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Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1 DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL CLASE Nº 2: LÍMITE 1. Conceptos Topológicos 1.1. Distancia entre dos puntos en Rn. Sean X0 y X1 dos puntos en Rn, donde X0 = , X1 = , la distancia entre X0 y X1 está determinada por: 1.2. Entorno de un punto en Rn. Definición Sea X0 un punto en Rn y r un número positivo, se llama entorno de centro X0 y radio r al conjunto de todos los puntos X de Rn tales que su distancia al punto X0 sea menor que r. Un entorno se indica escribiendo N(X0, r) o simplemente N(X0), si no es importante la mención de r. En símbolos: Casos Particulares: Con el fin de ilustrar esta definición, se muestra lo que ella significa en R, R2 y R3 a) En R un entorno es un intervalo abierto cuyo centro está en X0. b) En R2 es un disco circular cuyo centro está en X0 y radio r que no incluye a la circunferencia que lo limita. c) En R3 es una esfera de centro X0 y radio r sin incluir la superficie esférica que la limita. Para espacios de n mayor que tres dimensiones no se puede representar geométricamente un entorno. 1.3. Entorno reducido de un punto. Llamamos entorno reducido de un punto X0 y lo denotamos N*( X0, r) o simplemente N*( X0), a cualquier entorno de X0 del que se haya excluido X0. Es decir 1.4. Punto frontera de un conjunto Un punto, que pertenece o no a un conjunto se dice que es frontera del mismo si en todo entorno suyo hay puntos que pertenecen al conjunto y puntos que no pertenecen al conjunto. El conjunto de todos los puntos fronteras de un conjunto se llama la frontera del mismo. 1.5. Punto exterior de un conjunto. Un punto es exterior a un conjunto si hay algún entorno suyo que no contiene ningún punto del conjunto. 1.6. Punto interior de un conjunto. Un punto X0 de un conjunto C de Rn, es punto interior de C si existe un entorno N(X0,r) que esté contenido totalmente en C. 1.7. Conjunto abierto. Un conjunto de puntos C de Rn es abierto cuando para cada punto X de C, existe un N(X, r) cuyos puntos pertenecen todos a C. Aquí se observa que el entorno es un subconjunto de C, por eso se puede escribir .En un conjunto abierto ninguno de sus puntos fronteras pertenece al conjunto. ( )0n0201 x,...,x,x ( )1n1211 x,...,x,x ( ) ( ) ( )20n1n202122011101 xx...xxxxXX -++-+-=- ( ) { }rXX/R∈Xr,XN 0n0 <-= ( ) ( ) { }000* Xr,XNr,XN -= ( ) Cr,XN ⊂ Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 2 1.8. Conjunto conexo. Un conjunto C de puntos de R2 es un conjunto conexo si cualquier par de puntos de C se pueden unir mediante una poligonal cuyos puntos en su totalidad pertenezcan a C. 1.9. Región. Usamos la palabra región para significar la unión de un conjunto abierto conexo con ninguno, algunos o todos sus puntos fronteras. Una región abierta es la que no contiene ninguno de sus puntos fronteras, y una región cerrada es aquella que contiene todos sus puntos fronteras. Los conceptos de conjunto conexo y región se pueden definir para el espacio R3 por extensiones obvias de las definiciones que se han particularizado para el espacio R2. 2. LÍMITE EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. 