Clase N 10 Aplicaciones geométricas de las deriv parciales

Vista previa del material en texto

Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 10: APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS PARCIALES 
 
 
1. CONCEPTOS PREVIOS 
1.1. Curvas y superficies de nivel 
 
 
 
 
 
 Las curvas de nivel son otra manera de visualizar una función de dos variables, mediante un 
campo escalar en el que cada punto (x,y) se le asigna el escalar z = f(x,y), donde z = k. 
Por ejemplo en un mapa meteorológico, se pueden representar curvas de nivel que corresponden a 
puntos de presiones constantes y se las llama isobaras, o pueden corresponder a puntos de 
temperatura constantes, a estas curvas se las llama isotermas. 
Los mapas de contorno suelen emplearse para describir regiones sobre la superficie terrestre, 
representando las alturas sobre el nivel del mar mediante curvas de nivel. 
Para obtener las curvas de nivel, dada la ecuación de la superficie z =f(x,y), se la interseca con planos 
de ecuaciones z=k (k en el rango de f) , y de ambas ecuaciones se obtiene f(x,y) = k. 
Ejemplo. Dada la función z = x2 +y2 obtenga las curvas de nivel. 
Las curvas de nivel están dadas por la ecuación x2 +y2 = k, donde , es decir son círculos con 
centro en (0,0) y radio . 
 
 
 
 
 
 Para obtener las superficies de nivel, dada la ecuación de la superficie u =f(x,y,z), se considera 
u = k y de ambas ecuaciones se obtiene f(x,y,z) = k. 
Ejemplo. 
 Describa las superficies de nivel de la función f(x,y,z) = 4 x2 +y2 +z2. 
Cada superficie de nivel corresponde a una ecuación de la forma 4 x2 +y2 +z2 = k. Por lo tanto las 
superficies de nivel son elipsoides. 
Observación. 
a) Sea C una curva en el plano cuya ecuación es y =f(x), expresándola en la forma implícita se tiene y 
– f(x) = 0. Esta curva puede ser considerada como curva de nivel de una función de dos variables z = 
y – f(x) para el caso particular z =k = 0 
Ejemplo. 
 Dada la curva y = x2, llevando la ecuación a implícita se obtiene y– x2 = 0. Esta curva se 
considera como curva de nivel de la función z = y – x2, para el caso z =k= 0. 
 
b) Sea S la superficie de ecuación es z =f(x,y), expresándola en la forma implícita se tiene z – f(x,y) = 
0. Esta superficie puede ser considerada como superficie de nivel de una función de tres variables u 
= z – f(x,y) para el caso particular u = k = 0. 
0k³
k
a) Curvas de nivel. 
Las curvas de nivel de una función de dos variables independientes son las curvas con ecuaciones 
f(x,y) = k, donde k es una constante (en el rango de f). 
 
b) Superficies de nivel. 
Las superficies de nivel de una función de tres variables independientes son las superficies con 
ecuaciones f(x,y,z) = k, donde k es una constante (en el rango de f). 
 
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 2 
Ejemplo. 
Dada la superficie z = x2+ y2, llevando la ecuación a implícita se obtiene z- x2- y2 = 0. Esta 
superficie se considera como superficie de nivel de la función u = z- x2- y2, para el caso u =k= 0. 
 
1.2. Gradiente de una función de dos y tres variables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación. 
 El símbolo es un operador definido por que aplicado a la función f(x,y) 
genera el vector en el plano. 
1.2.1. Propiedades del gradiente. 
a) Para funciones de dos variables. 
 
 
 
 
 
Hipótesis. f admite derivadas parciales fx y fy en P0(x0,y0) 
Tesis. es normal a la curva de nivel que pasa por P0(x0,y0). 
Demostración 
 Sea f(x,y) = k la curva de nivel que pasa por P0(x0,y0), si la misma se la define vectorialmente 
según el vector entonces, 
Diferenciando con respecto a t es 
, entonces 
En particular cuando t = t0, tenemos P0(x0,y0), 
Esta ecuación muestra que el vector gradiente en P0 es perpendicular al vector tangente en 
consecuencia el vector gradiente en P0 es perpendicular a la curva de nivel en el punto considerado. 
b) Para funciones de tres variables. 
 
