UNIDAD 5_Integrales dobles_2020

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Escuela Superior de Ciencias Exactas y Naturales 
Dr Alfredo Gonzalez 1 
UNIDAD 5 
Integrales múltiples 
Integrales Múltiples 
• Hasta ahora vimos Integrales simples: 
 
 
• Donde el integrando de f(x) es continua en el intervalo 
cerrado [a;b] o 
• En esta unidad veremos Integrales Múltiples, que son una 
generalización de las simples. 
• Int. Múltiples: por que el integrando es una función de 
varias variables. 
• Integral Doble: el integrando es una función de 2 variables. 
• Integral Triple: el integrando es una función de 3 variables. 
 
 
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Integrales Dobles 
• Definición: sobre una región rectangular R: 
 
• f(x,y), es continua 
 sobre el rectángulo R 
 
• Se siguen los siguientes pasos: 
 
 
R 
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Integrales Dobles 
• Paso 1: Se toma una partición del intervalo en m subintervalos y 
 en n subintervalos. Se traza la cuadrícula, tenemos la partición (P) de R en 
 
N=m*n celdas 
 
• Paso 2: Se toma un punto arbitrario en cada celda de la partición del rectángulo y se forma la 
suma: 
 
 
• : área del rectángulo k-ésimo. Esta suma se denomina suma de Riemann de f(x,y) con 
respecto a la partición P. 
• Paso 3: Se define la Norma de P: longitud de 
 la diagonal mas larga de subrectángulo. 
 Luego redefinimos la Norma (añadir mas 
 celdas  la Norma disminuye.) Cuando 
 aplicamos esto, hasta que la norma tiende 
 a cero y tomamos suma de Riemann, se puede 
 definir el límite: 
 
 
• : Norma de P 
 4 
m 
n 
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Si f(x,y) está definida sobre un rectángulo R del 
plano  la Integral doble de f sobre R se 
define como: 
 = 
 
Siempre y cuando exista ese límite. 
Si existe decimos que f es integrable sobre R. 
 
 
 
Integrales Dobles 
R 
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Teorema de Fubini 
• Sea f(x,y) una función continua sobre un rectángulo 
 Se puede calcular la integral doble: 
 
Por integración iterada en cualquier orden , es decir: 
 
 
 
Integrales Iteradas: Se calcula 1ro la integral parcial respecto a una variable y 
luego respecto a la otra (el procedimiento es integración sucesiva). 
 
Por ejemplo: Integral parcial respecto de x 
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EJEMPLO 1 
• Calcular la integral doble en la región rectangular si 
 En 
Solución: 
 
 
 
 
Invirtiendo el orden: 
 
 
 
 
 
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EJEMPLO 2 
• Calcular la integral doble en la región rectangular si 
 
 
• Solución: 
 
• 
 
Si cambio la variable debo cambiar los límites: y=o => u=0 
 Si y=1 => u= x 
 
 
 
• 
= 1 
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DETERMINACIÓN DE LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN EN 
REGIONES NO RECTANGULARES 
• Supongamos que tenemos que calcular la siguiente integral, primero 
respecto de y y luego respecto de x (tambìén podría ser en orden inverso), 
pero teniendo en cuenta que la región R ya no es rectangular. 
• Para estos casos tenemos que tener en cuenta que hay 2 tipos de 
regiones: 
• REGIÓN TIPO I (banda vertical): Contiene puntos (x,y) tales que para cada 
x fijo (una recta vertical) entre las 2 ctes a y b, la coordenada y varía de 
g1(x) a g2 (x). Donde g1 y g2 son funciones continuas. 
• En este tipo de región: 1ro integro respecto de y y luego respecto de x 
 
• 
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DETERMINACIÓN DE LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN EN 
REGIONES NO RECTANGULARES (Cont.) 
• REGIÓN TIPO II (banda horizontal): ): Contiene puntos (x,y) tales que para 
cada y fijo (una recta horizontal) entre las 2 ctes c y d, la coordenada x 
varía de h1(y) a h2 (y). Donde h1 y h2 son funciones continuas. 
• En este tipo de región: 1ro integro respecto de x y luego respecto de y 
 
