13-VALOR-ABSOLUTO--ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

Vista previa del material en texto

4 
AÑO 
- x; 
Valor absoluto 
 
 
 
 
 
 
Definición 
 
Se llama valor absoluto de un número real “x” y se denota 
por |x| al número real no negativo que cumple: 
 
 
 
2. |x| = 0  x = 0 
 
Ejemplo: 
|x - 2| = 0  x - 2 = 0  x = 2 
5 
 
x; 
|x| = 

 
x  0 
x  0 
x; 

también: |x| = 0; 

- x; 
x  0 
x  0 
x  0 
|2x - 5| = 0  2x - 5 = 0  x = 
2 
 
3. |xy| = |x| |y| 
 
Ejemplos: 
 
|3| = 3; pues: 3 > 0 
|x2 + 1| = x2 + 1; pues: x2 + 1 > 0 
Ejemplo: 
|2x| = |2| |x| 
|(x - 2)(x - 6)| = |x - 2| |x - 6| 
|-5| = -(-5) = 5; pues: -5 < 0 
 
| 3 - 7 | = -( 3 - 7 ) = 7 - 3 ; 
x 
4. y 
| x | 
= | y | ; y  0 
 
pues: 3 - 7 < 0 
|0| = 0 
 
 
Interpretación geométrica 
 
Ejemplo: 
 
 
 
x 
2 
 
x - 3 
 
 
 
| x | 
= 
| 2 | 
 
| x - 3 | 
 
La distancia de un número real al cero se denomina valor 
absoluto y se le representa entre barras. 
 
Ejemplo: 
|-6| |6| 
 
 
 
5. |x2| = |x|2 = x2 
 
Ejemplos: 
x 
= 
| x | 
 
 
- -6 0 6 +
|(x - 5)2| = |x - 5|2 = (x - 5)2 
|x2| = x2 
|(x - 2)2| = (x - 2)2 
 
El valor absoluto de -6 es 6, ya que la distancia de -6 al 0 
6. 
es 6 y se representa como: |-6| = 6. También: |6| = 6. 
 
x 2 = |x| 
 
En general: 
 
 
 
 
|-x| |x| 
 
Ejemplos: 
 
 
 
(x - 5)2 
 
(x  1)2 
 
 
 
= |x - 5| 
 
= |x + 1| 
- -x 0 x +
 
 
7. -|x|  x  |x| 
 
Propiedades 
1. |x|  0;  x  IR 
Ejemplo: 
|x2 - 2x|  0;  x  IR 
8. |x| = |-x| 
Ejemplos: 
 
 
 
 
|5| = |-5| 
|3| = |-3| 
|x - y| = |y - x| 
|x - 2| = |2 - x| 
 
4 
9. |x + y|  |x| + |y| 
 
Demostración: 
|x + y|2 = (x + y)2 propiedad “5” 
4. Resolver: 
 
 
Solución: 
 
 
|3x - 1| = x 
Desarrollando: 
|x + y|2 = x2 + y2 + 2xy 
Como no se conoce el signo de “x”, debemos considerar: 
x  0  (3x - 1 = x  3x - 1 = -x) 
Se sabe: 
|x|2 = x2; |y|2 = y2 
 
1 
x  0  (x = 
2 
 
1 
 x = 
4 
) 
Reemplazando tenemos: 
|x + y|2 = x2 + y2 + 2xy ... I 
De otro lado: 
xy  |xy| propiedad “7” 
multiplicando por 2: 
 
Como: 
 
 
1 
x = 
2 
 
 
1 
> 0  x = 
4 
> 0
 
 
1 
; 
1 

2xy  2|xy| 
ahora sumando a ambos miembros: 
|x|2 + |y|2 tenemos: 
 
| x |2  | y |2 2xy |x|2+|x|2+2| x || y | 
 C.S. =  
 2 

I 
|x + y|2  (|x| + |y|)2 
De donde: 
|x + y|  |x| + |y| 

|xy| 
5. Resolver: 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
4x - 1 
3 
 
 
= 2x 
 
Ecuaciones con valor absoluto 
2x  0  x  0, debemos hallar soluciones contenidas 
en el intervalo: [0; +> 
 
