Clase N 5 Derivación Parcial de Primer Orden

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Clase Nº:5: Derivación Parcial de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 5: DERIVACIÓN PARCIAL DE PRIMER ORDEN 
 
 
1. DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN 
Para el tratamiento de esta operación hemos adoptado un criterio inductivo, es decir, 
considerar los casos particulares primero para, finalmente, realizar la generalización. Por esta razón 
desplegamos inicialmente todos los conceptos para funciones de dos variables independientes, luego 
para las de tres variables y finalmente para las de n variables. 
1.1. En funciones de dos variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un punto (x0,y0) del dominio de f 
 
 
El proceso de calcular una derivada parcial se llama diferenciación parcial. 
Existen muchas notaciones alternativas para las derivadas parciales. 
 
Ejercicios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimy,xf 0000
0x
00x D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xflimy,xf 0000
0y
00y D
-D+
=
®D
a) Definiciones. 
Sea f una función de dos variables x e y. “La derivada parcial de f con respecto de x” es aquella 
función representada por fx, tal que su valor en cualquier punto (x,y) en el dominio de f, está 
dado por: 
 
si este límite existe. 
Análogamente “la derivada parcial de f con respecto a y” es aquella función denotada por fy, 
tal que su valor en cualquier punto (x,y) en el dominio de f, está dado por: 
 
si este límite existe. 
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimy,xf
0x
x D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xflimy,xf
0y
y D
-D+
=
®D
b) Notaciones. 
Si f: z = f(x, y), para la función derivada parcial de f con respecto a x se usa: 
 
Para el valor de la función derivada parcial de f con respecto a x en un punto (x, y): 
 
Para la función derivada parcial de f con respecto a y se usa: 
 
Para el valor de la función derivada parcial de f con respecto a y en un punto (x, y): 
 
 
x
foDoDof x1x ¶
¶
( ) ( ) ( ) ( )y,x
x
foy,xDoy,xDoy,xf x1x ¶
¶
y
foDoDof y2y ¶
¶
( ) ( ) ( ) ( )y,x
y
foy,xDoy,xDoy,xf y2y ¶
¶
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c) Incremento parcial de la función. 
En la definición de la derivada parcial , el numerador 
se lo llama incremento parcial de la función con respecto a x y se lo denota como (ver graf 
1). Volviendo a escribir la definición de en términos del incremento parcial se tiene: 
 
Es decir es el límite del cociente incremental parcial de la función con respecto 
a x cuando el incremento de la variable considerada tiende a cero. 
Análogamente en la definición de , el numerador se 
lo llama incremento parcial de la función con respecto a “y”, y se lo denota como (ver graf 
2). Volviendo a escribir la definición de en términos del incremento parcial se tiene: 
 
Es decir es el límite del cociente incremental parcial de la función con respecto 
a y cuando el incremento de la variable considerada tiende a cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )y,xfx ( ) ( )y,xfy,xxf -D+
zxD
( )y,xfx
( )
x
zlimy,xf x
0x
x D
D
=
®D
( )y,xfx
( )y,xfy ( ) ( )y,xfyy,xf -D+
zyD
( )y,xfy
( )
y
z
limy,xf y
0y
y D
D
=
®D
( )y,xfy
Graf.1. Incremento parcial de f con respecto a x 
x 
x +Δx 
x 
y 
z 
y 
f(x,y) 
f(x+Δx, y) 
Δxz 
z= f(x,y) 
x 
y +Δy 
x 
y 
z 
y 
f(x,y) 
f(x, y +Δy ) 
Δyz z= f(x,y) 
 
Graf.2. Incremento parcial de f con respecto a y 
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Observación. 
El incremento parcial de f con respecto a x es el incremento 
o variación de la función cuando pasamos del punto (x,y) al punto (x+Δx,y), o sea se deja variar “x” 
manteniendo a “y” como constante. Entonces f, que es función de dos variables, al fijar la variable 
“y”, se la puede considerar como función de una sola variable “x”, es decir g(x) = f(x,y). Bajo esta 
consideración se tiene lo siguiente: 
 
 
Comparando esta definición con la de derivada ordinaria de una función de una sola variable 
se tiene: 
Es decir la derivada parcial de f con respecto a x no es más que la derivada ordinaria de la 
función g de una sola variable que se obtiene al fijar la variable “y” en f. En otras palabras: 
es la derivada ordinaria de f si se supone que f es una función de una sola variable “x” (esto es, “y” se 
mantiene como una constante). Análogamente es el incremento 
o variación de la función cuando pasamos del punto (x,y) al punto (x,y+Δy), se deja variar “y” 
manteniendo a “x” como constante. Nuevamente se puede suponer que f es función de una sola 
variable “y”, es decir h(y) = f(x,y). Bajo esta consideración se tiene: 
 
 
 
Por lo tanto la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada ordinaria de la función h 
de una sola variable que se obtiene al fijar la variable “x” en f. Es decir fy(x,y) es la derivada ordinaria 
de f si se supone que f es una función de una sola variable “y” (esto es,“x” se mantiene como una 
constante). 
 