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X=h1(y) X=h2(y) 
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Ejemplo 1 
• Calcular los límites según el gráfico: 
Integro 1ro respecto de y y luego respecto 
de x 
Región 
Tipo I 
Solución: 
1ro: Trazamos una recta // al eje y (x fijo) que 
corte a la región D 
2do: Integramos desde el valor de y del punto donde la recta ingresa a la región D hasta el 
valor de y del punto donde sale de D 
3ro: El punto de entrada es x + y = 1 => y = 1-x; el punto de salida es x 2 + y2 = 1 => y= (+/- )(1-x2 )1/2 
4to: Elegimos los límites de x que incluyan a todas las rectas verticales que pasen por D, es decir 
calculamos los valores de x (valores donde se cortan) intersección de las funciones: 
 => y = 1-x y y= +/- (1-x2 )1/2 igualando los segundos miembros: x= 0 y x=1 
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y 
x 
La integral con sus límites es : 
Región tipo I 
Si consideramos Región Tipo II: 1ro integro respecto de x y luego respecto de y, trazamos una 
recta paralela al eje x para tomar a y fijo. 
Siguiendo la recta de y fijo entramos a la 
Región D por la recta x=1-y y salimos por 
la parábola x = (1-y2)1/2 estos son los límites 
de x y los de y la intersección entre la recta 
 y la parábola 
Región tipo II 
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Inversión del orden de integración 
• En ocasiones es útil invertir el orden de integración en una integral 
iterada. 
• Veamos un ejemplo: Invertir el orden de integración de la integral iterada. 
 
 
• TIPO I: (1ro integro según y y luego según x) 
• Los límites de integración son: 
 y = 1 (recta // a x) 
 y = ex 
Los de x son fijos: 
 x = 0 
 x = 2 
• Para invertir el orden debemos considerar a D como de TIPO II 
 
 
y 
x 
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• TIPOII : ( 1ro integro según x y luego según y) 
• Los límites de integración son: 
 Según y (son fijos): 
 y= 1 hasta y = e2 
Según x: Ingresamos a D por la 
exponencial x = ln(y) y salimos por la 
recta x = 2 
Inversión del orden de integración (Cont.) 
y 
x 
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Ejercicio 
• Calcular el área de la región D acotada por y=x e y=x2 en el 1er cuadrante. 
 
• Solución: Tipo I 
 1ro determinamos donde se cortan las funciones 
Igualamos los 2dos miembros => x=x2 => 
X2 – x = 0: x=0 y x=1 
 
 
 
Tipo I: (recta: valor fijo de x) 
Integro 1ro respecto de y y luego respecto de x: 
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Interpretación de la Integral doble como 
volumen 
• Sabemos que es el área debajo de la curva y=f(x), en [a,b]. 
 
 
La tiene una interpretación similar pero como volumen. 
 
Si en la región R y hacemos 
una partición de R por rectángulos como 
antes  el producto de 
es el volumen del paralelepípedo de 
altura y área de la base 
La suma de Riemann es: 
Vol. Total = 
 
 da una estimación del vol. total comprendido bajo la sup. s/el dominio R 
 
R 
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Interpretación de la Integral doble 
como volumen 
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Volumen aproximado 
Por Paralelepípedos 
rectos 
 
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INTEGRAL DOBLE PARA CALCULAR VOLUMEN 
• Determinar el volumen del prisma cuya base es el triángulo del plano xy 
acotado por el eje x y las rectas y = x y x = 1, cuya cara superior está en el 
plano Z = f(x,y) = 3 – x – y 
• Se tiene que aplicar 
 
• A) 
 
D 
36( )dx= 
V= 
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INTEGRAL DOBLE PARA CALCULAR VOLUMEN 
• B) TIPO II: (y fijo) Integro 1ro respecto de x y luego respecto de y 
 
D TIPO II y FIJO 
x 
y 
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FIN INTEGRALES DOBLES