Clase N 7 Funciones compuestas y homogéneas

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Clase Nº 7: Funciones Compuestas y Homogéneas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 7: FUNCIONES COMPUESTAS Y HOMOGENEAS 
 
 
1. FUNCIONES COMPUESTAS 
Derivación 
a) Revisión de la regla de la cadena para funciones de una variable 
 Recordando que para funciones compuestas de una variable independiente el método de 
derivación consiste en aplicar la regla de la cadena. Es decir, si y = f(u) y u = g(x) entonces podemos 
escribir esto es 
 Realizando el diagrama de las variables se tiene que: 
 
 Para derivar esta función compuesta aplicamos la regla de la cadena, para lo cual se supone 
que y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x entonces 
 es una función derivable de x, y cuya derivada se calcula con la fórmula: 
 
con la notación de Leibniz , o 
 
con la notación de Lagrange. 
 
b) Regla de la cadena para funciones de más de una variable. 
 A continuación se extiende la regla para los casos de funciones de más de una variable. Para 
los mismos habrá distintas versiones de la Regla de la Cadena, cada una de las cuales da una fórmula 
particular para encontrar la derivada de esa composición de funciones particular. 
Vamos a considerar el caso que f sea una función de tres variables definida por la ecuación z = 
f(u, v, w), donde u, v, w, son funciones de las variables independientes x e y, u = u(x, y), v = v(x, y), w 
=w(x, y). En estas condiciones, z es una función compuesta de las variables x e y a través de u, v y w. 
 
Es cómodo para visualizar la dependencia funcional y para aplicar la regla de derivación que luego se 
verá, la representación de la mencionada dependencia funcional de funciones mediante el diagrama 
árbol de las variables. 
Para la función compuesta que acabamos de definir, 
, 
el correspondiente diagrama es; 
 
 
 
 
 
 Diagrama árbol de las variables. 
( )[ ] )x(Fxgfy == gfF !=
xuy ®®
( )[ ] )x(Fxgfy ==
dx
du.
du
dy
dx
dy
=
( ) ( )[ ] ( )xg.xgfxF ''' =
( ) ( ) ( )[ ] )y,x(Fy,xw,y,xv,y,xufz ==
( ) ( ) ( )[ ] )y,x(Fy,xw,y,xv,y,xufz ==
z 
u 
v 
w 
x 
y 
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 2 
 En este diagrama “z” es variable dependiente, “u, v, w” variables intermedias e “x, y” variables 
independientes (finales). 
 Para derivar una función compuesta se aplica la regla de la cadena. Se demostrará la versión 
de la regla de la cadena para la composición de variables que presentamos, junto con el diagrama 
árbol respectivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
En P0(x0,y0) existen las derivadas parciales y en el entorno del punto 
f admite las derivadas parciales continuas 
Tesis. 
 
 
Demostración de (1). 
 Sea z = f(u,v,w) con u = u(x,y), v = v(x,y), w =w(x,y), es decir: 
 
Por definición de derivada parcial: 
 
 El incremento parcial de la función z con respecto a x, cuando x sufre un incremento Δx, la 
función z no varía en forma directa sino que, lo hace en forma indirecta a causa de las variaciones 
que experimentan las funciones u, v y w por el mencionado Δx: 
En consecuencia, 
 
 Considerando los incrementos parciales con respecto a x de las funciones u, v y w se tiene: 
 
 
 
Por ser , resulta: 
 
 
 
y
w,
x
w,
y
v,
x
v,
y
u,
x
u
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶ ( )000 w,v,u
wvu f,f,f
0P0P0P0P x
w.
w
f
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
z)1(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0P0P0P0P y
w.
w
f
y
v.
v
f
y
u.
u
f
y
z)2(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
x
zlim
x
z 0x
0x0
P D
D
=
¶
¶
®D
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]0000000000000x y,xw,y,xv,y,xufy,xxw,y,xxv,y,xxufz)3( -D+D+D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00x000000x y,xuuy,xxuy,xuy,xxuu +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00x000000x y,xvvy,xxvy,xvy,xxvv +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00x000000x y,xwwy,xxwy,xwy,xxww +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( )000000000 y,xww,y,xvv,y,xuu ===
( ) uuy,xxu)4( x000 D+=D+
( ) vvy,xxv)5( x000 D+=D+
( ) wwy,xxw)6( x000 D+=D+
Teorema: Regla de la cadena. 
Sea f una función definida por z = f(u, v, w) con u = u(x, y), v = v(x, y), w =w(x,y). Supongamos que 
en P0(x0,y0) existen las derivadas parciales y que la función f admite en el 
entorno del punto derivadas parciales continuas, entonces: 
 
