05-DESCARGAR-TEORIA-LA-NUMERACION-QUINTO-DE-SECUNDARIA

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AÑO 
Teoría de la numeración I 
 
 
 
 
 
 
La ferretería 
 
Una mujer entra a una ferretería, ve un producto que le interesa y pregunta: ¿Cuánto 
cuesta uno?. 
 
El vendedor responde “ochenta maravedíes”. Entonces ella pregunta: “¿y trece?”, a lo que 
el tendero replica “ciento sesenta”. 
 
La mujer se decide finalmente y dice “me llevaré ciento treinta y cinco”. “Eso le costará 
doscientos cuarenta maravedíes”. ¿Qué es lo que está comprando la señora? 
 
 
 
Introducción 
 
En el transcurso del desarrollo de la humanidad, el 
hombre tuvo la necesidad de expresar el número, al inicio 
presumiblemente solo en un lenguaje simbólico. Los dedos 
de la mano pueden usarse para presentar un conjunto 
5 7 8 6 Posición unidades: 
6 × 1 decenas : 8 × 
10 centenas: 7 × 
100 millares : 5 × 
1000 
 
 
 
Valores 
posicionales 
de dos, tres, cuatro o cinco objetos. Por medio de los 
dedos de las manos se podían representar colecciones 
de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos 
y pies podía remontarse hasta veinte. Cuando el uso de 
los dedos resultaba inadecuado , podían utilizarse 
pequeños montones de piedras para representar los 
elementos de un conjunto y cuando el hombre primitivo 
empleaba este sistema de representación, a menudo 
amontonaba las piedras en grupos de cinco, debido a 
que antes ya se había familiarizado con los quíntuplos 
por observación de su propia mano o pie. 
 
Cada pueblo en la antigüedad definía su propio sistema 
de numeración. Un accidente anatómico, el que tengamos 
diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha 
determinado la definición del sistema decimal de 
numeración en la mayor parte de los pueblos. Otro 
sistema de numeración también ligado a la fisiología 
humana es el duodecimal, puesto que los cuatro dedos 
de la mano, a excepción del pulgar, tienen 12 falanges 
en total, por lo que se puede contar hasta doce. Este 
sistema se emplea en la actualidad ya que muchos objetos 
se compran por docenas y no decenas: cuchillos, 
tenedores, platos, etc. Los ingleses conservan vestigios 
del sistema duodecimal tanto en el sistema de medidas, 
un pie equivale a doce pulgadas, como en el sistema 
monetario, un chelin equivale a doce peniques. 
 
Actualmente utilizamos el sistema decimal que fue 
simbolizado por los Hindues y difundido por los árabes, 
razón por la cual se le llama sistema indoarábigo. 
Los símbolos que usamos son diez: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 
7; 8 y 9; a los que llamamos cifras o dígitos. Uno de los 
principios con el que se rige nuestro sistema es el de la 
posición, según el cual el valor de cada dígito depende 
de su posición, por ejemplo: 
Podemos apreciar que la suma de los valores posicionales 
de las cifras dan como resultado el numeral 5 786. 
5786 = 5 × 1000 + 7 × 100 + 8 × 10 + 6 × 1 
 
Numeración 
 
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio 
de la correcta formación, escritura y lectura de los 
números. 
 
Número 
 
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los 
objetos de la naturaleza. 
 
Numeral 
 
Es la representación simbólica o figurativa del número. 
 
Cifra o dígito 
 
Son los símbolos que por convención se usarán en la 
formación de los numerales y estos son: 0; 1; 2; 3; 4; 
5; 6; 7; 8 y 9. 
 
Sistema posicional de numeración 
 
Es un conjunto de principios y convenciones que nos 
permiten la correcta formación, escritura y lectura de 
los números. 
 
Principios fundamentales 
 
1. Del orden.- Toda cifra que forma parte de un 
numeral ocupa un orden determinado, el cual se 
considera de derecha a izquierda. 
 
 
 
Lugar 
 
 
 
1º 2º 3º 4º 5º 
 
9 2 7 5 6 
 
5º 4º 3º 2º 1º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orden 
Por ejemplo: 
* Numeral de dos cifras de la base 10: ab 
ab  { 10; 11; 12; 13; ...; 99 } 
 
2. De la base.- Todo sistema de numeración tiene una 
base que es un número entero positivo mayor que 
uno, el que nos indica el número de unidades 
 
* Numeral de tres cifras de la base 7: abc7 
suficientes y necesarias de un orden cualquiera para 
abc7  { 1007; 1017; 1027; ...; 6667 } 
formar una unidad del orden inmediato superior. 
 
