ALG - Guía 2 - División Algebraica II

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 Los problemas que nos encontramos en la matemática china parecen ser a menudo más pintorescos que 
prácticos, y, sin embargo, la civilización china produjo un número de innovaciones técnicas sorprendentemente alto. 
La utilización de la imprenta y de la pólvora (Siglo VIII), así como del papel y de la brújula marina (Siglo XI) fue 
anterior en China que en cualquier otro lugar, y anterior también a la épocas más brillante de la matemática china, 
que tuvo lugar durante el siglo XIII, coincidiendo con la última parte del período Sung. En esta época había 
matemáticos trabajando en diversos lugares de China, pero las relaciones entre ellos parecen haber sido escasas y 
remotas y, como en el caso de los tratados que circularon en su día, evidentemente. El último y a la vez el más 
importante de los matemáticos Sung fue Chu Shih – Chieh, que floreció hacia los años 1280 – 1303, a pesar de lo 
cual sabemos tan poco sobre él que ni siquiera conocemos la fecha exacta de su nacimiento ni la de su muerte. Vivió 
en Yen-shan, cerca de Peking, pero parece ser que estuvo viajando durante unos veinte años, en plan de sabio 
errante que se ganaba la vida enseñando matemáticas, a pesar de lo cual encontró el tiempo y la tranquilidad 
suficientes para escribir dos tratados; el primero de ellos, escrito hacia el 1299, fue el Suan-hsüeh ch’i-meng o 
“Introducción a los estudios matemáticos”, un libro relativamente elemental que ejerció sin embargo una gran 
influencia en Corea y en Japón, aunque en China desapareció más tarde y estuvo perdido hasta su reaparición en el 
siglo XIX. Mayor interés histórico y matemático tiene el Ssu-yüan yü-Chien o “Espejo Precioso de los Cuatro 
Elementos”, escrito por Chu Shih-Chieh en 1303, libro que, por cierto, también desapareció pronto en China, hasta 
que fue redescubierto un siglo después. Los cuatro elementos a que se refiere el título, que son el cielo, la tierra, 
el hombre y la materia, representan las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro marca la cota más alta que 
alcanzó el desarrollo del álgebra china, y en él se estudian tanto sistemas de ecuaciones simultáneas como 
ecuaciones individuales de grados tan altos como 14. Chu Shih – Chieh explica en este libro un método de 
transformación para ecuaciones, que él llama el fan fa, y cuyo fundamento debe haber aparecido en China mucho 
tiempo antes, método que suele conocerse en Occidente con el nombre de “método de Horner”, matemático que 
vivió medio milenio más tarde. Para resolver la ecuación x2 + 252x – 5292 = 0, por ejemplo. Chu Shih – Chieh 
obtiene en primer lugar por tanteo la aproximación x = 19, lo cual significa que la ecuación tiene una raíz entre x 
= 19 y x = 20, y a continuación utiliza el fan fa, en este caso la transformación y = x – 19, para obtener la 
ecuación y2 + 290y – 143 = 0 con una raíz entre y = 0 e y = 1. El valor aproximado de la raíz buscada de esta última 
es 
)2901(
143
y
+
= , y por lo tanto el correspondiente valor de x es 
291
14319 . Para la ecuación x3 – 574 = 0 se usa la 
transformación y = x – 8, que conduce a y3 + 24y2 + 192y – 62 = 0, y la raíz buscada viene expresada como 
)192241(
62
8x
++
+= ó x = 
7
28 . En algunos casos Chu Shih – Chieh obtiene aproximaciones decimales de las 
raíces. 
 
