Polinomios Parte 1 - Presentación, suma y producto

Vista previa del material en texto

Notas sobre Polinomios en una variable 
(Primera parte) 
Material de uso sugerido para la asignatura 
Matemática Aplicada 
De la Facultad de Farmacia y Bioquímica 
Universidad de Buenos Aires 
 
 
 
 
 
 
 
Dr. F. Alberto Formica 
 Profesor Adjunto 
Cátedra de Matemática 
 Facultad de Farmacia y Bioquímica 
 Universidad de Buenos Aires 
 
Funciones Polinómicas en una variable 
Dr. F. Alberto Formica 
 
2 
 
Funciones Polinómicas en una variable 
 
Una función polinómica es una función de IR en IR definida por una expresión del tipo: 
 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2+ . . . +𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
O también, 
𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2+. . . +𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
donde x es la variable independiente, n es un número natural o cero y los valores que 
notamos con an, an–1, an–2, . . . a1, a0 son números reales fijos que se llaman coeficientes del 
polinomio. 
En el primer formato de escritura, la expresión está escrita en orden decreciente de los 
exponentes de la variable x, y en el segundo, en orden creciente. 
En forma sintética, utilizando el símbolo de sumatoria, puede escribirse, de modo creciente 
en los exponentes, también como: 
𝑃(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=0
 
En nuestro contexto, trataremos indistintamente las expresiones funciones polinómicas y 
polinomios para hacer referencia al mismo concepto matemático. Si bien con esas 
expresiones no se hacen, en la Matemática, referencia a los mismos “elementos”, no haremos 
distinciones entre uno u otro en este texto. 
 En particular se suele decir que an, (cuando es an  0), es el coeficiente principal y que 
a0 es el término independiente. Cuando no queda lugar a dudas, al coeficiente principal 
se lo indica simplemente con a, sin indicar el subíndice. 
 Los términos del polinomio, es decir, las expresiones del tipo ak.xk (para k entre 0 y n) 
monomios de grado k. 
 El polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos se llama polinomio nulo. 
 Si 𝑎𝑛 es distinto de cero, se dice que el polinomio o la función polinómica es de grado n 
(siendo n un número natural o cero). En este caso, se dice que n es el grado del 
polinomio o de la función polinómica P y se lo indica como gr(P) = n. El grado del 
polinomio, es el mayor de los exponentes que tiene la variable x con coeficiente distinto 
de cero. 
 El polinomio nulo no tiene grado. 
 Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y son iguales los coeficientes 
de los términos de igual grado 
 
Ejemplos de funciones polinómicas (polinomios) en x: 
 
Funciones Polinómicas en una variable 
Dr. F. Alberto Formica 
 
3 
 
a) P(x) = 2x5 –8x3 +2x – 7 t iene grado 5, es decir, gr(P) = 5, coeficiente 
principal: a = a5 = 2 y coeficiente independiente a0 = –7 
 
b) Q(x) = –4x5 – 6x7 +5x2 – x t iene grado 7, es dec ir, gr(Q) = 7, coeficiente 
principal: a = a7 = –6 y coeficiente independiente, a0 = 0 
 
c) 𝑇(𝑥) =
 2 
3
𝑥4 − 2 ver ifica: gr(T) = 4, coeficiente principal 𝑎 =
 2 
3
: y coeficiente 
independiente, a0 = –2 
 
d) H(x) = 8 es un polinomio de grado cero (gr(H) = 0, pues H(x) = 8 = 8x0) 
 
Los po lino mio s que t ienen coefic ient e pr inc ipa l a = an =1 se llaman 
polinomios mónicos . Por ejemplo , P(x) = x5 +5x4 –x + 4. 
 
