División de polinomios - ffyb- 2020

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Notas sobre Polinomios en una variable 
Segunda parte: División de Polinomios 
y Teorema del Resto 
Material de uso sugerido para la asignatura 
Matemática Aplicada 
De la Facultad de Farmacia y Bioquímica 
Universidad de Buenos Aires 
 
 
 
 
 
 
 
Dr. F. Alberto Formica 
 Profesor Adjunto 
Cátedra de Matemática 
 Facultad de Farmacia y Bioquímica 
 Universidad de Buenos Aires 
 
División de Polinomios y Teorema del Resto– Dr. Alberto Formica 
 
1 
 
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 
¿Cómo se divide un polinomio por otro? 
La división de un polinomio P = P(X) por otro polinomio Q = Q(X) se rige por un teorema, conocido como el 
Algoritmo de la División. Desde éste se garantiza, con ciertas condiciones, la existencia de polinomios C = C(X) 
y R = R(X) llamados, respectivamente, el cociente y el resto de la división de P por Q, y que satisfacen la igualdad: 
P(X) = Q(X) . C(X) + R(X) 
donde el polinomio R(X) debe, o bien tener grado menor que el que tiene Q, o bien ser el polinomio nulo. 
Recordar que el grado de un polinomio es el mayor exponente de la indeterminada (o variable) X con coeficiente 
distinto de cero. Por otro lado, recordar también que, justamente por esta definición de “grado” del polinomio, 
también decimos que el polinomio nulo no tiene grado. La notación que usamos para indicar el grado de un 
polinomio P es gr(P). 
El enunciado del mencionado teorema, lo damos a continuación 
 
Algoritmo de la división: Si P = P(X) y Q = Q(X) son polinomios, tales que Q(X) ≠ 0, entonces existen únicos 
polinomios C = C(X) y R = R(X) tales que 
P(X) = Q(X).C(X) + R(X), 
donde R =R(X) = 0, o bien, gr(R) < gr(Q). 
 
El polinomio C = C(X) que se menciona en el algoritmo es el cociente, y el polinomio R = R(X) es el resto. 
Notar que, en el enunciado, en ningún momento dice que lo que se está haciendo es una división, pero observemos 
que, si planteamos el esquema usual para hacer una división, quedaría: 
 
y esto es lo que plantea, precisamente, el algoritmo de la división, aunque sin mencionar (más que en el nombre) 
que lo que se hace es una división. 
Observar, además que la condición R = 0, o bien, gr(R) < gr(Q) es la que nos da el criterio para decidir “cuando 
dar fin al proceso involucrado en la división”, es decir, es el criterio de “corte” del procedimiento. 
Por ejemplo, cuando dividimos 14 por 4, el cociente es 3, y el resto es 2. En este caso, el de la división numérica 
entera, el resto siempre debe ser menor que el divisor (que es 4 en este caso). Cuando lo que dividimos son 
polinomios, el concepto de menor pierde sentido, y es por eso que la condición es, justamente, que el resto sea 
cero, o bien tenga grado menor que el del divisor. 
P(X) Q(X) 
…… C(X) 
R(X) 
 Donde: 
Q(X).C(X) + R(X) = P(X) 
 
Con R = R(X) tal que R = 0, o bien, 
gr(R) < gr(Q). 
División de Polinomios y Teorema del Resto– Dr. Alberto Formica 
 
2 
 
Veamos, ahora, cómo se procede para hacer una división. En principio, la disposición de los polinomios que 
dividimos, es la que hacemos habitualmente para hacer una división. Sólo por una comodidad y prolijidad para el 
trabajo, se sugiere que, por lo menos el polinomio P, el “dividendo” se lo ubique, en el lugar que corresponde en 
el esquema, ordenando de manera decreciente “en grados” a cada uno de los monomios que lo componen, y 
completando con ceros los términos correspondientes a los monomios “ausentes”. Por ejemplo: si fuese 
P(X) = 5X4 – 3X + 7, considerarlo, para ubicarlo en el esquema de la división, como 
P(X) = 5X4 + 0X3 + 0X2– 3X + 7. Lo mismo puede hacerse con el polinomio divisor. 
Veamos, entonces, cómo realizaríamos una división. 
 
