Clase N 6 U4-DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR MODO VIRTUAL

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Clase Nº:6: Derivación Parcial de Orden Superior Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
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DICTADO DE ANALISIS MATEMÁTICO II EN MODO VIRTUAL 
 
 
CLASE Nº 6: DERIVACIÓN PARCIAL DE ORDEN SUPERIOR 
 
 
1. DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Notaciones: 
 Si f: z= f(x, y), se utilizan las siguientes notaciones para las derivadas parciales segundas; 
 
 
 
 
 De manera similar se pueden definen las derivadas parciales de orden superior a la de segundo 
orden de una función de dos variables independientes. 
Para el caso particular de estas funciones, se tendrán dos derivadas parciales de primer orden (21), 
cuatro de segundo orden (22), ocho de tercer orden (23)y, en general 2m derivadas m-ésimas, 
naturalmente siempre que se cumplan con las condiciones enunciadas. 
( ) 2
2
2
2
11xxxx x
z
x
f
x
f
x
fff
¶
¶
=
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
===
( )
xy
z
xy
f
x
f
y
fff
22
12xyyx ¶¶
¶
=
¶¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
===
( )
yx
z
yx
f
y
f
x
fff
22
21yxxy ¶¶
¶
=
¶¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
===
( ) 2
2
2
2
22yyyy y
z
y
f
y
f
y
fff
¶
¶
=
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
===
1.1. Definiciones. 
Sea f una función de dos variables x e y, las funciones derivadas parciales primeras fx y fy son 
funciones de x e y y si ellas admiten derivadas parciales tendremos las derivadas parciales 
segundas. 
a) Volver a derivar respecto de x. 
 , 
 si este límite existe, y se expresa como, “derivada parcial segunda de la función f(x , y) respecto 
de x dos veces”. 
b) Bajo las mismas condiciones anteriores se tendrá, 
 , 
 si este límite existe, y se expresa como, “derivada parcial segunda de la función f(x , y) respecto 
de x primero y de y después”. 
c) También tendremos, 
 , si este límite existe. 
d) Finalmente 
, si este límite existe. 
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxflimy,xf xx
0xxx D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xflimy,xf xx
0y
xy D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
x
y,xfy,xxf
limy,xf yy
0x
yx D
-D+
=
®D
( ) ( ) ( )
y
y,xfyy,xf
limy,xf yy
0y
yy D
-D+
=
®D
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 Las notaciones para las derivadas de orden superior a dos, son las mismas que las indicadas 
para esos casos. Así, por ejemplo si queremos denotar la derivada tercera de la función de dos 
variables z = f(x,y), respecto a “y” dos veces primero y a “x” una vez después, será, 
𝑓!!"(𝑥, 𝑦) =
𝜕#𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦$ =	
𝜕#𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦$ 
1.3. Diagrama de las Derivadas Parciales de Orden Superior de una Función de Dos Variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación. 
 Cuando se va a interpretar una denotación de derivada parcial de orden superior se debe contar 
el número de variables que figuran en el subíndice de la derivada y este número es el orden de la 
derivada. Por ejemplo fxyxy, es una derivada parcial de cuarto orden de la función f. Esto es válido para 
toda función, independientemente del número de variables. 
2. DE FUNCIONES DE n VARIABLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De manera similar se pueden definen las derivadas parciales de orden superior a la de segundo 
orden de una función de n variables independientes, derivando a la derivada de orden anterior, 
respecto de cualquier variable, naturalmente siempre que cumplan con las condiciones establecidas. 
2.1. Definiciones. 
a) Sea f una función de n variables f: z = f(x1, x2,. . .,xn), las derivadas parciales primeras 
𝑓!% , 𝑓!& , … , 𝑓!' son funciones de x1, x2,. . .,xn, si ellas admiten derivadas parciales 
tendremos la derivada parcial segunda. 
𝑓"""" =	 lim∆""→*
𝑓""(𝑥+, … , 𝑥,	 + ∆𝑥, , … , 𝑥.) −	𝑓""(𝑥+, … , 𝑥, , … , 𝑥.)
∆𝑥,
 
 si este límite existe, y se expresa como, “derivada parcial segunda de la función 
f(x1, x2,. . .,xn), respecto de 𝑥"	 dos veces”. Esto es válido para todo i = 1,2,…, n. 
 