 
 
 
 
Ejercicios. Usando la definición, calcule las derivadas parciales fx y fy, en: 
i) z = 3xy + y2 – 1. 
ii) f(x, y) = 4x – 6y + 5 
iii) f(x, y) = 3x + y2 – 1 
iv) z = (3y – x) / (x2 + y) 
v) z = (xy + 1)2/3 
En los ejercicios siguientes calcule las derivadas parciales aplicando reglas de derivación: 
vi) f(x, y) = ln(e!y) + tg(x"y#) viii) f(x, y) = sec(ln(x"y)) + cotg(e!$) 
vii) f(x, y) = arctg(2!. y) ix) f(x, y) = x"	cosec(x. y") 
 
( ) ( )y,xfy,xxfzx -D+=D
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimy,xf
0x
x D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
x
xgxxglimy,xf
0x
x D
-D+
=
®D
( ) ( )xgy,xf 'x =
( )y,xfx
( ) ( )y,xfyy,xfzy -D+=D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xflimy,xf
0y
y D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
yhyyhlimy,xf
0y
y D
-D+
=
®D
( ) ( )yhy,xf 'y =
Regla para calcular las derivadas parciales de f : z = f(x,y), con respeto a “x” y “y”. 
• Para calcular fx, considere a “y” como una constante y derive f(x,y) con respecto a “x”. 
• Para calcular fy, considere a “x” como una constante y derive f(x,y) con respecto a y. 
 
 
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1.2. En funciones de tres variables 
 Las definiciones y símbolos de las derivadas parciales para una función de tres variables x, y, z 
son semejantes a las usadas en funciones de dos variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como en el caso de derivadas parciales de primer orden de una función de dos variables, para 
calcular las derivadas parciales directamente de la fórmula que especifica a f, se deriva con respecto 
a la variable considerada manteniendo a las otras dos como constantes. 
 
Ejercicios. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones aplicando reglas de derivación: 
i) f(u, v, w) = ln	(√𝑢" + 𝑣" +𝑤"	); ii) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 	𝑥"𝑧. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥. 𝑦"𝑧); 
iii) f(u, v, w) = 𝑢".𝑒& . 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑣". 𝑤); iv) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 	 𝑒'( . 𝑙𝑛𝑧 
 
1.3. En funciones de n variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prácticamente, si queremos encontrar consideramos a xi como la única variables y a todas las 
n-1 variables restantes como constantes. 
 
ixf
Definición. 
Sea P(x1,x2,…,xn) un punto de Rn y sea f una función de n variables x1,x2,…,xn, entonces la derivada 
parcial de f con respecto a xi es aquella función representada por tal que su valor en 
cualquier punto P en el dominio de f, está dado por: 
si este 
límite existe. Con notación del incremento parcial de f, será; 
 
ixf
( ) ( ) ( )
i
ni21nii21
0ix
n21ix x
x.,.,x,...,x,xfx.,..,xx,...,x,xflimx.,..,x,xf
D
-D+
=
®D
( )
i
ix
0ix
n21ixx
z
limx.,..,x,xf
D
D
=
®D
Definiciones 
Sea f : u = f(x, y, z), entonces sus derivadas parciales de primer orden fx, fy y fz, se definen, 
respectivamente, como; 
 , si este límite existe. 
, si este límite existe. 
f)(x, y, z) = lim∆)→,
-(!,$,)01))3-(!,$,))
1)
, si este límite existe. 
 
