fracciones-algebraicas

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Noviembre de 2015 
 
1 
Fracciones Algebraicas 3º ESO 
Departamento de Matemáticas 
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© Raúl González Medina 
Fracciones Algebraicas I 
 
1.- Utilizando las identidades notables y sacando factor común, simplifica las siguientes fracciones 
algebraicas: 
a) 
3 2
4
15
5
a b
ab 
b) 
4 5 7
5 8
121
11
a c d
ac d 
c) 
4 5
3 7
7
21
mn p
m np 
d) 
8 16
24
a b
 
e) 
42
18 24a b 
f) 
14 21
50 75
x y
x y

 
g) 
27 36
36 48
m n
m n

 
h) 
2x x
xy y

 
i) 
2 22
3 3
a ab b
a b
 
 
j) 
2 2
2 22
m n
m mn n

  
k) 
4 2 3
3 2 2
m n m n
m n m n

 
l) 
 
 
43 2
3
2 2
8
16
p q
p q 
m) 
 
 
33
4
2
12
18
mn
m n
 n) 
4
2
1
3 3
x
x


 ñ) 
2 4
3 6
ax bx
ay by


 o) 
48
72
a
ab
 p) 
2
2
25
75
a b
ab
 q) 
3 2
4
96
32
m n
m n
 
r) 
2
2
x xy
xy y


 s) 
2
2
16
8 16
x
x x

 
 t) 
29 30 25
6 10
x x
x
 

 u) 
2 9
3 9
a
a


 v) 
2 2
2 2
m n
n m


 w) 
2
2
9
3
a
a a


 
x) 
2
3 2
y y
y y


 y) 
4 3 2
23 3 3
x x x
x x
 
 
 z) 
2
3 2
3 3
3 6 3
x x
x x x

 
 �) 
3
3 2
4
4 4
x x
x x x

 
 �) 
2 2
3 2
3 3
3 3
ab b
b b


 �) 2
1
1
x
x


 
Sol: 
2 3 3 4 5 2
6 2
2 2 2 5 5
2
2
3 11 2 7 7 3 2 · 1 2
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) · ) ) )
3 3 3 4 25 4 3 3 · 3 3
2 3 4 3 5 3 3 1 1 2 1 1
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
3 3 4 2 3 2 3 1 2 1 1
a a n a b x a b m n n x x
a b c d e f g h i j k m n l p q m n ñ
b d m p a b y m n m y
a x x x a m n a y x x a
o p q r s t u v w x y z
b b mn y x a y x x b x
  
   

 
       

    
 
2.- Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
2
2
5 6
2
x x
x x
 
 
b) 
2 2
2 2
1
2 1
a x
a x ax

 
 
 
c) 
2 22x ax a
mx ma
 
 
d) 
3
6 5
4 4x x
x x

 
e) 
3
3 2
9
3
x x
x x


 
f) 
2
2
16
4
x
x x

 
g) 2
ax by
ax bxy

 
h) 
2
2
2 2
3 6 3
x
x x

  
i) 
x
x x


2
2
9
3
 j) 
2 4
2 4
x
x


 
k) 
x x
x x x

 
3
3 2
4
2
 l) 
x x
x x x

 
3
3 2
16
4 32 64
 m) 
2
2
2 1
1
x x
x
 

 n) 
2
2
3 15
10 25
b b
b b

 
 ñ) 
2
2
10
100
a a
a


 
o) 
x x
x x x

 
3 2
4 3 2
3 6
3 24 60
 p) 
2
2
1a
a a


 q) 
x x
x
 

2
2
4 40 100
4 100
 r) 
2
2
25
10 25
a
a a

 
 s) 
4 3
3 2 3
4 8
4 8
x y x y
x y x y


 
t) 
5 3
4 2
x x
x x


 u) 
3 2
3
b b
b b


 v) 
3
3 2
4
4 4
x x
x x x

 
 w) 
2
2
12 36
36
x x
x
 

 x) 
2 2
2 2
2x ax a
x a
 

 
Sol: 
 