 
y
w,
x
w,
y
v,
x
v,
y
u,
x
u
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
( )000 w,v,u wvu f,f,f
0P0P0P0P x
w.
w
f
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
z)1(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0P0P0P0P y
w.
w
f
y
v.
v
f
y
u.
u
f
y
z)2(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
( ) ( ) ( )[ ] ),(,,,,, yxFyxwyxvyxufz ==
Teorema: Regla de la cadena. 
Sea f una función definida por z = f(u, v, w) con u = u(x, y), v = v(x, y), w =w(x,y). Supongamos que 
en P0(x0,y0) existen las derivadas parciales y que la función f admite en el 
entorno del punto derivadas parciales continuas, entonces: 
 
 
y
w,
x
w,
y
v,
x
v,
y
u,
x
u
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
( )000 w,v,u wvu f,f,f
0P0P0P0P x
w.
w
f
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
z)1(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0P0P0P0P y
w.
w
f
y
v.
v
f
y
u.
u
f
y
z)2(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
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Reemplazando (4), (5) y (6) en (3) se tiene: 
 
 Aplicando el Teorema del Valor Medio para funciones de tres variables se tiene: 
 
 
Dividiendo ambos miembros de (7) por Δx ≠ 0 se obtiene: 
 
 Considerando límite para se tiene que: 
 
Cuando , entonces se tendrá, 
 ,
 
derivadas que por hipótesis existen en P0. 
 Con lo que resulta finalmente: 
 
 
Demostración de (2). 
Análogamente puede procederse para calcular 
 Por definición de derivada parcial: 
 
 
 Considerando los incrementos parciales con respecto a y de las funciones u, v y w se tiene: 
 
 
 
 Sabiendo que , resulta: 
 
 
 
Reemplazando en Δyz0 se tiene: 
 
 Aplicando el Teorema del Valor Medio para funciones de tres variables: 
 
 
( ) ( )000x0x0x00x w,v,ufww,vv,uufz -D+D+D+=D
( ) ( ) ( )333wx222vx111ux0x ,,f.w,,f.v,,f.uz)7( gbaD+gbaD+gbaD=D
3,2,1
;; 000000
=
D+<<D+<<D+<<
i
wwwvvvuuu xixixi gba
( ) ( ) ( )333wx222vx111ux0x ,,f.x
w
,,f.
x
v
,,f.
x
u
x
z
gba
D
D
+gba
D
D
+gba
D
D
=
D
D
0x®D
( ) ( ) ( )333wx
0x
222v
x
0x
111u
x
0x
0x
0x
,,f.
x
w
lim,,f.
x
v
lim,,f.
x
u
lim
x
z
lim gba
D
D
+gba
D
D
+gba
D
D
=
D
D
®D®D®D®D
0x®D
y
3,2,1iparaw;v;u 0i0i0i =®g®b®a
0P
x
0x0
P
x
0x0
P
x
0x x
w
x
w
lim;
x
v
x
v
lim;
x
u
x
u
lim
¶
¶
=
D
D
¶
¶
=
D
D
¶
¶
=
D
D
®D®D®D
0P0P0P0P x
w.
w
f
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
z
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0Py
z
¶
¶
y
z
lim
y
z 0y
0y0
P D
D
=
¶
¶
®D
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]0000000000000y y,xw,y,xv,y,xufyy,xw,yy,xv,yy,xufz -D+D+D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00y000000y y,xuuyy,xuy,xuyy,xuu +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00y000000y y,xvvyy,xvy,xvyy,xvv +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( ) ( )00y000000x y,xwwyy,xwy,xwyy,xww +D=D+Þ-D+=D
( ) ( ) ( )000000000 y,xww,y,xvv,y,xuu ===
( ) uuyy,xu y000 D+=D+
( ) vvyy,xv y000 D+=D+
( ) wwyy,xw y000 D+=D+
( ) ( )000y0y0y00y w,v,ufww,vv,uufz -D+D+D+=D
( ) ( ) ( )333wy222vy111uy0y ,,f.w,,f.v,,f.uz gbaD+gbaD+gbaD=D
3,2,1i
www;vvv;uuu y0i0y0i0y0i0
=
D+<g<D+<b<D+<a<
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Dividiendo ambos miembros por Δy ≠ 0 y considerando límites para se obtiene: 
 
resultando finalmente: 
 
