Matemáticas Simplificadas 23

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CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
91
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Radicación
Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se en-
cuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se defi ne:
⁄ amn = a
m
n , donde: a es la base, m el exponente y n el índice.
 15. 
2 3 5
2 3 5
8 5 6
7 6 5
− −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
 16. 
2 3 5
2 3 5
4 5 6
6 3 6
− − −
− − −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
 17. 
2 5
2 5
1
4
3
2
7
4
5
2
⋅
⋅
−
− −
 18. 
2 3 4
2 3 4
1
2
3
4 2
5
2
1
4
3
2
−
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅
 19. 
4 9 6
4 9 6
1
6
3
8 3
5
6
5
8 3
− −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅
 20. 
8
4
4
4
 21. 
12 3
6 2
3 3
3 2
⋅
⋅
 22. 22
2( )
 23. −( )( )5 2 3
 24. −( )52 3
 25. (4
1
3)6
 26. (5
1
5
−
)–10
 27. (3 ⋅ 5)2
 28. 2 33 2
2− ⋅( )
 29. 2 3 54 6 2
1
2⋅ ⋅( )− −
 30. 3 5 3 5 72 2
3 3 3 2− −⋅( ) ⋅ ⋅( )
 31. 
2 3 4
2 3
2 5 2
4 2
⋅ ⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 32. 2 3
2 3
1
1
4
3
1
2
2
−
−
−
⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 33. 
3 5
3 5
3 5
3 5
4 1
2 3
1
2 4 3
2 4
1− −
−
− −
⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 34. 
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 35. 
1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2 4
 36. 
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2 3
 37. 
3
4
4
1
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
 38. 
3
5
6
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
 39. 
1
2
3
5
2 2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 40. −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
−
1
3 3
2
 41. 
1
2
1
23 1
3
− −
−
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
 42. 
7
2 3 6
1
1 1 1
2−
− − −
−
+ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
92
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Ejemplo
Verifi ca que se cumpla la igualdad 8 823
2
3=
Solución
Se descomponen ambas bases en factores primos y se aplica el teorema correspondiente de exponentes y la defi nición:
8 2 2 2 2 423
3 2
3 63
6
3 2= ( )( ) = = = = además 8 2 2 2 4
2
3 3
2
3
6
3 2= ( ) = = =
Se observa que los 2 resultados son iguales, entonces se demuestra que 8 8 423
2
3= = .
Las raíces pares de números negativos no pertenecen al conjunto de los números reales ya que son cantidades imagi-
narias, las raíces impares de números negativos son negativas.
1 Aplica la defi nición de radicación y calcula 6254 .
Solución
Se descompone la base en factores primos y se aplica la defi nición para obtener el resultado fi nal.
625 5 5 54 44
4
4= = =
2 Encuentra la raíz quinta de −1 024.
Solución
Se descompone −1 024 en sus factores primos y se aplica la defi nición:
− = − = − = − = − = −1024 1024 2 2 2 45 5 105
10
5 2
Por consiguiente, el resultado es – 4
Teoremas
Los teoremas de los exponentes también se aplican a radicales, ya que se expresan como exponentes fraccionarios.
⁄ a b c a b c a b c a b cn n n n n n n⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
1 1 1 1
n
⁄ a
b
a
b
a
b
n
 n
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = =
1 1
1
n n
n
a
b
⁄ a a a amn m
 
