sólido de revolución

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ÁREA ENTRE CURVAS 
Ejemplo: 
Determinar el área de la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥2 − 4 
y 𝑦 = 4 − 𝑥2 
 
 
 
Igualar las dos funciones para encontrar los puntos de corte 
𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟒 − 𝒙𝟐 
𝒙𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝒙𝟐 = 𝟎 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟎 
𝟐(𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝟎 
𝟐(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎 
𝒙 = 𝟐 ∨ 𝒙 = −𝟐 
𝒂 = −𝟐 ∧ 𝒃 = 𝟐 
 
 
x 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 
𝒂 = −𝟐 0 0 
1 -3 3 
𝒃 = 𝟐 0 0 
 
𝑨 = ∫ [(𝟒 − 𝒙𝟐) − (𝒙𝟐 − 𝟒)]𝒅𝒙
𝟐
−𝟐
 
= ∫ (𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝟒)𝒅𝒙 = ∫ (𝟖 − 𝟐𝒙𝟐)𝒅𝒙 = [𝟖𝒙 −
𝟐𝒙𝟑
𝟑
]
−𝟐
𝟐
=
𝟐
−𝟐
𝟐
−𝟐
 
= (𝟖(𝟐) −
𝟐(𝟐)𝟑
𝟑
) − (𝟖(−𝟐) −
𝟐(−𝟐)𝟑
𝟑
)
= (𝟏𝟔 −
𝟏𝟔
𝟑
) − (−𝟏𝟔 +
𝟏𝟔
𝟑
) = 𝟏𝟔 −
𝟏𝟔
𝟑
+ 𝟏𝟔 −
𝟏𝟔
𝟑
= 𝟑𝟐 −
𝟑𝟐
𝟑
=
𝟔𝟒
𝟑
𝒖𝒏𝒅𝟐 ≈ 𝟐𝟏. 𝟑𝟑𝟑 𝒖𝒏𝒅𝟐 
 
EJEMPLO 
𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = √𝑥
3
, 𝑦 = 2 − 𝑥 
 
Región 1 está entre [-2,1] 
𝑥2 = 2 − 𝑥 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1 
𝐴1 = ∫[(2 − 𝑥) − (𝑥
2)]𝑑𝑥 = 3.33 𝑢𝑛𝑑2
0
−2
 
 
Región 2 entre [0,1] 
2 − 𝑥 = √𝑥
3
 
𝑥 = 1 
𝐴2 = ∫ [(2 − 𝑥) − (√𝑥
3
)]𝑑𝑥 =
1
0
0.75 𝑢𝑛𝑑2 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 = 3.33 𝑢𝑛𝑑
2 + 0.75 𝑢𝑛𝑑2 
 
 
 
 
Región 1 
𝐴1 = ∫ [𝑥
2 −
𝑥2
2
] 𝑑𝑥 = 1.33 𝑢𝑛𝑑2
2
0
 
Región 2 
 
𝐴2 = ∫ [2𝑥 −
𝑥2
2
] 𝑑𝑥
4
2
= 2.67 𝑢𝑛𝑑2 
 
Área total 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 = 1.33 𝑢𝑛𝑑
2 + 2.67 𝑢𝑛𝑑2 = 4 𝑢𝑛𝑑2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sólidos en revolución 
 
 
 
 
 
Método del Disco 
Ejemplos 1 
 
𝑦 = √2𝑥 entonces 𝑥 =
𝑦2
2
, cual es el radio???? 
𝑅(𝑦) = 2 −
𝑦2
2
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑦)]2𝑑𝑦 = 𝜋 ∫ [2 −
𝑦2
2
]
2
𝑑𝑦 =
2
0
𝑑
𝑐
 
Ejemplo 2 
Determinar el volumen de solido que es generado al girar la región 
acotada por las graficas 𝑦 = √𝑥 el eje x y la recta 𝑥 = 4 alrededor 
del eje X 
 
 
𝑅(𝑥) = √𝑥 
𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 4 
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑅(𝑥))
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (√𝑥)
2
𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = [
𝜋𝑥2
2
]
0
44
0
4
0
= 8𝜋 𝑢𝑛𝑑3 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
 
𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3 
 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑥2 + 1]2𝑑𝑥
3
2
= 𝜋 ∫ [𝑥4 + 2𝑥2 + 1]𝑑𝑥 = 𝜋 [
𝑥5
5
+
2𝑥3
3
+ 𝑥]
2
33
2
= 𝜋 [(
(3)5
5
+
2(3)3
3
+ (3)) − (
(2)5
5
+
2(2)3
3
+ (2))]
= 𝜋55.87 𝑢𝑛𝑑3 
Ejemplo 4 
 
