sen
   2k 

Reemplazando valores:
 
6 Z = 

  i 
 6  

6 
 
(-w2 - w2)3n(-w - w)3n = (-2w2)3n(-2w)3n 
como:  = 180° 
6 Z = cos30°(2k + 1) + sen30°(2k + 1) 
Para: k = 0 
[(-2w2)(-2w)]3n = (4w3)3n 
R = 43n 
 
Problemas para la clase 
 
cos30° + sen30° =
 3 + 
1 
 
Para: k= 1 
 
Para: k = 2 
2 2 
 
cos90° + sen90° = 
Bloque I 
 
1. Cuántos complejos están puestos en forma polar o 
trigonométrica: 
cos150° + sen150° = -cos30° + sen30° 
 
I. Z 
1 
 
= 3 [cos80º + isen60º] 
= - 
3 
+ 
1 II. Z2 = -3[cos30º + isen30º] 
2 2 III. Z3 = - 2 [cos140º + isen180º] 
Para: k = 3 
 
IV. Z 
 
= 3 [cos + isen ] 
cos210° + sen210° = -cos30° - sen30° 
4 2 2 
 
= - 
3 
- 
1 
2 2 
Para: k = 4 
 
a) I, II, III b) II y III c) I y IV 
d) SóloIV e) N.A. 
 
 
Para: k = 5 
cos270° + sen270° = - 
2. Expresar: Z = 1 + 3 i, en forma polar. 
cos330° + sen330° = cos 30° - sen30°    
a) 2[cos + isen ] b) 4[cos + isen ] 
3 3 2 2 
 
 
     
c) 2[cos 
6 
+ isen 
6 
] d) 4[cos 
3 
+ isen 
3 
] b) 2[cos 3 
+ isen 
3 
] 
e) 4[cos120º + isen120º] 
 
3. Expresar: Z = 3 + 3 i, en forma polar. 
 
7
c) 128[cos 
3 
 
5
 
7
+ isen 
3 
]
 
 
5
 
a) 2 3 [cos 
5 
+ isen 
5 
]
 
d) 64[cos 
3 
+ isen 
3 
]
 
6 6 
 
b) 3 [cosp + isenp] 
e) N.A. 
 
7. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la 
unidad: 
c) 2 [cos 
5 
+ isen 
5 
] 
6 6 
 1 2 1 3 
5
d) 3 [cos 
3 
5
+ isen 
3 
]
 
a) - 
2 
+ 
2 
i b) - 
2 
+ 
2 
i c) -1 
e) N.A. 
 
4. Sean los complejos: 
1 
d) - 
2 
+
 
6 
i e) 
2 
1 
+ 
3 
i 
2 2 
  8. Hallar la forma polar del complejo: 
Z
1 
= 3[cos 
6 
 

Z
2 
= 4[cos 
3 
+ isen 
6 
]
 
 

+ isen 
3 
] 
 
Z
1 
= 3 + i 
 
 
   
hallar: (Z
1 
Z
2
) 
 
 
 
a) 2[cos 
6 
 

  c) 6[cos 
+ isen 
6 
 

+ isen 
] b) 3[cos 
3 
 

] d) 4[cos 
+ isen 
3 
]
 
 

+ isen ] 
a) 4[cos 
2
 + isen 
3 
] b) 12[cos 
2
 + isen 
2 
] 4 4 6 6 
e) N.A. 
c) 3[cos + isen] d) 12[cos + isen] 
e) N.A. 
 
5. Sean los complejos: 
 
9. Hallar la forma polar del complejo: 
Z = -2 - 2 3 i 
 

Z1 = 4[cos 3
 
 

+ isen 
3 
] 
 
4 4 3
a) 4cis b) 2cis c) 6cis 
 

Z
2 
= 3[cos 
6 
 

+ isen 
6 
] 
3 3 4 
 
4 
d) cis e) N.A. 
3 4 
Hallar: 
Z1 
Z 2 
 
 
4  
10.Hallar la forma polar de: 
Z
1 
= -1 - i 
a) 
3 
[cos 
6 
 
4 
+ isen 
6 
]
 
 
 
 

a) 2 cis 
4 
 

b) - 2 cis 
4 
5
c) 2 cis 
4 
b) 
3 
[cos(- 
6 
) + isen(- 
6 
)]
 
 
3 
c) 
4 
[cos + isen] 
3
d) cis 
4 
 

e) cis 
3 
 
4  
Bloque II 
d) 
3 
[cos 
2 
e) N.A. 
+ isen 
2 
]
 1. Expresar en forma exponencial el complejo: 
Z = 1 + 3 i 
 
6. Sea el complejo: Z = (1 + 3 i) 
hallar "Z7" en forma polar. 
i 
a) 2e 3 
 
 
 
2 i 
 
i 
b) 3e 3 
 
 i 
c) 2e 4 

a) 128[cos 
3 

+ isen 
3 
]
 
d) 3e 3 e) N.A. 
 
a) 1 b) 1,1 c) 1,2 
d) 1,3 e) 1,5 
 
3 2 
5 
2. Expresar: 
 
 
Z = -3 + 3 i 
7. Hallar la forma exponencial del complejo: 
Z 
1 
= 3 + i 
en forma exponencial. 
 