n m n m= ( ) = ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =⋅ ⋅
1 1
1
1
n m
n
a
1 Aplica los teoremas de los exponentes y obtén el resultado de 2163 .
Solución
Se descompone 216 en sus factores primos, se aplica el teorema correspondiente y la defi nición para obtener el re-
sultado.
216 2 3 2 3 2 3 2 3 63 3 33 33 33
3
3
3
3= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Por tanto, 216 63 =
 CAPÍTULO 6
 ARITMÉTICA • Potenciación y radicación
93
2 ¿Cuál es el resultado de 2 3 5 2 3 125
1
4
3
2
1
2
5
4 5
1
2⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − −
?
Solución
Se descompone 125 es sus factores primos y el radical se expresa como exponente fraccionario, se aplican las leyes 
de los exponentes y se obtiene el resultado fi nal.
2 3 5 2 3 125 2
1
4
3
2
1
2
5
4 5
1
2
1
4⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅
− − −
33 5 2 3 5
3
2
1
2
5
4
5
2 3
1
2
− − −
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − −
2 3 5 2 3 5
1
4
3
2
1
2
5
4
5
2
3
2
 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − + − + −
2 3 5 2 3 5
1
4
5
4
3
2
5
2
1
2
3
2
4
4
2
2
2
2
 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =−2 3 5 1
2
3 5
15
2
1
3 ¿Cuál es el resultado de 7293 ?
Solución
Se descompone la base en factores primos y se aplica el teorema de radicales para obtener el resultado.
729 3 3 3 3 33 63 6
1
3 2 6
1
6
6
6= = ( ) = ( ) = =( )( )
Por tanto, el resultado de la operación es 3
4 Simplifi ca la expresión 2 2 2
32
3
4
⋅ ⋅ .
Solución
Se transforman los radicales a exponentes fraccionarios y se realizan las operaciones con la aplicación de los respec-
tivos teoremas.
2
2 2
32
2
2 2
2
2
2
3
4
1
2
1
2 3
1
2
5
1
4
1
2
1
2
⋅ ⋅ = ⋅
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )
= ⋅
+33
1
2
5
4
1
2
7
2
1
2
5
42
2
2
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 = ⋅2 2
2
1
2
7
4
5
4
 
= = =
+ −
2 2 2
1
2
7
4
5
4
2
2
Por último, el resultado es 2
EJERCICIO 57
Aplica las defi niciones y los teoremas de los exponentes y efectúa los siguientes ejercicios:
 1. 49
 2. 729
 3. 289
 4. −5123
 5. 814
 6. 6254
 7. 6 5614
 8. −2435
 9. 196
 10. 441
 11. 576
 12. 2163
 13. −1 7283
 14. 33753
 15. 138243
 16. 7 7765
 17. 2488325
 18. 4 0841015
 6 CAPÍTULO
 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
94
Ej
em
pl
os
EJEMPLOS
Simplifi ca las siguientes expresiones:
 19. 2 32 2⋅
 20. 5 32 2⋅
 21. 5 6 32 2 4⋅ ⋅
 22. 2 36 93 ⋅
 23. 3 56 33 ⋅
 24. 2 5 36 6 33 ⋅ ⋅
 25. 2 510 105 ⋅
 26. 2 312 246 ⋅
 27. 8 44 33 ⋅
 28. 
11 6
11 6
7
5
3
2
⋅
⋅
 29. 
6
3
2
2
 30. 
2
5
2
2−
 31. 27
125
9
25
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 32. 98
4( )
 33. 5 254
2
⋅( )
 34. 933
 35. 2564
 36. 
2 5
2 5
2 5
2 5
3 5
1 3
4 1
5 1
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
−
−
 37. 
3
4
6
1
27
4
12
⋅
 38. 
10
2 5
3
5
3
11
3
− −
⋅
 39. 
5 5
5
5 5
5
3
2
1
1
4
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅
− −
 40. 
3 6
8
1 1
1
− −
−
+
 41. 
1
3
1
22 4− −
+
 42. 2 66 2− −+
 ⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 
Simplifi cación
Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplifi car un radical, el exponente 
de la base debe ser mayor que el índice del radical.
1 Simplifi ca 8 .
Solución
Se descompone el radicando en factores primos. 
8 23=
23 se expresa como 22 ⋅ 2 y se aplica el teorema correspondiente de radicales.
8 2 2 2 2 2 2 23 2 2= = ⋅ = ⋅ =
Por consiguiente, la simplifi cación de 8 es 2 2
2 Simplifi ca 45 .
Solución
Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar los teoremas.
45 3 5 3 5 3 52 2= ⋅ = ⋅ =
Por tanto, 45 3 5=