Observaciones 
i) En la fórmula para calcular el número de términos de la correspondiente regla de 
la cadena coincide con el número de caminos que llevan de la variable dependiente “z” a la 
independiente “x” en el diagrama árbol de las variables.ii) En el mencionado diagrama el número de flechas en cada camino es igual al producto de igual 
número de derivadas de funciones en la correspondiente fórmula para obtener . 
El mismo análisis se realiza para la otra derivada . 
Ejercicios. 
a) Sean u = x2 + y3 con x = res y = r e-s aplique la regla de la cadena para calcular 
b) Si z = ex sen y, donde x = st2 y y = s2t, calcule 
c) Si z = x2sen y, donde x = s2+ t2 y y = 2s t, calcule 
d) Si w = x2+ y2+z2 donde x = s t y = s cost, z = s sent calcule 
e) Escriba la regla de la cadena para los casos que se dan a continuación. 
i) z = f(u,v,w) con u = u(t), v = v( t) y w = w(t) 
 z = f[u(t), v(t), w(t)]=F(t) 
 
 
 
 
 
 En este caso la única derivada que se obtiene es llamada derivada total y la 
correspondiente regla de la cadena es: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡 = 	
𝜕𝑧
𝜕𝑢	.
𝑑𝑢
𝑑𝑡 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣 .
𝑑𝑣
𝑑𝑡 +
𝜕𝑧
𝜕𝑤 .
𝑑𝑤
𝑑𝑡 
 
ii) f: z = f(x,u,v) con u = u(x,y), v = v( x,y) 
 
 
 
 
 
 
 
0y®D
( ) ( ) ( )333w
y
0y
222v
y
0y
111u
y
0y
0y
0y
,,f.
y
w
lim,,f.
y
v
lim,,f.
y
u
lim
y
z
lim gba
D
D
+gba
D
D
+gba
D
D
=
D
D
®D®D®D®D
0P0P0P0P y
w.
w
f
y
v.
v
f
y
u.
u
f
y
z
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0Px
z
¶
¶
0Px
z
¶
¶
0Py
z
¶
¶
s
uy
r
u
¶
¶
¶
¶
t
zy
s
z
¶
¶
¶
¶
t
zy
s
z
¶
¶
¶
¶
t
wy
s
w
¶
¶
¶
¶
dt
dz
( ) ( )[ ] )y,x(Fy,xv,y,xu,xfz ==
z 
u 
v 
w 
t 
z 
x 
u 
v 
x 
y 
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Observación 
 
 El miembro izquierdo de la primera fórmula representa la “derivada parcial de z con respecto 
a la variable independiente x”, Mientras que en el primer término del segundo miembro, aparece la 
derivada que también se la puede representar como . Aparentemente estas derivadas 
son iguales, pero no es así, no son iguales. Las diferencias radican en lo siguiente: 
 
• El miembro de la izquierda es la derivada parcial z con respecto a la variable x, cuando todas las 
variables que dependen de x, incluso x misma, aportan su respectiva contribución. 
 
• Mientras que en el segundo miembro aparece la derivada parcial de z con respecto a x, cuando 
en la función z = f(x,u,v) u y v se mantienen constantes. 
 
Ejercicios. 
 
I)En las siguientes funciones aplique la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales 
que se indican. 
a) 𝑤 =	𝑟!𝑢 + 𝑣", u = sen t, v = 2t+1, r = arctg t, #$
#%
 
b) 𝑧 = 𝑥! − 𝑥𝑦, y = tg x, #&
#'
 
c) 𝑧 = 	𝑥(𝑦 + 3𝑥𝑦", 𝑥 = 𝑒% ,				𝑦 = 𝑠𝑒𝑛	𝑡,				 #&
#%
 
d) 𝑣 = 	𝑥( + 𝑦(, 𝑥 = 	 𝑡!,				𝑦 = 1 − 𝑡(, #)
#%
 
e) 𝑓(𝑟, 𝑠, 𝑢, 𝑣) = 𝑟( − 𝑠 + 𝑟𝑣 + 𝑢" , 𝑟 = 𝑡, 𝑠 = 	 𝑒"% , 𝑢 = *
%
, 𝑣 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡),					#+
#%
 
f) ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑥, 𝑦) = 𝑢( + 𝑣( + 𝑥( + 𝑦(,			𝑢 = 𝑥 − 𝑦, 𝑣 = 𝑥 + 𝑦, ,-
,'
, ,-
,.
 