 
2
2 4
2
2
3 1 4( 1) 3 3 1 3 (3 1)·( 1) 2 4
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
( 2) 4 5 4 2 1 4 4
3 3 1 7 5 1 1 2 6
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1 2 2 5 10 1 2 6 15
         

      
       
       
x x x x x x x x x x x x
a b c d e f g h i j k l
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x b x x x a
m n ñ o p q r s t x u v w x
x x x x x x b x x xx
 
3.- Multiplica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
 
2
2 1 2
·
54
x x
xx
 b) 
 
2
2 4 3
·
29
x x
xx
 c) 
2
2
9 1
·
3 3 3
x x
x x


 d) 
 
 
3 2
2
5 2 1
·
1
x x x
x x x
 
e) 
2
2
2 3 3
·
61
x x
xx


 f) 
2 2
3
2 4 16
·
3 64
x x x
xx x
 

 g) 
2
2 2
2 6 4 4
·
4 6 9
x x x
x x x
  
  
 h) 
23 3 10 25
· ·
5 1
x x x x
x x x
   
   
 
i) 
2
2
3 3 2 1
·
12 12 1
a a a
a a
  
 
 j) 
2 4 3
3 2 2
9
·
3
x x x
x x x x
 
 
 k) 2
3 1 3
·
9 2
x x
x x
 

 l) 
3 2
2
2 1 2
·
2 4
x x x
x x x
 

 
Sol: 2
2
2 1 2 1 3 2·( 2) 1 3 1 2 1
) ) ) ) 5 ) ) ) ) 3x+15 ) ) 3 ) )
( 2)( 5) 3 1 4 ( 2)·( 3) 4 2 6 4
    

      
x x x x x x
a b c d x e f g h i j x k l
x x x x x x x x x
 
4.- Divide las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 

2
1 3
:
42
x
xx
 b) 

3 5
1 4 2
:
8 3
x
x x
 c) 

  
2 2
2
4
:
1 2 1
x x x
x x x
 d) 
 
  
2
2
2 4
:
2 3 6 4
x x
x x x
 
e) 

2
2
2
:
13 3
x x
xx
 f) 
2
2
3 9
:
3
x x
x x x
 

 g) 
2 2
2 2
1 2 1
:
4 4 4
x x x
x x x
  
  
 h) 

2 2
:
xy x y
yx y
 
 22 3 4 ·( 1) 2 2 ( 1)·( 2)
: ) ) ) ) ) ) 1 ) ) 
( 3) 16(2 1) 1 2 3 3 ( 1)·( 2) 1
   
       
x x x x x x x x
Sol a b c d e f g h
x x x x x x x x x
 
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2 
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5.- Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 
a) 
x x x x
x x
  

 
2 2
2 2
2 5 2 4 3
9 9
 b) 
x x
x x x
  

 2
3 1 5 1
1
 c) 
2
3 2
2 4 4
x
x x

 
 
d) 
2 2
2 2
x x
x x
 

 
 e) 
2
2 1
4 84
x x
xx



 f) 
x x x x
x xx
   

 
2 2
2
5 4 2 5 20 15
·
5 15 24
 
g) 
x x x
x x x
  

  
2
2
2 1 2 6 4
3 3 3 6 3
 h) 
2 1x
x
x

 i) 
2
1 2 1
1 11
x
x xx
 
 
 
j) 
 
 
 2 2
1 2 1
24 2
x x
xx x x 
k) 
 2 2
2 1
16 4x x x 
l) 
   
2
2 2
1 4 8 1
2 42 · 2
x x
x xx x
 
 
   
Sol: 
2 2 2 2
2 2 2 3 2
1 3 1 7 6 2 8 11 2 1 1 2 5 4 1 1
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
3 2 8 4 4 16 2 1 1 4 ( 4) ( 2)
        
         
x x x x x x x x
a b c d e f g h i j k l
x x x x x x x x x x x x x x
 
6.- Realiza las siguientes operaciones combinadas: 
a) 
   