3. De las cifras.- Las cifras de un numeral deben ser 
enteras no negativas, la primera debe ser diferente 
de cero, además deben ser menores que la base. 
* (ab)(a  2)(b  3)8 
la base 8. 
es un numeral de tres cifras de 
 
Por ejemplo, representa en base 10 el siguiente 
conjunto de asteriscos. 
 
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 
* * * * * * * * * * * * * * 
 
Observamos tres grupos de diez unidades y siete 
unidades simples, entonces su representación será: 37
10
 
 
Considerando los principios de la base y de las cifras 
podemos indicar: 
 
Base Sistema Cifras disponibles 
Numeral capicúa 
 
Es todo numeral simétrico, por ejemplo: 
 
* 22
6 
; 44
5 
; 77
9
 
 
* 313 ; 909
11 
; 666
7
 
 
* 4224
6 
; 5115
9 
; 2222
5
 
 
Veamos la representación literal de los numerales capicúas: 
 
 
* Numeral capicúa de dos cifras en la base 10: aa 
aa  { 11; 22; 33; ...; 99 } 
* Numeral capicúa de tres cifras en la base 7: aba7 
 
 
aba7  { 101
7
; 111
7
; 121
7
; ...; 666
7
} 
 
 
* Numeral capicúa de cuatro cifras en la base 11: abba11 
 
 
abba11  { 100111; 111111; 122111; ...; 
(10)(10)(10)(10)11 } 
 
 
 
 
 
Representación literal de numerales 
 
Para representar los numerales se debe tener en cuenta 
las siguientes consideraciones: 
 
1. Toda expresión entre paréntesis nos indicará una 
cifra. 
2. Las letras diferentes no necesariamente representan 
Descomposición polinómica 
 
Consiste en expresar al número como la sumatoria de 
los valores posicionales de cada una de sus cifras, por 
ejemplo: 
 
4253 = 4 × 103 + 2 × 102 + 5 × 10 + 3 
 
abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + d 
 
aba7 = a × 72 + b × 7 + a 
valores diferentes, excepto se indique que deben ser 
valores diferentes. ab4c6 = a × 6
3 + b × 62 + 4 × 6 + c 
 
 
a) 11 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
a) 34 b) 35 c) 36 
d) 37 e) 38 
 
También se puede descomponer un número por bloques, 
por ejemplo: 
 
 
abab = ab × 102 + ab 
 
abcabc7 = abc7 × 73 + abc7 
 
4a4a6 = 4a6 × 62 + 4a6 
 
 
Problemas para la clase 
 
Bloque I 
 
1. ¿Cuántas cifras tiene un numeral en el que se observa 
que la cifra de segundo orden es la tercera cifra? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 2 e) 6 
 
2. Calcular “a + b”, si los numerales: 
 
7a38 ; 545b ; 6b5a 
están correctamente escritos. 
6. Exprese “N” en base 5 y de la suma de sus cifras. 
 
N = 2 × 54 + 7 × 53 + 52 + 8 × 5 + 2 
 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13 
 
7. Calcule la suma de los factores que multiplican a mn8 y 
mnp 6 al expresar como una multiplicación indicada a 
mnmn8 y mnpmnp 6 respectivamente. 
a) 280 b) 281 c) 282 
d) 283 e) 284 
 
8. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a 
cuatro veces la suma de sus cifras? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
9. Calcule la suma de los numerales, tal que al restarles el 
numeral que se obtiene al invertir el orden de su cifras 
se obtiene 54. 
 
 
 
3. Si los numerales están correctamente escritos, calcular 
“a + b”. 
 
 
I. (2a)(a  2)5 
 
 
 
10.Si Arturo tiene ab años y dentro de “6a” años tendrá 
50 años, calcule su edad dentro de “a + b” años. 
 
 
II. 
 
b 
b  5
 3  9  
11.Calcule el producto de las cifras de un numeral de tres 
a) 5 b) 6 c) 4 
d) 7 e) 3 
 
4. Calcule la suma de los números de valores que pueden 
asumir: “a”, “b” y “c”. 
 
 
  
cifras, tal que sea igual a 25 veces la suma de sus cifras. 
 
a) 9 b) 20 c) 10 
d) 18 e) 15 
 
12.Un auto que viaja con velocidad constante pasó por el 
kilómetro ab . Al cabo de media hora pasó por el 
(5  a)(3  a)(2b  1) 
2 
c  
b 