Operaciones entre polinomios (o entre funciones polinómicas) 
Entre los polinomios, se realizan operaciones, que también arrojan como resultados otros 
polinomios. Entre las operaciones que realizaremos, están la suma, producto y resta. También 
se efectúa la división de polinomios, la cual se realiza a partir de lo que se llama “el Algoritmo 
de la División”, que es un procedimiento desde el que obtenemos, al dividir un polinomio 
por otro, otros dos polinomios que son el cociente y el resto de la división, que verifican una 
condición especial que describiremos más adelante. 
La suma y resta de polinomios, se hace como habitualmente hacemos al sumar o restar 
expresiones algebraicas que contienen variables con distintos exponentes: agrupamos los del 
mismo grado, y los sumamos o restamos según necesitemos. Por ejemplo, consideremos los 
polinomios P y Q que damos a continuación: 
P(x) = 2x5 –8x3 +2x – 7 y Q(x) = –4x5 – 6x7 +5x2 – x 
Para hacer cualquier operación entre polinomios es recomendable (aunque no por eso se 
considera que sea indispensable) tenerlos escritos en forma ordenada en los grados 
(generalmente, en forma decreciente). El polinomio P está escrito ya en forma ordenada y 
decreciente en los grados, pero no así el polinomio Q, que reescrito queda: 
Q (x) = –4x5 – 6x7 +5x2 – x = – 6x7 –4x5 +5x2 – x 
Ejemplo 1: Suma y resta 
Si P y Q son los polinomios que acabamos de mencionar, 
P(x) = 2x5 –8x3 +2x – 7 y Q(x) = –4x5 – 6x7 +5x2 – x 
cuando calculamos la suma de P con Q nos queda escrito, (ordenando los términos de Q) e 
indicando término a término la suma, que su resultado es: 
P(x) + Q(x) = – 6x7 + (2 – 4)x5 – 8x3 + 5x2 +(2 – 1)x – 7, es decir, 
P(x) + Q(x) = – 6x7 – 2x5 – 8x3 + 5x2 +x – 7 
Y s i ca lcu lamos la rest a, queda: 
P(x) – Q(x) = (2x5 –8x3 +2x – 7) – (– 6x7 –4x5 +5x2 – x ) = 
Funciones Polinómicas en una variable 
Dr. F. Alberto Formica 
 
4 
 
 = 2x5 –8x3 +2x – 7 +6x7 + 4x5 – 5x2 + x = 6x7 –8x3 + 6x5 – 5x2 + 3x – 7 
Es dec ir : 
P(x) – Q(x) = 6x7 –8x3 + 6x5 – 5x2 + 3x – 7 
 
Ejemplo 2: Producto 
Para calcular un producto de funciones polinómicas, se agrupa cada una de las funciones 
entre paréntesis, y se procede a hacer el producto a partir de la aplicación sucesiva de la 
propiedad distributiva entre la suma y el producto. Mostramos esto a partir de un ejemplo 
simple: 
Si es P(x) = 3x4–2x3 + 2 y Q(x) = 4x2 + 2x – 1, el producto entre ellos es: 
P(x).Q(x) = (3x4–2x3 + 2) . (4x2 + 2x – 1) = 12x⁶ – 2x⁵ – 7x⁴ + 2x³ + 8x² + 4x – 2 
Observación importante: Notar que si P es un polinomio de grado n y Q es uno de grado 
m, entonces su producto será un nuevo polinomio, pero de grado n + m, es decir: si gr(P) = n 
y gr(Q) = m, entonces, gr(P . Q) = n + m. Esto es, porque, por ejemplo, en esas condiciones, 
los polinomios P y Q son de la forma: 
P(x) = an.x
n + … + a0, y Q(x) = bm.x
m + … + b0, entonces, el polinomio P . Q será de la 
forma: 
P(x) . Q(x) = (an.x
n + . . . + a0).(bm.x
m + . . . + b0) = 
= an.x
n . bm.x
m + . . . +a0 . b0 = an.bm.x
n + m + . . . +a0 . b0 
Es decir, el monomio que determina el grado del polinomio producto, es el que resulta de 
multiplicar los monomios que representan a los grados de cada uno de los polinomios que se 
multiplican. A partir de las propiedades del producto de potencias de igual base (en la que se 
señala que el exponente es la suma de los exponentes), resulta que el grado del producto es, 
justamente, la suma de los grados. Por otro lado, el coeficiente principal del producto, es el 
que se obtiene multiplicando los coeficientes principales de cada polinomio que se multiplica 
(en nuestro caso, el coeficiente principal de P es an y el de Q es bm, por lo cual, el coeficiente 
principal del producto P . Q es, justamente, an.bm. 
Esta relación que puede establecerse entre los grados y coeficientes para el producto de 
polinomios, no puede generalizarse a los casos en que las operaciones sean las sumas o restas 
de polinomios. Por ejemplo, si P y Q son los polinomios del Ejemplo 1, resulta que gr(P) = 5 
y gr(Q) = 7, y sin embargo, gr(P + Q) = 7 = gr(Q), pero si acaso consideráramos 
P(x) = 3x4–2x3 + 2 y Q(x) = –3x4+4x2 + 1 
resulta que ambas funciones polinómicas son de grado 4, pero la función suma, 
P(x) + Q(x) = –2x3 + 4x2 + 3 
es una función polinómica de grado tres, menor que el grado de cada una de las funciones 
que se sumaron.