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Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1 DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL CLASE Nº 11: DIFERENCIALES Recordando que para una función de una variable f: y = f(x), se define el incremento de la función y como, y la diferencial de y se define como dy = f´(x) dx. La figura siguiente muestra la relación entre ∆y y dy en el punto “a”. Ahora se generalizará el concepto de diferenciales a funciones de dos y más variables. 1. FUNCIÓNES DIFERENCIABLES Caso Particular: Funciones de dos variables. Si f es tal que z = f(x,y) entonces f es diferenciable en P0(x0,y0) si el incremento total . puede expresarse como )x(f)xx(fy -D+=D 0zD ( ) ( )00000 y,xfyy,xxfz -D+D+=D 1.1. Definición. La función f : z = f(x1,x2,…,xn), definida en un entorno de un punto , es diferenciable en P0 si el incremento total Δz0 correspondiente a los incrementos Δxi con i = 1,2,…,n de las variables independientes, puede expresarse como: donde las Ai son constantes independientes de los Δxi y los εi , que son funciones de los Δxi, son infinitésimos para . En la expresión a los n primeros términos se los denomina la parte lineal en los Δxi, y los últimos la parte no lineal en los Δxi. ( )0n02010 x...,,x,xP ( ) ( )0n0201n0n2021010 x...,,x,xfxx...,,xx,xxfz -D+D+D+=D nn2211nn22110 x...xxxA...xAxAz De++De+De+D++D+D=D ( ) ( )0,...,0,0x...,,x,x n21 ®DDD Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 2 con para (∆𝑥, ∆𝑦 ) → (0,0) 1.2. Diferenciabilidad y Continuidad Consecuencia: Diferenciabilidad implica continuidad. Es inmediato que una función diferenciable en un punto es continua en dicho punto ya que Δz0 puede hacerse tan pequeño como se quiera con tan solo tomar los Δxi suficientemente pequeños. (Este es, precisamente, el concepto de continuidad). 1.3. Valor de las constantes Ai con i = 1,2,…,n Hipótesis. f es diferenciable en P0. Tesis. Demostración. La función f es diferenciable en P0 entonces su incremento puede escribirse como Como los Δxi son independientes entre sí, se puede anularlos a todos excepto a uno cualquiera, digamos Δxj, y por ser z diferenciable su incremento resultará: Dividiendo ambos miembros por resulta Considerando límite para donde Resulta con j = 1,2,…,n yxyAxAz 21210 De+De+D+D=D 0, 21 ®ee nn2211n0P n 20P 2 10P 1 0 x...xxxx f...x x fx x fz De++De+De+D ¶ ¶ ++D ¶ ¶ +D ¶ ¶ =D nn2211nn22110 x...xxxA...xAxAz De++De+De+D++D+D=D jjjj0 xxAz De+D=D 0x j ¹D jj j 0 A x z e+= D D 0x j®D j 0jx j 0jxj 0 0jx limAlim x z lim e+= D D ®D®D®D 0xpara0 jj ®D®e j0P j A x z = ¶ ¶ Teorema. Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua en ese punto Teorema. Si una función f : z = f(x1,x2,…,xn) es diferenciable en P0, entonces el incremento total Δz0 en ese punto puede escribirse como: nn2211n0P n 20P 2 10P 1 0 x...xxxx f...x x fx x fz De++De+De+D ¶ ¶ ++D ¶ ¶ +D ¶ ¶ =D Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 3 Detallando resulta que, Remplazando en Δz0 queda Caso particular: En caso de trabajar con z = f(x,y) será: Ejemplo. Probar que la función f: f(x,y) = 3 x – x y2 es diferenciable en todo punto de R2. Se debe probar que para todo punto (x0,y0) de R2 se pueden determinar ε1 y ε2 tales que: y . Como f(x,y) = 3 x – x y2, Con estos valores y el valor de Δz0, se