Clase N 8 Funciones Implícitas

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Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 8: FUNCIONES IMPLÍCITAS 
 
 
 Se sabe del curso de Cálculo de una variable que las funciones pueden estar definidas de 
manera explícitas o implícitas. 
i) Funciones Explícitas. 
 Se Llaman explícitas a aquellas funciones en las que la variable dependiente está explícitamente 
despejada y expresada en término de la o las variables independientes, de tal forma que, al asignar 
valores a estas últimas, se obtiene inmediatamente el valor de la variable dependiente. 
En este caso la ecuación que define a la función explícita viene expresada como: 
f : y = f(x) para funciones de una variable 
f : z = f(x,y) para funciones de dos variables 
f : z = f(X) para funciones de n variables, donde X es una variable n-dimensional 
Ejemplos de este tipo de funciones son; 
 
 a) f : y = x2 + 3¸ 
b) f : y = ln(x +2) +5 
 c) f : z = sen(x +y) i 
 
ii) Funciones Implícitas. 
 Se llaman implícitas a aquellas funciones en las que no está explícitamente dada una variable 
en función de las restantes. En este caso las funciones vienen dadas implícitamente por una ecuación 
del tipo F(x,y) = 0, de una variable independiente, F(x,y,z) = 0 de dos variables independientes, etc, 
y también se pueden expresar mediante un sistema de dos o más ecuaciones como veremos más 
adelante. A partir de estas ecuaciones, en algunos casos y mediante procedimientos algebraicos, es 
posible expresar la variable dependiente en términos de las independientes o sea obtener 
explícitamente la función, mientras que en otros casos esto no es posible. 
 Los siguientes son ejemplos de una ecuación que define una variable como función de las otras; 
a) x + y -3 = 0, b) , 
 
c) , d) 
 
 En los ejemplos anteriores no está despejada ninguna de las variables en términos de las 
restantes. En el primero es posible expresar a “y” en términos de “x”, no así en los ejemplos b) y c). 
Lo mismo sucede con el ejemplo d) donde no es posible establecer explícitamente la función. 
 Por otra parte no toda ecuación del tipo F(x,y) = 0 ó F(x,y,z) = 0, ó, F(x1,x2,…xn, u) = 0 define 
implícitamente a una de las variables como función de las restantes. Por esto, nuestra intención en 
este punto es estudiar las condiciones de existencia de funciones definidas implícitamente por una 
ecuación ó un sistema de ecuaciones. Sabiendo que dichas funciones existen, aunque no podamos 
conocerla, si vamos a poder obtener las derivadas de dicha función, que va ser nuestro segundo 
objetivo en este estudio. 
 Vamos a estudiar funciones implícitas definidas por una ecuación y por un sistema de 
ecuaciones. El siguiente diagrama es un resumen de las que se van a considerar en el desarrollo de 
esta unidad. 
( ) 0y3x41ln9x4x2 322 =++-+
( ) 01yxsene 2xy2 =-+++ ( ) 0zxyzlnyzx 22 =-+
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1. FUNCIONES IMPLÍCITAS DEFINIDAS POR UNA ECUACIÓN. 
1.1. De una variable independiente 
a) Condiciones de existencia. 
 Dada la ecuación F(x,y) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función implícita 
y = f(x) en el entorno de un punto P0(x0,y0), son las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy, el 
que se enunciará al final de esta sección. Las condiciones son: 
Siendo P0(x0,y0) un punto perteneciente al dominio de la función F, entonces se debe cumplir 
que; 
1) 
2) deben ser continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
 
Ejercicios. Determine si la ecuación x2+y2- 1 = 0 define a una función implícita: 
i) y = f(x) en entorno del punto (0,1); 
ii) y= h(x) en entorno del punto (1,0). 
 