 
 
 
 
Ñ
!
j
y
i
x ¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
( ) ( ) ( ) j
y
y,xfi
x
y,xfy,xf
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
( )0PfÑ
!
( ) ( ) ( ) jtyitxtr +=! ( ) ( )( ) kty,txf =
( ) ( ) 0ty.f.tx.f 'y'x =+ ( ) ( ) ( )( ) 0jtyi.tx.jfif ''yx =++
( ) ( ) 0tr.Pf 0'0 =Ñ
!!
( )0' tr
!
Definición de Gradiente. 
a) Si z = f(x,y), el gradiente de f denotado mediante es el vector 
 
 
b) Si u = f(x,y,z), el gradiente de f denotado mediante es el vector 
 
 
( )y,xfÑ
!
( ) ( ) ( ) jy,xfiy,xfy,xf yx +=Ñ
!
( ) ( ) ( )y,xfy,xfy,xf 2y2x +=Ñ
!
( )z,y,xfÑ
!
( ) ( ) ( ) ( ) kz,y,xfjz,y,xfiz,y,xfz,y,xf zyx ++=Ñ
!
( ) ( ) ( ) ( )z,y,xfz,y,xfz,y,xfz,y,xf 2z2y2x ++=Ñ
!
Teorema. 
Si la función f: z = f(x,y) es derivable en P0(x0,y0) y , entonces es normal a la 
curva de nivel que pasa por P0(x0,y0). 
( ) 0Pf 0
!!
¹Ñ ( )0PfÑ
!
Teorema. 
Si la función f: u = f(x,y,z) es derivable en P0(x0,y0,z0) y , entonces es normal 
a la superficie de nivel que pasa por P0(x0,y0,z0). 
( ) 0Pf 0
!!
¹Ñ ( )0PfÑ
!
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 3 
Hipótesis. f admite derivadas parciales fx , fy, fy en P0(x0,y0,z0). 
 
Tesis. es normal a la superficie de nivel que pasa por P0(x0,y0,z0). 
Demostración 
 Sea f(x,y,z) = k una superficie de nivel, sea P0(x0,y0,z0) un punto sobre la superficie S y sea el 
vector que describe cualquier curva sobre la superficie que pasa por 
P0(x0,y0,z0), entonces 
 donde es cualquier punto que pertenece a C por lo tanto 
pertenece a la superficie. 
Diferenciando con respecto a t es 
 
 
En particular cuando t = t0, P0(x0,y0,z0) tenemos, 
 
 El gradiente en P0 es perpendicular al vector tangente a cualquier curva sobre la 
superficie que pase por P0. En consecuencia es perpendicular a la superficie de nivel en el punto P0. 
 
2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DESCRIPTOS POR DERIVADAS PARCIALES 
2.1. Rectas tangentes a curvas 
a) Cuando la curva está determinada por superficies interceptadas por planos paralelos a los 
planos coordenados. 
 Suponga que una superficie S tiene la ecuación z = f(x, y), donde las primeras derivadas 
parciales de f son continuas, y sea P0(x0,y0,z0) un punto sobre S y sean C1 y C2 las curvas que se 
obtienen al intersecar los planos verticales y = y0 y x = x0, con la superficie S. Entonces el punto P0 
está en C1 y en C2. Sean T1y T2 las rectas tangentes a las curvas. C1 y C2 en el punto P0 (Fig.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La ecuación del plano que contiene a la recta tangente T1 y es perpendicular al plano xz es 
, donde 
La ecuación de la recta tangente T1 es 
( )0PfÑ
!
( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr ++=!
( ) ( ) ( )( ) ktz,ty,txf = ( ) ( ) ( )( )tz,ty,tx
( ) ( ) ( ) 0tz.fty.f.tx.f 'z'y'x =++
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0ktzjtyi.tx.kfjfif '''zyx =++++
( ) ( ) 0tr.Pf 0'0 =Ñ
!!
( )0' tr
!
( )00 xxazz -=- ( )0y,0xx
fa
¶
¶
=
( )
î
í
ì
=
-=-
0
00
yy
xxazz
Figura 1 
x0 
y0 
 