 
 
El Álgebra 
China y 
el Método de 
Horner 
 
 
 117 
DIVISIÓN ALGEBRAICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
comparemos 
 Ejemplo: 
 
39 8 (D) Dividendo = 25 
32 4 (d) Divisor = 7 
 7 (q) Cociente = 3 
 (r) Resto = 4 
 
 Luego se cumple: 
 39 = 3 . 4 + 7 
 D = d q r 
 
 Ejemplo: 
 De la división de polinomios: 
 x2 + 5x + 7 x + 2 D(x) = x2 + 5x + 7 
 x + 3 d(x) = x + 2 
 1 q(x) = x + 3 
 r(x) = 1 
 
 Puedes comprobar mediante multiplicación que: 
x2 + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1 
 
 
 
 
 
 
 
1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
MÉTODO DE HORNER 
 Para poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados 
descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros. 
 
Ejemplo: 
 Dividir: 8x + 3x2 + 11 entre 2 + x 
 
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 2 PRIMER AÑO 
 
 
Observa que: 
39 > 8 y 7 < 8 
Luego siempre se 
cumple que: 
D  d y r < d 
Compruébalo con otros 
ejemplos. 
 
Al igual que con los 
números naturales, con los 
polinomios debe cumplirse: 
D  d y r < d 
Pero respecto al grado así: 
 Grado 
del 
Dividend
o 
Grado 
del 
Divisor 
 
Grado 
del 
Resto 
Grado 
del 
Divisor 
< 
En el ejemplo 
anterior ¿cómo se 
halló el cociente y 
el resto? 
Resolvamos esta 
inquietud 
Horner 
invento su 
método en 
1819 
Sabías 
que 
 
 
 118 
 Ordenemos los polinomios dividendo y divisor 
 D(x) = 3x2 + 8x + 11 d(x) = 3x + 2 
 
 Luego: Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11 
 Coeficientes del Divisor: 3, 2 
 
 
 Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De esta manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Y procedemos del siguiente modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes del Dividendo 
Con signo 
cambiado 
 + • + 
Coeficientes del 
Cociente 
Coeficientes 
del Resto 
3 3 8 11 
-2 
Con signo 
cambiado 
Número de espacios igual 
al Grado del Divisor 
3 3 8 11 
-2 
1 = 
Dividimos: 
3 3 8 11 
-2 
1 
x 
Multiplicamos: 
-2 
= 
3 3 8 11 
-2 
1 
Sumamos: 
6 
+ 
3 3 8 11 
-2 
1 
 
Dividimos: 
= 
2 
3 3 8 11 
-2 
1 
x 
Multiplicamos: 
-2 
= 
-4 
2 
3 3 8 11 
-2 
1 
Sumamos: 
2 
+ 
-2 -4 
7 
Las operaciones que se 
realizan se repiten 
primero se divide luego 
se multiplica después 
sumamos para 
nuevamente dividir y así 
sucesivamente. 
observa 
 
 
 
 119 
 
 Luego el esquema resulta: 
 
 
 
  q(x) = 1 . x + 2 = x + 2 
 R(x) = 7 
 
 
 
 
 
 
 Dividir: 4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 - 3 
Ordenemos: 
 D(x) = 4x3 + 4x2 – 3x + 1 Ubicamos los coeficientes 
 d(x) = 2x2 + x – 3 en el esquema: 
 
 
 
 
Procedemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumiendo: 
 
 
 
  Q(x) = 2x + 1 
 R(x) = 2x + 4 
 
 
3 3 8 11 
-2 
1 2 
-4 
7 
-2 
Coef. del 
Cociente 
Coef. del 
Resto 
 
recuerda 
Luego la línea 
punteada solo se suma. 
Además el cociente y 
resto que se obtienen 
están completos y 
ordenados 
decrecientemente. 
 
