Clase N 3 Continuidad

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Clase Nº:3: Continuidad Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 3: CONTINUIDAD 
 
1. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 
El término continuo, tiene en matemática, el mismo sentido que en el lenguaje cotidiano. En 
ciencias, se lo utiliza para describir un proceso que sigue sin cambios abruptos. Esta es una 
característica esencial de muchos procesos naturales. 
El significado matemático intuitivo de la continuidad es que, si el punto X cambia en una 
pequeña cantidad, entonces el valor de f(X) cambia también en una pequeña cantidad. Esto quiere 
decir que, en el caso de tener una superficie, que es la gráfica de una función continua de dos 
variables, no tiene ni huecos ni rupturas. 
 
1.1. Continuidad en un punto. 
Como en el caso de funciones de una variable, la continuidad de una función f de varias 
variables en un punto de su dominio se define directamente usando el límite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta definición implica que se cumplen las siguientes tres condiciones: 
i) Existe f(X0) 
ii) Existe 
iii) 
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en el punto X0, entonces se dice que f 
es discontinua en X0. 
 Teniendo en cuenta el concepto de límite, esta definición 1 es equivalente a la siguiente 
definición 2. Nos vemos en la obligación de advertir que no es necesario que los estudiantes la tengan 
en cuenta en esta oportunidad, quedando solo a título informativo. 
 
 
 
 
 
)X(flim
0XX®
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
b) Definición 2. 
La función f de n variables, es continua en el punto X0 si dado ε > 0, arbitrario, se puede hallar 
un número δ = δ(ε) tal que para los puntos X tales que 
 se cumpla d<- 0XX ( ) ( ) e<- 0XfXf
a) Definición 1. 
Sea f una función de n variables definida en un conjunto abierto D de Rn. Decimos que f es continua, 
en el punto X0 de D, si y sólo sí 
 
donde son dos puntos n dimensionales. 
 
 
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
( ) ( )0n02010n21 x,...,x,xXyx,...,x,xX ==
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 2 
c) Tipos de Discontinuidades: 
Las discontinuidades se clasifican en evitables y no evitables (o inevitables) 
• Si existe la discontinuidad en X0 es evitable. 
• Si no existe la discontinuidad en X0 es inevitable. 
Cuando la discontinuidad es de tipo evitable se puede redefinir la función de tal forma que 
entonces f se vuelve continua en X0. 
Observación. 
Igual que con la definición de límite, la definición de continuidad se aplica a puntos interiores 
y a puntos fronteras del dominio D de f. El único requisito es que el punto X permanezca en el 
dominio todo el tiempo. 
 
d) Continuidad de una función de dos variables en un punto. 
 
 
 
 
 
 
 
Intuitivamente decimos que una función de dos variables es continua en su dominio (esto es, 
continua en cada punto de su dominio) si su gráfica es una superficie ininterrumpida. 
Ejemplo 1. 
Estudie la continuidad en (0,0) de la función: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝑦!
𝑦! + 𝑥! 		𝑠𝑖	
(𝑥, 𝑦) 	≠ (0,0)
1														𝑠𝑖		(𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
Dom f = R2 
Observamos que existe f(0,0) = 1 pero lim
(#,%)→((,()
𝑓(𝑥, 𝑦) no existe. Calculemos el límite de la función 
según la trayectoria y = mx, con x ≠ 0, se tiene 
lim
(#,%)→)((,()
𝑦!
𝑦! + 𝑥! =	 lim#→(
𝑚!𝑥!
𝑥!(𝑚! + 1) = 	
𝑚!
𝑚! + 1 
 y el límite depende de los valores de m. En consecuencia la función presenta una discontinuidad no 
evitable en (0,0). 
Ejemplo 2. 
Estudie la continuidad en (0,0) de la función: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝑥 − 𝑦
𝑥) − 𝑦) 			𝑠𝑖	𝑥
) ≠ 𝑦)
0																	𝑠𝑖		𝑥) = 𝑦)
 