2.1. Primeros conceptos en un caso particular. Considere la función cuyo dominio es el disco cerrado , el cual se muestra en la Figura 1 y cuya gráfica es el hemisferio que se muestra en la figura 2. Si el punto (x, y) está cerca del origen, entonces x y y, están cercanas a 0, y por consiguiente f(x, y) está cercana a 3. De hecho, si (x, y) está en un pequeño disco abierto x2 + y2 < δ2, entonces Por tanto, podemos hacer que los valores de f(x, y) se acerquen a 3 tanto como queramos, al tomar a (x, y) en un disco lo suficientemente pequeño, con centro en (0, 0). Describimos esta situación mediante el uso de la notación En general, si los valores de la función f(x,y) se aproximan a un número real L cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0) se dice que L es el límite de la función f y se usa la notación: A continuación vamos a generalizar el concepto de límite a funciones de n variables y daremos la definición formal. 2.2. Generalización del concepto de límite. Para una función de n variables, la ecuación , lleva implícita la idea de que cuando X se aproxima suficientemente al punto X0 los valores f(X) de la función f se aproximan a L tanto como se quiera. En esta ecuación f es una función de n variables, X ( ) 22 yx9y,xf --= ( ){ }9yx/y,xD 22 £+= 222 9yx9)y,x(f d->--= 3=y-x-9lim 22 )0,0(→)y,x( ( ) ( ) ( ) Ly,xflim 00 y,xy,x = ® L=)X(flim 0XX → Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 3 y X0 son puntos n-dimensionales. Para precisar matemáticamente este concepto se da la definición ε-δ de límite. En esta definición el número δ, cuyo valor depende de ε y X0, mide la proximidad de X a X0, mientras que ε mide la proximidad de f(X) a L. La doble desigualdad, nos dice, por su lado derecho que, y por su lado izquierdo que, , ambas cosas equivalen a decir que, . La desigualdad, , establece que, . El principio básico contenido en esta definición de límite es por lo tanto, que para todo N(L, ε) debe existir un N(X0, δ) y que para , la función Observación. La definición de límite también se aplica cuando X0 es un punto frontera del dominio de f, para los cual se considera un tipo especial de límite donde el punto X se aproxima a X0 considerando siempre que X esté en D. δ<-< 0XX0 ( )δ,XNX 0Î 0XX¹ ( )δ,XNX 0*Î ( ) ε<-LXf ( ) ( )ε,LNXf Î ( )δ,XNX 0*Î ( ) ( )ε,LNXf Î 2.3. Definición. Sea f una función de n variables definida en un entorno del punto X0, excepto quizás en X0. Entonces, decimos que el límite de f(X), cuando X se aproxima a X0 es L y lo expresamos , si para cualquier número ε > 0, existe un número δ > 0 tal que siempre que se tenga L=)X(flim XX 0→ e<- d<-< L)X(f ,tendrásetambién ,XX0 0 a) Definición. Sea f una función de dos variables definida en un entorno del punto (x0,y0), excepto quizás en (x0,y0). Entonces, decimos que el límite de f(x,y), cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0) es L y lo expresamos, lim (",$)→("!,$!) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 si para cualquier número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que siempre que se tenga 0 < .(𝑥 − 𝑥')( + (𝑦 − 𝑦')( < 𝛿 también se tendrá |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 4 2.4. Límite en funciones de dos variables. Para los límites bidimensionales se emplean indistintamente las notaciones, ó Ambas expresiones se pueden abreviar escribiendo , siendo X0 = (x0,y0) un punto de R2 y X= (x,y) una variable bidimensional. La figura 3 ilustra la definición mediante un diagrama de flechas. Si se da cualquier intervalo pequeño (L- ε, L + ε) alrededor de L entonces se puede encontrar un entorno N(X0, δ), tal que f transforme todos los puntos del entorno N(X0, δ) (excepto posiblemente X0) en el intervalo (L- ε, L + ε). Otra forma de ilustrar la definición a) se da en la figura 4, donde (x0,y0)=(a,b) y la superficie S es la