Ejemplo de división de polinomios 
Describiremos el procedimiento, y luego de hacerlo veremos cómo se lo implementa en un ejemplo concreto. 
Para hacer una división, debemos considerar que, en cada paso, tenemos que “multiplicar” al término de mayor 
grado del divisor, de forma de que el producto dé como resultado “el término de mayor grado del dividendo”. Por 
ejemplo: si quisiéramos dividir al polinomio P(X) = 10X4 + 3X3 – 4X2– 5X + 8 por el polinomio 
Q(X) = 2X2– X + 1, lo primero que tenemos que pensar es “por cuánto debo multiplicar a 2X2 para obtener como 
resultado 10X4”. En este caso, la respuesta es: por 5X2 (pues 2X2 . 5X2 = 10X4). Por este factor, por 5X2, se 
multiplica, luego, a cada término del polinomio divisor, y el resultado de multiplicar por cada monomio, se lo 
ubica debajo del monomio del mismo grado correspondiente al dividendo P. Cuando se terminó de hacer esta 
multiplicación y de ubicar cada resultado donde corresponde, se realiza la resta de cada término del polinomio 
P por cada término del polinomio que se obtuvo al hacer este producto. Una vez obtenido el resultado de esta resta, 
se completa este polinomio que se obtuvo con los términos de P que no fueron afectados por las operaciones de 
este primer paso. Luego, se repite la operación nuevamente, hasta que se obtenga, como resultado de esta resta 
que se hace paso a paso, al polinomio nulo o un polinomio de grado menor que el del divisor Q. El polinomio que 
queda así definido, será el resto de la división, y el que se fue formando con cada uno de los factores que generamos 
en cada paso, es el cociente. Veamos cómo se haría esto que enunciamos al realizar la división del polinomio P 
por el polinomio Q que mencionamos como ejemplo 
 
 
De este modo, tenemos que, la división del polinomio P(X) = 10X4 + 3X3 – 5X2– 5X + 8 por el polinomio 
Q(X) = 2X2– X + 1, arroja, como resultados, un cociente que está dado por el polinomio C(X) = 5X2 + 4X – 3 y 
un resto que es R(X) = – 12X + 11. 
Como ejercicio, comprobar que, los polinomios que hemos conseguido, verifican la igualdad: 
Q(X).C(X) + R(X) = P(X) 
10X4 + 3X3 – 5X2– 5X + 8 2X2 – X + 1 
 – 5X2 + 4X – 3 
10X4 – 5X3 + 5X2 
0 + 8X3 – 10X2 – 5X + 8 
 – 
 8X3 – 4X2 + 4X 
 0 – 6X2 – 9X + 8 
 – 
– 6X2 + 3X – 3 
 0 – 12X + 11 
 
¿Por cuánto multiplicar a 
“2X2” para obtener “8X3”? 
¿Por cuánto se multiplica a 
“2X2” para obtener “10X4”? 
5X2 . (2X2 – X + 1) 
Todavía no tiene grado menor que 
el divisor, luego, continuamos con 
otro paso más 
Ya tiene grado menor que el divisor, 
luego, se da fin a la división y este es el 
resto de la división 
Paso 1 
Paso 2 
Paso 3 
División de Polinomios y Teorema del Resto– Dr. Alberto Formica 
 
3 
 
 
Observación: En el ejemplo hemos repetido tres veces el procedimiento que enunciamos inicialmente, lo que da 
origen a los tres pasos que aparecen allí señalados. Cada paso corresponde a uno de los términos que componen el 
polinomio cociente, y cada paso se traduce “en una nueva división” de polinomios. 
En cada uno de estos pasos, nos preguntamos ¿Por cuánto multiplicar al monomio correspondiente al grado del 
divisor para obtener el monomio correspondiente al grado del polinomio dividendo (que en cada paso, es 
diferente)? 
En el primer paso nos preguntamos por cuánto multiplicar a “2X2” para obtener “10X4”, y vimos que esto es: 5X2 
(pues, justamente, 2X2. 5X2 = 10X4). En este caso resulta relativamente sencillo reconocer cuál es el resultado que 
debiéramos usar, pero eso tal vez no pase en todos los ejercicios que se presenten, o en todos los pasos que se 
llevan a cabo en una misma división. Lo que es interesante observar es que la respuesta a la pregunta por cuánto 
multiplicar, es el resultado de dividir el monomio correspondiente al grado del dividendo, por el monomio 
correspondiente al grado del divisor. En este caso, esa división es la siguiente: 
10 X4
2 X2
= 5 X2 
que es, justamente, la respuesta a la pregunta planteada, y el “valor” del monomio del cociente correspondiente al 
primer paso de la división. Esta forma de pensar qué resultado poner en cada paso de la división como término del 
cociente, tal vez resulte de utilidady facilite la cuenta. Claramente, esto es un cálculo auxiliar, que no forma parte 
de lo que uno lee cuando observa la resolución de una división. 
Un caso particular de división, es el que se tiene cuando se divide a un polinomio P por otro de la forma 
Q(X) =X – a. En este caso, hay un procedimiento que permite hacer la división de un modo más sencillo. Este 
procedimiento es la regla de Ruffini, que ilustraremos con un ejemplo. 
 