Teoremas 
4x - 1 
3 
4x - 1 
= 2x  
3 
 
= - 2x 
 
1. |x| = a  a  0  (x = a  x = -a) 
2. |x| = |a|  x = a  x = -a 
 
 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Resolver: 
|2x - 1| = 7 
4x - 1 = 6x  4x - 1 = - 6x 
1 1 
x = - 
2 
 x = 
10 
 
 
 
- 
1 0 1 x 
2 10 
 
1 
 
Solución: 
 
 
7 > 0  (2x - 1 = 7  2x - 1 = -7) 
Vemos que: - 
2 
 [0; +>: 
 
1 
7 > 0  (x = 4  x = -3) 
 C.S. = {-3; 4} 
 C.S. =  
10 
 
 
2. Resolver: 
 
 
 
|x - 2| = 5 
6. Resolver: 
 
 
Solución: 
 
|5x - 1| = x + 3 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
3. Resolver: 
 
5 > 0  (x - 2 = 5  x - 2 = -5) 
5 > 0  (x = 7  x = -3) 
 C.S. = {-3; 7} 
 
 
 
 
|4x - 1| = -6 
x + 3  0  x  -3  x  [-3; +> 
5x - 1 = x + 3  5x - 1 = -(x + 3) 
4x = 4  6x = - 2 
1 
x = 1  x = - 
3 
 
Solución: 
Como: -6 < 0, no hay solución, ya que el valor absoluto 
siempre es positivo, por lo tanto: C.S. = 
-3 
- 
1 1 x 
3 
 

Vemos que las soluciones están contenidas en el 
intervalo: [-3; +> 
 
Problemas para la clase 
 
 1 
 
Bloque I 
 C.S. = - 
3 
; 1
7. Resolver: 
Solución: 
 
 
 
 
|2x - 1| = |x| 
 
1. Encuentre el valor de las expresiones que se dan a 
continuación para: x = -4 ; y = 2 ; z = -3 
 
a. |2x - y| 
 
b. 2|x| - |y| 
2x - 1 = x  2x - 1 = -x 
1 
x = 1  x = 
3 
 
 
c. |xyz| 
 
d. |xy|z 
1 
 C.S. =  
3 
; 1 xz
 
 
 
8. Resolver: 
e. y 
 
 
 
Solución: 
|x2 - 5x| = 6 
 
 
x2 - 5x = 6  x2 - 5x = -6 
x2 - 5x - 6 = 0  x2 - 5x + 6 = 0 
x 
f. y 
z
 
 
xz 
g. 
y 
(x - 6)(x + 1) = 0  (x - 3)(x - 2) = 0 
 C.S. = {-1; 2; 3; 6} 
 
9. Resolver: 
|x - 2| + |3x - 6| + |4x - 8| = |2x - 5| 
 
x - y 
h. 
z 
 
x  2z 
 
Solución: 
|x - 2| + |3(x - 2)| + |4(x - 2)| = |2x - 5| 
|x - 2| + 3|x - 2| + 4|x - 2| = |2x - 5| 
8|x - 2| = |2x - 5| 
|8x - 16| = |2x - 5| 
8x - 16 = 2x - 5  8x - 16 = -(2x - 5) 
6x = 11  10x = 21 
i. 
y 
 
x - y 
j. 
3y  z 
 
x - y 
k. 
3 y  z 
11 
x = 
6 
21 
 x = 
10 
 
11 
; 
21 
 
xy 
l. 
x  y 
 
 
 
10.Resolver: 
 C.S. = 
 6 10 


 
x  y  z 
m. 
x  y  z 
 
 
Solución: 
|3x - 2|  |2x + 3| + |x - 5| 
2. Resolver la ecuación: 
 
 
|x - 5| = 4 
3x - 2 = (2x + 3) + (x - 5) 
2x  3 + x - 5 |  | 2x  3 |+| x - 5 |
 
indicando la mayor solución. 
|  
 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 9 
 
Propiedad “9” 
| + |  || + || 
3. Resolver la ecuación: 
Vemos que se cumple la desigualdad triangular, por lo 
tanto: 
C.S. = IR 
| 2x + 3 | = 7 
hallar el número de soluciones. 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 8 
 
