TÉCNICA DE CAMBIO DE VARIABLE PARA LAS ECUACIONES DE GIBBS, EULER Y GIBBS-DUHEM

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Reporte 2. Versión 5.
APLICACIÓN DE LA TÉCNICA DE CAMBIO DE VARIABLE PARA LAS ECUACIONES DE GIBBS, EULER Y GIBBS-DUHEM.
Elaboró:
Josué Norberto Castillo Moreno.
Asesores:
Dra. Mónica de la Luz Corea Téllez.
Dr. José Manuel del Río. 
1 de septiembre de 2014.
RESUMEN.
En este documento se describe el procedimiento de la técnica de cambio de variable, para poder tener las ecuaciones de Gibbs, Euler y Gibbs-Duhem y así describir partículas en solución.
INTRODUCCIÓN.
La descripción de un sistema por componentes es el análisis de las propiedades termodinámicas en función de los componentes, tal como se ilustra en la siguiente figura:
Componente 3
Componente 2
Componente 1
 Figura 1. Descripción de un sistema por componentes.
Con base a la fi
 
Como consecuencia, para cualquier propiedad J tenemos:
Y por lo tanto las propiedades molares parciales se escriben como sigue:
Ahora, el sistema nos interesa estudiarlo teniendo por separado el componente 1, agrupando a 2 y 3 para adoptar una entidad llamada fracción, como se muestra en la figura siguiente:
Fracción.
Componente 1
Dónde las variables para este caso son , que representan el número de moles del componente 1, el número de moles de la fracción y la composición interna de la fracción respectivamente.
Cualquier propiedad J será:
Entonces, las propiedades molares parciales son:
Como caso de aplicación tenemos la descripción de un látex. A continuación se muestra como el látex se describe por componentes, que son el agua, grupos polares y no polares:
.
Adoptando en la figura anterior la entidad fracción, resulta: 
.
Para que podamos describir el sistema por fracción y tener las ecuaciones de Gibbs, Euler y Gibbs-Duhem en términos de las nuevas variables, se recurre a la técnica de cambio de variable.
TÉCNICA DE CAMBIO DE VARIABLE.
El cambio de variable tiene la finalidad de obtener una expresión matemática partiendo de una función original que está expresada con variables que serán denominadas antiguas en este reporte.
Partiendo de una función de dos variables, se explicarán los pasos para aplicar la técnica de cambio de variable.
Primero, se identifican variables antiguas:
 (1)
 (2)
Y se proponen las variables nuevas:
 (3)
 (4)
Ahora nuestro problema es que tengamos expresiones matemáticas en función de las variables antiguas:
 (5)
 (6)
Por lo que comenzaremos a enunciar los pasos.
Paso 1.- Expresar variables antiguas en función de las nuevas:
 (7)
 (8)
Paso 2.-Diferenciar las funciones anteriores:
 (9)
 (10)
Paso 3.-Sustituimos (9) y (10) en (2) y reordenar en función de variable nuevas:
 (11) 
Reagrupando términos:
 (12)
	 (13) 
Paso 4.- Igualar (4) y (13):
 (14)
Identificando términos:
 (15)
 (16)
Las ecuaciones (15) y (16) expresan la forma exacta de (5) y (6) que son las derivadas parciales con respecto a las nuevas variables en función de las derivadas parciales de las variables antiguas.
ECUACION DE GIBBS.
Ahora, aplicaremos el cambio de variable para la ecuación de Gibbs, después de haber enunciado y ejemplificado los pasos para tal procedimiento.
Partiendo de la función original, para una propiedad J:
 (17)
Diferenciando la función anterior:
 (18)
Llegamos a la siguiente expresión, que es la ecuación de Gibbs en función de las variables y .
 (19)
Posteriormente, la ecuación anterior necesitamos expresarla en función de nuevas variables que son el número de moles del componente 1, de la fracción o la suma de moles de los componentes 2 y 3, y de la composición del componente 3 dentro de la fracción.
Partiendo de la nueva función:
 (20)
Diferenciando (20) tenemos:
 (21)
 (22)
 (23)
Las ecuaciones (22) y (23) representan las propiedades molares parciales y la dependencia que tienen con respecto a la composición del sistema, por lo que, podemos escribir la ecuación de Gibbs para un sistema fraccionado como sigue:
 (24)
Después de haber llegado a la ecuación (24), aplicando la técnica de cambio de variable y de acuerdo al paso 1, expresamos variables antiguas en función de las nuevas:
Entonces:
 (25)
 (26) 
 (27)
Paso 2: Diferenciar las funciones anteriores
 (28)
 (29)
 (30)
Sustituyendo (25), (26) y (27) en la ecuación (19):
 (31)
Sí:
Entonces:
Ahora reagrupamos términos sustituyendo :
 (32)
Igualando (32) con (24):
	 (33) 
De la ecuación (33) identificar términos:
 (34)
 (35)
 (36)
Con las expresiones (34) a (36) podemos escribir la ecuación de Gibbs para un sistema fraccionado es:
 (37) 
 Con la ecuación anterior podemos ver que las propiedades molares parciales dependen de la composición del sistema fraccionado, entonces decimos que es la propiedad molar parcial del componente 1 en presencia de la fracción y para es la propiedad molar parcial de la fracción en presencia del componente 1.
ECUACION DE EULER.
Partiendo de la nueva función de una propiedad J en función de las nuevas variables:
Dónde son propiedades extensivas y es una propiedad intensiva, mediante el análisis de la transformación de cambio de escala mostrado en el Reporte 1:
Sencillamente podemos demostrar porque es intensiva:
Al terminar el cambio de escala tenemos lo siguiente:
 (38)
Aplicando el Teorema de Euler escrito en (18) del Reporte 1, tenemos la siguiente expresión:
 (39)
	
Ahora hemos llegado a la Ecuación de Euler para un sistema fraccionado, que está escrita en (39), ahí podemos ver que las propiedades molares parciales dependen de la composición de la fracción.
ECUACIÓN DE GIBBS-DUHEM.
Partiendo una vez más de la función para una propiedad :
 (40)
Diferenciando (40):
 (41)
Al igualar la ecuación (37) y (41) tenemos la siguiente ecuación:
(42)
Agrupando términos semejantes de (42):
 (43)
Dividiendo (43) entre (:
 (44)
Ahora determinaremos los valores de y :
Sí = y diferenciando dicha función tenemos:
 (45)
Ahora sí =, y también diferenciándola:
 (46)
Sustituyendo (45) y (46) en (444):
Reagrupando términos semejantes:
 (47)
Sí y son dependientes, entonces:
 (48)
 (49)
Podemos ver que las ecuaciones anteriores son análogas a (48) y (49) del Reporte 1, que es la manera de ver la ecuación de Gibbs-Duhemcomo sistema de ecuaciones con derivadas parciales, que a su vez, está escrita para la composición.