       
2
1 2 1
1 ·
11
x
x xx
 b) 
  

 
2
2
1 2 1
·
2 11
x x x
x xx
 c) 
   
 
 
2 2
2 2
·
a b a b a b
a b aba b
 
d) 


2 2
:
xy x y y
y x yx y
 e) 
2 2 2
2 1 3
2 4 3 2
x x x
x x x x x
  
 
    
 f) 
2
3 2
9 1 1 1
39 9
x x
x xx x x
 
  
 
 
g) 
2
4 1
1 11
x x
x xx

 
 
 h) 
 
  
 
6
1 3 3 1
1 :
x
x xx
 i) 
  
 
  
2
2 2
2 21 7 2 7
:
3( 3) 9
x x
xx x
 
3 2 2 2 2 4 3 2 6
3 2 2 2 3 2 4
1 2 2 2 2 11 1 7 2 5 3 3 ( 3)
Sol: ) ) ) ) ) ) ) ) )
2 2 4 4 3 1 3 3
           
          
x x x x y x x x x x x x x x
a b c d e f g h i
x x x x a b x y x x x x x x x
 
7.- Opera y simplifica: 
a) 
2
1 6 6
3 3 9
d d d
d d d
 
 
  
 b) 
 
 
2 2
5 5 5 4 5
22
x x
xx x x
 c) 
9 5 3
5 2x x x
  
d) 
  
 
 
3 2
2
2
1 3 3 4
·
2 3
x x x
x
xx
 e) 
   
   
   
2
2 2
3 1
4 ·
1 4
x x
x x
 f) 
  
 
  
2
2
2 3 2( 5)
: :
5 25
x x x
x xx
 
g) 
  
    
   
3
2
1
2 ·
1
x
x
x x
 h) 
3 3 3
2
2( 1) 1
1 1 1
x x x x
x x x
  
 
  
 i) 2
2
2 2
x xy y
x y x xy x
 
 
 
Sol:  
3 2 2
2
2
2 1 4 10 23 4 1 1 ( 1)
) ) ) ) ) ) ) ) 1 )
3 ( 2) 30 (2 3) 1 3 1
    

    
d x x x x x y
a b c d e f g h x i
d x x x x x x x x
 
8.- Haz las operaciones indicadas y simplifica: 
2 2
2 22
36 3
1
1 1 2 1 1
) · ) · ) · ) ) :
6 1· 1 1
·
x x
x y x y x y x y xy x x y x y x y
a b c x d e
x y x y y x x y x y x y x x x x y
x y x yx y y

             
                           
 
 
2 2 2
2 2 2
4 2 2 1 3 2 4 2
) : ) ) ) :
1 3 2 1 3 6 4 83 2
x x y y y y y y a ab b a b
f g h i
a b y y y y y x xa b y y
      
   
       
 
Sol: 
2
2
4 3 1 2 2 8 10 8 8 8
) 4 ) ) ) 1 ) ) ) ) 0 )
( ) 3 3 3
y x x y y a b
a b c d e f g h i
x y x x x y a b y y
    
   
 
9.- Opera, simplifica si es posible y desarrolla el resultado: 
a) 
    
 

2 22 3 3 1 2 1
1 2 3
x x x x x
x x x
 b) 
  
 
  
1 1 3
1 3 1
x x x
x x x
 c) 
 

 
 
22
2 2 3
11 1
x x
xx x
 
d) 
  
 
   
2
2
1 3 3 3
2 3 5 6
x x x
x x x x
 e) 
  
 
  
2 1 2
1 3 1
x x x
x x x
 f) 
 
 
  2
3 2 3 1
1 1 1
x x x
x x x
 
Sol: 
2 2 3 2 3 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2
4 31 1 4 11 2 3 4 1 6 6 6 1 2 3
) ) ) ) ) )
3 4 3 1 5 6 4 3 1
x x x x x x x x x x x x x x
a b c d e f
x x x x x x x x x x x
             
          