 
( ) ( ) ( )
x
z,y,xfz,y,xxflimz,y,xf
0x
x D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
z,y,xfz,yy,xflimz,y,xf
0y
y D
-D+
=
®D
Con notación de incremento parcial de la función: 
, si este límite existe. 
, si este límite existe. 
 , si este límite existe. 
( )
x
ulimz,y,xf x
0x
x D
D
=
®D
( )
y
u
limz,y,xf y
0y
y D
D
=
®D
( )
z
ulimz,y,xf z
0z
z D
D
=
®D
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2. INTERPRETACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES. 
2.1. Interpretación geométrica en funciones de dos variables 
 La figura 3 muestra la gráfica de la función f que es la superficie de ecuación z = f(x,y). 
Consideremos el P0(x0,y0) tal que z0 = f(x0,y0) entonces el punto P(x0,y0.z0) pertenece a la superficie y 
y = y0 es el plano paralelo al plano x z que pasa par el punta P(x0, y0, f(x0,y0)) sobre la superficie. De 
esta manera se determina C como la curva intersección de la superficie con el plano vertical y = y0. 
La curva C, se representa mediante el par de ecuaciones: 
 y = y0 
 C 
 z = f(x,y) 
Observe que cualquier punto de esta curva tiene coordenadas (x, y0, f(x,y0)). Como y0 es constante, z 
= f(x, y0) puede considerarse como una función de una variable, x, g(x) donde g(x) = f(x, y0). Cuando 
se evalúa la derivada de esta función en x0, es decir g´(x0) se obtiene la pendiente de la línea tangente 
a esta curva en el punto P(x0, y0, f(x0,y0)) (ver figura 3). 
 Pendiente de la tangente / P(x0,y0,f(x0,y0)) 
 
 
 
 Como, 
 Pendiente de la tangente/ P(x0,y0,f(x0,y0)) 
y, 
 
entonces: 
 = Pendiente de la tangente / P(x0,y0,f(x0,y0) = tg α 
Por lo tanto la derivada parcial de f con respecto a x en (x0, y0) es la pendiente de la recta 
tangente a la curva C en P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )=0' xg
( ) ( ) ( )
x
xgxxglimxg 00
0x
0
'
D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimxg 0000
0x
0
'
D
-D+
=
®D
( ) ( )00x0' y,xfxg =\
( )=0' xg
( ) ( )00x0' y,xfxg =
( )00x y,xf
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 De igual manera, siendo C’ la curva intersección de la superficie con el plano vertical x = x0. La 
curva se representa mediante el par de ecuaciones: 
 x = x0 
 C’ 
 z = f(x,y) 
 
Como x0 es constante, z = f(x0, y) puede considerarse como una función de una variable, y, h(y) 
donde h(y) = f(x0, y). Cuando se evalúa la derivada de esta función en y0, es decir h´(y0) se obtiene la 
pendiente de la línea tangente a esta curva en el punto P(x0, y0, f(x0,y0)) (ver figura 4). 
Es decir: 
 Pendiente de la tangente / P(x0,y0,f(x0,y0)) 
 
 
 
 Como, 
 Pendiente de la tangente / P(x0,y0,f(x0,y0)), y, 
 
 = Pendiente de la tangente / P(x0,y0,f(x0,y0)) = tg β 
Por lo tanto la derivada parcial de f con respecto a y en (x0, y0) es la pendiente de la recta 
tangente a la curva C’ en P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )=0' yh
( ) ( ) ( )
y
yhyyhlimyh 00
0y
0
'
D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
yxfyyxfyh
y D
-D+
=
®D
0000
00
' ,,lim
( ) ( )000' , yxfyh y=\
( )=0' yh
( ) ( )000' , yxfyh y=
( )00y y,xf
Figura 4 
 
Geométricamente, las derivadas parciales y representan las 
pendientes de las rectas tangentes a las curvas C y C’ respectivamente en el punto P(x0, y0, f(x0,y0)). 
( )00x y,xf ( )00y y,xf
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2.2. En términos de razón de cambio. 
 Las derivadas parciales también pueden interpretarse como razones de cambio. Siendo f: z = 
f(x,y), por definición de derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x0,y0): 
 , 
El cociente es la razón media de cambio de la función z por unidad de cambio en x en 
, donde y se fija en el valor y0, en consecuencia, el número, 
 es la razón de cambio de instantánea de la función z con respecto a x en (x0,y0) cuando y es fijo en 
el valor y0. 
 Análogamente, por definición de derivada parcial de f con respecto a y en el punto (x0,y0): 
, o sea: 
 Entonces el cociente es la razón media de cambio de la función z por unidad de 
cambio en y en , donde x se fija en el valor x0 y de aquí se sigue que el número 
, 
 es la razón de cambio de instantánea de z con respecto a y en (x0,y0) cuando x es fijo en el valor x0. 
 
3. INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. 
 
 
 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimy,xf 0000
0x
00x D
-D+
=
®D
( )
x
zlimy,xf 0x
0x
00x D
D
=
®D
x
z0x
D
D
[ ]xx,x 00 D+ ( )
x
zlimy,xf 0x
0x
00x D
D
=
®D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xflimy,xf 0000
0y
00y D
-D+
=
®D
( )
y
z
limy,xf 0y
0y
00y D
D
=
®D
y
z0y
D
D
[ ]yy,y 00 D+
( )
y
z
limy,xf 0y
0y
00y D
D
=
®D
Definición. Sea f una función de dos variables x, y entonces el incremento total de la función en 
(x0,y0), denotado por Δz0 está dado: ( ) ( ) ( )0000000 y,xfyy,xxfy,xfz -D+D+=D=D
z0 
x0 
x0+Δx 
y0 y0+Δy 
z1 
Δz0 
x 
 
y 
z 
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De manera similar se define el incremento total para una función de n variables, con n>2. 
 