 3  2  8   
 
a) 14 b) 15 c) 16 
d) 17 e) 18 
kilómetro ba . Finalmente, luego de mediahora más 
pasó por el kilómetro a0b . ¿Con qué rapidez viajó el 
automóvil (km/h)? 
 
a) 80 b) 90 c) 75 
d) 60 e) 100 
 
5. Si el numeral 2a  5 
b 
3  b8  a
; es capicúa, 
 2  n  
calcule “a × b”. 
Bloque II 
 
1. Dado el numeral capicúa de cifras significativas: 
a) 6 b) 3 c) 2 
d) 4 e) 8  

abcb  2 
b 
bc  1

 2  4
 
 
 
 
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 19 e) 20 
 
a) 25 b) 21 c) 28 
d) 10 e) 22 
 
a) 20 b) 21 c) 22 
d) 23 e) 24 
 
a) 9 b) 10 c) 7 
d) 6 e) 11 
 
Calcule “a + b + c” 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
a) 30 b) 31 c) 32 
d) 33 e) 34 
d) 8 e) 9 8. Si: abcd = 37ab + 62cd 
 
2. Si se cumple que: 
 
mnp1  3  2mnp 
Calcule “m + n + p” 
 
 
 
 
 
 
3. Dados los numerales: aa b ; ba c 
Calcule “a + b + c” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y ca 4 
Halle “a + b + c + d” 
 
a) 16 b) 17 c) 15 
d) 14 e) 13 
 
9. Exprese “E” en base 8 y de como respuesta la suma de 
sus cifras. 
E = 6 × 83 + 4 × 85 + 11 × 82 + 3 × 84 + 37 
a) 23 b) 24 c) 25 
d) 26 e) 27 
a) 3 b) 6 c) 9 
d) 12 e) 10 
 
4. Si los numerales: 
 
10.Calcule la suma de las cifras y la base, del menor 
numeral de cinco cifras significativas y diferentes entre 
sí. 
 
  
;
 
; 
 b 

a 
a 
 c1 
 b1 
 2 
b 6  2  
c 
   
están bien escritos, calcule “a × b × c” 
 
a) 40 b) 60 c) 24 
d) 12 e) 15 
 
5. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que al 
sumarles el numeral que se forma al invertir el orden 
de sus cifras se obtiene 22 veces la diferencia de las 
mismas? 
 
11.Si ab es un numeral de cifras significativas y mínimo, 
además: ab = n(a + b). 
Calcule “a + b + n” 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
12.Calcule el menor valor de “a + b + n”, si: ab = n(a - b). 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
6. Halle un numeral de dos cifras, tal que al invertirlo, el 
numeral queda aumentado en 15 respecto a su doble. 
De como respuesta el producto de sus cifras. 
13.¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar a 
“a - b” para que sea igual a ab  ba ? 
 
a) 27 b) 3 c) 9 
d) 18 e) 15 
 
7. Escriba correctamente el siguiente numeral y dé como 
respuesta la suma de sus cifras. 
 
 
(4n)(5n  2)(7n)(4n  1)(3n)(n  5)6 n 
(n > 6) 
14.¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar a “a - c” 
para que sea igual a abc  cba ? 
 
a) 33 b) 66 c) 11 
d) 22 e) 99 
 
 
AÑO 
547 7 
1 78 7 
 1 11 7 
 4 1 
 
a) 22 b) 23 c) 24 
d) 25 e) 26 
 
Teoría de la numeración II 
 
 
 
 
 
 
Adivina la edad 
 
B'  (A  A') 
Ø 
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el 
número del mes de nacimiento (enero = 1; febrero = 2; ...) y después le pides que lo multiplique 
mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido 
por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, 
réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, 
y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así? 
 
 
 
Cambios de base 
 
1. De una base diferente de 10 a la base 10. Por 
descomposición polinómica 
 
Por ejemplo: 
* Podemos llevar, gracias a los métodos anteriores, de 
base diferente de 10 a base diferente de 10, por 
ejemplo: 
 
a) 437
9 
a base 6 
2
 
 
a) 572
11 
a base 10 
572
11 
= 5 × 112 + 7 × 11 + 2   572
11 
= 684 
4 3 7 
9 
= 4 × 9 
437
9 
= 358 
358 6 
+ 3 × 9 + 7 
 
b) 4132
5 
a base 10 
4132
5 
= 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 2   4132
5 
= 542 
4 59 6 
5 9 6 
3 1 
 
 
 437
9
 
 
 
= 1354
6
 
 
2. De la base 10 a una base diferente de 10. Por 
divisiones sucesivas. 
 
Por ejemplo: 
 
a) 547 a base 7 
 
 
 
