Clase N15

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD IV SEMANA 15 SESIÓN 1
TEMA: RAZÓN DE CAMBIO Y DIFERENCIALES
COMPETENCIA
Resuelve problemas de contexto real con la utilización de estrategias y
procedimientos matemáticos para las aplicaciones de la derivada de una
función.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, El estudiante halla la razón de cambio y la velocidad
instantánea en un tiempo t, aplicando para ello el concepto de derivada dada
la ley de movimiento de una partícula. Además, el estudiante resuelve
ejercicios y/o problemas relacionados con diferenciales.
Contenido
01
02
03
Razón de Cambio
Interpretación Cinemática de la Derivada
Razones de Variación Relacionadas
04 Diferenciales
1. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
Ya se ha visto que la derivada se utilizó para calcular pendientes. Pero 
también sirve para determinar la razón de cambio de una variable 
respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de 
situaciones. Algunos ejemplos son:
1. El ritmo que crece una población (personas, animales, bacterias, etc.)
2. Las razones de flujo de un líquido.
3. La velocidad y aceleración de un objeto que se mueve.
4. El ritmo de inflación.
5. El ritmo de producción, etc.
Definición 1: Razón de cambio promedio 
(RCP)
Sea la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), si 𝑥 cambia de 𝑥1 a 
𝑥2, entonces el cambio en 𝑥 (o incremento 
de 𝑥) es
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
y el cambio correspondiente en 𝑦 es
∆𝑦 = 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
El cociente de diferenciales
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
Se llama razón de cambio promedio de 𝒚
respecto a 𝒙 sobre el intervalo 𝑥1, 𝑥2 , y 
puede interpretarse como la pendiente de 
la recta secante 𝑃𝑄 en la figura.
Definición 2: Razón de cambio instantánea (RCI)
Sea la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), la razón de cambio 
instantánea de 𝒚 respecto a 𝒙 en 𝑥 = 𝑥1, es el límite 
de razón de cambio promedio:
lím
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lím
𝑥2→𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
lo cual se interpreta como la pendiente de la recta 
tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑃 𝑥1, 𝑓 𝑥1 .
𝑅𝐶𝑃 = 𝑚𝑃𝑄
𝑅𝐶𝐼 = pendiente de la recta tangente en 𝑃
Ejemplo 1: se estima que dentro de 𝑥 meses la población de cierta comunidad será de
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 10𝑥 + 6000
a) A qué ritmo cambiará la población dentro de 20 meses?
b) Cuanto cambiará realmente la población durante el vigésimo primer mes?
Solución:
Ítem a): El ritmo de cambio de la población es la derivada de la función población:
𝑃′ 𝑥 = 2𝑥 + 10
Como 𝑃′ 20 = 2 20 + 10 = 50, se sigue que dentro de 20 meses la población habrá crecido a 
razón de 50 personas por mes.
Ítem b)
Cambio real en la población =
cambio en 𝑃(𝑥)
cambio en 𝑥
=
𝑃 21 − 𝑃(20)
21 − 20
Entonces
cambio real = 𝑃 21 − 𝑃 20
= 21 2 + 10 21 + 6000 − 20 2 + 10 20 + 6000 = 51 personas
La razón para la diferencia de los resultados en ítem (a) y (b) se debe a que el ritmo de cambio de 
la población variaba durante el mes. El ritmo de cambio instantáneo del ítem (a) puede ser 
considerado como el cambio de la población que sucedería durante el vigésimo mes si el ritmo de 
cambio de la población permaneciera constante.
2. INTERPRETACIÓN CINEMÁTICA DE LA DERIVADA
• Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una 
función del movimiento 𝑠 = 𝑓(𝑡), donde 𝑠 es el desplazamiento (distancia dirigida) 
del objeto respecto al origen, en el tiempo 𝑡. 
• La función 𝑓 que describe el movimiento se conoce como función posición del objeto.
Definiciones
• La velocidad promedio (o velocidad media) es:
𝑣𝑝 =
desplazamiento
tiempo
=
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
• La velocidad (o velocidad instantánea) es:
𝑣 𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
= 𝑓′(𝑡)
• La aceleración es:
𝑎 𝑡 = 𝑣′(𝑡) = 𝑓′′(𝑡)
La velocidad instantánea puede ser posita o negativa, dependiendo de que si la 
partícula se desplaza en el sentido positivo o negativo.
Cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula está en reposo.
La rapidez de una partícula en cualquier tiempo es el valor absoluto de la velocidad 
instantánea.