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. P0(x0,y0) y P1(x0 + Δx, y0+ Δy) dos puntos pertenecientes al dominio de f. 
- La función f admite las derivadas parciales fx y fy continuas en su dominio. 
 
Tesis: Δz, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂") 
 
Demostración: El incremento Δz0 es, Δz0 = z1 – z0, remplazando z0 y z1 por sus iguales, 
 y , resulta, (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )yy,xxfz 001 D+D+= ( )000 y,xfz = ( ) ( )00000 y,xfyy,xxfz -D+D+=D
4.1. Revisión para funciones de una variable. 
Sea f función de una variable independiente x, continua en el intervalo cerrado, y 
derivable en el intervalo abierto, , entonces existe un número ξ tal que 
x0< ξ < x0+ Δx 
 para el cual, 
Como, , 
entonces, 
Otra forma de expresar el teorema. 
El punto ξ se lo puede escribir como ξ = x0 + θ Δx, con 0 < θ < 1. 
Teorema. Si la función f es continua en el cerrado y derivable en el abierto 
, entonces existe un número θ tal que 0 < θ < 1 para el cual: 
 
 
[ ]xx,x 00 D+
( )xx,x 00 D+
( ) ( ) ( )
x
xfxxff 00'
D
-D+
=x
( ) ( )00 xfxxfy -D+=D
( )xD=D 'fxy
[ ]xx,x 00 D+
( )xx,x 00 D+
( )xxfxy 0' Dq+D=D
4.2. Para funciones de dos variables. 
Sea f una función de dos variables independientes x e y, que admite derivadas parciales 
continuas en su dominio. Entonces el incremento total de f cuando se incrementan 
simultáneamente todas las variables sin salir de su dominio es: 
 Δz, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂") 
 
 
1,2 = iyyyyxxx 0i00i0 D+£h£D+£x£
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Al segundo miembro de (1) le restamos y sumamos la expresión f(x0, y0 +Δy), es decir lo expresamos 
como la suma de los incrementos parcial respecto de x yparcial respecto de y. Entonces se tiene para 
Δz0: 
 
 En cada corchete una de las variables permanece constante: en el primero la y es constante 
en el valor y0 + Δy y, en el segundo x lo es en el valor x0. Cada corchete se puede considerar como 
el incremento de una función de una sola variable, x en el primero e y en el segundo. 
 Por el Teorema del Valor Medio para funciones de una sola variable, el primer y segundo 
corchete se pueden escribir: 
 
 
En general es sumamente difícil hallar los valores de θ1 y θ2 para los que se cumple rigurosamente el 
teorema y su conocimiento es de poca utilidad práctica por lo que se prefiere, habitualmente escribir 
la expresión final del teorema del Valor Medio como, 
Δz, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂") 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]000000000 y,xfyy,xfyy,xfyy,xxfz -D++D+-D+D+=D
( ) ( )yy,xfyyy,xxfxz 200y010x0 Dq+D+D+Dq+D=D
10y10 21 <q<<q<
1,2 = i0000 yyyyxxx ii D+££D+££ hx
4.3. Para funciones de tres variables. 
Sea f una función de tres variables independientes x, y, z, que admite derivadas parciales 
continuas en su dominio. Entonces el incremento total de f cuando se incrementan 
simultáneamente todas las variables sin salir de su dominio es: 
Δu, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4, 𝛾4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂", 𝛾4) + Δz. 𝑓5(𝜉#, 𝜂#, 𝛾#) 
donde: 
 
3,1,2 = izzz;yyy;xxx 0i00i00i0 D+£g£D+£h£D+£x£
(x0 , y0 +θ2Δy) 
(x0 +θ1Δx, y0 + Δy) 
x 
y 
z 
x0 
x0 +Δx 
y0 +Δy y0 
z0 z1 
P1 
P0 
Dominio de f 
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Hipótesis. 
- P0(x0, y0, z0) y P1(x0 + Δx, y0 + Δy, z0 + Δz0) dos puntos pertenecientes al dominio de f. 
- La función f admite las derivadas parciales fx ,,fy y fz, continuas en su dominio. 
Tesis: 	
Δu, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4, 𝛾4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂", 𝛾4) + Δz. 𝑓5(𝜉#, 𝜂#, 𝛾#) 
Donde: 
 