obtiene, Considerando (son posibles otras elecciones para ε1 y ε2) Tomando límite Se concluye que f es diferenciable en todo punto (x0,y0) de R2. Ejercicios Para cada una de las funciones que se indican, probar que es diferenciable en todo punto de su dominio. n0P n 0P n 20P 2 0P 2 10P 1 0P 1 A x f x z;...;A x f x z;A x f x z = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ nn2211n0P n 20P 2 10P 1 0 x...xxxx f...x x fx x fz De++De+De+D ¶ ¶ ++D ¶ ¶ +D ¶ ¶ =D yxy y fx x fz 210P0P0 De+De+D¶ ¶ +D ¶ ¶ =D yxy y fx x fz 210P0P0 De+De=D¶ ¶ -D ¶ ¶ -D ( ) ( )0,0x,xpara0y0 2121 ®DD®e®e ( ) ( )00000 y,xfyy,xxfz -D+D+=D ( ) ( )( ) ( )200020000 yxx3yyxxxx3z --D+D+-D+=D ( ) ( )220000200 yxyxyxy2yyx2xyx3z DD-D-DD-D-D-D=D 000P 2 00P yx2y f;y3 x f -= ¶ ¶ -= ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y.yxyxx.yy2yxyxyxy2 yyx2xy3yxyxyxy2yyx2xy3 yyx2xy3yxyxyxy2yyx2xyx3 y y fx x fz 00 22 00 00 2 0 22 0000 2 0 00 2 0 22 0000 2 0 PP0 00 DDD-D-+DD-=DD-D-DD- =D+D--DD-D-DD-D-D- =D+D--DD-D-DD-D-D-D =D ¶ ¶ -D ¶ ¶ -D yxyxyyy2 02o1 DD-D-=eD-=e ( ) ( ) ( ) ( ) 0limy0lim 2 0,0y,x 1 0,0y,x =e=e ®DD®DD Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 4 a) f(x,y) = 3x2y +4, b) f(x,y) = x2y – 2 x y, c) f(x,y) = x2/y 2. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN. Caso particular: Para una función de dos variables f : z = f(x,y) diferencial total de una función de do variables expresión analítica de la diferencial total de ua función de dos variables Ejemplo. Sea f : f(x,y) = 3x2y + 4 halle la dz. Si fx = 6xy y fy = 3x2, luego dz = 6xy dx + 3x2 dy Sabemos que para una función de una variable, la existencia de la derivada de f en un número implica la diferenciabilidad y, por lo tanto, continuidad en ese número. Sin embargo para funciones de dos y más variables la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica diferenciabilidad en ese punto. En el siguiente teorema se enuncian las condiciones necesarias para la diferenciabilidad. Teorema. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad. Si f es diferenciable en un punto P0 entonces: a) f es continua en P0 ; b) existen las derivadas parciales 𝑓!!(𝑃") , i= 1,2,…n; c) existe ∀𝒖: |𝒖| = 1, D𝐮f(P") = 𝛁f(𝑃"). 𝒖. Existen condiciones adicionales que se le piden a una función para que sea diferenciable en un punto. Estas condiciones se enuncian en el teorema siguiente. 2.2. Condición suficiente para la diferenciabilidad y y fx x fdz 0P0P D¶ ¶ +D ¶ ¶ = dy y fdx x fdz 0P0P ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2.1. Definición de diferencial total. Sea f : z = f(x1,x2,…,xn) una función diferenciable. Se llama diferencial total de la función f a la parte del incremento total Δz0, que es lineal en los Δxi, i = 1,2,…,n y se la representa con dz como j = 1,2, …, n se tiene Por ser las xi variables independientes, se cumple Resulta la siguiente expresión analítica para la diferencial total de una función de n variables independientes: nn2211 xA...xAxAdz D++D+D= j0P j A x f = ¶ ¶ n0P n 20P 2 10P 1 x x f...x x fx x fdz D ¶ ¶ ++D ¶ ¶ +D ¶ ¶ = n...,,2,1idxx ii ==D n0P n 20P 2 10P 1 dx x f...dx x fdx x fdz ¶ ¶ ++ ¶ ¶ + ¶ ¶ = Teorema. Sea f : z = f(x1,x2,…,xn). Si existen las derivadas parciales con i =1,2,…,n, en el entorno de un punto y son continuas en dicho punto entonces f