gráfica de f. Si se da ε > 0, podemos encontrar δ > 0, tal que si (x, y) se restringe a que esté en el entorno del punto (a,b) y (x, y) ≠ (a, b), entonces la parte correspondiente de S está entre los planos horizontales, z = L – ε y z = L + ε. b) Conceptos básicos. Para el cálculo de límite esnecesario tener en cuenta los siguientes conceptos básicos: i) Cuando el existe, su valor es único y finito. ( ) L=y,xflim )y,x()y,x( 00→ ( ) L=y,xflim yy xx 0→ 0→ L=)X(flim XX 0→ ( )y,xflim )0y,0x(→)y,x( Observe que: N((x0,y0), δ) = Dd z (x,y) y d (x0,y0) f N((x0,y0),δ) D L-e L+e 0 L x Figura 3 Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 5 ii) Lo anterior significa que la existencia del límite exige, que cualquiera sea la trayectoria de (x,y) al tender a (x0,y0) siempre se tendrá el mismo valor límite L para f(x,y). iii) Para que exista, se necesita que sea menor que ε para todos los puntos (x,y) distintos de (x0,y0) que pertenezcan al dominio de f(x,y) y al . iv) En la definición de límite, no es necesario que la función esté definida en (x0,y0), todavía más, si f(x,y) estuviera definida en (x0,y0) su valor f(x0,y0) no tiene por qué coincidir con el valor L. v) La definición (ε-δ) de límite sólo tiene en cuenta la distancia entre (x, y) y (x0,y0), no tiene en cuenta la dirección y la forma de aproximación de (x, y) al tender a (x0,y0). c) Diferencia entre el límite de funciones de una variable y el de más de una variable. La definición de límite para funciones de n variables es similar a la dada para funciones de una sola variable. Sin embargo hay algunos puntos que aclarar. Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a x0, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda y por la derecha y por la condición de existencia y unicidad del límite sabemos que: sí y solo sí y se verifica Para funciones de dos y más de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que X se aproxime a X0 desde un número infinito de direcciones y de cualquier forma. En la figura 5 se ilustra esta situación para una función de dos variables cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0). Observamos que (x,y) se puede aproximar a (x0,y0) desde un número infinito de direcciones y de cualquier forma. ¿Cuándo se puede asegurar que L es el límite de f(x,y) cuando ? ( )y,xflim )0y,0x(→)y,x( L)X(f - ( )d,XN 0* L)x(flim 0x→x = ï ï ï ï î ïï ï ï í ì == $ $ +- + - L)x(flim)x(flim )x(flim )x(flim 0 x→x´0 x→x 0 x→x ´0 x→x ( ) ( )00 y,xy,x ® x0 y0 (x0,y0) Figura 5. y x x0 x Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 6 Una condición necesaria (no suficiente) para que exista y sea L, es que si los límites existen ( donde y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0)), deben valer L. ( )y,xflim )0y,0x(→)y,x( ( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2 0xx 1 0xx ®® Solo podemos hacerlo categóricamente cuando sea posible establecer, en forma totalmente independiente de cualquier camino. Por lo tanto la única forma de independizarnos de los infinitos caminos, es utilizar la definición ε-δ de límite. Pero esto suele ser extremadamente laborioso y difícil. 