Demostración: 
 El incremento Δu0 es, Δu0 = u1 – u0, remplazando u0 y u1 por sus iguales, 
 y , 
resulta, Δu0 = - - (1) 
Al segundo miembro de (1) le restamos y sumamos las expresiones; 
f(x0, y0 +Δy, z0 + Δz) y f(x0, y0, z0 + Δz). 
 Entonces se tiene para Δu0: 
Δu0= [f(x0+ Δx, y0+ Δy, z0+ Δz) - f(x0, y0 +Δy, z0 + Δz)] + [f(x0, y0+Δy, z0+Δz) – [f(x0, y0, z0 + Δz)] + 
[f(x0, y0, z0 + Δz) – f(x0, y0, z0)] 
 En cada corchete dos de las variables permanecen constantes: en el primero la “y” y la ”z” son 
constantes en los valores y0 + Δy, z0+ Δz , respectivamente, mientras que en el segundo la “x” y la “z”, 
en los valores “x0” y “z0+ Δz”, respectivamente y en el tercer corchete las variables “x” y “y”, en los 
valores “x0“ y “y0“, respectivamente. 
 Cada corchete se puede considerar como el incremento de una función de una sola variable, 
“x” en el primero, “y” en el segundo y “z” en el tercero. 
 Por el Teorema del Valor Medio para funciones de una sola variable, el primer, segundo y tercer 
corchete se pueden escribir: 
0 < 𝜃4 < 1, 0 < 𝜃" < 1,				0 < 𝜃# < 1			 
 En general es sumamente difícil hallar los valores de θ1, θ2 y θ3, para los que se cumple 
rigurosamente el teorema y su conocimiento es de poca utilidad práctica por lo que se prefiere, 
habitualmente escribir la expresión final del teorema del Valor Medio como, 
Δu, = 	Δx. 𝑓'(𝜉4, 𝜂4, 𝛾4) + Δy. 𝑓((𝜉", 𝜂", 𝛾4) + Δz. 𝑓5(𝜉#, 𝜂#, 𝛾#) 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3,1,2 = i,;; 000000 zzzyyyxxx iii D+££D+££D+££ ghx
( )zzyyxxfu D+D+D+= 0001 ,, ( )0000 ,, zyxfu =
( )zzyyxxf D+D+D+ 000 ,, ( )000 ,, zyxf
( ) ( )
( )zzyxfz
zzyyxfyzzyyxxfxu
z
yx
D+D+
+D+D+D+D+D+D+D=D
3000
020000100
,,
,,,,
q
qq
3,1,2 = i,;; 000000 zzzyyyxxx iii D+££D+££D+££ ghx
4.4. Para Funciones de n Variables. 
Sea f una función de n variables independientes x1, x2, . . ., xn, que admite derivadas parciales 
continuas en su dominio. Entonces el incremento total de f cuando se incrementan 
simultáneamente todas las variables sin salir de su dominio es: 
Δ𝑧, = 	Δ𝑥4𝑓'!(𝜉4
4, 𝜉"4, … , 𝜉64	) + Δ𝑥"𝑓'"(𝜉4
", 𝜉"", … , 𝜉6"	) + ⋯+ Δ𝑥6𝑓'#(𝜉4
6, 𝜉"6, … , 𝜉66	) 
Δ𝑧, =	WΔ𝑥7
6
784
𝑓'$X𝜉4
7 , 𝜉"7 , … , 𝜉67 Y 
 nxxxxxxxxx nn
i
nn
ii ,...,3,1,2 = i;....;; ;
00
2
0
22
0
21
0
11
0
1 D+££D+££D+££ xxx
Clase Nº:5: Derivación Parcial de Primer Orden Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 11 
Ejercicios. Hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a cada una de las variables 
independientes en las siguientes funciones. 
i) f(x, y) = (x – y)(1 + x2 – y2) 
ii) z = (x + y )100 / (x100 + y100) 
iii) z = ln	Z 4
9'"0("
[ 
iv) f(x, y) = sen[ln(5x + 6y)] 
v) f(x, y) = :;6'(.4,
%&
'(
 
vi) u = 10xyz + 100y2x2z1/2 
vii) f(x, y, z) = '5
(504
 
viii) f(x, y, z) = tg(z – 𝜋𝑦) − 𝜋𝑠𝑒𝑛(𝑦) 
ix) u = ln	Z 4
9''0('05'
[ 
x) f(x, y, z, u) = _𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 	cos	(𝑧 − 𝑢)'