II) Evalúe las derivadas parciales según los valores que se indica. 
a) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛	 ;/0
)
< , 𝑢 = 𝑒
.
'1 , 𝑣 = 𝑒' .1 , (x,y) = (1,1) 
b) 𝑧 = ln(𝑥	𝑐𝑜𝑠𝑦) ,			𝑥 = 𝑡(,			𝑦 = 2 − 𝑡,				𝑡 = 𝜋 
 
 Ahora consideraremos la situación general en la que la variable dependiente z es una función 
de n variables intermedias u1, u2,…,un, en la que cada una es a su vez, una función de m variables 
independientes x1, x2,…,xm. 
 
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
f
x
z
x
v.
v
f
x
u.
u
f
x
x.
x
f
x
z)1(
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
x
f
¶
¶
x
z
¶
¶
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
y
v
v
f
y
u
u
f
y
x
x
f
y
z
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
..
...)2(
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 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general, la fórmula de la regla de la cadena para calcular la derivada parcial de la variable 
dependiente con respecto a una de las independientes, contiene tantos términos como caminos lleven 
de la variable dependiente a la independiente, y cada término contendrá el producto de tantas 
derivadas como flechas contenga cada camino en el correspondiente diagrama árbol de las variables. 
 
Ejemplos. 
 Escriba la regla de la cadena para los casos que se dan a continuación. 
a) f : w = f(x, y, z, t) con x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), t = t(u, v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f: z = f(u,v,w) con u = u(x,y), v = v(x,y) y w = w(x,y) , x = x(r,s), y = y(r,s) 
 
 
 
 
 
 
v
t.
t
w
v
z.
z
w
v
y.
y
w
v
x.
x
w
v
w
u
t.
t
w
u
z.
z
w
u
y.
y
w
u
x.
x
w
u
w
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] )s,r(Fs,rxw,s,rxv,s,rxufz ==
z 
u 
v 
w 
x 
y 
r 
s 
Teorema. Generalización de la Regla de la Cadena 
Sea f una función definida por, z = f(u1,u2,…,un), con, 
u1= u1(x1,x2,…,xm), u2 = u2(x1,x2,…,xm),…, un = un(x1,x2,…,xm). 
Supongamos que en existen las derivadas parciales 
 y la función f admite en el entorno del punto 
derivadas parciales continuas , 
entonces: 
 
 
( )0n02010 x...,,x,xP
m...,,2,1i;n...,,2,1jcon
x
u
i
j ==
¶
¶ ( )0n0201 u....,,u,u
n...,,2,1jconf ju =
m,...,2,1icadapara
x
u.
u
f....
x
u.
u
f
x
u.
u
f
x
z
0P
i
n
n
0P
i
2
2
0P
i
1
1
0P
i
=
¶
¶
¶
¶
++
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
w 
x 
y 
z 
u 
v 
t 
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 7 
 Esta función compuesta tiene a “z” como variable dependiente, presenta dos juegos de 
variables intermedias “u,v,w” y “x,y” y a “r” y “s” como variables independientes. 
Para obtener las correspondientes reglas de derivación son: 
 
 
 
 
c) f : z = f(u,v,w) con u = u(x,y), v = v( x) , w = w(y), x = x(t), y = y(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. FUNCIONES HOMOGÉNEAS 
 
2.1. Definición 
 Una función de n variables independientes, z = f(x1, x2, . . . , xn), se denomina homogénea de 
grado k, si existen los números 𝜆	𝑦	𝑘,	que verifiquen; 
f(𝜆 x1, 𝜆x2, . . ., 𝜆xn) = 𝜆2 	f(x1, x2, . . . , xn). 
 Esto significa que la prueba de homogeneidad de una función exige que al remplazar cada 
variable xi, por 𝜆xi en la función, debe poderse extraer como factor común 𝜆2 y además el factor que 
multiplique a éste sea la función original. 
 