 
 547 = 1411
7 
 
 
b) 266
7 
a base 11 
266
7 
= 2 × 72 + 6 × 7 + 6 
266
7 
= 146 
146 11 
3 13 11 
2 1 
 266
7 
= 123
11 
 
 
 
b) 326 a base 9 
 
326 9 
2 36 9 
 
 
 
Bloque I 
Problemas para la clase 
0 4 
 326 = 402
9 1. Si: 8729 = abc 11 , calcule “a + b + c”. 
 
 
c) 42 a base 2 
 
42 2 
0 21 2 
1 10 2 
0 5 2 
1 2 2 
0 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 = 101010
2
 
 
 
 
2. Exprese en base 5 el menor numeral de 4 cifras de la 
base 7. De como respuesta la suma de cifras de mayor 
y menor orden. 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14 
 
a) 33 b) 34 c) 35 
d) 36 e) 37 
 a) 12 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
3. Calcule el producto de las cifras del numeral que se 
obtiene al expresar en base 4 el menor numeral de tres 
cifras significativas de la base 9. 
12.Calcule “a + b + c + d”, si: 
 
aba 7  ccb 9  d8b 
 
a) 4 b) 10 c) 12 a) 11 b) 12 c) 13 
d) 9 e) 8 d) 14 e) 15 
 
4. Calcule el valor de “a + n”, si se cumple que: 
 
7a n = 639 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) 11 
 
 
5. Calcule el valor de “m + n”, si: 251 m  20n 7 . 
 
Bloque II 
 
 
1. Calcule “a + b + c”, si: aaa 7  bc8 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) 11 
 
2. Si se cumple que: 
 
 
13m n  33n p  136 m  44p 
 
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si: 
 
 
324 n  abn 6 
Calcule “m + n + p” 
 
a) 24 b) 21 c) 27 
d) 30 e) 18 
 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 7 e) 8 
 
3. Si: 
 
bc n  an m , donde: m < 5, calcule 
 
7. Calcule el valor de: 
E = 112 
 
 
 
 12134 
 
 
 
 14 
 
 
 
15167
 
“a + b + c + m + n”. 
 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14 
 
4. Si: an2 9  47b n , calcule “a + b + n”. 
 
 
8. Calcule “n - m”, si: 
 
1a 1b n  13 1b 1a m
 
 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
9. ¿Cuántos numerales de cuatro cifras del sistema decimal 
tienen cuatro cifras en el sistema octanario? 
 
a) 3 960 b) 3 096 c) 2 460 
d) 2 096 e) 2 069 
 
10.¿En cuántos sistemas de numeración el 881 se escribe 
con cuatro cifras? 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
 
 
5. Si: 4a5 n  2b3 8 , calcule “a + b + n”. 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13 
 
6. Calcule el valor de “a + b + n”, si: 
 
54a03 n  16b03 8 
 
a) 12 b) 13 c) 14 
d) 15 e) 16 
 
7. Si se cumple que: 
 
abab4 5  mn(m  1)(n  1) 7 , donde “m” y “n” son 
pares, calcule la suma de “a + b + m + n”. 
11.Si: aabb 7  11a4 9 
Halle el valor de “a + b“ 
 
a) 7 b) 8 c) 9 
d) 10 e) 11 
a) 15 b) 14 c) 13 
d) 16 e) 17 
 
 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
 
8. Si: mnpq  4a2q 7 , calcule “a + m + n + p”. 
12.Exprese el numeral 425
7 
a base 9. De como respuesta 
la suma de sus cifras. 
 
a) 20 b) 21 c) 22 a) 13 b) 14 c) 15 
d) 18 e) 19 d) 16 e) 17 
 
9. Calcule “a + b + d”, si: 
 
abb5 d  a(b  3)(b  3)(b  1) 7 
 
13.Calcule el valor de: E = 11 12 13  13 
 
 
14 15 16
 
 
 
a) 10 
 
b) 8 
 
c) 7 a) 41 b) 42 c) 43 
d) 11 e) 6 d) 44 e) 45 
 
10.Halle “mn”, si se cumple que: m2n 4  1m5 (2n) 14.Calcule el valor de “a + n”, si: 1021 n  20a 4 
 
a) 8 b) 7 c) 16 
d) 15 e) 9 
 
 
11.Si: aabc 6  bb(2c) 7  b + c = 7, calcule “a + b - c”. 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7 
 
 
15.Si: 3b6 n  143 8 , calcule “b + n”. 
 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6