Ampliación. 
 Es posible que los papeles de las variables x e y en la discusión anterior sean intercambiables, 
en el sentido de que la ecuación F(x,y) = 0 defina implícitamente a una función x = g(y), para lo cual 
las Condiciones de Cauchy serían: 
Sea P0(x0,y0) perteneciente al dominio de la función F. 
( ) 0y,xF 00 =
yx FyF,F
( ) 0y,xF 00y ¹
Funciones implícitas definidas por 
Una ecuación 
Una variable 
independiente 
Dos variables 
independientes 
n variables 
independiente 
. 
. 
. 
Sistema de 
dos, tres… ,n 
ecuaciones 
Una variable 
independiente 
Dos variables 
independientes 
. 
. 
. 
 
 
 
 
Etc. 
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1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
Ejercicios. Determine si la ecuación x2+y2- 1 = 0 define a una función implícita: 
i) x = g(y) en entorno del punto (0,1); 
ii) x= p(y) en entorno del punto (1,0). 
 
b) Derivación. 
 
Teorema 
Dada la ecuación F(x,y) = 0 que define a una función implícita y =f(x) en el entorno del punto P0, tal 
que entonces 
 
Hipótesis. 
 
La ecuación F(x,y) = 0 define a una función implícita y =f(x) en el entorno del punto P0 
 
Tesis. 
 
 
Demostración. 
 
 Por hipótesis la ecuación F(x,y) = 0 define a y =f(x) en el entorno N( P0), por lo tanto F es una 
función compuesta de x por intermedio de x e y. Realizando el diagrama de las variables a la función 
F se tiene: 
 
 
 
 
 Derivando ambos miembros de la ecuación F(x,y) = 0 con respecto a x se tiene: 
 
 
de donde 
 
( ) 0y,xF 00 =
yx FyF,F
( ) 0y,xF 00x ¹
( )( ) 0xf,xF =
0P
0P
0P
y
F
x
F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
0P
0P
0P
y
F
x
F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
0
x
dy.
y
F
dx
dx.
x
F
0P0P0P
=
¶¶
¶
+
¶
¶
0P
0P
0P
y
F
x
F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
F 
x 
y 
x 
 
 
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Ejercicios 
a) Dada la ecuación calcular y’. 
 
b) Dada la ecuación : 
i) determinar si en el entorno del punto (0,0) define a una función implícita y = y(x). En caso 
afirmativo calcule y’ en el entorno de ese punto; 
ii) si es posible calcule 
 
c) Dada la ecuación determinar si en el entorno del punto (1,1) define a 
una función implícita y = y(x). 
i)En caso afirmativo calcule y’ en el entorno de ese punto. 
ii) si es posible calcule 
 
d) Dada la ecuación F(x,y) = 0 que define a una función implícita y = y(x), determine una 
fórmula para calcular y’’(x) 
 
1.2. De dos variables independientes 
a) Condiciones de existencia 
 Dada la ecuación F(x,y,z) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función 
implícita z = z(x,y) en el entorno de un punto P0(x0,y0, z0) son las condiciones dadas por el Teorema 
de Cauchy: 
Sea P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F. 
1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
 De la misma manera la ecuación F(x,y,z) = 0, puede definir a la función implícita y = y(x,z) en el 
entorno del punto P0. Las Condiciones de Cauchy serían: 
P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F 
 
1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
 
 Las Condiciones de Cauchy para que la ecuación F(x, y, z) = 0, defina a una función implícita x = 
x(y,z) en el entorno del punto P0 son: 
P0(x0,y0,z0) perteneciente al dominio de la función F 
1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
0yseneyx25 x =-++
( ) 01yxsene 2xy2 =-+++
( )1,1dx
dy
0yx2yx 33 =-+
( )1,12
2
dx
yd
( ) 0z,y,xF 000 =
zyx F,F,F,F
( ) 0z,y,xF 000z ¹
( ) 0z,y,xF 000 =
zyx F,F,F,F
( ) 0z,y,xF 000y ¹
( ) 0z,y,xF 000 =
zyx F,F,F,F
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3) en el entorno del punto P0. 
b) Derivación. 
 