 
 
i 
 
 
 
5 i 
 
 
 
5 i 
 
 

a) 2e 6 
 
 

i 
b) e 6 
 
 
 
i 
c) 2e 6 
a) 2 3e 
6
 
 
 i 
b) 2 2e 
6
 
 
- 

c) 2 3e 
6
 
 
 i 
d) 3e 6 
 
 i 
e) e 4 
d) 3e e) e 
 
8. Hallar la forma exponencial del complejo: 
Z = -2 - 2 3 i 
3. Sean los complejos: 
 
 
 
 
4 4 

 
 
4 

Z
1 
= 2 [cos 
6 
 

Z
2 
= 8 [cos 
3 
+ isen 
6 
]
 
 

+ isen 
3 
]
 
 
a) 4e 3 
 

d) e 3 
i 
b) 3e 3 
 
4  
i 
e) e 3 
i 
c) 4e 3 
Hallar “Z
1
.Z
2
” 
 
 
  i 
 
9. Hallar el módulo de: 
Z = 1 + cos106º + isen106º 
 
i 
a) 4e 2 
 
 i 
b) 4e 2 c) 16e 3 
d) 8e 2 e) N.A. 
10.Calcular: P = ii 
4. Sean los complejos: 
 

Z1 = 4cis 3 
 


 
 
- 
a) e 2 
 
- 
 
i 
2 
 
 

b) e 2 
 
 
 i 
c) e 2 
Z2 = 3cis 6 
d) e e) e
 
 Z 
Bloque III 
Hallar: 
 
 1 


 
 Z 2 
 
 
4 


a) e 6 
3 
 
4 
 i 
 
 
 
 
4 
 i 
b) e 6 
3 
 
 
 
 
3 
 i 
c) e 3 
4 
 
1. Reducir: 
 
 
 
 
siendo: 
 
 
 
N  
3(cis72º )(4cis70º )(5cis38º ) 
10(cis17º )(2cis85º )(cis78º ) 
 
 
cis = cos + isen
d) e 2 
3 
e) N.A. 
 
a) 2 b) 3 c) cis180º 
d) 1 e) N.A. 
5. Sea: Z = 1 + 3 i 
Hallar “Z10”. 
 
2. Efectuar: 
 
M  
(2cis10º ) 
 
 
 
(3cis40º )2 
 
 
 
(5cis15º )4 
7 
i 
a) 1024e 3 
 
 i 
 
b) 1024e 
16
3 
10 
i 
c) 1024e 3 
(2cis30º )2 (5cis20º )3 (24cis33º ) 
 
 
a) 9 + 12i b) 12 + 9i c) 4 + 3i 
d) 1024e 3 e) N.A. d) 3 + i e) 2 - i 
 
6. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la 
unidad: 
3. Si "W" es una raíz cúbica de la unidad, reducir: 
E = 1 + W + W2 + W3 + W4 + ... + W1997 
 
 
a) - 
1 
 
8 
i 
2 2 
 
d) - 
1 
 
6 
i 
2 2 
 
b) - 
1 
- 
3 
i 
2 2 
 
e) 
1 
 
3 
i 
2 2 
 
c) -1 
a) 1 b) W c) W2 
d) -W e) 0 
 
a) 3e b) 2e c) e 
d) i e) i-2 
 
a) 1 b) 2 c) 4 
d) 2 e) 0 
 
a) 22 u2 b) 21 c) 19
 
a) 
 
i 
2e 2 
 
b) 
d) 18 e) 3 
 
4. Señale una raíz quinta de la unidad: 
 
 
a) -1 b) cis 
2 
c) cis 

 
Autoevaluación 
 
1. La forma cartesiana del siguiente complejo: 
5 15 
[cos 17  isen17]3 [ 
 
2 (cos 28  isen28]2 
d) cis 
 
e) cis 
 (cos 7  isen7)11 
8 
 
5. Reducir: 
4 
 
 
 
 i -  i 
es: 
 
a) 2 + i b) 2 + 2i c) 3 + i 
d) 2 + 3 i e) N.A. 
L  
e 4
 
 i 
e 4 
 e 4 
- 
 
i 
- e 4 
 
 
2. Sea el complejo: 
 
a) 1 b) -1 c) i 
d) -i e) e 
 
6. Calcular "a" en la igualdad: 
 
Z = 
3 
+ 
1 
i 
2 2 
calcular: Z6 
 

1 
 
2
 
a 
 
1i 
i 1-i 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) - 1 e) - 2 
 
 
3. Expresar: Z = 4i, en su forma trigonométrica. 
 
 
   
7. Reducir: 
W668 + W273 + W855 + W542 + W115 + W439 
a) 2[cos 
2 
+ isen 
2 
] b) 2[cos 
2 
- isen 
2 
]
 
siendo: 1, W, W2 las tres raíces cúbicas de la unidad.    c) 2[sen + icos ] d) 4[sen - icos ] 
2 2 2 2 
e) 2[cos + isen] 
 
 
8. Calcular el área que genera el complejo "Z" si se cumple: 
2  |Z|  5 
4. Expresar: Z = 1 + 3 i, en su forma exponencial. 
 
 
 
i 
 
 
 
9. Calcular: 
 
 
 
 
 
E  4 27  [(2W  1)6  (2W 2  1)6 ] 
 
 
 
d) 2ei e) 
2e3i c) 
 
 
i 
2e 3 
2e 4 
 
siendo "W" una raíz cúbica de la unidad. 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
10.Si: 1, W, W2 son las raíces cúbicas de la unidad, calcular: 
R = (1 + W - W2)(1 + W2 - W4)(1 + W4 - W8) ... 
"18n" factores 
 
a) 43 b) 2n c) 43n 
d) 42n e) 49n 
5. Indicar verdadero (V) o falso (F): 
 
I. [r(cos + isen)]n = n(cosr + isenr) 
II. cis = sen + icos
III. cos - isen = e-i
 
a) VFV b) FFF c) FVV 
d) VVV e) FFV