Dividimos: Multiplicamos: Sumamos: 
Si el resto de una 
división no es nulo 
(R(x)  0) entonces 
la división se llama 
inexacta. 
2 4 4 -3 
-1 signo 
cambiado 
2 espacios porque el 
grado del divisor es 2. 
1 
3 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
 
x 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 x 
x 
-2 6 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
-2 6 
+ 
2 
Dividimos: 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
-2 6  
1 
= 
Sumamos: 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
-2 6 
+ 
 
1 
-1 3 
+ 
 
2 4 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
-2 6 
+ 
 
1 
-1 3 
+ 
 
2 4 
+ 
 
 
 
x 
 
Multiplicamos: 
2 4 4 -3 
-1 
1 
3 
2 
-2 6 
1 
-1 3 
= 
= 
x 
x 
 
 
 120 
 
 Dividir: 
4x3x
4x3x5x3x
2
324
+−
+−+−
  
 
 
 
 
 
 
  Q(x) = 1 . x2 + 0x + 1 ; R(x)  0 
 Q(x) = x2 + 1 
 
 
 
 
 
 Dividir: 
2x5
1x11x10 2
−
++
 
 
 Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 Dividir: 
2x3
0x8x6
2x3
x8x6 22
+
+−
=
+
−
  
 
 Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 Dividir: 
2x0x3
5x0x3x15
2x3
x35x15
2
23
2
23
++
++−
=
+
−+
  
 
 Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
 Dividir: 
x1x2
1x5x6x8
2
23
−+
−+−
 
 
 Q(x) = 
 R(x) = 
 
 
 
1 1
4 
-3 -3 
3 
4 
-4 
1 
3 
+ 
 
0 
0 
+ 
 
0 0 
+ 
 
 
 
x 
 
5 
-4 
1 
+ 
 
0 
3 -4 
¡Ahora tu! 
5 10 11 1 
4 
3 
+ 
2 
7 
+ 
 
x 
Si el resto de una 
división es nulo 
(R(x)  0) entonces 
la división se llama 
exacta. 
3 6 -8 0 
8 
2 
+ 
-2 
+ 
 
x 
3 15 -3 0 
0 
5 
-2 
0 -10 
0 2 
 
 
x 
 
 
 
 121I. Hallar el cociente en las siguientes divisiones: 
1. 
3x
18x8x2
+
++
 
 
a) x + 5 b) x + 1 c) x 
d) x – 2 e) x + 3 
 
2. 
2x
7x5x2
−
−+
 
 
a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7 
d) x – 7 e) x - 3 
 
3. 
1x
7x5x3x 23
+
+++
 
 
a) x2 + 2x – 3 b) x2 - 2x – 3 c) x2 + 2x + 3 
d) x2 - 2x – 8 e) -x2 + 2x + 3 
 
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones: 
4. 
1x3
4xx6 2
−
++
 
 
a) -1 b) 5 c) 3 
d) 6 e) 2 
 
5. 
2x5
22x9x33x10 23
+
−+−
 
 
a) 8 b) 1 c) -2 
d) 4 e) -8 
 
6. 
x2x3
x129x27
2
3
+
−+
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) -8 e) 9 
 
7. 
32
24
x4x5
7x25x7x16
+−
+−+
 
 
a) 7x b) 3 c) 7x + 7 
d) 7 e) 2x - 1 
 
8. 
5x3
14x3x21x44
2
42
+
+++
 
 
a) 5 b) 2x + 4 c) 3x - 1 
d) x – 1 e) 2x - 2 
9. 
4x3x2
x1813x32x2x16
3
325
−+
++−−
 
 
a) 4x2 + 3 b) 1 c) 3x - 1 
d) 7x + 1 e) 7x 
 
10. 
2x5
x167x15x35
3
235
+
+++
 
 
a) 3x – 1 b) 2x2 + 1 c) 4 
d) x2 + 3 e) 3x2 - 8 
 
11. Indicar el término independiente del resto en 
la siguiente división: 
1x3x2
6x2xx6
2
23
−+−
++−
 
 
a) 1 b) 3 c) 4 
d) 7 e) 2 
 
12. Indicar si la siguiente división es exacta o 
inexacta. 
3x
6x9x2x3
2
23
+
+++
 
Si es inexacta indicar el resto. 
 