Teorema 
Dada la ecuación F(x,y,z) = 0 que define a una función implícita z =z(x,y) en el entorno del punto P0, 
tal que entonces 
; 
 
Hipótesis. 
La ecuación F(x,y,z) = 0 define a una función implícita z =z(x,y) en el entorno del punto P0 
 
Tesis. 
 ; 
 
Demostración. 
Por hipótesis la ecuación F(x,y,z) = 0 define a z =z(x,y) en el entorno N( P0). 
Realizando el diagrama de las variables a la función F se tiene: 
 
 
 
 
 
 
Derivando como función compuesta, con respecto a la variable x, será: 
 
 
 es igual a cero por ser ambas variables independientes. Resulta: 
 
Derivando, con respecto a la variable y se tiene 
 
Como es igual a cero, por ser ambas variables independientes, se tiene: 
 
( ) 0z,y,xF 000x ¹
( )( ) 0y,xz,y,xF =
0P
0P
0P
z
F
x
F
x
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
0P
0P
0P
z
F
y
F
y
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
0P
0P
0P
z
F
x
F
x
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
0P
0P
0P
z
F
y
F
y
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
0
x
z.
z
F
x
y.
y
F
x
x.
x
F
0P0P0P0P0P
=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
x
y
¶
¶
0P
0P
0P
z
F
x
F
x
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
0
y
z.
z
F
y
y.
y
F
y
x.
x
F
0P0P0P0P0P
=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
y
x
¶
¶
F 
x 
y 
x 
z y 
 
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 Ejercicios. 
a) Calcule zx y zy si 
b) Calcule yx y yz si 
c) Determine si la ecuación dada en el apartado b) define a una función implícita y = y(x,z) en 
el entorno del punto (3,1,1). ¿Es posible calcular yx , yz en el punto (3,1,1)? 
d) Dada la ecuación F(x,y,z) = 0 que define a z = z(x,y). Determine una fórmula para calcular 
zxx y zxy. 
e) Dada la ecuación determine zyy y zx 
 
1.3. De tres variables independientes 
a) Condiciones de existencia 
 Dada la ecuación F(x,y,z,u) = 0, las condiciones que aseguran la existencia de una función 
implícita u = u(x,y,z) en el entorno de un punto P0(x0,y0, z0, u0) son las condiciones dadas por el 
Teorema de Cauchy: 
Sea P0(x0,y0,z0, u0) perteneciente al dominio de la función F. 
 
1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
 
b) Derivación. 
 Teorema 
 Dada la ecuación F(x, y, z, u) = 0 que define a una función implícita u =u(x, y, z) 
 en el entorno del punto P0, tal que F[x, y, z, u(x, y, z)] = 0, entonces 
 
 
 
Se deja para el lector la especificación de las hipótesis, tesis y la demostración de este Teorema. 
 
1.4. De n variables independientes 
a) Condiciones de existencia 
 Dada la ecuación , las condiciones que aseguran la existencia de 
una función implícita en el entorno de un punto son 
las condiciones dadas por el Teorema de Cauchy: 
Sea P0 perteneciente al dominio de la función F. 
0P
0P
0P
z
F
y
F
y
z
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
1zyx6zyx 333 =+++
09x2zlnyzx =-++
0ezyx z =-
( ) 0PF 0 =
uzyx F,F,F,F,F
( ) 0PF 0u ¹
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
u
F
z
F
z
u;
u
F
y
F
y
u;
u
F
x
F
x
u
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
( ) 0u,x...,,x,xF n21 =
( ),x...,,x,xuu n21= ( )00n02010 u,x...,,x,xP
 
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1) 
2) continuas en el entorno del punto P0 
3) en el entorno del punto P0. 
 
b) Derivación. 
Teorema 
Dada la ecuación que define a una función implícita 
en el entorno del punto P0 entonces 
 
