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Clase 24
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo VI
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Clase 24:
Representación Matricial de una Transformación Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Representación Matricial
de una Transformación
Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
En la clase 22, se estableció que toda matriz A ∈ Mm×n(R), define una transformación lineal
de Mn×1(R) en Mm×1(R), además, se comentó que toda transformación lineal, entre espacios
vectoriales de dimensión finita, está asociada con una matriz, a continuación enunciaremos y de-
mostraremos un teorema que garantiza esta última afirmación.
Teorema 9
Sean V y W dos espacios vectoriales, βV = {v1, v2, . . . , vn} una base ordenada de V,
βW = {w1, w2, . . . , wm} una base ordenada de W y T : V −→ W una transformación lineal.
Entonces existe un única matriz A ∈ Mm×n(R) tal que para cada v ∈ V
[T (v)]βW = A[v]βV
Definición 3
La matriz A en el teorema anterior, se denomina representación matricial de T respecto a las
bases βV y βW, y la denotaremos por [T ]βV,βW .
Observación 2
Cuando W = V y βW = βV = β, escribiremos [T ]β en lugar de [T ]β,β .
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Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Ejemplo 5
1 Si Ves un espacio vectorial de dimensión n, W es un espacio vectorial de dimensión m, βV y
βW son bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces [OV,W]βV,βW = 0/m×n, donde
OV,W es la transformación nula de V en W. �
2 Si V es un espacio vectorial de dimensión n y β es una base ordenada de V, entonces
[IV]β = In, donde IV es la transformación identidad sobre V. �
3 Si V es un espacio vectorial de dimensión n y β1 y β2 son bases ordenada de V, entonces
[IV]β1,β2 = Mβ1,β2 . �
Ejemplo 6
Definamos T : M2×2(R) −→ R3 como sigue
T
 x y
z w
 = (2y − z, x− y + w, 3x− y − z + w)
no es dif́ıcil probar que T es lineal (¡pruébelo!). Consideremos las bases canónicas ordenadas βV de
M2×2(R) y βW de R3. Calcular [T ]βV,βW .
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Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Solución.
En primer lugar
T (E1,1) = T
 1 0
0 0
 = (0, 1, 3); T (E1,2) = T
 0 1
0 0
 = (2,−1,−1);
T (E2,1) = T
 0 0
1 0
 = (−1, 0,−1) y T (E2,2) = T
 0 0
0 1
 = (0, 1, 1)
y aśı, por definición de la matriz [T ]βV,βW
[T ]βV,βW =
[
[T (E1,1)]βW
[T (E1,2)]βW
[T (E2,1)]βW
[T (E2,2)]βW
]
=
[
[(0, 1, 3)]βW
[(2,−1,−1)]βW [(−1, 0,−1)]βW [(0, 1, 1)]βW
]
=

0 2 −1 0
1 −1 0 1
3 −1 −1 1

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Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Ejemplo 7
Consideremos la transformación lineal T : M2×2(R) −→ P2[x] dada por
T
 a b
c d
 = (a+ b− c) + (a+ 2b+ c+ d)x+ (−a− 3b− 3c− 2d)x2
Sean βV la base canónica ordenada de M2×2(R), βW la base canónica ordenada de P2[x] y
β̂V =

 1 2
−1 0
 ;
 −1 0
1 1
 ;
 2 3
1 −1
 ;
 −2 1
3 2

β̂W =
{
1 + x; x+ x
2
; 1− 2x2
}
bases ordenadas de M2×2(R) y P2[x], respectivamente. Calcular [T ]βV,βW y [T ]β̂V,β̂W .
Solución. En primer lugar, calcularemos las imágenes, a través de T , de cada uno de los vectores
de la base canónica βV.
T (E1,1) = T
 1 0
0 0
 = 1 + x− x2; T (E1,2) = T
 0 1
0 0
 = 1 + 2x− 3x2;
T (E2,1) = T
 0 0
1 0
 = −1 + x− 3x2 y T (E2,2) = T
 0 0
0 1
 = x− 2x2
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Clase 24 Representación Matricial de una Transformación Lineal
Al igual que en ejemplo 6, por definición de la matriz [T ]βV,βW
[T ]βV,βW =
[
[T (E1,1)]βW
[T (E1,2)]βW
[T (E2,1)]βW
[T (E2,2)]βW
]
=
[[
1 + x− x2
]
βW
[
1 + 2x− 3x2
]
βW
[
−1 + x− 3x2
]
βW
[
x− 2x2
]
βW
]
=