Regla de Ruffini 
Para dividir a un polinomio P = P(X) por un polinomio Q = Q(X) =X – a, disponemos de un esquema en el que 
ubicamos únicamente los coeficientes del polinomio P, en forma “ordenada y decreciente” en términos del grado 
del polinomio, completando con “ceros” los lugares que corresponden a los monomios que falten al polinomio 
(los monomios con coeficientes “cero” justamente). Los resultados que se van obteniendo con el procedimiento 
son, también, coeficientes, en este caso, del polinomio cociente, también ordenados de manera decreciente en los 
grados, comenzando con un grado menos que el del polinomio P que estamos dividiendo. La disposición práctica 
que se utiliza, y el procedimiento que se hace en cada paso, son los siguientes: 
 
 
 an . an-1 . . . . . . . . a0 
 + 
 a an . a 
 
 an . . . . . . . . . . R 
Coeficientes de P ordenados de manera 
decreciente en grados, y “completo” 
Se divide por (X – a) y se 
usa, como “pivote” al valor 
a, que es la raíz de (X – a) 
Como primer paso, se baja “directamente” el primer coeficiente de P. Luego, se lo multiplica 
por a, y ese resultado, se lo ubica debajo del siguiente término, en este caso, de an-1. Luego, se 
suman esos valores, se los coloca debajo de la línea y se repite el procedimiento hasta llegar 
al último coeficiente R. 
El último valor que se obtiene corresponde al resto de la división. Todos los otros valores son 
los coeficientes del cociente, tomando al primero como el que corresponde al grado del 
cociente, que es uno menos que el grado del polinomio que dividimos 
Resto de la división 
División de Polinomios y Teorema del Resto– Dr. Alberto Formica 
 
4 
 
 
Veamos cómo funciona la regla con un ejemplo concreto 
Ejemplo 
Hallar, mediante el uso de la Regla de Ruffini, el cociente y el resto de dividir al polinomio 
P = P(X) = 4X4 + 2X3 + 4X2 + 7 por el polinomio Q = Q(X) = X + 2 
Nota: observar que la Regla de Ruffini plantea la división por un polinomio de la forma (X – a). En nuestro caso, 
debemos dividir por (X + 2) = (X – (–2)) y, por lo tanto, nuestro pivote será, en este caso, a = –2 que, como 
dijimos, representa “la raíz” del polinomio Q(X) = X + 2. 
 
De acuerdo a lo que hemos dicho, resulta que, el resto de la división es R = 71 y que el cociente es el polinomio 
C(X) = 4X3 – 6X2 + 16X – 32 (los coeficientes de C son los que figuran debajo de la línea horizontal del esquema). 
También como ejercicio, puede realizarse la división de acuerdo al procedimiento que hicimos antes y, a modo de 
práctica, comprobar que, efectivamente se verifica que: 
P(X) = Q(X).C(X) + R(X) 
es decir, verificar la igualdad: 
4X4 + 2X3 + 4X2 + 7 = (X + 2).(4X3 – 6X2 + 16X – 32) + 71 
 
Observación: Notar que, a partir de la división de un polinomio P por un polinomio Q, a partir del Algoritmo de 
la división, se obtiene 
P(X) = Q(X).C(X) + R(X) 
si R es el polinomio nulo, R = 0 resulta que, entonces, es 
P(X) = Q(X).C(X) 
y, en este caso, se dice que P es divisible por Q, o que Q es un factor de P (pues el polinomio P resulta escrito 
como un “producto” de polinomios o funciones polinómicas). 
 
El teorema del resto y sus aplicaciones 
En el estudio de las funciones polinómicas, es muy importante el llamado Teorema del resto. Este teorema permite 
establecer cuál es el resto de algunas divisiones, sin necesidad de hacer la división. Se trata del resto que se obtiene 
de dividir un polinomio cualquier P = P(x) por otro del tipo Q = Q(x) = (x – a). Veamos, entonces, que es lo que 
dice este teorema. 
 