 
Se deja para el lector la especificación de las hipótesis, tesis y la demostración de este Teorema. 
 A continuación se enunciara el teorema que da las condiciones de existencia de las funciones 
implícitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. FUNCIONES IMPLÍCITAS DEFINIDAS POR UN SISTEMA DE ECUACIONES. 
2.1. Dos ecuaciones que definen dos funciones de una variable 
 
a) Condiciones de existencia 
 Dado el sistema de ecuaciones las condiciones que aseguran la existencia de las 
funciones implícitas y = y(x) y z = z(x) en el entorno de un punto P0(x0,y0,z0) son las dadas por el 
Teorema de Cauchy, el que se enunciará al final del apartado 2. Las condiciones son: 
 Sea P(x0,y0,z0) un punto tal que: 
1) F(P0) = 0 y G(P0) = 0 
2) F, Fx,Fy, Fz, G, Gx, Gy, Gz son continuas en el entorno del punto P0. 
( ) 0PF 0 =
unx2x1x F,F...,,F,F,F
( ) 0PF 0u ¹
( ) 0u,x...,,x,xF n21 = ( ),x...,,x,xuu n21=
n...,,2,1j
u
F
x
F
x
u
0P
0P
j
0P
j
=
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
( )
( )î
í
ì
=
=
0z,y,xG
0z,y,xF
Teorema de Cauchy 
Sea , una ecuación que se satisface en , siendo 
continuas en un entorno de dicho punto las funciones: 
F(x1,x2, . . .,xn, u), 𝐹!!(𝑥", 𝑥#, .		.		 . , 𝑥$, 𝑢), con i = 1, 2, . . . , n 
𝐹%(𝑥", 𝑥#, .		.		 . , 𝑥$, 𝑢), y además 
en el mencionado entorno. Entonces existe en el entorno del punto P0 una función,
tal que; 
y 
 
( ) 0,...,,, 21 =uxxxF n ( )00n02010 u,x...,,x,xP
( ) 0PF 0u ¹
( )n21 x...,,x,xuu = ( )0n02010 x,...,x,xuu =
( )( ) 0x...,,x,xu,x...,,x,xF 0n02010n0201 =
 
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3) en el entorno del punto P0. 
 Donde se denomina determinante funcional o jacobiano y es una forma de 
escritura de un determinante cuyos elementos son derivadas parciales. En este caso: 
 
 
 Es decir su nomenclatura indica que la primera fila del determinante que simboliza, está 
compuesta por Fy, Fz y la segunda fila por Gy, Gz. 
 
a) Derivación 
Teorema. 
Dada el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas y = y(x) , z = z(x) 
en el entorno del punto P0, tal que, 
entonces 
 
 
 
Hipótesis. 
El sistema de ecuaciones define a las funciones implícitas 
y = y(x) y z = z(x) en el entorno del punto P0 
 
Tesis. 
 
 
Demostración. 
 Por hipótesis el sistema de ecuaciones , define a las funciones y = y(x) y z = z(x) 
en el entorno del punto P0 
 
 Realizando el diagrama de las variables a las función F y G se tiene: 
( )
( ) 0z,y
G,F
0P ¹¶
¶
( )
( ) 0Pz,y
G,F
¶
¶
( )
( )
0
0
P
P
z
G
y
G
z
F
y
F
z,y
G,F
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
( )
( )î
í
ì
=
=
0z,y,xG
0z,y,xF
( ) ( )( )
( ) ( )( )î
í
ì
=
=
0xz,xy,xG
0xz,xy,xF
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0P
0P
0P
0P
z,y
G,F
x,y
G,F
dx
dz;
z,y
G,F
z,x
G,F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
-=
( )
( )î
í
ì
=
=
0z,y,xG
0z,y,xF
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0P
0P
0P
0P
z,y
G,F
x,y
G,F
dx
dz;
z,y
G,F
z,x
G,F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
-=
( )
( )î
í
ì
=
=
0z,y,xG
0z,y,xF
 