1 1 −1 0
1 2 1 1
−1 −3 −3 −2

Análogamente, para calcular [T ]
β̂V,β̂W
, hallemos primero las imágenes, a través de T , de cada
uno de los vectores de la base β̂V.
T
 1 2
−1 0
 = 4 + 4x− 4x2; T
 −1 0
1 1
 = −2 + x− 4x2;
T
 2 3
1 −1
 = 4 + 8x− 12x2 y T
 −2 1
3 2
 = −4 + 5x− 14x2
Ahora hallemos las matrices de coordenadas de cada uno de estos vectores respecto a la base
β̂W. Para ello consideremos la siguiente matriz cuatro veces ampliada (¿por qué?).

1 0 1 4 −2 4 −4
1 1 0 4 1 8 5
0 1 −2 −4 −4 −12 −14

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Las tres primeras columnas de esta matriz, son las coordenadas de los vectores de la base β̂W,
respecto a la base canónica βW, el resto de las columnas, son las coordenadas de los vectores,
hallados previamente, respecto a la base canónica βW, esto es, las tres primeras columnas de esta
matriz representan la matriz M
β̂W,βW
y las últimas 4 columnas reperesentan la matriz [T ]
β̂V,βW
.
La FERF de esta matriz es

1 0 0 0 −9 −12 −27
0 1 0 4 10 20 32
0 0 1 4 7 16 23

Por lo tanto
[T ]
β̂V,β̂W
=

0 −9 −12 −27
4 10 20 32
4 7 16 23

�
El ejemplo 7 nos da un procedimiento estándar para calcular la matriz de una transformación
lineal respecto a unas bases dadas, más adelante haremos notar esto con más detalle.
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Teorema 10
Sean U, V y W espacios vectoriales, L : U −→ V y T : V −→ W dos transformaciones lineales y
βU, βV y βW bases ordenadas de U, V y W respectivamente. Entonces
[T ◦ L]βU,βW = [T ]βV,βW [L]βU,βV
Teorema 11
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita; βV y β̂V bases ordenadas de V; βW y β̂W
bases ordenadas de W y T : V −→ W una transformación lineal. Entonces
[T ]
β̂V,β̂W
= M
βW,β̂W
[T ]βV,βWMβ̂V,βV
Ejemplo 8
Consideremos T , βV, βW, β̂V y β̂W como en el ejemplo 7. Verificar el teorema 11.
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Solución.
Sabemos que
[T ]
β̂V,β̂W
=

0 −9 −12 −27
4 10 20 32
4 7 16 23
 y [T ]βV,βW =

1 1 −1 0
1 2 1 1
−1 −3 −3 −2

Por otro lado, fácilmente obtenemos que
M
β̂V,βV
=

1 −1 2 −2
2 0 3 1
−1 1 1 3
0 1 −1 2

y haciendo algunos cálculos (no muchos ni muy complicados) obtenemos
M
βW,β̂W,
=

2 −1 1
−2 2 −1
−1 1 −1

Al sustituir, se obtiene que
[T ]
β̂V,β̂W
= M
βW,β̂W
[T ]βV,βWMβ̂V,βV
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Corolario 12
Sean V un espacio vectorial de dimensión finita; βV y β̂V dos bases ordenadas de V y T : V −→ V
una transformación lineal. Entonces
[T ]
β̂V
= M
βV,β̂V
[T ]βVMβ̂V,βV
Demostración.
¡Ejercicio!
Corolario 13
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita; βV una base ordenada de V; βW y β̂W
dos bases ordenadas de W y T : V −→ W una transformación lineal. Entonces
[T ]
βV,β̂W
= M
βW,β̂W
[T ]βV,βW
Demostración.
¡Ejercicio!
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El corolario 12 nos garantiza que si T : V −→ V es una transformación lineal y βV y β̂V son
dos bases ordenadas de V, entonces las matrices [T ]
β̂V
y [T ]βV son similares (ver definición 5 en el
caṕıtulo 5).
Nuevamente, el problema de hallar la matriz de transición de una transformación lineal T :
V −→ W, respecto a ciertas bases ordenadas βV y βW de V y W, respectivamente, obedecea la
resolución de una ecuación matricial de la forma AX = B. En efecto, sean V, W, T , βV, βW y β̂W
como en el corolario 13. Si conocemos, o bien si podemos calcular de manera sencilla, las matrices
A = M
βW,β̂W
y B = [T ]
βV,β̂W
(cuando W es uno de los espacios Rn, Pn[x] o Mm×n(R) y β̂W
es la base canónica de W, estas matrices A y B son fáciles de calcular), entonces, en virtud del
corolario 13, el problema se reduce a resolver la ecuación matricial AX = B, el cual ya sabemos
que se resuelve calculando la FERF de la matriz [A|B] =
[
M
βW,β̂W
∣∣∣ [T ]βV,β̂W]. Dado que en
este caso A = M
βW,β̂W
es invertible, entonces la solución a dicha ecuación está dada por:
[T ]βV,βW = X = A
−1
B = M
β̂W,βW
[T ]
βV,β̂W
Puede notar que este razonamiento fue el que se usó, de manera indirecta, en el ejemplo 7. Vamos
a ilustrar, mediante un ejemplo, lo afrimado antes.
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Ejemplo 9
Consideremos la transformación lineal L : P3[x]→ R4 dada por
L(a+ bx+ cx
2
+ dx
3
) = (a+ 2b− c− 3d,−2a+ b− 3d,−b+ 2c+ 55, 3a+ 2b+ c+ 3d)
Sean β1 = {1, 1 + x, 1 + x2, 1 + x+ x2 + x3} y
β2 = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0,−1), (1, 1, 1, 0), (0,−1,−1, 1)} bases ordenadas de P3[x] y R4,
respectivamente. Calcular [L]β1,β2
Solución. Haremos uso del corolario 13 y el comentario que fue hecho previo al presente ejemplo.
Si βc = {e1, e2, e3, e4} la base canónica ordenada de R4, entonces, según el corolario 13, se tiene
que
Mβ2,βc [L]β1,β2 = [L]β1,βc (1)
pero las matrices Mβ2,βc y [L]β1,βc son fáciles de calcular, en efecto, por definición de matriz de
transición, sabemos que
Mβ2,βc =
[
[(1, 0, 1, 0)]βc [(0, 1, 0,−1)]βc [(1, 1, 1, 0)]βc [(0,−1,−1, 1)]βc
]
=

1 0 1 0
0 1 1 −1
1 0 1 −1
0 −1 0 1

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y por definición de matriz de una transformación, se tiene que
[L]β1,βc =
[
[L(1)]βc [L(1 + x)]βc [L(1 + x+ x
2)]βc [L(1 + x+ x
2 + x3)]βc
]
=
[
[(1,−2, 0, 3)]βc [(3,−1,−1, 5)]βc [(2,−1, 1, 6)]βc [(−1,−4, 6, 9)]βc
]
=

1 3 2 −1
−2 −1 −1 −4
0 −1 1 6
3 5 6 9

Aśı que, para resolver la ecuación 1 basta calcular la FERF de la matriz
[
Mβ2,βc [L]β1,βc
]
=

1 0 1 0 1 3 2 −1
0 1 1 −1 −2 −1 −1 −4
1 0 1 −1 0 −1 1 6
0 −1 0 1 3 5 6 9

la cual es 
1 0 0 0 0 −1 −3 −6
0 1 0 0 −2 −1 −5 −16
0 0 1 0 1 4 5 5
0 0 0 1 1 4 1 −7

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Por lo tanto
[L]β1,β2 =

0 −1 −3 −6
−2 −1 −5 −16
1 4 5 5
1 4 1 −7

�
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