Ejemplos: 
 
a) Verificar si la función, u = x3 – 5xyz + 2z2, es homogénea. 
 
Según la definición dada, hacemos; 
(𝜆x)3 - 5(𝜆 x)(	𝜆 y)(	𝜆 z) + 2(𝜆 z)2 = 	𝜆((	𝜆 x3 – 5	𝜆 xyz + 2z2) 
 La función propuesta no es homogénea, dado que el paréntesis del miembro derecho, de esta 
última igualdad, no es la función original dada. 
 
b) Verificar si la función, u = x2y3 – 3x2yz2 + 5xyz3, es homogénea. 
Según la definición dada, hacemos; 
(𝜆x) 2 (𝜆y)3 – 3(𝜆x)2(	𝜆y)(	𝜆z)2 + 5	(𝜆x)	(𝜆y)(𝜆z)3 = 	𝜆3	(x2y3 – 3x2yz2 + 5xyz3) 
En consecuencia esta función es homogénea de quinto grado. 
 
 
s
zy
r
z
¶
¶
¶
¶
r
y.
y
w.
w
f
r
x.
x
w.
w
f
r
y.
y
v.
v
f
r
x.
x
v.
v
f
r
y.
y
u.
u
f
r
x.
x
u.
u
f
r
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
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¶
¶
+
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¶
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¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
s
y.
y
w.
w
f
s
x.
x
w.
w
f
s
y.
y
v.
v
f
s
x.
x
v.
v
f
s
y.
y
u.
u
f
s
x.
x
u.
u
f
s
z
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
dt
dy
dy
dw.
w
z
dt
dx
dx
dv.
v
z
dt
dy
y
u.
u
z
dt
dx
x
u.
u
z
dx
dz
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
z 
u 
v 
w 
x 
y 
t 
Clase Nº 7: Funciones Compuestas y Homogéneas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 8 
2.2. Propiedad de Euler 
Teorema. 
Si la función z = f(x1, x2, . . . , xn), es homogénea de grado k, entonces se cumple que, 
x1𝑓'!(x1,. . .,xn) + x2𝑓'"(x1,.. .,xn) + . . .+xn𝑓'#(x1,. . .,xn) = k f(x1, . . . , xn), 
 Hipótesis. 
z = f(x1, x2, . . . , xn), es homogénea de grado k. 
Tesis. 
 x1𝑓'!(x1,. . .,xn) + x2𝑓'"(x1,. . .,xn) + . . .+xn𝑓'#(x1,. . .,xn) = k f(x1, . . . , xn) 
Demostración. 
 La función f es homogénea de grado k, entonces se cumple que, 
f(𝜆x1, 𝜆x2, . . ., 𝜆xn) = 𝜆2 	f(x1, x2, . . . , xn). 
 Haciendo, ui = 𝜆xi, para todo i = 1,2,…, n, entonces se tiene, remplazando en esta última 
igualdad, 
f(𝑢1, 𝑢2, . . ., 𝑢n) = 𝜆2 	f(x1, x2, . . . , xn) 
 Derivando ambos miembros respecto de 𝜆, para lo cual el miembro izquierdo de esta igualdad 
es una función compuesta y en consecuencia usamos la regla de la cadena, entonces será, 
,+
,0!
,0!
,4
+	 ,+
,0"
,0"
,4
+	.			.			. + ,+
,0#
,0#
,4
= 𝑘𝜆25*	f(x1, x2, . . . , xn), 
como ,0$
,4
= 𝑥6, para i = 1,2, . . . .,n, entonces remplazando se tiene, 
𝑥*𝑓0! +	𝑥(𝑓0"+	.			.			. +𝑥7𝑓0# = 𝑘𝜆
25*	f(x1, x2, . . . , xn), 
haciendo 𝜆 = 1, se tiene que ui = xi, para i = 1,2, . . . .,n y 𝜆25* =		1, reemplazado será, 
x1𝑓'!(x1,. . .,xn) + x2𝑓'"(x1,. . .,xn) + . . . .+xn𝑓'#(x1,. . .,xn) = 𝑘	f(x1, x2, . . . , xn) 
 
Ejercicio. 
Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 ;'
.
<, determine si es homogénea y en tal caso verifique el Teorema de 
Euler.