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 Derivando con respecto a x ambos miembros de las ecuaciones F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 y 
aplicando la regla de la cadena a las funciones F y G se tiene: 
 
 
 
 
 Es un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales en dos incógnitas y’ y z’. Para resolverlo 
se aplica la regla de Cramer: 
 
 
Todos los determinantes se evalúan en P0. 
 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
¶¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
0
x
dz.
z
G
dx
dy.
y
G.
dx
dx
x
G
0
x
dz.
z
F
dx
dy.
y
F.
dx
dx
x
F
0P0P0P0P0P
0P0P0P0P0P
ï
ï
î
ïï
í
ì
¶
¶
-=
¶¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
-=
¶¶
¶
+
¶
¶
0P0P0P0P0P
0P0P0P0P0P
x
G
x
dz.
z
G
dx
dy.
y
G
x
F
x
dz.
z
F
dx
dy.
y
F
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0P0P0P
0P
0P
0P0P0P
z,y
G,F
x,y
G,F
dx
dz;
Z
G
y
G
Z
F
y
F
x
G
y
G
x
F
y
F
dx
dz;
Z
G
y
G
Z
F
y
F
x
G
y
G
x
F
y
F
dx
dz
;
z,y
G,F
z,x
G,F
dx
dy;
Z
G
y
G
Z
F
y
F
Z
G
x
G
Z
F
x
F
dx
dy;
Z
G
y
G
Z
F
y
F
Z
G
x
G
Z
F
x
F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
=
G 
x 
y 
x 
z 
F 
x 
y 
x 
z 
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2.2. Dos ecuaciones que definen dos funciones de dos variables 
a) Condiciones de existencia 
 Dado el sistema de ecuaciones las condiciones que aseguran la existencia de 
las funciones implícitas u = u(x,y) y v = v(x,y) en el entorno de un punto P0(x0,y0,u0,v0) son las 
Condiciones de Cauchy, 
Sea P0(x0,y0,u0,v0) un punto tal que: 
1) F(P0) = 0 y G(P0) = 0 
2) F, Fx,Fy, Fu, Fv , G, Gx, Gy, Gu, Gv son continuas en el entorno del punto P0. 
3) en el entorno del punto P0. 
 
b)Derivación 
Teorema. 
Dado el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas u = u(x,y) y v 
= v(x,y) en el entorno del punto P0, tal que 
 
, 
entonces: 
 
 
Se deja la especificación de las hipótesis y tesis y la demostración de este teorema para el lector. 
 
Ejemplo 1 
a) Dado el sistema que define implícitamente a las funciones implícitas 
y= y(x) y z = z(x) hallar: 
 
Considerando 
 
 
( )
( )î
í
ì
=
=
0v,u,y,xG
0v,u,y,xF
( )
( ) 0v,u
G,F
0P ¹¶
¶
( )
( )î
í
ì
=
=
0v,u,y,xG
0v,u,y,xF
( ) ( )( )
( ) ( )( )î
í
ì
=
=
0y,xv,y,xu,y,xG
0y,xv,y,xu,y,xF
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
0P
v,u
G,F
y,u
G,F
y
v
v,u
G,F
x,u
G,F
x
v
v,u
G,F
v,y
G,F
y
u;
v,u
G,F
v,x
G,F
x
u
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
ïî
ï
í
ì
=--
=++-
0zy4x3
03z5yx2
4
2
dx
dzy
dx
dy
( )
( ) 4
2
zy4x3z,y,xG
3z5yx2z,y,xF
--=
++-=
Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 11 
el jacobiano es 
 
Entonces 
 
 
 
Ejemplo 2. 
Dado el sistema de ecuaciones que define a las funciones implícitas u = u(x,y) 
 
y v=v(x,y) determinar: ux, uy, vx,vy 
 
Considerando )F
(x, y, u, v) = 	 x# − 4y + u& + v#
G(x, y, u, v) = 	3x + y& − 2u − v
 