Despejamos y 
𝑦 = √𝑥2
3
 
𝑦3 = 𝑥2 
√𝑦3 = 𝑥 
𝑥 = 𝑦
3
2 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑦
3
2]
2
𝑑𝑦
1
0
 
 
Ejemplo Método de arandela 
Ejemplo 1 
Determinar el volumen del solido generado al girar sobre el eje x la 
región limitada por las graficas 𝑦 = 𝑥2 y 𝑦 = 𝑥 + 6 
 
 
1. Encontrar los puntos de cortes 
𝑥2 = 𝑥 + 6 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 formula general para ecuaciones cuadráticas 
Ó 
Factorizar (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 entonces 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 3 
 
x 𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑥
2 𝑅𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 = 𝑥 + 6 
−2 4 4 
2 4 8 
3 9 9 
𝑅𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 𝑥 + 6 
𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑥
2 
𝑉 = 𝜋 ∫ ((𝑥 + 6)2 − (𝑥2)2)𝑑𝑥
3
−2
= 𝜋 ∫ [(𝑥 + 6)2 − 𝑥4]𝑑𝑥 = 𝜋 [
(𝑥 + 6)3
3
−
𝑥5
5
]
.2
33
−2
= 𝜋(166.66) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 hallar el volumen del solido formado al girar la 
región acotada por las graficas 𝑦 = 𝑥2 , 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 
alrededor de los siguientes ejes 
a) El eje 𝑋 
b) La recta 𝑦 = 6 
 
Solución (a) 
𝑅{𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟} = 4𝑥 − 𝑥
2 
𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑥
2 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(4𝑥 − 𝑥2)2 − (𝑥2)2]𝑑𝑥 =
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución (b) 
 
 
𝑅𝑀𝑎𝑦𝑜 = 6 − 𝑥
2 
𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 6 − (4𝑥 − 𝑥
2) = 6 − 4𝑥 + 𝑥2 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(6 − 𝑥2)2 − (6 − 4𝑥 + 𝑥2)2]𝑑𝑥 =
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución (a) 
 
𝑅𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 = 6 − 2𝑥 − 𝑥
2 
𝑟𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑥 + 6 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(6 − 2𝑥 − 𝑥2)2 − (𝑥 + 6)2]𝑑𝑥
0
−3
 
 
Solución (b) 
 
𝑅(𝑥) = (6 − 2𝑥 − 𝑥2) − 3 = 3 − 2𝑥 − 𝑥2 
𝑟(𝑥) = 6 + 𝑥 − 3 = 3 + 𝑥 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(3 − 2𝑥 − 𝑥2)2 − (𝑥 + 3)2]𝑑𝑥
0
−3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 
 
 
 
Despejar x 
 
𝑦(1 + 𝑥) = 3 
1 + 𝑥 =
3
𝑦
 
𝑥 =
3
𝑦
− 1 =
3 − 𝑦
𝑦
 
 
 
 
𝑉𝑇 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 = 𝜋𝑅
2ℎ − 𝑉𝑠 = 𝜋3
2 ∗ 3
= 27𝜋 − 𝑉𝑠 
 
Hallar Vs 
 
𝑉𝑠 = 𝜋 ∫ [4 −
3
𝑦
]
2
𝑑𝑦
3
1
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de las capas 
Ejemplo 1 
hallar el volumen del solido generado al girar la región 
acotada por la graficas 𝑦 = 𝑥 + √𝑥, el eje 𝑋 y la recta 
𝑥 = 4 alrededor del eje Y 
 
Método de capas o casquillo 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑜 = ℎ(𝑥) = 𝑥 + √𝑥 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑜 = 𝑝(𝑥) = 𝑥 , 
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑝(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 ∗ (𝑥 + √𝑥
4
0
 )𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ (𝑥2 + 𝑥
3
2
4
0
 )𝑑𝑥
= 2𝜋 [
𝑥3
3
+
2𝑥
5
2
5
]
0
4
= 2𝜋 [
64
3
+
64
5
] = 
Ejemplo 2 
 
 
𝑝(𝑥) = 3 − 𝑥 
ℎ(𝑥) =
3
1 + 𝑥
 
𝑉 = 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥) (
3
1 + 𝑥
) 𝑑𝑥
3
0
 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
 
 
 
 
ℎ(𝑥) = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
= (4𝑥 − 𝑥2) − (𝑥2) = 4𝑥 − 2𝑥2 
𝑝(𝑥) = 4 − 𝑥 
 