P0 
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 4 
 ( ) ( ) ( )0
'
0
0
'
0
0
'
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx -
=
-
=
-
En forma paramétrica, si x – x0 = t entonces 
La ecuación del plano que contiene a la recta tangente T2 y es perpendicular al plano yz es 
 donde 
La ecuación de la recta tangente T2 es 
En forma paramétrica, si y – y0 = t entonces 
 
b) Cuando la curva está dada paramétricamente 
Sea C la curva de R3 cuyas ecuaciones en paramétrica son 
o en forma vectorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. 
 El vector r’(t0) es tangente a la curva dada en t=t0 o sea en P0(x0,y0,z0) y está en la dirección de 
la recta tangente a la misma. Véase la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C en P0 o cuando t=t0 son: 
 
y las ecuaciones simétricas 
 
 
 
 
 
c) Cuando la curva está dada por intersecciónde superficies 
Dos superficies al cortarse definen una curva en R3. Estas superficies, pueden estar dadas en forma 
explícita o implícita (si se cumplen las condiciones de Cauchy). 
ï
î
ï
í
ì
+=
=
+=
tazz
yy
txx
0
0
0
( )00 yybzz -=- ( )0y,0xy
fb
¶
¶
=
( )
î
í
ì
=
-=-
0
00
xx
yybzz
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
=
tbzz
tyy
xx
0
0
0
( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=
=
tzz
tyy
txx
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
+=
)t('ztzz
)t('ytyy
)t('xtxx
00
00
00
P0 
r’(t0) 
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 5 
Teorema. 
 Si la curva C de R3 está dada por la intersección de las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0, 
entonces la ecuación de la recta tangente a C en P0(x0,y0,z0) es: 
 
 
Se considerará el segundo caso ya que a él se reduce el primero. 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. La curva C de R3 está dada por la intersección de las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0. 
Tesis. 
Demostración. 
Sea C la curva dada por las ecuaciones . 
Si será por supuesto x = x. 
Haciendo el cambio de variables x = t resultan que no son otra cosa que las ecuaciones 
paramétricas de una curva en R3 (no se las conoce pero se sabe que existen). 
Para t=t0 se tiene el punto P0(x0,y0,z0). 
Las ecuaciones de la recta tangente a dicha curva son: 
 
 Como x = t resulta: 
 
 Estas dos últimas derivadas deben ser calculadas según la teoría de las funciones implícitas. 
Según lo visto se tiene: 
 
 Reemplazando en las ecuaciones de la recta tangente será: 
î
í
ì
=
=
î
í
ì
=
=
0)z,y,x(G
0)z,y,x(F
)y,x(gz
)y,x(fz
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0
0P
0
0P
0
y,x
G,F
zz
x,z
G,F
yy
z,y
G,F
xx
¶
¶
-
=
¶
¶
-
=
¶
¶
-
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0
0P
0
0P
0
y,x
G,F
zz
x,z
G,F
yy
z,y
G,F
xx
¶
¶
-
=
¶
¶
-
=
¶
¶
-
î
í
ì
=
=
0)z,y,x(G
0)z,y,x(F
( )
( ) 0z,y
G,F
¹
¶
¶ ( )
( )î
í
ì
=
=
xzz
xyy
( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=
=
tzz
tyy
tx
( ) ( ) ( )0'
0
0
'
0
0
'
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx -
=
-
=
-
0P0tt0P0tt0P0tt dx
dz
dt
dz;
dx
dy
dt
dy;1
dx
dx
dt
dx
==== ===
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0P
0P
0P
0P
z,y
G,F
x,y
G,F
dx
dz;
z,y
G,F
z,x
G,F
dx
dy
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
-=
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 6 
 