b) Sea f una función de n variables, f: z = f(x1, x2,. . .,xn), las funciones derivadas 
parciales primeras 𝑓!% , 𝑓!& , … , 𝑓!' son funciones de x1, x2,. . .,xn, si ellas admiten derivadas 
parciales tendremos la derivada parcial segunda. 
𝑓"""# =	 lim∆"#→*
𝑓""2𝑥+, … , 𝑥/	 + ∆𝑥/, … , 𝑥.3 −	𝑓""(𝑥+, … , 𝑥/, … , 𝑥.)
∆𝑥/
 
 si este límite existe, y se expresa como, “derivada parcial segunda de la función 
f(x1, x2,. . .,xn), respecto de 𝑥"	 primero y xj después”, con 𝑖 ≠ 𝑗. Esto es válido para todo i, 
j = 1, 2,…, n. 
f(x,y) 
fx(x,y) fy(x,y) 
 
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) 
fyy(x,y) 
fxxx(x,y) fxxy(x,y) fxyx(x,y) fxyy(x,y) 
fyxx(x,y) 
fyxy(x,y) 
fyyx(x,y) 
fyyy(x,y) 
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Para el caso general de funciones de n variables independientes se tendrán n derivadas 
parciales de primer orden (n1), nxn de segundo orden (n2), nxnxn de tercer orden (n3) y, en general, 
nm derivadas m-ésimas, con n𝜖	𝑁,𝑚𝜖	𝑁, 𝑛 > 1. 
 Todas las notaciones que se indicaron para las funciones de dos variables son extensibles a 
las de n variables 
 
3. PROPIEDAD DE LAS DERIVADAS MIXTAS 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
- f(x,y) admite derivadas parciales fx , fy, fxy, fyx continuas en el entorno del punto P0(x0,y0). 
- pertenece al entorno del punto P0(x0,y0). 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Se considera la función auxiliar g(x) definida en el intervalo como, 
 (1) 
 (2) 
 El incremento de g(x), en P0, en términos del teorema del Valor Medio será, 
 con (3) 
 Por (1) y (2), la igualdad (3) se puede escribir: 
 
 Dividiendo ambos miembros por y tomando límites en ambos miembros de esta nueva 
igualdad para , resulta 
y se obtiene por definición 
 
 Dividiendo ambos miembros por y tomando límites en ambos miembros de esta nueva 
igualdad para , se tiene, 
 
fyx(x0, y0) = 
Sabiendo que si , esto implica que → x0, luego se obtiene que; 
 
 
( )yy,xxP 001 D+D+
( ) ( )00yx00xy y,xfy,xf =
[ ]xx,x 00 D+
( ) ( ) ( )00 y,xfyy,xfxg -D+=
( ) ( ) ( )0x0x' y,xfyy,xfxg -D+=
( ) ( ) ( )xD=-D+ '00 g.xxgxxg xxx 00 D+<x<
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0x0x00000000 y,fyy,f.xy,xfyy,xfy,xxfyy,xxf x-D+xD=-D+-D+-D+D+
0y¹D
0y®D
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
y
y,fyy,fxlim
y
y,xfyy,xf
lim
y
y,xxfyy,xxflim
0x0x
0y
0000
0y
0000
0y
D
x-D+xD
=
D
-D+
-
D
D+-D+D+
®D
®D®D
( ) ( ) ( )0xy00y00y y,fxy,xfy,xxf xD=-D+
0x ¹D
0x®D
( ) ( ) ( )0xy0x
00y00y
0x
y,flim
x
y,xfy,xxf
lim x=
D
-D+
®D®D
( )0xy0x y,flim x®D
0x®D x
( ) ( )00xy00yx y,xfy,xf =
3.1. Teorema de Schwarz-Clairaut en funciones de dos variables. 
Sea f(x,y) una función que admite derivadas parciales fx , fy, fxy, fyx continuas en el entorno 
del punto P0(x0,y0), entonces se cumple que: 
 ( ) ( )00yx00xy y,xfy,xf =
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 En forma más general (con hipótesis semejantes con respecto a la continuidad) las derivadas 
parciales de cualquier orden son independientes del orden que se siga para obtenerlas. 
Un teorema análogo es válido para una función de cualquier número de variables. 
 
3.2. Teorema de Schwarz-Clairaut para funciones de n variables. 
 
Sea f(x1, x2, x3, . . . , xn) una función de n variables independientes, que admite derivadas parciales 𝑓!0 
, 𝑓!1, 𝑓!0!1, 𝑓!1!0 , continuas en el entorno del punto P0(x1
0, x20, . . ., xn0), entonces se cumple que: 
𝑓!0!1(𝑃$) = 𝑓!1!0(𝑃$) 
 
Hipótesis. 
- f(x1, x2, . . ., xi, xj, . . ., xn) admite derivadas parciales continuas	𝑓!0 , 𝑓!1, 𝑓!0!1, 𝑓!1!0 , en el entorno 
del punto P0(x10, x20, . . ., xn0). 
-P1(x10 + ∆𝑥%, x20 + ∆𝑥&, . . ., xn0 + ∆𝑥') pertenece al entorno del punto P0(x10, x20, . . ., xn0). 
 