es diferenciable en P0. ix f ¶ ¶ ( )0n02010 x...,,x,xP Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 5 Hipótesis. Existen las derivadas parciales , en el entorno de un punto y son continuas en dicho punto. Tesis. f es diferenciable en P0. Demostración. Por el teorema del Valor Medio es donde son puntos interiores a los intervalosPor ser continuas las derivadas parciales en P0 podemos escribir y reemplazando en (1) resulta Reagrupando términos queda que coincide con la definición de función diferenciable. Este teorema es mucho más fácil de aplicar que la definición para determinar si una función es diferenciable. Debido a que las derivadas parciales de las funciones polinomiales, son también funciones polinomiales, y como estas funciones son continuas en cualquier punto de su dominio, el teorema anterior establece que las funciones polinomiales son continuas en cualquier punto de su dominio. Ejemplos. a) Use el teorema del apartado 2.2 para demostrar que la función f : f(x,y) = xey – y lnx es diferenciable en su dominio. Solución. El dominio de f es el conjunto de todos los puntos de R2 para los cuales x>0. ix f ¶ ¶ ( )0n02010 x...,,x,xP ( ) ( )0n0201n0n2021010 x...,,x,xfxx...,,xx,xxfz -D+D+D+=D ( ) ( ) ( ) nnnn2n1 n 1 1 n 1 2 1 1 1 0 x...,,,x f...x...,,, x fz1 Daaa ¶ ¶ ++Daaa ¶ ¶ =D ( )ini2i1 ...,,, aaa n,...,2,1iconxxx;...;xxx;xxx n 0 n i n 0 n2 0 2 i 2 0 21 0 1 i 1 0 1 =D+<a<D+<a<D+<a< ( ) ( ) nnnn2n1 n 1 1 n 1 2 1 1 1 0 x...,,,x f...x...,,, x fz Daaa ¶ ¶ ++Daaa ¶ ¶ =D ( ) ( ) i0n0201 i i n i 2 i 1 i x...,,x,x x f...,,, x f e+ ¶ ¶ =aaa ¶ ¶ nn0P n 220P 2 110P 1 0 xx f...x x fx x fz D÷÷ ø ö çç è æ e+ ¶ ¶ ++D÷÷ ø ö çç è æ e+ ¶ ¶ +D÷÷ ø ö çç è æ e+ ¶ ¶ =D nn2211n0P n 20P 2 10P 1 0 x...xxxx f...x x fx x fz De++De+De+D ¶ ¶ ++D ¶ ¶ +D ¶ ¶ =D Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 6 Al calcular las derivadas parciales Como las derivadas parciales son continuas en todos los puntos de R2 para los cuales x>0, entonces por el teorema, f es diferenciable en todo punto de su dominio. b) Dada la función i) demuestre que , existen en (0,0) ii) demuestre que f no es diferenciable en (0,0) Solución. i) Por lo tanto las derivadas parciales existen. ii) Esta función no es continua en (0,0) pues no existe . En efecto, si se considera y = mx, resulta Como f no es continua en (0,0) entonces f no es diferenciable en (0,0). Ejercicios. Utilice el teorema del apartado 2.2, para probar que la función es diferenciable en todo punto de su dominio. a) b) c) 2.3. Propiedad invariante de la diferencial total de funciones compuestas Advertencia: La expresión analítica de la diferencial total dz de la función z = f(u,v,w), es la misma aunque las variables u,v,w no sean independientes. Esta invarianza de la expresión analítica de la dz no se conserva en las diferenciales de orden sucesivo. ( ) ( ) xlnxey,xfy x yey,xf yy y x -=-= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ïî ï í ì = ¹ += 0,0y,xsi0 0,0y,xsi yx xy y,xf 22 ( ) ( )y,xfyy,xf yx ( ) ( ) ( ) x 0,0f0,xflim0,0f 0x x D -D = ®D ( ) ( ) ( ) y 0,0fy,0flim0,0f 0y y D -D = ®D ( ) 0 x 00lim0,0f 0x x =D - = ®D ( ) 0 y 00lim0,0f 0y y =D - = ®D ( ) ( ) ( )y,xflim 0,0y,x ® 22220x m1 m xmx mxxlim + = +® ( ) 22224 yxyx3x2y,xf --+-= ( ) y8x y4x3y,xf 2 + - = ( ) xsen5xyln3y,xf += Teorema. Si