𝑉 = 2𝜋 ∫ (4 − 𝑥)(4𝑥 − 2𝑥2)𝑑𝑥
2
0
 
Alrededor del eje X 
𝑅(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2 
 
𝑟(𝑥) = 𝑥2 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(4𝑥 − 𝑥2)2 − (𝑥2)2]𝑑𝑥
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Longitud de arco 
 
Hallar la longitud de arco de la función 𝑦 = 4𝑥
3
2 desde el 
punto (1,4) hasta el punto (4,32) 
 
 
𝑎 = 1 ∧ 𝑏 = 4 
 
𝑓(𝑥) = 4𝑥
3
2 
1. 𝑓′(𝑥) = 4 ∗
3
2
∗ 𝑥
1
2 = 6𝑥
1
2 derivar 
2. (𝑓′(𝑥))
2
= (6𝑥
1
2 )
2
= 36𝑥 (la derivada elevada al 
cuadrado) 
𝐿 = ∫ √1 + 36𝑥
4
1
𝑑𝑥 =
1
36
∫ (1 + 36𝑥)
1
2
4
1
36𝑑𝑥 =
[
1
54
 (1 + 36𝑥)
3
2]
1
4
=terminar 
 
 
Aplicando método de sustitución 
𝑢 = 1 + 36𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 36𝑑𝑥 
 
1
36
∫ (1 + 36𝑥)
1
2 ∗ 36𝑑𝑥 =
1
36
∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 =
1
36
(
𝑢
3
2
3
2
)
=
2
36 ∗ 3
(1 + 36𝑥)
3
2 
Ejercicio (libro Leithold) 
 
 
Ejemplo 
 
11) 
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
1. Derivada 
𝑓(𝑥) =
1
3
(𝑥2 + 2)
3
2 
 
𝑓′(𝑥) =
1
3
∗
3
2
(𝑥2 + 2)
1
2 ∗ 2𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 2)
1
2 
2. Derivada de la función al cuadrado 
[𝑓′(𝑥)]2 = [𝑥(𝑥2 + 2)
1
2]
2
= 𝑥2(𝑥2 + 2) = 𝑥4 + 2𝑥2 
3. 1+ Derivada de la función al cuadrado 
1 + [𝑓′(𝑥)]2 = 1 + 𝑥4 + 2𝑥2 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 1
= (𝑥2 + 1)2 
4. Raíz cuadrada de (1+ la Derivada de la función al cuadrado) 
√1 + [𝑓′(𝑥)]2 = √(𝑥2 + 1)2 = 𝑥2 + 1 
5. Integral de a hasta b de (Raíz cuadrada de (1+ la Derivada 
de la función al cuadrado)) 
𝐿 = ∫ (𝑥2 + 1)𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
+ 𝑥]
0
3
= 9 + 3 = 12 𝑢𝑛𝑑
3
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centroide 
 
Ejemplo 
 
 
1. Encontrar el área 
a) Los puntos donde se intersecan las graficas 
Igualando las dos funciones 
6 − 𝑥 = 𝑥2 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0 
(𝐴 ∗ 𝐵 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) 
𝑥 + 3 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 
Entonces 𝑎 = −3 𝑦 𝑏 = 2 
b) Que función es la mayor 
𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 
𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) = 6 − 𝑥 
−3 9 9 
1 1 5 
2 4 4 
 
c) Resolver la integral 
𝑚 = 𝜌𝐴 
𝐴 = ∫ [(6 − 𝑥) − 𝑥2]𝑑𝑥 = 20.833 𝑢𝑛𝑑2
2
−3
 
2. Momento x e y 
 
a) 𝑀𝑥 =
1
2
∫ {[𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2}𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑀𝑥 =
1
2
∫ [(6 − 𝑥)2 − (𝑥2)2]𝑑𝑥 =
2
−3
 
𝑀𝑥 =
1
2
∫ [36 − 12𝑥 + 𝑥2 − 𝑥4]𝑑𝑥 =
2
−3
 
𝑀𝑥 =
1
2
[36𝑥 − 6𝑥2 +
𝑥3
3
−
𝑥5
5
]
−3
2
= 
𝑀𝑥 =
1
2
[(
664
15
) − (−
612
5
)] =
250
3
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑀𝑦 = ∫ 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑀𝑦 = ∫ 𝑥[(6 − 𝑥) − (𝑥
2)]𝑑𝑥
2
−3
= ∫ [6𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3]𝑑𝑥
2
−3
= [3𝑥2 −
𝑥3
3
−
𝑥4
4
]
−3
2
= (
16
3
) − (
63
4
)
= −
125
12
 
3. Centroides (−0.5,4) 
�̅� =
𝑀𝑦
𝐴
=
−
125
12
20.833
= −0,50 
�̅� =
𝑀𝑥
𝐴
=
250
3
20.833
= 4