Multiplicando los tres miembros por; 
 , resulta 
 
 
2.2. Plano normal a una curva. 
 
 
 
 
 
a) Si la curva está dada en forma paramétrica 
 
 Por la condición de perpendicularidad entre la recta tangente y el plano normal, la ecuación 
cartesiana de este plano, en el punto P0, o t=t0, es: 
 
 
b) Si la curva está dada como intersección de dos superficies. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La demostración de este teorema se deja para el lector estudiante. 
 
2.3. Plano tangente a una superficie 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0P
0
0P
0P
00
z,y
G,F
x,y
G,F
zz
z,y
G,F
z,x
G,F
yy
1
xx
¶
¶
¶
¶
-
-
=
¶
¶
¶
¶
-
-
=
-
( )
( ) 0Pz,y
G,F
1
¶
¶
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 0P
0
0P
0
0P
0
y,x
G,F
zz
x,z
G,F
yy
z,y
G,F
xx
¶
¶
-
=
¶
¶
-
=
¶
¶
-
( )
( )
( )ïî
ï
í
ì
=
=
=
tzz
tyy
txx
( ) ( ) ( ) 0zz
dt
dzyy
dt
dyxx
dt
dx
00tt00tt00tt =-+-+- ===
Definición. 
El plano perpendicular a la recta tangente a una curva, en un punto, se denomina plano 
normal a la curva en ese punto. 
Teorema. 
Si la curva C de R3 está dada por la intersección de las superficies F(x,y,z)=0 y G(x,y,z) = 0, 
entonces la ecuación del plano normal en P0(x0,y0,z0) a dicha curva es: 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 0zzy,x
G,Fyy
x,z
G,Fxx
z,y
G,F
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
Definición. 
Las rectas tangentes T1 y T2 definidas en el apartado 2.1, punto a), que se pueden visualizar en la 
figura1, determinan una plano que se denomina plano tangente a la superficie en el punto P0. 
 
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 7 
a) Cuando la superficie está dada en forma explícita 
 Si la superficie está dada mediante la ecuación z =f(x,y), por simple inspección la ecuación del 
plano tangente en el punto P0(x0,y0,z0) es: 
, donde, 
 y 
 Si se interseca este plano con y = y0 se obtiene la ecuación de la recta tangente T1, y con x = x0 
se obtiene la ecuación de la recta tangente T2. 
 
b) Cuando la superficie está dada en forma implícita. 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. F(x,y,z) = 0 define a una función implícita z = z(x,y) 
Tesis. 
Demostración. 
 Por hipótesis F(x,y,z) = 0 define a una función implícita z = z(x,y) 
Por funciones implícitas se sabe 
 y 
entonces la ecuación del plano tangente es: 
 
 Reemplazando a y b por su igual se tiene, 
 
 Multiplicando ambos miembros por, 
se tiene, 
 
Observación. 
El vector normal del plano es N = i + j + 	!"
!#
" 𝑃$ k que a su vez es el vector o 
sea = N = i + j + !"
!#
" 𝑃$	k 
( ) ( )000 yybxxazz -+-=-
( )0y,0xx
fa
¶
¶
= ( )0y,0xy
fb
¶
¶
=
( ) ( ) ( ) 0zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
0P
0P
0P
z
F
x
F
x
za
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
=
0
0
0
P
P
P
z
F
y
F
y
zb
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
=
( ) ( ) ( ) 0zzyybxxa 000 =---+-
( ) ( ) ( ) 0zzyy
z
F
y
F
xx
z
F
x
F
00
0P
0P
0
0P
0P
=---
¶
¶
¶
¶
--
¶
¶
¶
¶
-
0Pz
F
¶
¶
-
( ) ( ) ( ) 0zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
0Px
F
¶
¶
0Py
F
¶
¶ ( )0PFÑ
!
( )0PFÑ
!
0Px
F
¶
¶
0Py
F
¶
¶
Teorema. 
Si F(x,y,z) = 0 define a una función implícita z = z(x,y) y esta geométricamente representa una 
superficie en R3, la ecuación del plano tangente a la superficie en P0(x0,y0,z0) es: 
 