Ejemplo 1:
Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación: 
𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 12𝑡2 + 36𝑡 − 24, 𝑡 ≥ 0
Halle los intervalos de tiempo en los que la partícula se está moviendo a la derecha y en los que 
se mueve hacia la izquierda. Además halle el instante cuando la partícula cambia de signo.
Solución:
 𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 3𝑡2 − 24𝑡 + 36
= 3 𝑡2 − 8𝑡 + 12 = 3(𝑡 − 2)(𝑡 − 6)
La velocidad instantánea es cero cuando 𝑡 = 2 y 𝑡 = 6. Por tanto, la partícula está en reposo 
en estos instantes.
La partícula se mueve hacia la derecha cuando 𝑣 es positiva y se mueve hacia la izquierda 
cuando 𝑣 es negativa.
Análisis de los resultados
La siguiente tabla muestra los resultados de los signos de 𝑣.
Intervalo Signo de 𝒗(𝒕) Conclusión
0 ≤ 𝑡 < 2 + La partícula se mueve hacia la derecha
𝑡 = 2 0 La partícula está en reposo
2 < 𝑡 < 6 - La partícula se mueve hacia la izquierda
𝑡 = 6 0 La partícula está en reposo
6 < 𝑡 + La partícula se mueve hacia la derecha
En la siguiente figura se interpreta visualmente el movimiento de la partícula, donde el 
movimiento de la partícula es a lo largo de la recta horizontal de la figura.
La ecuación del movimiento es: 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 𝑣0𝑡 +
𝑔𝑡2
2
donde 𝑣0 = 0𝑚/𝑠 y 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠
2 ⟹ 𝑠 = 𝑓(𝑡) = 4,9𝑡2
Calculando la velocidad: 𝑣 𝑡 = 𝑓′ 𝑡 = 9,8𝑡
a) La velocidad después de 5𝑠 es: 𝑣(5) = (9,8)(5) = 49𝑚/𝑠
b) La pelota chocará contra el suelo en el instante t, cuando
𝑠(𝑡1) = 450; es decir,
4,9𝑡1
2 = 450
Resolviendo: 𝑡1
2 =
450
4,9
y 𝑡1 =
450
4,9
≈ 9,6 𝑠
Por tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es
𝑣 𝑡1 = (9,8)𝑡1 = (9,8)
450
4,9
≈ 94 𝑚/𝑠
Ejemplo 2:
Suponga que se deja caer una pelota desde la parte superior de un edifico de 450 𝑚 de altura.
a) Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?
b) Con qué rapidez cae cuando choca contra el suelo?
Solución: 
Paso 1: graficar
3. RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
Un problema de razones de cambio relacionadas es
aquel que involucra razones de cambio de dos o más
variables relacionadas que varían con respecto al
tiempo 𝑡 . Esta relación se expresa mediante una
ecuación, la cual representa un modelo matemático.
Ejemplo: Una escalera de 10 pies de largo esta apoyada
contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera
se desliza alejándose de la pared a razón de 1 pie/s, ¿que
tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia
abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera
esta a 6 pies del muro?
Solución: Paso 1. Dibujar un esquema
Pide hallar Τ𝑑𝑦 𝑑𝑡 cuando 𝑥 = 6 𝑝𝑖𝑒𝑠 (ver figura 2).
Paso 3. Se tiene la relación entre 𝑥 y 𝑦, obtenido por 
Pitágoras
𝑥2 + 𝑦2 = 100 … (1)
Paso 4. Aplicando la regla de la cadena respecto a 𝑡, 
se tiene
2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
…(2)
Paso 5. De (1), cuando 𝑥 = 6, se obtiene 𝑦 = 8, 
además por dato del problema Τ𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 Τ𝑝𝑖𝑒 𝑠. 
Remplazando estos valores en (2) se obtiene
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
6
8
1 = −
3
4
Τ𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠
Conclusión: la parte superior de la escalera se resbala 
hacia abajo de la pared a razón de 
3
4
Τ𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠.
Paso 2. Sean,
𝑥: la distancia desde la parte inferior de la escalera al 
muro en pies. 𝑦: la distancia desde la parte superior de la 
escalera al piso en pies. Donde, 𝑥 y 𝑦 son funciones del 
tiempo 𝑡 (medido en segundos).
Figura 1 Figura 2
Paso 1. Lea con cuidado el problema. Luego dibujar un diagrama.
Paso 2. Introduzca la notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que
están en función del tiempo.
Paso 3. Exprese la información dada y la razón requerida en términos de
derivadas.
Paso 4. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del
problema. Si es necesario, utilicelas propiedades geométricas de la
situación para eliminar una de las variables por sustitución.