 4 2 4 0 7 
 + + + + 
 
 –2 4.(–2) (–6).(–2) 16.(–2) 64 
 
 4 –6 16 –32 71 
Resto de la división 
2 + 4.(–2) 
División de Polinomios y Teorema del Resto– Dr. Alberto Formica 
 
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Teorema del Resto 
El resto de dividir un polinomio P = P(x) por un polinomio de la forma Q(x) = (x – a) es P(a). 
Ejemplo: 
Si consideramos a la función polinómica P(x) = x5 – 7x3 + 9x + 6, el resto que se obtiene al dividirlo por: 
 i) Q(x) = (x – 1) es P(1) = 15 – 7.13 + 9.1 + 6 = 9 (aquí, es a = 1) 
 ii) Q(x) = (x + 2) = (x – (–2)) es P(–2) = (–2)5 – 7. (–2)3 + 9. (–2) + 6 = 12 (en este caso, es a = –
2) 
 iii) Q(x) = (x – 2) es P(2) = 25 – 7.23 + 9.2 + 6 = 0 (aquí, a = 2) 
Observar que, a partir de lo visto en iii), se tiene que a = 2 es una raíz de P, pues P(2) = 0. Luego, como el resto 
de dividir a P(x) = x5 – 7x3 + 9x + 6 por Q(x) = (x – 2), por la observación hecha antes del Teorema del Resto, 
resulta que Q(x) = (x – 2) es un factor de P (o, también, P es divisible por (x – 2)). Luego, puede escribirse al 
polinomio P = P(x) = x5 – 7x3 + 9x + 6 como: 
P(x) = x5 – 7x3 + 9x + 6 = (x – 2) . C(x) 
donde C es el cociente de la división de P por Q. Dejamos como ejercicio calcular este cociente (usando, por 
ejemplo, la regla de Ruffini), y ver que, C(x) = x4 + 2x3 – 3x2 – 6x – 3 con lo que, entonces, queda: 
P(x) = x5 – 7x3 + 9x + 6 = (x – 2) . (x4 + 2x3 – 3x2 – 6x – 3) 
A partir de este teorema y de la forma de proceder que hemos desarrollado a partir de conocer una de sus raíces 
(en este caso, x = 2), vemos que podemos escribir el polinomio como un producto. Si una vez escrito como 
producto del factor que proviene de la raíz conocida, quisiéramos conseguir otras raíces del polinomio, éstas serán 
raíces del cociente C = C(x) pues, como sabemos, para que el producto sea cero, alguno de los factores debe ser 
cero. En nuestro caso, un factor se anula en la raíz conocida y, por lo tanto, las otras raíces, deberán anular al otro 
factor. Por eso, para conseguir otras raíces del polinomio, debemos conseguir las raíces del cociente. Esto no 
siempre es posible, pero en los casos que sí lo es, eso es lo que debiéramos hacer: conseguir todas las raíces 
posibles y, de este modo, obtener un factor por cada raíz. Una situación óptima, para nuestro trabajo, sería que, a 
partir de conocer raíces, y hacer las correspondientes divisiones, las raíces que no conocemos provengan de un 
polinomio de grado dos, porque a uno de este tipo sabemos cómo calcularle las raíces, en caso que las tenga. 
Otra observación importante que sale de este teorema es que, como de cada raíz se obtiene un factor del polinomio, 
éste no podrá tener más raíces que su grado. Esto, se puede señalar en una propiedad que dice: 
 
Propiedad: un polinomio P tal que gr(P) = n tiene a lo sumo n raíces. 
 
Otras propiedades y definiciones 
A partir de lo que hemos visto, resulta que si (x = a) es una raíz del polinomio P entonces, P puede escribirse como 
P(x) = (x – a) . C(x) 
donde C = C(x) es el cociente de dividir a P por (x – a) . 
Si el polinomio se escribiera como 
P(x) = (x – a)k . C(x) 
y x = a no es raíz de C, entonces, se dice que x = a es una raíz de multiplicidad k de P. 
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Por ejemplo, si P fuese el polinomio 
P(x) = 7(x – 2)3 . (x + 5)4 . (x – 7)2. (x + 3) 
resulta: gr(P) = 10 = 3 + 4 + 2 + 1 
Este polinomio tiene coeficiente principal a = 7 
Sus raíces son: x = 2, de multiplicidad k = 3 (o raíz triple) 
 x = –5, de multiplicidad k = 4 
 x = 7, de multiplicidad k = 2 (o raíz doble) y 
 x = –3, de multiplicidad k = 1 (o raíz simple) 
El polinomio P = P(x) = 7(x – 2)3 . (x + 5)4 . (x – 7)2. (x + 3) está totalmentefactorizado a partir de sus raíces. 
La factorización de un polinomio es la escritura de este como producto de su coeficiente principal y polinomios 
de la forma (x – a)k , donde a es raíz del polinomio de multiplicidad k, o polinomios de grado dos sin raíces 
reales.