 
)X(flim
0XX®
)X(flim
0XX®
)X(flim)X(f
0XX
0
®
=
Definición. 
Sea f una función de dos variables definida en un conjunto abierto D de R2. Decimos que f es 
continua en un punto (x0,y0) de D si y sólo si 
 
 
)y,x(f)y,x(flim 00
)0y,0x()y,x(
=
®
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 3 
Dom f = R2 
Analizamos que sucede con las tres condiciones para que f sea continua en (0,0): 
1) Existe f(0,0)= 0 
2) Analizamos el límite, lim
(#,%)→((,()
#*%
#!*%!
	, 
Observamos que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación del tipo 0/0, entonces 
transformamos la expresión dada, 
lim
(#,%)→((,()
𝑥 − 𝑦
𝑥) − 𝑦)	 = 	 lim(#,%)→((,()
𝑥 − 𝑦
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 
																												= lim
(#,%)→((,()
1
𝑥 + 𝑦 = 	∞ 
Por lo tanto la función no tiene límite y en consecuencia f es discontinua no evitable en (0,0). 
 
Ejercicios: Muestre para cada función que se indica, en el punto dado de su dominio, si es continua 
o no. 
i) z = x2 – y2 + 3xy en (0,0) 
ii) f(x, y) = x2/y2, en (1,1) 
iii) z = cos (x + y) en (π/2, π/2) 
iv) z = ln(x.y) en (e, e) 
 
e) Continuidad de una función de varias variables en un conjunto abierto D de Rn. 
Sea f una función de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Se dice que f es 
continua en D (o simplemente que f es continua) si lo es para todos y cada uno de los puntos X de D. 
 
Ejemplo 3. 
Analice la región del plano en que la función f(x,y) = 𝑙𝑛(𝑥! + 𝑦!) es continua. 
Dom f = {(𝑥, 𝑦) ∕ 𝑥! + 𝑦! > 0} es decir Dom f = 	𝑅) − (0,0). Luego la función es continua en todo 
punto de su dominio. 
 
Ejemplo 4. 
Determine el conjunto de puntos (x,y,z) tal que lafunción 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 	;9 − 𝑥) − 𝑦) − 𝑧) es 
contínua 
Dom f = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 9 − 𝑥)⁄ − 𝑦) − 𝑧) ≥ 0}. Luego la función es continua en todo punto de su dominio. 
 
f) Propiedades de funciones continuas 
Una de las consecuencias del teorema que enuncia las propiedades de los límites, es que las 
combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas en todo punto en que todas las 
funciones implicadas estén definidas. 
Por lo tanto cada una de las cinco propiedades que se enuncian en el siguiente teorema son 
consecuencias de la correspondiente propiedad de límite. 
 
 
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Demostración de propiedad i). 
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son 
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) + g(X). 
Hipótesis. 
f y g son continuas en X0. 
Tesis. 
f(X) + g(X) es continua en X0. 
Demostración 
Como f es continua en X0, entonces, 
 
Como g es continua en X0, entonces, 
, 
por propiedad de los límites, 
, 
 = [f(X0) + g(X0)] 
por ser f y g continuas en X0. 
Con esto se demuestra que f(X) + g(X) es continua en X0. 
 
Demostración de propiedad ii). 
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto D abierto de Rn. Si f(X) y g(X) son 
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) - g(X). 
Hipótesis. 
f y g son continuas en X0. 
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XglimXflimXgXflim
000 XXXXXX ®®®
+=+
( ) ( )[ ]XgXflim
0XX
+
®
Teorema. 
Sean f(X) y g (X) funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) 
son continuas en un punto X0 de D, también son continuas en X0 las funciones: 
i) f(X) + g(X) 
 
ii) f(X) – g(X) 
 
iii) f(X) . g(X) 
 
iv) k g(X), con k constante 
 
v) 
( )
( ) ( ) 0XgsiXg
Xf
0 ¹
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Tesis. 
[f(X) - g(X)] es continua en X0. 
Demostración 
Como f es continua en X0, entonces,Como g es continua en X0, entonces, 
, 
por propiedad de los límites, 
, 
 = [f(X0) - g(X0)] 
por ser f y g continuas en X0. 
Con esto se demuestra que f(X) – g(X) es continua en X0. 
 
