Movimiento armonico simple

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1: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1.1 INTRODUCCIÓN
El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un modelo ideal de movimiento oscilatorio en el que se consideran despreciables todo tipo de fuerzas disipativas (fricción, viscosidad, resistencia del aire, etc.) de modo que las partículas oscilan periódicamente mediante una fuerza resultante recuperadora. Este movimiento se describe haciendo uso de funciones armónicas (senos y/o cosenos). Existen diferentes sistemas cuyo movimiento se puede describir como un movimiento armónico simple, pero los sistemas que trataremos en ésta sesión son el oscilador armónico, el péndulo simple, el péndulo físico y el péndulo de torsión. 
1.2	 EL OSCILADOR ARMÓNICO 
	Una partícula fija al extremo de un resorte, ver Fig. 1.1, puesta a oscilar libremente y sin fricción, a lo largo del eje del resorte, constituye un oscilador armónico.
Para estudiar éste movimiento, hacemos coincidir la posición de equilibrio de la partícula con el origen del eje X, de modo que, en la posición de equilibrio el resorte no está deformado. 
 (
Fig.
1
.1
 Oscilado
r armónico; la partícula oscila 
periódicamente entre las posiciones x = +A y x = 
- 
A.
+X
 x = -A
 x = +A
K
 
m
 F
e
 = - K
x
 
x
 
 x = 0
)
Aplicando la 2° Ley de Newton al oscilador.
	
	ma = Fres = - Kx
	
	ma + Kx = 0
	
	
	Haciendo: 
 
 
La solución de ésta ecuación es de la forma:
x = A Sen (o t + o) (1.1)
Luego,
 v = dx/dt 
v = o A Cos (o t + o) = ± (1.2)
Derivando una vez más:
a = dv/dt = -o2 A Sen (o t + o) = - o2 x (1.3) 
Dónde: 
A, se conoce como la amplitud del movimiento y se expresa en m o cm.
o , se le denomina frecuencia angular del oscilador y se expresa en rad/s, y
o , es la fase inicial del movimiento, es decir, el valor de la fase, (o t + o), cuando t = 0. Así, el valor de la fase inicial sirve para indicar la posición inicial del oscilador, haciendo t = 0 en la ec. de movimiento (x Vs t)..
Los mismos resultados se obtienen partiendo de una solución de la forma: 
x = A Cos (o t + o) (1.4)
 
v = dx/dt 
v = - o A Sen (o t + o) = ± (1.5)
a = dv/dt = - o2 A Cos ( t + o) = -o2 x (1.6)
Note qué, la diferencia entre las soluciones simplemente radica en el valor de la fase inicial (el seno y el coseno están desfasados entre si un ángulo de /2). 
	Si realizamos el D.C.L. del oscilador, ver Fig. 1.2, observamos qué, el peso y la normal se equilibran mutuamente y la única fuerza responsable del movimiento es la fuerza elástica, Fe = - Kx, luego, según la 2° Ley de Newton:
 (
+X
 mg
K
 
m
 
F
e
 
= - Kx
 N 
 x = 0
Fig.
1
.2 
D.C.L. del oscilador armónico
 
x
 
)
	- K x = m a (1.7)
Si usamos la ec. (1.3) o (1.6) en la ec. (1.7):
- K x = - m o2 x, de donde:
 
 (1.8)
La relación entre la frecuencia angular, o, el periodo, P, y la frecuencia natural, f, es análoga a la que se tiene en el M.C.U. , esto es, 
 (1.9) 
En general, cualquiera que sea el sistema, si éste ejecuta un MAS, la fuerza responsable del movimiento es de la forma F = - C x, donde “C” es una constante de proporcionalidad que depende del sistema oscilante. La aceleración asociada a ésta fuerza es de la forma a = - o2 x.
1.3 EL PÉNDULO SIMPLE
El péndulo simple se define como una partícula de masa “m” suspendida por una cuerda de longitud “L” y de masa despreciable, ver Fig. 1.3.
 (
+
o
 
m
 L
-
o
+
Fig. 
1.3
.
 El péndulo simple
)
Si no se considera la resistencia del aire y las amplitudes angulares de oscilación,o, son pequeñas, la partícula ejecuta un M.A.S.	
Cuando “m” se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un movimiento oscilatorio, que se debe a la componente tangencial del peso, FT. 
	En la fig. 1.4 se muestra las componentes en las direcciones tangencial y radial de las fuerzas que actúan sobre la masa pendular “m”.
FT = - m g Sen (1.10)
Fc = T– m g Cos (1.11)
Note qué, es la fuerza tangencial (1.10), la responsable del M.A.S. y el signo negativo se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento angular, .
Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se obtiene:
 (
L
x
 mg
 
mg 
Cos
T
 
Fig.
1.4
 
mg 
Sen
)
Si es muy pequeño, entonces Sen y se tiene:
La solución de ésta ecuación corresponde a la de un M.A.S. y es de la forma:
L	La frecuencia angular y el periodo se obtienen de las siguientes expresiones:
La frencia angular y el periodo se 
Como se mencionó antes, también podemos hacer uso de la función coseno, así:
	 = o Cos (o t + o) (1.14) 
Estas ecuaciones proporcionan la posición angular de la partícula en cualquier instante, t. 
	