( ) ( ) ( ) 0zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 8 
 
 
2.4 Recta normal a una superficie. 
 
 
 
 
 
a) Cuando la superficie está dada en forma explícita. 
Si la ecuación de la superficie es z =f(x,y), y por la perpendicularidad entre la recta normal y el 
plano tangente en P0, entonces la ecuación de la recta normal es: 
 
 
b) Cuando la superficie está dada en forma implícita. 
 Si la superficie se define implícitamente por la ecuación F(x,y,z) = 0 entonces la ecuación de la 
recta normal a la superficie en P0 es: 
 
 
2.5. Superficies Tangentes. 
 Definición. 
 Se dice que dos superficies son tangentes en un punto si tienen el mismo plano tangente en ese 
punto. 
 
 
 Teorema. 
 Si las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 son tangentes en el punto P0(x0,y0,z0) entonces: 
 
 
Hipótesis. 
Las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 son tangentes en el punto P0(x0,y0,z0). 
Tesis. 
Demostración. 
 La ecuación del plano tangente a la superficie definida por F(x,y,z) = 0 en P0(x0,y0,z0) es 
 
 La ecuación del plano tangente a la superficie definida por G(x,y,z) = 0 en P0(x0,y0,z0) es 
 
 Como por hipótesis las superficies son tangentes en el punto P0 entonces los vectores 
 y son paralelos y 
a su vez los consideramos coincidentes, por lo tanto 
 
( ) ( )
1
zz
y
f
yy
x
f
xx 0
0y,0x
0
0y,0x
0
-
-
=
¶
¶
-
=
¶
¶
-
0P
0
0P
0
0P
0
z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
¶
¶
-
=
¶
¶
-
=
¶
¶
-
0P0P0P0P0P0P z
G
z
F;
y
G
y
F;
x
G
x
F
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
0P0P0P0P0P0P z
G
z
F;
y
G
y
F;
x
G
x
F
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
( ) ( ) ( ) 0zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
( ) ( ) ( ) 0zz
z
Gyy
y
Gxx
x
G
00P00P00P =-¶
¶
+-
¶
¶
+-
¶
¶
( ) k
z
Fj
y
Fi
x
FPF 0P0P0P0 ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
( ) k
z
Gj
y
Gi
x
GPG 0P0P0P0 ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
0P0P0P0P0P0P z
G
z
F;
y
G
y
F;
x
G
x
F
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
Definición. 
La línea normal al plano tangente de la superficie en el punto P0(x0,y0,z0) se llama recta normal a 
la superficie en P0. 
ClaseNº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 9 
2.6. Superficies Normales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipótesis. 
 Las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 son ortogonales en el punto P0(x0,y0,z0). 
Tesis. 
 
Demostración. 
 Dadas las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0, los vectores gradientes a las mismas en el punto 
P0(x0,y0,z0) son respectivamente 
 y 
 Estos vectores son a su vez los vectores de dirección de las rectas normales a las superficies en 
el punto indicado. Por hipótesis las superficies se cortan en ángulo recto en el punto P0(x0,y0,z0), y 
por definición de superficies normales, las rectas normales en dicho punto son perpendiculares, 
entonces los vectores y son ortogonales en P0. Por la condición de 
perpendicularidad entre vectores se tiene que su producto escalar es igual a cero. 
 