Paso 5. Utilice la regla de la cadena para derivar respecto a 𝑡 ambos
miembros de la ecuación.
Paso 6. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva
para la razón de cambio desconocida.
Paso 7. Escribir una conclusión que responda las preguntas del problema.
Procedimiento para resolver problemas de
razones de cambio relacionadas
Enunciado verbal Modelo matemático
La velocidad de un automóvil tras una hora 
de viaje es de 50 millas por hora.
𝑥 = distancia recorrida
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 50 Τ𝑚𝑖 ℎ cuando 𝑡 = 1
Se introduce agua en una piscina a razón de 
10 metros cúbicos por hora.
𝑉 = volumen de agua en lapiscina
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 10 Τ𝑚3 ℎ
Una rueda gira a 25 revoluciones por minuto 
(1 revolución=2𝜋 radianes).
𝜃 = ángulo de giro
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 25 2𝜋 Τ𝑟𝑎𝑑 𝑚𝑖𝑛
Una población de bacterias está aumentando 
a una razón de 2000 por hora.
𝑥 = cantidad de población
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2000 bacterias por hora
El siguiente cuadro muestra varios ejemplos de modelos matemáticos 
que involucran razones de cambio
Ejemplo 1:
Un avión recorre una ruta de vuelo que lo llevará 
directamente sobre una estación de radar, como se 
muestra en la siguiente figura. Si 𝑠 está decreciendo a 
razón de 400 millas por hora cuando 𝑠 = 10 millas. ¿Cuál 
es la velocidad del avión?
Paso 2. Se tiene la ecuación obtenido por Pitágoras
𝑥2 + 62 = 𝑠2 …(1)
Paso 3. Aplicando la regla de la cadena respecto a 𝑡, 
se tiene
2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 0 = 2𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑠
𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑡
…(2)
Paso 4. Remplazando en (1), cuando 𝑠 = 10, se 
obtiene 𝑥 = 8, además la razón dada es Τ𝑑𝑠 𝑑𝑡 =
− 400.
Paso 5. Remplazando estos valores en (2) se obtiene
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
10
8
−400 = −500 Τ𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 ℎ
Conclusión: La velocidad es negativa porque 𝑥
representa una distancia que disminuye. Dado que la 
velocidad es de -500 millas por hora, la rapidez es 
500 Τ𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 ℎ.
Solución:
Paso 1. Sean,
𝑥: la distancia horizontal al radar, como se muestra en la 
figura.
Pide hallar Τ𝑑𝑥 𝑑𝑡 cuando 𝑠 = 10 y 𝑥 =?
Un avión vuela a 6 
millas de altura y 
está a 𝑠 millas de 
la estación de 
radar.
Ejemplo 2:
Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular 
invertido; el radio de la base es de 2 m, y la altura es de 4 
m. Si el agua se bombea hacia el depósito a razón de 
2 Τ𝑚3 𝑚𝑖𝑛, halle la rapidez a la cual el nivel del agua sube 
cuando el agua tiene 3 m de profundidad.
Solución: Paso 1. Dibujar un esquema
Paso 3. Las cantidades 𝑉 y ℎ se relacionan mediante
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ … (1)
Paso 4. Expresar 𝑉 sólo en función de ℎ. Para ello 
recurrir a los triángulos semejantes en la figura
𝑟
ℎ
=
2
4
⟹ 𝑟 =
ℎ
2
…(2)
Remplazando (2) en (1)
𝑉 =
𝜋
12
ℎ3 …(3)
Paso 5. En (3), derivar cada miembro respecto a 𝑡
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜋
4
ℎ2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
⟹
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
4
𝜋ℎ2
𝑑𝑉
𝑑𝑡
… (4)
Paso 6. Teniendo ℎ = 3𝑚 y Τ𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 2 Τ𝑚3 𝑚𝑖𝑛.
Remplazando estos valores en (4) se obtiene
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
4
𝜋(3)2
2 =
8
9𝜋
≈ 0,28
Conclusión: El nivel de agua está subiendo a razón de 
0,28 Τ𝑚 𝑚𝑖𝑛.
Paso 2. Sean,
𝑉: el volumen del agua en el tiempo 𝑡
𝑟: el radio de la superficie circular en el tiempo 𝑡
ℎ: la altura en el tiempo 𝑡
Donde, 𝑡 se mide en minutos.
Pide hallar Τ𝑑ℎ 𝑑𝑡 cuando ℎ = 3𝑚 y Τ𝑑𝑉 𝑑𝑡 = Τ2𝑚3 𝑚𝑖𝑛
Gracias!
Equipo de los Docentes de Cálculo 1