3. Métodos Alternativos para el estudio de los límites en funciones de varias variables 3.1. Límites usando caminos. Un procedimiento para probar que una función no tiene límite, es calcular los límites de la misma mediante la aproximación de los puntos (x,y) a (x0,y0) por diferentes caminos o trayectorias que pueden ser rectas o curvas que pasen por el punto en cuestión. Si estos límites son distintos, la función carece de límite. Por lo tanto: En resumen, si y = g1(x) e y = g2(x) son dos curvas que pasan por X0 = (x0,y0) y si se puede demostrar que: , entonces, , no existe. Ejemplo. Analizar si existe el siguiente límite Considerando como trayectoria cualquier recta que pasan por el origen de coordenadas de ecuación y = mx, con m ≠ 0 y x ≠ 0 Calculando el límite radial se tiene, Por consiguiente, f tiene el mismo valor límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Esto no demuestra que el límite existe y vale 0. Considerando otra trayectoria x = ay2, con a ≠0 e y ≠ 0, se tiene, ( )[ ] ( )[ ]xg,xflimxg,xflim 2 0xx 1 0xx ®® ¹ ( )y,xflim )0y,0x(→)y,x( ( ) ( ) 42 2 0,0, lim yx yx yx +® ( ) ( ) 24 2 442 22 1 ,, xm xm xmx xmxmxxfyxf + = + == ( ) ( ) 0 1 limlim 24042 2 0,0, = + = + ®® xm xm yx yx xyx ( ) ( ) 1 ,, 2442 4 2 + = + == a a yya ayyayfyxf ( ) ( ) 11 limlim 22042 2 0,0, + = + = + ®® a a a a yx yx yyx Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 7 En vista de que distintas trayectorias dan distintos valores límites, el límite dado no existe Ejercicios: Demostrar que no existen los límites de las siguientes funciones, usando caminos o trayectorias convenientes. i) f: z = xy/ (x2 + y2) cuando (x, y) tiende a (0,0) ii) f: f(x, y) = x2y2/[x2y2 + (x2- y2)2] cuando (x, y) tiende a (0,0) iii) f: z = x2y / (x4+ y2) cuando (x, y) tiende a (0,0) iv) f: f(x,y) = (x+y)2 / (y2+ x2) cuando (x, y) tiende a (0, 0) v) f: f(x,y) = (2x3- x2 + y)/ (x3 – x2 + y) cuando (x, y) tiende a (0,0) vi) f: f(x,y) = [(x2 –y2) / (x2+y2)]2 cuando (x, y) tiende a (0,0) 3.2. Limites sucesivos o reiterados. Otra alternativa para probar la no existencia del límite L de una función f(x,y) cuando es mediante el cálculo de los llamados límites sucesivos o reiterados. Sea f : z= f (x,y), se define el límite sucesivo de la función f mediante un proceso, por el cual se hace tender una variable hacia su límite, manteniendo constante la otra, y una vez calculado este límite, se hace tender la otra variable hacia su límite. Evidentemente, para el caso de funciones de dos variables que nos ocupa, caben las dos posibilidades siguientes: Ambas expresiones corresponden a dos definiciones “distintas”. En consecuencia no debe causar ningún asombro que, en el caso de existir ambos límites, sean distintos. • Se dice que el número L1 es sí y sólo sí y donde indica una función de y. • Se dice que el número L2 es sí y sólo sí y donde indica una función de x. Relación entre límite simultáneo L y los límites sucesivos L1 y L2. Tenemos, en este momento a nuestra disposición tres definiciones: que, en caso de tener sentido, nos definen tres números L , L1 y L2. Según cada uno de ellos existan o no, son posibles ocho combinaciones. De la simple observación de los posibles resultados de L1, L2 y L, podemos concluir que; si L1 ≠ L2 , entonces L no existe. Ejemplo. ( ) ( )00 y,xy,x ® ( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim 0xx0yy0xx0yy ®®®® =÷÷ ø ö çç è æ ( ) ( )y,xflimlimy,xflimlim 0yy0xx0yy0xx ®®®® =÷÷ ø ö çç è æ ( )÷÷ ø ö çç è æ ®® y,xflimlim 0xx0yy ( ) ( )yy,xflim 0xx j= ® ( ) 1 0yy Lylim =j ® ( )yj ( )÷÷ ø ö çç è æ ®® y,xflimlim 0yy0xx ( ) ( )xy,xflim 0yy j= ® ( ) 2xx Lxlim0 =j® ( )xj ( )y,xflim )0y,0x(→)y,x( ( )÷÷ ø ö çç è æ ®® y,xflimlim 0xx0yy ( )÷ ø öç è æ ®® y,xflimlim 00 yyxx Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 8 Verificar que no existe usando límites sucesivos. lim "→' 4lim $→' "")$" ""*$" 5 = lim "→' "" "" = 1 Luego