Realizando el producto escalar se obtiene: 
 
 
2.7. Ángulo entre superficies. 
 
 
 
 
 
 
 Teniendo en cuenta que los números directores de las rectas normales a dichas superficies en 
P0, son las componentes de los vectores y respectivamente, se tiene 
 
Por lo tanto el ángulo, que forman las superficies en el punto P0, está dado por: 
0
z
G.
z
F
y
G.
y
F
x
G.
x
F
0P0P0P0P0P0P =¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
( ) k
z
Fj
y
Fi
x
FPF 0P0P0P0 ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
( ) k
z
Gj
y
Gi
x
GPG 0P0P0P0 ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ
!
( )0PFÑ
!
( )0PGÑ
!
( ) ( ) 0PG.PF 00 =ÑÑ
!!
0
z
G.
z
F
y
G.
y
F
x
G.
x
F
0P0P0P0P0P0P =¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
( )0PFÑ
!
( )0PGÑ
!
( ) ( )
( ) ( )00
00
PG.PF
PG.PF
cos
ÑÑ
ÑÑ
=q !!
!!
Definición. 
Se dice que dos superficies se intersecan en ángulo recto en un punto cuando ambas superficies 
pasan por ese punto y sus normales son perpendiculares. 
 
Teorema. 
Si las superficies F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z) = 0 se cortan ortogonalmente en un punto P0(x0,y0,z0) 
entonces 
 
 
0
z
G.
z
F
y
G.
y
F
x
G.
x
F
0P0P0P0P0P0P =¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
Definición. 
Sean dos superficies dadas en forma implícita F(x,y,z) = 0 y G(x,y,z)=0, que poseen algún punto 
en común; el ángulo entre las mismas, es el ángulo que forman las rectas normales 
correspondientes en dicho punto. 
 
Clase Nº 10: Aplicaciones Geométricas de las Derivadas Parciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 10 
, en donde solo se considera el ángulo agudo. 
Ejercicios. 
a) Halla la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie 𝑥% + 𝑦% + 𝑧% = 9, en el punto 
(1,2,4). 
 
b) Determina la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto 
indicado. 
i) x2+y2+4z=6 en P0(1,-1,1) 
 ii) z ln z + xy = 1 en P0(-1,-1,1) 
c) Halla las ecuaciones simétricas de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por 
 en t = 2. 
d) Halla las ecuaciones simétricas de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por 
 en t = π/6. 
e) Determina la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por las superficies 
 en el punto P0(1,-1,2) 
f) Determina la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por las superficies. 
 en el punto P0(10,3,-2) 
g) Determina si el plano -2 x+ 4 y + z = 11, es tangente a la superficie x2 +y2 – 4= z en el punto 
(-1, 2,1). 
 
h) Determina si las superficies son tangentes en el punto indicado 
 en P0(2,-1,3) 
i) Halla el ángulo formado por las superficies dadas en el punto indicado 
 en P0(1,-1,2) 
j) Halla el ángulo formado por las superficies dadas en el punto indicado 
 en P0(2,-1,-1) 
k) Demuestra que las superficies z2 = x2 + y2 y x2 + y2+ z2 = r2 son ortogonales en cada punto de 
intersección. 
( ) ( )
( ) ( )00
001
PG.PF
PG.PF
cos
ÑÑ
ÑÑ
=q - !!
!!
t4z
t1y
ttx
2
3
=
-=
+=
tsenz
t6y
tcos2x
2
=
p
=
=
ïî
ï
í
ì
=+-+
=-+-
03zyx2
05zy2x
2
2
ïî
ï
í
ì
-=
+=
2
2
z14x
1yx
ïî
ï
í
ì
=+++
=+-
2
43z
2
1y8yx12
6zyx
22
22
ïî
ï
í
ì
-=-
=+-
2zyx
4zy3x3
22
222
( )
ïî
ï
í
ì
=+-
=+++
1zy6x2
82zy3x
22
222