Tesis. 
												𝑓!0!1(𝑃$) = 𝑓!1!0(𝑃$) 
 
Demostración. 
 Se considera la funciónauxiliar g(xi) definida en el intervalo, 
5𝑥"$, 𝑥"$ +	∆𝑥"7,	 
como, 
𝑔(𝑥") = 𝑓9𝑥%$, 𝑥&$, … , 𝑥" , 𝑥($ + ∆𝑥( , … , 𝑥'$: − 	𝑓(𝑥%$, 𝑥&$, … , 𝑥" , 𝑥($	, … , 𝑥'$)	 (1) 
 Derivando esta función respecto de xi, se tiene, 
𝑔)(𝑥") = 𝑓!09𝑥%
$, 𝑥&$, … , 𝑥" , 𝑥($ + ∆𝑥( , … , 𝑥'$: −	𝑓!0(𝑥%
$, 𝑥&$, … , 𝑥" , 𝑥($	, … , 𝑥'$) (2) 
 El incremento total de g(xi), en P0, en términos del teorema del Valor Medio será, 
𝑔(𝑥"$ +	∆𝑥") − 	𝑔(𝑥"$) = 	∆𝑥"𝑔′(	 ) (3) 
Con, 																																								𝑥"$ < < 𝑥"$ +	∆𝑥" 
 Remplazando (1) y (2) en (3), se tiene; 
[𝑓9𝑥%$, … , 𝑥"$ +	∆𝑥" , 𝑥($ +	∆𝑥( , … , 𝑥'$: − 	𝑓9𝑥%$, … , 𝑥"$ +	∆𝑥" , 𝑥($, … , 𝑥'$:] – 
[𝑓9𝑥%$, … , 𝑥"$, 𝑥($ +	∆𝑥( , … , 𝑥'$: − 	𝑓9𝑥%$, … , 𝑥"$, 𝑥($, … , 𝑥'$:] = 
∆𝑥"[𝑓!0 ?𝑥%
$, 𝑥&$, … , , 𝑥($ + ∆𝑥( , … , 𝑥'$@ −	𝑓!09𝑥%
$, 𝑥&$, … , , 𝑥($	, … , 𝑥'$:] 
Dividiendo ambos miembros de esta igualdad en ∆xj ≠ 0 y tomando límite en ambos 
miembros de esta nueva igualdad para ∆xj → 0, se obtiene, 
[𝑓!19𝑥%
$, 𝑥&$, … , 𝑥"$ +	∆𝑥" , 𝑥($, … , 𝑥'$: −	𝑓!19𝑥%
$, 𝑥&$, … , 𝑥"$, 𝑥($	, … , 𝑥'$:] = 
∆𝑥"[𝑓!0!1 ?𝑥%
$, 𝑥&$, … , , 𝑥($, … , 𝑥'$@ 
 Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad en ∆𝑥" ≠ 0,	y tomando límite en ambos 
miembros de esta nueva igualdad para ∆𝑥" 	→ 0, se tiene; 
𝑓!1!0(𝑃$) = lim∆!0	→$
𝑓!0!1 ?𝑥%
$, 𝑥&$, … , , 𝑥($, … , 𝑥'$@, 
Sabiendo que, si ∆𝑥" 	→ 0	esto	implica	que	 	 → 	 𝑥"$,	entonces tendremos que; 
𝑓!1!0(𝑃$) = 	𝑓!0!1(𝑃$) 
 
x
x
x x
x
x
x
 
 
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Ejercicios. 
1. Encuentre todas las derivadas parciales segundas de la funciones que se indican a continuación. 
i) f(x, y) = x + y + xy 
ii) z = x2y + cosy - ysenx 
iii) f(x, y) = xey – y + 1 
iv) z = tan-1(y/x) 
v) f(x, y) = sen(xy) 
vi) f(x,y) = ln (x + y) 
vii) f(x, y) = 𝑥, + 𝑥&𝑦, − 2𝑦& 
viii) f(x, y) = 	 y&	senx 
ix) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦𝑧) 
 
2. En las siguientes funciones verifique que fxy = fyx 
x) f(x,y) = ln(2x + 3y) 
xi) f(x, y) = ex + xlny + ylnx 
xii) f(x, y) = xy2 + x2y3 + x3y4 
xiii) f(x, y) = xseny + ysenx + xy