Demostración de propiedad iii). 
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son continuas 
en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función [f(X0) .g(X0)] 
Hipótesis. 
f y g son continuas en X0. 
Tesis. 
[f(X) . g(X)] es continua en X0. 
Demostración 
Como f es continua en X0, entonces, 
 
Como g es continua en X0, entonces 
, 
por propiedad de los límites, 
, 
 = [f(X0) . g(X0)] 
por ser f y g continuas en X0. 
Con esto se demuestra que [f(X) . g(X)] es continua en X0. 
 
Demostración de propiedad iv). 
Sea g una función de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si g(X) es continuas en un 
punto X0 de D, también es continuas en X0 la función [k.g(X)]. 
Hipótesis. 
g es continua en X0 y k es una constante. 
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
limlimlim
®®®
-=-
( ) ( )[ ]XgXf
XX
-
® 0
lim
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
lim..lim.lim
®®®
=
( ) ( )[ ]XgXf
XX
..lim
0®
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Tesis. 
[k.g(X)] es continua en X0. 
Demostración 
Como g es continua en X0, entonces 
, 
por propiedad de los límites, 
, 
 = [k.g(X0)] 
por ser g continuas en X0. 
Con esto se demuestra que [k.g(X)] es continua en X0. 
 
Demostración de propiedad v). 
Sean f y g funciones de n variables definidas en un conjunto abierto D de Rn. Si f(X) y g(X) son 
continuas en un punto X0 de D, también es continuas en X0 la función f(X) /g(X), siempre que g(X0) ≠ 
0 . 
Hipótesis. 
f y g son continuas en X0. 
 
Tesis. 
[f(X) / g(X)] es continua en X0, siempre que g(X0) ≠ 0. 
 
Demostración 
Como f es continua en X0, entonces, 
 
Como g es continua en X0, entonces, 
, 
por propiedad de los límites, 
, 
 = [f(X0)/g(X0)] 
por ser f y g continuas en X0. 
Con esto se demuestra que [f(X)/g(X)] es continua en X0. 
. 
 
 
 
 
 
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( )[ ] ( )XgkXgk
XXXX 00
lim..lim
®®
=
( )[ ]Xgk
XX
.lim
0®
)X(f)X(flim 0
XX 0
=
®
)X(g)X(glim 0
0XX
=
®
( ) ( )[ ] ( ) ( )XgXfXgXf
XXXXXX 000
lim/lim/lim
®®®
=
( ) ( )[ ]XgXf
XX
/lim
0®
Teoremas adicionales. 
a) Una función polinomial de n variables es continua en cada punto de Rn. 
b) Una función racional de n variables es continua en cada punto de su dominio. 
 
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Para las demostraciones de los teoremas a) y b) se considera una función polinomial de dos 
variables. Para una función de n variables se demuestra de la misma manera. 
Demostración de a) 
De acuerdo al apartado correspondiente a la propiedad de sustitución directa en la teoría de 
límites, toda función polinomial es la suma de productos de funciones definidas por f(x,y) = x, g(x,y) 
= y y h(x,y) = c, donde c es un número real. Como f, g y h son continuas en R2, el apartado a) se 
demuestra mediante sucesivas aplicaciones de las propiedades i), ii), iii) y iv), de funciones continuas. 
Demostración de b) 
Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales f y g que son continuas en 
cada punto de R2 según a). Si (x0,y0) es cualquier punto del dominio de f/g, entonces ; 
de modo que por la propiedad v) de funciones continuas, f/g es continua en ese punto. 
 
Otros tipos de funciones continuas. 
Otras funciones continuas en todo punto de su dominio son: 
i) las algebraicas en general. 
ii) las irracionales. 
iii) las trigonométricas. 
i) las logarítmicas y exponenciales. 
 