1.4	 EL PÉNDULO FÍSICO 
Un péndulo físico o compuesto es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, que no pasa por su centro de masa. En consecuencia, la posición de este cuerpo está determinada, en cualquier instante de tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo forma con la vertical, tal como se indica en la figura 1.5. 
 (
Fig. 
1.5
 Péndulo físico o compuesto.
Eje horizontal
)
Cuando este cuerpo está desviado de su posición de equilibrio, actúa sobre él un torque resultante que tiende a restaurar su posición de equilibrio, cuyo módulo es:
τ = - mg Senθ b
Donde b, es la distancia del punto de suspensión O al centro de gravedad, c.g., del cuerpo.
Si I, es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje horizontal de rotación, al aplicar la relación fundamental de la dinámica de rotación, obtenemos:
τ = I α (1.15)
Considerando sólo pequeñas oscilaciones, es posible considerar que Senθ ≅ θ, entonces tenemos:
	Ésta ecuación se puede escribir en la forma:
 
	La solución de la ecuación (1.16) corresponde a la de un M.A.S., esto es:
θ = θo Sen (ωot + φo) (1.17)
L	
La frecuencia angular y el periodo se obtienen de la siguiente expresión:
1.5	PÉNDULO DE TORSIÓN
 (
Fig. 
1.6
. Péndulo de torsión
A
lambre
C.M.
Cuerpo rígido
)
Se define como un cuerpo rígido suspendido de un alambre o un hilo que por un extremo pasa por el centro de masa del cuerpo y por el otro extremo está unido a un punto fijo, ver figura 1.6.
Cuando el cuerpo se gira un ángulo θ respecto a su posición de equilibrio, el alambre se tuerce, ejerciendo sobre el cuerpo un torque recuperador que tiende a llevar al cuerpo a su posición de equilibrio, ver figura 1.7.
El torque recuperador, dentro del límite elástico, es:
 τ = - μ θ, 	(1.18)
Donde, μ, es la constante de torsión del alambre.
Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: 
τ = Io α, 	(1.19)
	Donde, Io, es el momento de inercia del sistema.
 (
m
φ
θ
m
τ
Fig. 
1.7
.
 Torque restaurador en el péndulo de torsión
)
	De las ecuaciones (1.18) y (1.19), obtenemos:
	Una vez más, la solución de la ecuación (3.6) corresponde a la de un M.A.S., así:
θ = θo Sen (ωot + φo) 	(1.21)
La frecuencia angular y el periodo de las oscilacioneslo determinamos mediante las siguientes expresiones:
1.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 	Una caja de masa M esta sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la mesa es igual a μ. Dentro de la caja se encuentra un oscilador armónico de masa m y constante elástica K. ¿Para qué amplitud de oscilación de la masa m la caja empezará a moverse sobre la mesa?
 
2. 	Una caja de masa M está sobre una mesa horizontal. Del techo de la caja está suspendido un oscilador armónico de masa m y constante elástica K. ¿Para qué amplitud de oscilación de m, la caja empezar a asaltar sobre la mesa?
 (
m
)	
	
3. 	En la figura, el bloque de masa “M” ejecuta un M.A.S. con amplitud constante A. Si el coeficiente de fricción estático entre bloques es µ, y la constante elástica del resorte es K, determinar una expresión de la frecuencia angular a partir de la cual el bloque de masa “m”, empezará a deslizar sobre el bloque de masa M. 
 (
 M
m
)
 (
 
M
m
)4. 	En la figura, el bloque de masa “M” ejecuta un M.A.S. en la dirección vertical con frecuencia angular constante ω. Si la amplitud de su movimiento se incrementa gradualmente, determinar una expresión de la máxima amplitud para la cual el bloque de masa “m” ya no mantendrá contacto con el bloque inferior. La constante elástica del resorte es K.
	
5. 	Dentro de un casquete semiesférico de radio R y superficie interior muy lisa, se encuentra una pequeña esferita. La esferita se desvía ligeramente de su posición de equilibrio y al soltarse ejecuta un movimiento armónico en un plano vertical. Hallar la frecuencia de sus oscilaciones.
	
	
 (
 7,5m
10m
 8º
)6. 	Si la masa pendular se deja en libertad en la posición mostrada, indique después de qué tiempo regresa a dicha posición inicial. Desprecie la fricción.
	
 (
 
 
 O
 
 L
)7. 	Al punto O de una pared que forma un ángulo = 5° con la vertical se fijó un péndulo simple, ver fig. La longitud del hilo es L = 2,5 m. Si se libera la esferita pendular en la posición = 10°, considerando g = 10 m/s2 y que la esferita colisiona elásticamente con la pared, el período de oscilaciones de este péndulo es:
8. 	Sobre dos poleas que giran en sentidos opuestos con igual velocidad angular constante (ver fig.) se coloca una barra homogénea. Si la distancia entre los ejes de las poleas es L y el coeficiente de fricción entre la barra y las poleas es c, la frecuencia angular del M.A.S. de la barra es:
	
9.	Un péndulo físico está constituido por una varilla (ICM = ML2/12) uniforme de 1 m de longitud, que oscila en un plano vertical suspendida de uno de sus extremos. Hallar el periodo de sus oscilaciones armónicas.
10. Una varilla de 1,0 m de longitud está suspendida de uno de sus extremos, de tal manera que oscila como un péndulo compuesto. Determinar el periodo de sus oscilaciones y la longitud del péndulo simple equivalente.
11. Con los datos del problema anterior, encontrar el periodo de oscilación si la varilla se cuelga de un eje situado a una distancia de uno de sus extremos igual a la longitud del péndulo simple equivalente del problema anterior.
 
12.	En el problema anterior, determine la distancia del punto de suspensión al centro de masa de modo que el periodo de oscilación sea mínimo.
13. 	Un aro delgado suspendido de un clavo horizontal ejecuta un M.A.S. con un periodo de 2 s. Hallar el radio del aro. (ICM = MR2).
14.	En el problema anterior, escriba la ecuación del M.A.S., si el péndulo se separa 10° de su posición de equilibrio y luego se libera. El tiempo se registra a partir del instante en que se libera. 
15. 	Una esfera (ICM = 2MR2/5) de radio R y masa M está suspendida desde un punto fijo por una cuerda de masa despreciable, de modo que la distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L = 4R. Encontrar el periodo de sus oscilaciones armónicas.
16. Un péndulo de torsión consiste en una varilla (ICM = ML2/12) de masa M y longitud L, unida a un alambre que pasa por su centro. Hallar una expresión para el periodo de sus oscilaciones. La constante de torsión del alambre es μ.
17. 	Un péndulo de torsión consiste en una varilla (Ivarilla = ML2/12) de masa 100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales (Iesfera = 2mR2/5): de 150 g y 5 cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10 cm del eje de giro. Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2,4 s, calcular la constante de torsión.
18. 	En el problema anterior, si en el instante inicial t = 0 el péndulo se desplaza θo= 30° de la posición de equilibrio y se suelta, escribir la ecuación del M.A.S. 
19.	Se desea determinar el momento de inercia de una herramienta mecánica de forma muy compleja, respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que la suspende de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsión μ = 0,45 N m/rad. Si al girar la herramienta alrededor del eje y liberarla, se registran 125 oscilaciones en 265 s. Hallar el momento de inercia. 
20.	Una rueda muy delgada (ICM = MR2/2) para reloj tiene un periodo de oscilación de 0,25 s. La rueda se construye de modo que su masa es de 20 g y su radio de 0,50 cm. Hallar la constante de torsión del resorte acoplado.
 
 
 
 
 
 
0
x 
m
k
 
 
dt
x
d
2
2
=
+
 
m
k
ω
2
o
=
 
 
 
 
 
 
0
x 
ω
 
 
dt
x
d
2
o
2
2
=
+
2
2
o
 x
A
 
ω
-
2
2
o
 x
A
 
ω
-
K/m
 
 
ω
o
=
f
 
2
π
 
 
P
 / 
2
π
 
ω
o
=
=
α
 
L
 
m
a
 
m
F
t
t
=
=
2
2
dt
θ
d
L
 
m
Sen
θ
 
g
 
m
=
-
0
Sen
θ
L
g
dt
θ
d
2
2
=
+
0
θ
L
g
dt
θ
d
2
2
=
+
L
g
 
 
ω
 
0,
θ
ω
 
dt
θ
d
2
o
2
o
2
2
=
=
+
(
)
(1.12)
 
 
 
 
 
t
ω
Sen
 
θ
θ
0
o
0
j
+
=
(1.13)
 
 
 
 
g
L
 
2
π
 
 
P
 
;
P
2
π
 
 
L
g
 
 
ω
 
o
=
=
=
2
2
dt
θ
d
I
b
 
mgSen
θ
=
-
0
Sen
θ
I
mgb
dt
θ
d
2
2
=
+
0
θ
I
mgb
dt
θ
d
2
2
=
+
(1.16)
 
 
 
 
 
 
0,
θ
ω
 
dt
θ
d
2
o
2
2
=
+
I
mgb
 
 
ω
 
Donde,
2
o
=
P
2
π
 
 
I
mgb
 
 
ω
o
=
=
2
2
o
dt
θ
d
I
 
θ
μ 
 
=
-
0
θ
I
μ
dt
θ
d
o
2
2
=
+
 
 
 
(1.20)
 
 
 
 
 
 
0,
θ
ω
 
dt
θ
d
2
o
2
2
=
+
o
2
o
I
μ
 
 
ω
=
P
2
π
 
 
I
μ
 
 
ω
 
o
o
=
=
μ
I
 
2
π
 
 
P
 
o
=
 
 
 
 
 
 
dt
x
d
2
2
=
a