 
4. Resolver la ecuación: 
|3x - 8| = 4 
indicar una solución. 
4 
2. Resolver la ecuación: 
 
 
x  3 
x - 3 = 7 
a) 1 b) 2 c) 
3 
d) -6 e) 20 
 
5. Resolver la ecuación: 
|4x - 9| = 11 
hallar una solución. 
 
a) 4 b) 5 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
6. Resolver la ecuación: 
|4x + 5| = 15 
indicando una solución. 
hallar el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 6 
 
3. Resolver: 
 
2x  1 
x - 1 = 3 
hallar el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 6 
 
4. Resolver: 
5 
a) 
2 
 
1 
d) 
7 
2 
b) 
5 
 
1 
e) 
5 
1 
c) 
3 
|x|  5 
 
a) x  [-5 ; 5] b) x  <- ; -5]  [5 ; +> 
c) x  IR d) x  
e) x  IR+ 
 
7. Resolver la ecuación: 
|8 - x| = 4 
5. Resolver: 
|x2 - 4x| = 0 
hallando el número de soluciones. hallar el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 7 d) 4 e) 5 
 
8. Resolver la ecuación: 
|7 - 2x| = 9 
6. Resolver: 
||x - 3| - 5| = 0 
hallar una solución. hallar el número de soluciones. 
 
a) 1 b) -1 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3 
d) -2 e) -3 d) 4 e) 6 
 
9. Resolver la ecuación: 
|3x - 2| = |2x + 3| 
7. Resolver: 
|x2 - 4| = x - 2 
hallar el número de soluciones. indicando el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 6 d) 4 e) 5 
 
10.Resolver e indicar una raíz. 
|x - 4| = |5 - 2x| 
8. Resolver: 
x2 + 6 = 5|x| 
 
a) 3 b) 4 c) 9 
d) 10 e) 20 
 
Bloque II 
 
1. Resolver la ecuación hallando el número de soluciones. 
|5x| = 6 - x 
indicando el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
9. Resolver: 
x2 - 2x + 3|x - 1| = 9 
indicar la suma de sus soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 a) 4 b) 2 c) - 2 
d) 4 e) 6 d) 6 e) - 6 
 
a) 4 b) 3 c) 2 
d) -3 e) -4 
 
10.Hallar el número de soluciones: 
||x| - 1| = x 
a) {-1} b) {1;1/2} c) {-1/3} 
d) {1} e) {-1;-1/3} 
 
a) 1 b) 2 c) 3 6. Resolver: 
d) 4 e) 0 | 2x + 4 | = | x - 10 | 
 
Bloque III 
 
1. Resolver: 
 
 
 
 
|2x - 1| = x 
a) {-2} b) {-14} c) {-14; 2} 
d) {-14;-2} e) {14} 
 
7. Resolver: 
x2 - 4|x| + 4 = 0 
a) {-1 ; -1/3} b) {-1 ; 1/3} 
c) {1/3} d) {1 ; 1/3} 
e) {1} 
 
2. Resolver: 
indicar el número de soluciones. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
| 3x - 1 | = x + 7 8. Resolver: 
|6-x-x2-x4| - |x4+x2+x-6|+|x2-9|=0 
a) {4} b) {-3/2} c) {-3/2 ; 4} 
d)  e) IR 
 
3. Resolver: 
|x2 - x + 1| = 13 
indicar la menor solución. 
hallar la suma de soluciones. 
 
a) 0 b) 1 c) 2 
d) -3 e) 4 
 
9. Resolver: 
|2x + 9| = x - 1 
hallar la suma de soluciones. 
 
 
 
 
4. Resolver: 
38 
a) - 
3 
8 
b) -10 c) - 
3 
|x - 1| = x2 - x - 1 
 
 
a) { 2 ; 2} b) {- 2 ; 2} 
 
c) {-2;2} d) { 2 ; - 2 } 
d) absurdo e) ecuación compatible 
 
10.Indicar la suma de soluciones: 
3|x + 1| + |x - 8| = 19 
 
e) { 2 ; -2} 
17 
a) 
2 
9 
b) 
4 
5 
c) 
7 
 
5. Resolver: 
 
 
|2x + 1| = |x| 
 
17 
d) -2 
e) N.A.
 
 
 
3. Resolver: