UNIDAD 1b_2020

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Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales 
Dr Alfredo Gonzalez 1 
UNIDAD 1 b 
MATEMÁTICA II 
LÍMITES DE FUNCIONES DE 1 VARIABLE 
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Función de variable real: Se dice que una 
 función y=f(x) tiende al límite L cuando X 
 tiende al valor a, Si el valor absoluto de 
 puede hacerse tan 
pequeño como se quiera en las proximidades 
del Punto X=a (sin interesarnos que sucede en 
 X=a) 
"Se dice que f(x) tiene por límite L cuando x tiende a "a" y se escribe , si para todo 
 número real , positivo y suficientemente pequeño, es posible determinar otro número real 
 , que depende de , tal que si se cumple , entonces se ha de cumplir que 
 ". 
 
Límites Laterales 
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Intuitivamente, el límite de una función f(x) cuando x→a es el valor al que f(x) se aproxima 
cuando x se aproxima a a 
Sin embargo, en ocasiones, la función f(x) se aproxima a uno u otro valor según si x se aproxima 
 a a por la izquierda o por la derecha. Por esta razón existe el concepto de límite lateral. 
Límite lateral de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda: 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
Límite lateral de f(x) cuando x tiende a a por la derecha: 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 
Si los límites laterales no coinciden, diremos que no existe el límite: 
 
Límites Laterales 
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Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y 
sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x R (a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε . 
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y 
sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x R (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε . 
El límite de una función en un punto, si existe, es único. 
Límites Laterales 
Ejemplos 
 
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y 
x 
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la 
derecha cuando x tiende a 2, es 4. 
 
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. 
 
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo 
que sucede en dicho punto sino a su alrededor. 
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Límites Laterales 
Ejemplos 
 
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite 
cuando x tiende a 0. 
Propiedades 
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Límite de una constante 
 
Límite de una constante 
Límite de una suma de funciones 
 
Límite de un producto de funciones 
Límite de un cociente de funciones 
Límite de una potencia de funciones 
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Propiedades (Cont.) 
Límite de una función 
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc. 
Límite de una raíz 
Límite de un logaritmo 
Indeterminaciones 
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Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas: 
Ejemplos: 
Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por 
 
 
 
Este límite es de la forma 
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El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del 
denominador. 
 
· El segundo factor tiene por límite pues el grado del numerador es mayor que el del 
denominador. 
 El límite es por tanto de la forma 
 
Multiplicando las dos fracciones: 
 Al ser un cociente de polinomios de igual grado, se recomienda multiplicar y dividir 
por n3 
 
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Multiplico y divido por n (dentro de la raíz entre como n2) 
Aplicaciones de Límites de Funciones 
 
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Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen 
saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos“. 
También intuitivamente podríamos decir una función es continua si su gráfica puede dibujarse 
de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. 
 
Las funciones representadas en (a) y (b) son discontinuas y la (c) es continua en todo su 
dominio 
Continuidad 
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Continuidad 
Una función f es CONTINUA EN x = a, si y solo si, se satisfacen las siguientes condiciones: 
i. f(a) existe. 
ii. existe 
iii. 
Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA 
(NO CONTINUA) en x = a. 
Continuidad 
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Figura (a) se tiene 
ii. f(a) existe. 
iii.Pero (Por esta razón f es discontinua) 
Figura (b) se 
tiene: 
i. No existe 
ii. (Por esta razón f es discontinua) 
 iii. f(a) = L1(Existe). 
Figura (c) se tiene: 
i. f(a) existe 
CONTINUA EN x = a, 
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Continuidad de Funciones 
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Discontinuidad evitable 
Discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un 
punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o 
no existe 
a) Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es 
discontinua en a 
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Discontinuidad esencial o no evitable 
 
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de 
las siguientes situaciones: 
a) Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de 
ellos diverge. 
b) Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, 
no existe o no tiene límite. 
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Discontinuidad de primera especie: En este tipo de discontinuidad existen tres tipos 
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales: 
1) Salto finito 
2) De salto infinito 
Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito 
 
Por ejemplo: tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito 
Existen el límite por la derecha 
y por la izquierda del punto, su 
valor es finito, pero no son 
iguales 
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3) Discontinuidad asintótica: Si los dos límites laterales de la función en el punto x = a son 
 infinitos 
Funciones definidas a trozos 
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Las funciones definidas a trozos son funciones cuya definición depende del valor que 
toma la variable x. 
 
Por ejemplo: (24)c) 
La continuidad de una función definida a trozos depende 
de la continuidad de las funciones que la componen, pero 
 puede haber discontinuidades en los puntos donde 
 cambia la definición. 
Siempre hay que estudiar la continuidad de la función en los puntos donde cambia su definición. 
 Para ello, usamos los límites laterales. 
Por ejemplo: la función anterior sólo es discontinua donde cambia su definición: x=0. 
Por la izquierda tiende a 0 y por la derecha tiende a 1. 
 
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 2x+2 x≤ -1 
h(x) = 
 x2-1 x> -1 
La función h(x) está compuesta por dos tramos: f1(x)= 2x+2, una recta y f2(x)= x2-1 ,una parábola. 
Por separado ambas son continuas. Así, el único punto donde esta función a trozos puede ser 
discontinua es en el punto de ruptura. 
Por tanto, debemos estudiar la continuidad en x = -1. 
Para que la función sea continua en x= -1 debe cumplirse que: 
Por tanto, 
De esta manera, como se cumple, los límites laterales y la función en el punto tienen el 
mismo valor. Por tanto, la función es continua en x=-1. 
Por ejemplo: 24)a) 
Asíntotas 
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1) Asíntota vertical: de y = f(x), a la recta paralela al eje y que hace que la función 
tienda a infinito. O algunos de los límites laterales. 
 
La A.V. es x=a 
2) Asíntota horizontal: de y = f(x) a la recta paralela al eje x que hace que la función tienda 
 infinito. Si existen los límites: 
 
 A.H. y=bA.H. y=c 
 
3) Asíntota oblicua: Cuando una función no tiene A.H. puede tenerlas oblicuas. 
 
La recta de ecuación y = mx + b (m ≠ 0) será una asíntota oblicua si: 
 
 
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Determinación de asíntotas 
1) Determinamos el dominio de la función, (para los valores de x dónde deja de existir 
 puede tener una A.V. 
2) Si la función no existe en x=a, existirá A.V. en “ x=a “ si 
 
Ejemplo 1: Determina las asíntotas verticales de 
1º Determinamos el dominio de la función 
Dominio: Función racional fraccionaria no existe si el denominador se anula : 
 
Posibles asíntotas verticales: en x=2 y/o en x=-2.? 
 
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Cuando tiende a -2 el límite de 0/0 (indeterminado. Salvando la indeterminación: 
+- 
No hay asíntota vertical, en x=-2 la función es discontinua evitable. 
 
A.V. en x=2 
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ASÍNTOTA HORIZONTAL 
 Si existe entonces “y=b” será una asíntota horizontal. 
 
entonces “y=c” será una asíntota horizontal. Si existe 
Se calculan los límites indicados y si alguno de ellos toma un valor finito “k”, existirá A.H. 
en y=k. 
 Ejemplo: Determina las asíntotas horizontales de 
y=0 es A.H. 
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ASÍNTOTA OBLICUA 
Son rectas del tipo y=mx+b siendo m‡0 
Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas. 
 
Ejemplo: Determina las asíntotas oblicuas de : 
A.O. 
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Límite de las funciones potenciales. El número e 
Además, se tiene que: 
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Ejemplos 
a) 
b) 
c) 
d) 
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e)