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Clase 22
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo VI
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 22 Transformaciones Lineales
Clase 22:
Transformaciones Lineales (Parte I)
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 22 Transformaciones Lineales
Transformaciones Lineales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 22 Transformaciones Lineales
En el presente caṕıtulo se usarán, sino todos, la gran mayoŕıa de los resultados, conceptos y
teoremas previos, sobre todo los conceptos referentes a espacios vectoriales. Ya al final daremos
algunas aplicaciones de las transformaciones lineales que sirven en varias ramas de la ingenieŕıa y
otras ciencias aplicadas como la arquitectura.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo VI: Transformaciones Lineales
Clase 22 Transformaciones Lineales
Definición 1
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→ W una función. Diremos que T es una
transformación lineal si para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que
1 T (u+ v) = T (u) + T (v).
2 T (αu) = αT (u).
Observación 1
Básicamente podemos decir que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales
la cual preserva las operaciones.
Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales)
1 Sean V y W dos espacios vectoriales. La transformación OV,W : V −→ W, dada por
OV,W(v) = 0/W para cada v ∈ V, es una transformación lineal (¡pruébelo!), llamada
transformación nula de V en W. �
2 Sea V un espacio vectorial. Definamos IV : V −→ V como sigue, IV(v) = v para cada
v ∈ V. Entonces IV es una transformación lineal (¡pruébelo!), la cual es llamada
transformación identidad sobre V. �
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Clase 22 Transformaciones Lineales
Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales (continuación))
3 Sean V un espacio vectorial de dimensión n y β una base ordenada de V. Entonces
T : V −→ Mn×1(R) dada por T (v) = [v]β es una transformación lineal (ver teorema 20 en
el caṕıtulo 3). �
4 T : R3 −→ R2, dada por T (x, y, z) = (2x+ y, x− z), es una transformación lineal, en
efecto, dados (x, y, z), (a, b, c) ∈ R3 y α ∈ R, se tiene que
T ((x, y, z) + (a, b, c)) = T (x+ a, y + b, z + c)
= (2(x+ a) + (y + b), (x+ a)− (z + c))
= (2x+ 2a+ y + b, x+ a− z − c)
= (2x+ y, x− z) + (2a+ b, a− c)
= T (x, y, z) + T (a, b, c)
y
T (α(x, y, z)) = T (αx, αy, αz) = (2(αx) + (αy), (αx)− (αz))
= (α(2x+ y), α(x− z)) = α(2x+ y, x− z)
= αT (x, y, z)
�
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Clase 22 Transformaciones Lineales
Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales (continuación))
5 La función T : R2 −→ R3 dada por
T (x, y) = (x
2
, x+ y, xy)
no es una transformación lineal, en efecto,
T (1, 0) = (1
2
, 1 + 0, 1 · 0) = (1, 1, 0)
T (2(1, 0)) = T (2, 0) = (2
2
, 2 + 0, 2 · 0) = (4, 2, 0)
2T (1, 0) = 2(1, 1, 0) = (2, 2, 0) 6= (4, 2, 0) = T (2(1, 0))
�
6 T : P2[x] −→ R2 dada por T (a+ bx+ cx2) = (2a+ c+ 3, b− c) no es una
transformación lineal, en efecto,
T (0) = (2 · 0 + 0 + 3, 0− 0) = (3, 0)
T (0) + T (0) = (3, 0) + (3, 0) = (6, 0)
T (0 + 0) = T (0) = (3, 0) 6= (6, 0) = T (0) + T (0)
�
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Clase 22 Transformaciones Lineales
Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales (continuación))
7 Consideremos T : M2×2(R) −→ P3[x] dada por
T
a b
c d
 = a+ bx+ cx2 + dx3
Entonces T es lineal (¡pruébelo!). �
8 La función traza es una transformación lineal de Mn×n(R) en Mn×n(R). �
9 Sea A ∈ Mm×n(R). Definamos T : Mn×1(R) −→ Mm×1(R) como T (x) = Ax.
No es dif́ıcil probar que T es una transformación lineal (¡pruébelo!).
Este ejemplo nos dice que toda matriz define una transformación lineal, más adelante
veremos que toda transformación lineal, entre espacios vectoriales de dimensión finita, está
asociada con una matriz. �
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Ejemplo 1 (Transformaciones Lineales (continuación))
10 T : R3 −→ P3[x] dada por T (a, b, c) = b+ (2a+ c)x+ (b− 3c)x3, es lineal. En efecto,
sean u, v ∈ R3 y α ∈ R cualesquiera, con u = (a1, b1, c1) y v = (a2, b2, c2). Entonces
T (u+ v) = T ((a1, b1, c1) + (a2, b2, c2)) = T (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)
= (b1 + b2) + [2(a1 + a2) + (c1 + c2)]x+ [(b1 + b2)− 3(c1 + c2)]x3
= (b1 + b2) + (2a1 + 2a2 + c1 + c2)x+ (b1 + b2 − 3c1 − 3c2)x3
= [b1 + (2a1 + c1)x+ (b1 − 3c1)x3] + [b2 + (2a2 + c2)x+ (b2 − 3c2)x3]
= T (a1, b1, c1) + T (a2, b2, c2)
= T (u) + T (v)
y además
T (αu) = T (α(a1, b1, c1)) = T (αa1, αb1, αc1)
= αb1 + (2αa1 + αc1)x+ (αb1 − 3αc1)x3
= αb1 + α(2a1 + c1)x+ α(b1 − 3c1)x3
= α[b1 + (2a1 + c1)x+ (b1 − 3c1)x3]
= αT (a1, b1, c1) = αT (u)
�
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Clase 22 Transformaciones Lineales
El siguiente teorema nos será de gran utilidad a la hora de decidir si una función T es una
transformación lineal.
Teorema 1
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→ W una función. T es una transformación lineal si
y sólo si para cualesquiera u, v ∈ V y α ∈ R se cumple que T (u+ αv) = T (u) + αT (v).
De ahora en adelante, gracias a este último teorema, cuando queramos probar que una función T,
entre espacios vectoriales, es una transformación lineal, no será necesario probar las dos condiciones
en la definición 1, sólo bastará probar la condición en el teorema anterior.
Teorema 2
Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V −→ W una transformación lineal. Entonces, para
cualesquiera α1, α2, . . . , αn ∈ R y u, v, v1, v2, . . . , vn ∈ V, se cumple que
1 T (0/V) = 0/W.
2 T (u− v) = T (u)− T (v).
3 T (α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · ·+ αnT (vn)
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Teorema 3
Sean U, V y W espacios vectoriales y L : U −→ V y T : V −→ W dos transformaciones lineales.
Entonces T ◦ L : U −→ W es también una transformación lineal.
Definición 2
Dadas dos espacios vectoriales V y W; λ ∈ R y dos transformaciones lineales L, T : V −→ W,
definiremos las funciones T + L : V −→ W ( suma de transformaciones lineales) y
λT : V −→ W ( multiplicación de un escalar por una transformación lineal) como sigue
1 (T + L)(v) = T (v) + L(v) para cada v ∈ V.
2 (λT )(v) = λT (v) para cada v ∈ V.
Teorema 4
Sean V y W dos espacios vectoriales, T, L : V −→ W dos transformaciones lineales y λ ∈ R.
Entonces T + λL : V −→ W es también una transformación lineal.
Dado dos espacios vectoriales V y W, este último teorema nos dice que el conjunto L (V,W),
formado por todas las transformaciones lineales de V en W, es cerrado bajo las operaciones dadas en
la definición 2, se puede probar que L (V,W), junto con éstas operaciones, es un espacio vectorial.
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