a) Es exacta b) 1 c) 2x 
d) 3 e) 4x - 2 
 
13. En la siguiente división: 
4x
5x4x2x
3
235
+
−+−
 
Calcular la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) -1 b) 2 c) 0 
d) 3 e) 1 
 
14. Dada la siguiente división exacta: 
1x2
x2xxx2 234
+
−−+
 
Hallar el mayor coeficiente del cociente. 
 
a) 3 b) 2 c) -1 
d) 1 e) -2 
 
15. Hallar “b” si la siguiente división: 
3x
bx8x2
+
++
 
es exacta: 
 
a) 13 b) 12 c) 14 
d) 15 e) 2 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
 
 122 
 
 
TAREA DOMICILIARIA Nº 2 
 
 
I. En las siguientes divisiones hallar el cociente: 
1. 
4x
10x7x2
+
++
 
 
a) x – 2 b) x + 3 c) x + 4 
d) x + 1 e) x 
 
2. 
5x
42x12x2
−
+−
 
 
a) 4x + 1 b) 2 c) x + 7 
d) x + 5 e) x – 7 
 
3. 
2x
2x3x3x 23
+
+++
 
 
a) 2 b) 1 c) 0 
d) 3 e) 5 
 
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones: 
4. 
2x3
3x3x9 2
−
+−
 
 
a) 3 b) 5 c) -3 
d) -5 e) 1 
 
5. 
3x4
3x10xx8 23
+
−+−
 
 
a) 3 b) 7 c) 0 
d) 1 e) -1 
 
6. 
2
23
x5x3
x27x11x20
+
++
 
 
a) 5x b) 4 c) 2x 
d) –x e) 0 
 
7. 
x5x4
x25x157x12x20
2
324
+
+−+−
 
 
a) 0 b) 1 c) 2x 
d) x + 1 e) 7 
 
8. 
2
42
x52
x15x26x9
+−
+−+
 
 
a) x + 1 b) 0 c) x - 1 
d) x e) 2x + 1 
 
9. 
3x2
7x4x27x16
3
325
+
−−+
 
 
a) 2x2 – 1 b) x2 – 2 c) 3x2 + 1 
d) 3x2 – 1 e) 0 
 
10. 
3
325
x25
8x2xx35x14
−
−+++−
 
 
a) x – 1 b) x + 2 c) x - 3 
d) x – 4 e) 0 
 
11. En la siguiente división: 
1x3x
6x2xx6
2
23
++
++−
 
Indicar el término independiente del resto. 
 
a) 0 b) 7 c) 1 
d) 2 e) -1 
 
12. Indicar si la siguiente división: 
3x
6xx
2
24
+
−+
 
Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el 
residuo. 
 
a) Es exacta b) 5 c) 2 
d) -1 e) 1 
 
13. En la siguiente división: 
1x
5xx2x
4
45
+
++−
 
Indicar la suma de coeficientes del cociente. 
 
a) -1 b) 0 c) 2 
d) 1 e) 3 
 
14. En la siguiente división: 
 
1x2
6x2x3x6
3
34
−
++−
 
Señalar el mayor coeficiente del cociente. 
 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) -1 e) -3 
 
15. Hallar “b” en la siguiente división exacta: 
3x
bx7x2
+
++
 
 
a) 15 b) 3 c) 7 
d) 12 e) -7 
 
 
 
 123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GRADO : Característica que solo poseen los polinomios y esto dado por los 
exponentes de las variables. Cuando el polinomio posee una sola 
variable el grado es el mayor exponente que presenta. 
Ejemplo: 
P(x) = 3x + 5x2 – 2 + x4 + 3x3 Polinomio de Grado 4 
 
 POLINOMIO COMPLETO : Es aquel polinomio que posee todos los exponentes desde cero 
hasta un máximo. 
 
 POLINOMIO ORDENADO : Es aquel polinomio cuyos exponentes están ordenados en forma 
creciente o decreciente. 
 
 COEFICIENTE : La parte constante de un monomio. También se considera a un 
término independiente.