 
 
 
 
Ejemplos. 
a) Las funciones 
, 
 son continuas en todo punto (x,y). 
Igual que con las funciones de una sola variable, la regla general es que las composiciones de 
funciones continuas son continuas. El único requisito es que cada una de las funciones sea continua 
donde esté aplicada. 
b) Estudie la continuidad de la función en el punto que (8,0). 
ℎ(𝑥, 𝑦) = @√𝑥
" − 10#					𝑠𝑖		(𝑥, 𝑦) ≠ (8,0)
2																				𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (8,0)
 
Analizando las tres condiciones de continuidad en el punto (8,0) se tiene, 
1) Existe h(8,0) = 2 
2) Analicemos el lim
(#,%)→(+,()
D√𝑥" − 10%E = 1, vemos que existe y vale 1. La función es discontinua 
evitable en (8,0). Redefinimos la función para que sea continua en (8,0), 
( ) 0y,xg 00 ¹
( ) ( ) ( ) ( )222yx yx1lny,xg,1x
yxcosy,xh,ey,xf ++=
+
== -
Continuidad de una función compuesta. 
Suponga que f es una función de una variable y que g es una función de n variables tal que g es 
continua en X0 y f es continua en g(X0). Entonces la función compuesta f [g(X)] es continua en X0. 
 
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𝑔(𝑥, 𝑦) = @√𝑥
" − 10#					𝑠𝑖		(𝑥, 𝑦) ≠ (8,0)
1																				𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (8,0)
 
Ejercicios. 
i) En los apartados a) al h), estudie la continuidad de las funciones indicadas. En los apartados i) al l), 
analice las continuidad de las funciones en el origen de coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h) 
 
 
 
 
 
ii) Encuentre el límite y analice la continuidad de la función. 
1) 
 
 2) 
 
 
 
 3)
 
 4)
 
 
 
iii) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. 
1) en (1,1) 2) en (3,2); 
3) en (4,-1)
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹-=
3,1,0
3,1,25,)
2
yx
yxyxyxfa ( )
ïî
ï
í
ì
=Ú=
¹÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
000
0.1.,)
yx
yx
xy
senxyxfb
( )
ïî
ï
í
ì
>+
£++=
440
444,) 22
2222
yx
yxyxyxfc ( )
222
,,)
zyx
xzzyxfd
++
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
++=
0,0,0,,0
0,0,0,,3
,,) 222
zyx
zyx
zyx
xyz
zyxfe ( )
222
1,,)
zyx
zyxff
++
=
( )
yx ee
zsenzyxfg
+
=,,) ( ) ïî
ï
í
ì
=
¹
=
01
0
,
xysi
xysi
xy
xysen
yxf
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹
+=
0,0,0
0,0,2
,) 22
2
yxsi
yxsi
yx
y
yxfi ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ïî
ï
í
ì
=++
¹+-
=
+
0,0,1ln
0,0,12
,)
22 yxsiyx
yxsixy
yxfj
yx
( ) ( ) ( )
( ) ( )ïî
ï
í
ì
=
¹÷
ø
ö
ç
è
æ+
=
0,0,1
0,0,11
,)
yxsi
yxsi
x
seny
yxfk ( )
yxyx
yyxfl
-++
=,)
( )2
)1,2(),(
3lim yx
yx
+
® xy
y
xarcsen
yx +
÷
ø
öç
è
æ
® 1
lim
)1,0(),(
xy
yx
e
)2,1(),(
lim
-®
zyx
zyx
++
® )5,2,1(),,(
lim
( )
yx
yxyxf
-
-
=
33
, ( )
2
3,
-
-
=
y
xyxf
( )
yx
xyyxf
16
4,
2 +
+
=
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 9 
Respuestas. 
i) f) continua excepto en (0,0,0); g) continua; h) continua; i) discontinua no evitable; j) discontinua 
evitable; k) continua; l) discontinua evitable. 
ii) 1) 5, continua; 2) 0, continua para xy ≠ -1, y ≠ 0 ; 3) 1/e2 , continua; 4) , continua para 
 
iii) 1)discontinua evitable; 2) discontinua no evitable; 3) discontinua no evitable 
1£y
x 22
0³++ zyx