como los límites sucesivos son diferentes, entonces el no existe. Ejercicios: Usando límites sucesivos, mostrar que el limite cuando (x, y) tiende a (0, 0), de las siguientes funciones, no existe. i) f : f(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2) ii) f: z = (-x2 + y2)/[x2y2 +(x – y)2] iii) f: z = (10x3 -2 y3)/[(x-1)3 +y3 +1] iv) f: z = 5y4/(x4+ 9 y4) 4. Propiedades de los limites Al igual que para lasfunciones de una sola variable, el cálculo de los límites puede simplificarse en gran medida mediante el empleo de las propiedades de los límites y por el uso de la continuidad. Tema que abordaremos inmediatamente. Las propiedades de los límites para funciones de una sola variable pueden ampliarse a las funciones de dos variables y de n variables (con n>2). Este teorema puede extenderse a un número finito de funciones definidas en un conjunto abierto D de Rn. 4.2. Propiedad de sustitución directa. Recuerde que el cálculo de los límites de funciones continuas de una sola variable es sencillo. ( ) ( ) 22 22 0,0, lim yx yx yx + - ® 1limlimlim 2 2 022 22 00 -= - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - ®®® y y yx yx yxy ( ) ( ) 22 22 0,0, lim yx yx yx + - ® 4.1. Teorema: Sean f(X) y g(X) funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn y sea X0 un punto de D, ó un punto frontera de D. Suponga que, , donde L y M son números reales, entonces: a) b) d) donde K es un número real e) f) donde r y s son números enteros y ( ) ( ) MXglimyLXflim 0X→X0X→X == ( ) ( )[ ] MLXgXflim 0X→X ±=± ( ) ( )[ ] M.LXg.Xflim 0X→X = ( )[ ] L.KXf.Klim 0X→X = ( ) ( ) 0M;M L Xg Xflim 0X→X ¹=ú û ù ê ë é ( )[ ] s r s r 0X→X LXflim = 0s ¹ Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 9 Puede llevarse a .cabo mediante la sustitución directa debido a que 1a definición de una función continua es . En breve se verá que también las funciones continuas de dos y más variables se definen mediante la propiedad de la sustitución directa. Se puede demostrar, aplicando la definición ε-δ de límite, que: a) ; b) c) Estos límites prueban que los límites de las funciones f(x,y) = x, g(x,y) = y y h(x,y) = c, pueden calcularse evaluando el valor que toman las correspondientes funciones en el punto (x0,y0). Puesto que los polinomios pueden formarse con multiplicaciones y sumas ó restas de las funciones sencillas, f, g y h, se sigue que los límites de las funciones polinomiales se pueden evaluar por sustitución directa, al igual que las funciones racionales en todo punto de su dominio. Esta conclusión es de enorme interés practico a la hora de evaluar límites de estos tipos de funciones Esta propiedad puede extenderse a funciones polinomiales de tres y más variables, al igual que a las funciones racionales en todo punto de su dominio. En general se extiende a todas las funciones continuas en su dominio, como analizaremos en la sección siguiente 4.3. Esquema Operativo. Dada f: z = f(x,y) para estudiar sus límites cuando se debe proceder así: • Intente aplicar las propiedades de los límites. • Intente el uso de la propiedad de sustitución directa. En caso de no poder hacer uso de estas dos posibilidades, siga el siguiente procedimiento: • Calcúlese si es posible • Calcúlese si es posible De la comparación de estos dos valores surge que: i) Si , f no tiene límite para . ii) L1 = L2, se tienen los siguientes casos: • Sólo se puede afirmar que, en caso de existir L, debe coincidir con ese valor. • Si L1 = L2 y queremos saber si ese valor común es L sólo hay un