f : z = f(u, v, w) es una función compuesta con u = u(x, y), v = v(x, y) y w = w(x,y), donde u,v y w son funciones diferenciables, entonces la diferencial total de esta función no depende de las variables elegida como independientes. En otras palabras y,xw,v,u dzdz = Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 7 Hipótesis. z = f(u,v,w) es una función compuesta con u= u(x,y), v = v(x,y) y w = w(x,y), donde u,v y w son funciones diferenciables. Tesis. Demostración. Dada la función z = f(u,v,w) cuya diferencial total, de acuerdo a lo visto, es: La función z = f(u,v,w) es una función compuesta con u= u(x,y), v = v(x,y) y w = w(x,y), por lo tanto: Cuya diferencial total será: Lo que se quiere probar es que: Por ser (1) , y teniendo en cuenta que du= ux dx + uy dy dv= vx dx + vy dy dw= wx dx + wy dy Remplazando en (1) resulta Reagrupando resulta Cada uno de los paréntesis anteriores representan respectivamente a zx y zy, por lo que se puede escribir, y el segundo miembro no es otra cosa que por lo que se puede poner Ejercicios. i) Dada la función 1) calcular 2) calcular 3) verificar ii) Dada la función z = u2+v2 con u = x+y v = x – y 1) calcular 2) calcular 3) verificar y,xw,v,u dzdz = dwzdvzduzdz wvuw,v,u ++= ( ) ( ) ( )[ ] ( )y,xFy,xw,y,xv,y,xufz == dyzdxzdz yxy,x += y,xw,v,u dzdz = dwzdvzduzdz wvuw,v,u ++= ( ) ( ) ( )dywdxwzdyvdxvzdyudxuzdz yxwyxvyxuw,v,u +++++= ( ) ( ) dywzvzuzdxwzvzuzdz ywyvyuxwxvxuw,v,u +++++= dyzdxzdz yxw,v,u += y,xdz y,xw,v,u dzdz = ÷ ø ö ç è æ=+== x yarctgsyxlnrconez 22rs s,rdz y,xdz y,xs,r dzdz = v,udz y,xdz y,xv,u dzdz = Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 8 2.4. Diferenciales sucesivas Si f: z =f(x,y) es una función diferenciable, cuya diferencial total es Si se acepta la constancia de los incrementos dx y dy y considerando a zx y zy como funciones de x e y se podrá calcular d(dz) = d2z, llamada diferencial segunda de z. Hipótesis. z =f(x,y) función diferenciable, dx y dy son constantes respecto de las variables x e y y, zx y zy son funciones derivables de x e y que cumplen con las condiciones de Schwarz, Tesis. Demostración. Siendo entonces Por hipótesis zx y zy son funciones derivables que cumplen las condiciones de Schwarz entonces (1) que es lo que se quería probar. De igual manera, a partir de la expresión de d2z se puede calcular d(d2z) = d3z obteniéndose (2) Se observa que las expresiones (1) y (2) tienen similitud con el desarrollo del cuadrado y el cubo de un binomio respectivamente. Realizando una analogía, se puede utilizar el operador diferencial para calcular las diferenciales sucesivas de z. Para ello se aplica de manera sucesiva dicho operador a la función z se obtiene dz, d2z, d3z,…, dnz. Esto es: dyzdxzdz yx += 2 2 22 2 2 2 2 dy y zdydx xy z2dx x zzd ¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = dyzdxzdz yx += [ ] [ ] [ ]dyzddxzddyzdxzd)dz(d yxyx +=+= dydy y zdx yx zdxdy xy zdx x zzd 2 222 2 2 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ ¶ +÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 222 2 2 2 2 dy y zdydx yx zdxdy xy zdx x zzd ¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 22 2 2 2 2 dy y zdydx yx z2dx x zzd ¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 dy y zdydx yx z3dydx yx z3dx x zzd ¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ dy y dx x zdy y dx x dz ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = Teorema. Si f: z =f(x,y) es una función diferenciable, dx y dy son constantes respecto de las variables x e y y si zx y zy son funciones derivables de x e y que cumplen con las condiciones de Schwarz, entonces: 2 2 22 2 2 2 2 dy y zdydx xy z2dx x zzd ¶ ¶ + ¶¶ ¶ + ¶ ¶ = Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 9 El “exponente” colocado en los segundos miembros de estas expresiones es un exponente simbólico ya que no indica potencia enésima, sino por el contrario, para los símbolos indica orden de derivación y para los dx y dy indica exponente. Ejercicio. Dada la función f : z = ex cosy, calcular dz, d2z, d3z, d4z 2.5. Interpretación geométrica de la diferencial total en funciones de dos variables Sea S la superficiede R3 que es la gráfica de la función z =f(x, y) y sea P0(x0,y0), tal que z0 = f(x0,y0) y por lo tanto el punto P(x0,y0.z0) pertenece a la superficie S y f es diferenciable en P0. Sea P1(x0+Δx,y0+Δy) tal que z1 = f(x0+Δx,y0+Δy), es la cota correspondiente al punto Q(x0+Δx,y0+Δy,z1) perteneciente a la superficie S. La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P: El punto pertenece al plano tangente por lo tanto sus coordenadas verifican la ecuación del plano zdy y dx x zd 2 2 ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( ) zdy y dx x zd . zdy y dx x zd n n 3 3 ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y y x ¶ ¶ ¶ ¶ ( ) ( )00P00P0 yyy fxx x fzz - ¶ ¶ +- ¶ ¶ =- ( )'100 z,yy,xx'Q D+D+ P0(x0,y0) P(x0, y0, z0) P1(x0+Δx, y0+Δy,0) Q(x0+Δx, y0+Δy, z1) f(x0,y0) f(x0,y0) Q´ Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 10 Simplificando y arreglando la expresión resulta El segundo miembro de esta igualdad es dz, Entonces es la diferencia de cotas de dos puntos que están sobre el plano tangente cuando pasamos del punto P0 al punto P1. 2.6. Relación entre incremento total y diferencial total en funciones de dos variables. Si f es diferenciable en P0 entonces . Pero Como 𝜀$ → 0 𝑦 𝜀% → 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 (Δ𝑥, Δ𝑦) → (0,0), Puede hacerse tan pequeña como se quiera con tan solo tomar Δx y Δy suficientemente pequeños. Es decir: para Δx y Δy suficientemente pequeños. 2.7. Diferenciales exactas. Dada la expresión M(x,y) dx + N(x,y) dy, si es la diferencial total de alguna función z = f(x,y) entonces se dice que dicha expresión es una diferencial exacta. Es decir, existe una función f tal que su diferencial total es: dz = M(x,y) dx + N(x,y) dy, Ejercicios. Analizar si las siguientes expresiones con exactas. i) ii) 2.8. Aplicaciones de las diferenciales. Usando siempre el concepto, que la diferencial total de la función en un punto de su dominio es una excelente aproximación del incremento total en ese punto, cuando se incrementan simultáneamente todas sus variables, se pueden plantear un conjunto de aplicaciones; como el cálculo del valor aproximado de una expresión aritmética, el cálculo de errores absolutos y relativos, etc. A continuación revisaremos dos aplicaciones de la diferencial total de una función, planteando respectivos casos particulares para su consideración. ( ) ( )00P00P01' yyyy fxxx x fzz 00 -D+ ¶ ¶ +-D+ ¶ ¶ =- y y fx x fzz 00 PP01 ' D ¶ ¶ +D ¶ ¶ =- dzzz 01 ' =- 01 ' zzdz -= yxy y fx x fz PP D+D+D¶ ¶ +D ¶ ¶ =D 210 00 ee yxdzz D+D+=D 210 ee yxdzz D+D=-D 210 ee dzz -D 0 dzz »D 0 ( ) ( )dy1y2dx1x2 +-++ ( ) ( )dyysec)xy2(senx2dx)xy2(seny2x3cos3 2+-- Teorema. Si las funciones M(x,y) y N(x,y) son continuas, con derivadas parciales continuas en una región, entonces M(x,y) dx + N(x,y) dy es una diferencial exacta sí y sólo sí x N y M ¶ ¶ = ¶ ¶ Clase Nº 11: Diferenciales Mg. M. Adriana Correa Zeballos 11 2.8.1. Calculo del valor aproximado de una expresión aritmética. Supongamos que deseamos calcular en forma aproximada el valor de (8,01)1/3.(2,02)2. Solución. Consideremos la función f(x, y)=x1/3y2 y los puntos P0 (8,2) y P1(8,01, 2,02), de adonde se sigue que dx = 0,01 y dy = 0,02. Notamos que podríamos sencillamente calcular la función en P0 y luego la variación de la función, mediante diferencial, en P0 cuando las variables tienen el incremento dx y dy mencionados. f(P0) = (8)1/3.(2)2 , f(P0) = 8 df(x,y) = fx(x, y)dx + fy(x,y)dy df(x,y) = 1/3(1/x2)1/3y2dx + x1/32ydy df(P0) = fx(P0)dx + fy(P0)dy df(P0) = (1/3).(1/4).4.0,01 + 2.4.0,02 df(P0) =0,1633…. Entonces, f(P1), que es lo que buscamos, será, aproximadamente: f(P1) = f(P0) + df(P0) (8,01)1/3.(2,02)2 = 8 + 0,1633 (8,01)1/3.(2,02)2 = 8,1633 2.8.2. Cálculo de errores absolutos y relativos. Se mide las aristas de un bloque paralelepípedo, las que resultan de 10, 12 y 20 cms, con un error probable de 0,05 cm en cada una. Deseamos conocer el máximo error absoluto y relativo al evaluar el área total del bloque, como consecuencia de los probables errores en las medidas individuales de sus aristas. Solución. La función a considerar será el área del paralelepípedo esto es, si a cada arista la denominamos como x, y, z, entonces S(x, y, z) = 2(xy + yz + xz). El punto P0(10, 12, 20) y P1(10,05, 12,05, 20,05) puesto que consideramos que el máximo error al evaluar S será cuando los errores de medición de las aristas sean máximos y de igual signo, en consecuencia, dx = dy = dz = 0,05. S(P0) = 2(10.12 + 12.20 + 10.20), S(P0) = 1120 cm2, Pero como suponemos cometer el máximos error, en realidad tenemos que calculas dS(P0)) . Es decir cuánto variaría la función en P0, cuando x0, y0 y z0, varían en 0,05 cms. cada una. dS(P0) = Sx(P0)dx + Sy(P0)dy + Sz(P0)dz, Entonces; dS(x, y, z) = 2(y + z)dx + 2(x + z)dy + 2(y + x)dz dS(P0) = 2(12 + 20).0,05 + 2(10 + 20).0,05 + 2(12 + 10).0,05 De adonde resulta que el máximo error absoluto al evaluar el área del paralelepípedo será: dS(P0) = 8,4 cm2 El error relativo porcentual es: &'()") '()") .100 = +,- $$%" .100 &'()") '()") .100 = 0,75 ℅ Ejercicios. i) Utilice diferenciales para calcular un valor aproximado de ii Los lados (en cm) de un paralelepípedo rectangular cambian de 9; 6 y 4 a 9.02 ; 5.97 y 4.01 respectivamente. Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio del volumen. ¿Cuál es la variación exacta del volumen? iii) El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 cm respectivamente, con un error posible en la medición de cm. Usar diferenciales para estimar aproximadamente el error máximo que se comete al calcular el volumen del cilindro. Aproxime también el error relativo y el relativo porcentual. 02.1e99.0 05.0±
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