 
Entonces 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) 20zy8z44
5y2
z,y
G,F
GG
FF
z,y
G,F
3
2
zy
zy
+=
--
-
=
¶
¶
=
¶
¶
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
20zy8
8y6
20zy8
34
2y2
20zy8
GG
FF
dx
dz;
z,y
G,F
x,y
G,F
dx
dz
20zy8
15z8
20zy8
z43
52
20zy8
GG
FF
dx
dy;
z,y
G,F
z,x
G,F
dx
dy
333
xy
xy
3
3
3
3
3
zx
zx
+
+-
=
+
-
-
-=
+
-=
¶
¶
¶
¶
-=
+
+
=
+
-
-=
+
-=
¶
¶
¶
¶
-=
ïî
ï
í
ì
=--+
=++-
0vu2yx3
0vuy4x
3
232
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
v4u3
yv64
v4u3
1y3
v24
GG
FF
GG
FF
y
u;
v,u
G,F
v,y
G,F
y
u
v4u3
v6x2
12
v2u3
13
v2x2
GG
FF
GG
FF
x
u;
v,u
G,F
v,x
G,F
x
u
2
2
2
2
vu
vu
vy
vy
22
vu
vu
vx
vx
+-
+-
=
+-
-
-
-=-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
+-
+
=
--
-
-=-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
Clase Nº 8: Funciones Implícitas Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 
 12 
 
Ejercicios. 
1) Dado el sistema de ecuaciones 
a) enuncie las condiciones de Cauchy para que el sistema defina a las funciones implícitas u = u(x, y) 
y v=v(x, y) y w = w(x ,y) en el entorno de un punto P0 
b) deduzca las fórmulas para calcular las derivadas 
2) Analice la existencia de las funciones u = u(x, y) y v=v(x, y) definidas implícitamente por el sistema 
en el entorno del punto P0(1,1,1,1) aplicando las condiciones de Cauchy 
y luego halle , donde w = u.v 
Generalización: 
 Un sistema puede definir n funciones implícitas siempre que se cumplan ciertas condiciones 
que se enuncian a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
vu
yu
vu
y
u
GG
FF
GG
FF
y
u
vu
GF
yu
GF
y
v
vu
xu
vu
xu
GG
FF
GG
FF
x
v
vu
GF
xu
GF
x
v
vu
vu
yu
yu
vu
vu
xu
xu
43
89
43
32
43
;
,
,
,
,
43
49
43
32
23
;
,
,
,
,
2
22
2
2
2
2
2
2
2
+-
+-
=
+-
-
-
-=-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
+-
--
=
+-
-
-=-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=
=
0w,v,u,y,xF
0w,v,u,y,xF
0w,v,u,y,xF
3
2
1
y
wy
x
u
¶
¶
¶
¶
ïî
ï
í
ì
=-+++
=--+
08xyv4u2
0yuxvu
2222
2244
y
wy
x
w
¶
¶
¶
¶
Teorema de Cauchy-Dini. 
Dado un sistema de n ecuaciones con i = 1,2,…,n siendo las 
funciones continuas, como así también sus derivadas parciales 
primeras en un entorno del punto tales que las ecuaciones 
 y el jacobiano 
, entonces existen n funciones continuas en el entorno 
del punto P0 y que satisfacen el sistema de ecuaciones que las define implícitamente y cuyas 
derivadas parciales se calculan con la fórmula 
 
( ) 0u,...,u,u,x...,,x,xF n21m21i =
( )n21m21i u,...,u,u,x...,,x,xF
( )0n02010m02010 u,...,u,u,x...,,x,xP
( ) 00 =PFi
( )
( ) 0u,...,u,u
F...,,F,F
0P
n21
n21 ¹
¶
¶ ( )m21ii x...,,x,xuu =
( )
( )
( )
( ) 0Pni21
ni21
0P
nj21
n...,i21
0P
j
i
u,...,u...,,u,u
F...,,F,...,F,F
u...,x,...,u,u
F,F,...,F,F
x
u
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