método y es aplicando la definición ε-δ de límite. • Si existen y son iguales L1 y L2 y una serie de caminos que llevan a (x0,y0) dan para L ese valor común sólo puede afirmarse que, en caso de existir L, debe tener ese valor. Si un solo camino da un valor distinto, entonces L no existe en (x0,y0). iii) Si L1 no existe ó L2 no existe ó L1 y L2 no existen, probar con caminos para acercarse a (x0,y0) )a(f)x(flim ax = ® 0 )0y,0x(→)y,x( xxlim = 0 )0y,0x(→)y,x( yylim = cclim )0y,0x(→)y,x( = ( ) ( )00 y,xy,x ® ( ) 1 0xx0yy Ly,xflimlim =÷÷ ø ö çç è æ ®® ( ) 2Ly,xflimlim 0yy0xx =÷÷ ø ö çç è æ ®® 21 LL ¹ ( ) ( )00 y,xy,x ® Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 10 y calcular L según ellos. • Si para todos ellos L da el mismo valor sólo podrá afirmarse que, en caso de existir L, deberá tener dicho valor. • Para probar que el límite doble es L se debe aplicar la definición ε-δ de límite. • Si para uno de los caminos da un L distinto, es decir L depende del camino elegido, entonces el límite de f para no existe. Observación. Todos los procedimientos desarrollados para probar la no existencia del límite doble en funciones de dos variables pueden extenderse de manera natural a funciones de tres y más de tres variables independientes. Ejercicios: a) Calcular por sustitución directa los siguientes límites. i) z = x2/3 + y2/4 – 1/3, para (x,y)→(1,1) ii) z = xy – x3 + y3, para (x, y)→(-1, -1) iii) f(x, y) = (x3 – y2)/(x + y2), para (x,y)→(0, -1) iv) f(x, y, z) = xy + xz – yz, para (x, y, z)→( 1, -1/2, 1/2) v) u = xyz/(x + y + z), para (x, y, z)→( 1/2, 2, 1) b) Calcular los siguientes límites. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ( ) ( )00 y,xy,x ® 893 152lim 22 2 )0,0(),( ++ -+ ® yx yx yx 3 22 )3,1(),( 9lim yx yx -- --® 1 )1,1(),( lim -+ -® yx yx e yx yxsen yx cos lim ),0(),( - + p® 2 lim )0,0(),( xyxy yx ee - ® - yx yxarcsen yx +--® )(lim 22 )1,1(),( ( ) ( ) ( ) ( )ïî ï í ì = ¹= ® 0,3,1 0,3,),(),(lim 4 )0,3(),( yxsi yxsixyyxhsiyxh yx yx x yx +® )1,1(),( lim xy yxarcsen yx +® 1 )/(lim )1,0(),( Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 11 10) 11) c) Estudiar los límites sucesivos, límites usando caminos y el límite doble en (0,0) de las siguientes funciones. i) ; ii) iii) iv) d) Encontrar el límite, si este existe, o mostrar que el límite no existe. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Respuestas. b)1) – 1/8 ; 2) -1; 3) e-1 ; 4) π ; 5) 0; 6) –π/4; 7) 0; 8) 1/2; 9) 0; 10) 81/2; 11) 2 c) i) 0 ; ii) 0; iii) no existe el límite; iv) no existe el límite. d) 1) -927; 2) π; 3) no existe; 4) no existe; 5) 0; 6) no existe; 7) 2; 8) -3/5; 9) no existe; 10) 2 Ejemplos zyx zyx ++ ® )5,2,1(),,( lim yz zyx xe )1,0,2(),,( lim ® ( ) ( )yxsenyxyxf += 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ïî ï í ì = ¹ + + = 0,0,0 ,, , 22 22 yxsi yxyxsi yx xsenyysenx yxf ( ) 22 , yx yxyxf + = ( ) 24 2 , yx yxyxf + = ( )yyxyx yx 32lim 222 )3,2(),( +- ® ÷ ø ö ç è æ + pp® 4 lim ),(),( yxsenx yx 44 22 )0,0(),( 8lim yx yx yx +® 22)0,0(),( 2 2lim yx yx yx +® 22)0,0(),( lim yx yx yx +® 24 2 )0,0(),( 2lim yx yx yx +® 11 lim 22 22 )0,0(),( -++ + ® yx yx yx 1 lim 22 )3,2,1(),,( - - ® xyz zyzx zyx 222 222 )0,0,0(),,( lim zyx zyx zyx ++ -- ® ( )[ ]yxex z zyx -+ ® 2lnlim )0,3,2(),,( Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 12 lim ($,&) →(*,+) sin ' 1 3 𝑥 *𝑦, = − √3 2 Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 13 y = x Clase Nº:2: Limite Mg. M. Adriana Correa Zeballos 14
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