Clase N 15 Integrales Triples

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Clase Nº 15: Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 1 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 15: INTEGRALES TRIPLES 
 
 
Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una 
integral doble es una generalización de una integral simple definida . 
Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que f es una función 
de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada y acotada R en el espacio R3. 
En el espacio R3 los conceptos de región cerrada, región acotada se definen por extensión de 
las definiciones dadas en el espacio R2. 
 
 
 
 
 
 
 
 La integral triple de una función de tres variables x,y,z se define siguiendo un procedimiento 
de cuatro pasos, análogo al utilizado para definir la integral 
1. DEFINICIÓN. 
 Sea f una función de tres variables definida sobre una región R cerrada y acotada de R3. 
 Se divide o particiona a la región R mediante planos paralelas a los planos coordenados. El 
conjunto de todos los paralelepípedos que están completamente contenidos en R se lo llama una 
partición interna P de R. (Esto corresponde al Paso 1 del proceso). Siendo R1, R2,…, Rn los n 
paralelepípedos que forman la partición interna P de R. 
 En la figura 1 se muestra un elemento típico Ri de una partición interna de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )dAyxf
R
òò , ( )dxxf
b
a
ò
Región cerrada en R3. 
Una región R de R3 se dice cerrada si en su definición se incluyen a todos los puntos de sus 
superficies fronteras. 
Región acotada en R3. 
Una región R de R3 se dice acotada, si existe un paralelepípedo con la propiedad de cada punto de 
la región sea un punto interior del paralelepípedo. 
 
 
 
 
Δyi 
Δxi 
Δzi 
R 
x 
y 
z Ri 
ΔVi 
(ξi,ɳi,γi) 
ξi 
ɳi 
γi 
Figura 1 
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 2 
La norma de la partición P es la longitud de la diagonal más larga de los paralelepípedos de 
la partición y se denota por . 
Las volúmenes de cada uno de los n paralelepípedos de la partición interna P están 
representadas por respectivamente. Así con el símbolo ΔVi se denota el 
volumen del i-ésimo paralelépípedo Ri donde; 
 
ΔVi = (Δxi)(Δyi) (Δzi), i = 1,2,…,n . 
 
En cada paralelepípedo se elige un punto arbitrario como se ilustra en la figura 1. 
(Esto corresponde al Paso 2). 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de los productos (Paso 3): 
 
 
 
Finalmente se considera el límite de esta suma cuando y simultáneamente 
(Paso 4). Si este límite existe se define como la integral triple de la función f(x,y,z) en la región R. En 
símbolos: 
 
Estos cuatro pasos conducen a la siguiente definición de integral triple 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El significado preciso del límite de la definición anterior es similar al dado en la nota 1, que 
sigue después de la definición de integral doble en la sección 2.2. de la unidad 2. 
 También se usa para la integral triple la siguiente notación: 
 
 
 
2. TEOREMA DE EXISTENCIA. 
La existencia de la integral triple de una función f sobre una región R de R3 depende no sólo de 
la naturaleza de la función f sino también de la naturaleza de la región R. Para establecer un teorema 
de existencia de la integral triple definiremos el concepto de superficie uniforme; 
P
n21 V...,,V,V DDD
( )i,i,i ghx
å
=
D=D++D+D
n
i
iiiinnnn VfVfVfVf
1
22221111 .),,(.),,(....),,(..),,( ghxghxghxghx
0®P ¥®n
òòòå =Dghx
=
®
R
n
1i
iiii
0P
Vd)z,y,x(fV),,(flím
( ) ( ) dzdydxz,y,xfdVz,y,xf
RR
òòòòòò =
Definición. 
Sea f una función de tres variables definida en una región R cerrada y acotada de R3. La integral 
triple de f sobre R se denota por y se define como; 
 
si este límite existe. 
( )dVz,y,xf
R
òòò
åòòò
=®
D=
n
i
iiiiP
R
VflímVdzyxf
10
),,(),,( ghx
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 3 
Si g es una función tres variables cuyo dominio es una región D en R3 y si gx, gy, gz son continuas 
y cumplen con en D, la gráfica de g(x,y,z) = 0 es una superficie 
uniforme. 
Nota. El concepto de superficie uniforme es similar al de superficie suave, es decir la superficie no 
presenta “esquinas”, no tiene “puntos angulosos ó cúspides”. 
Estableceremos, sin demostración, el siguiente teorema de existencia de la integral triple. 
 
 
 
 
 
 
Las condiciones indicadas en este teorema son suficientes pero no necesarias para la 
existencia de la integral triple. 
Para la mayoría de las funciones y regiones es prácticamente imposible determinar el valor 
de una integral triple por cálculo directo usando la definición. Existe un Teorema Fundamental para 
integrales triples semejante a los existentes para la integral simple definida y para la doble. Para 
enunciarlo es necesario dar la clasificación de las regiones de integración y extender el concepto de 
integrales iteradas introducido para las integrales dobles. 
 
1. CLASIFICACIÓN DE LAS REGIONES DE INTEGRACIÓN. 
Restringimos nuestra atención a ciertos tipos sencillos de regiones de integración. 
• Una región R, cerrada y acotada de R3, es del tipo S1,2 si su proyección en el plano xy, es una 
región R’ cerrada y acotada en dicho plano y donde R es la gráfica de 
 donde g1 y g2 son funciones continuas de 
x,y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
z
g
y
g
x
g 222
¹÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
( ) ( ) ( ) ( ){ }'21 Ry,x,y,xgzy,xg/z,y,xR 룣=
Teorema. 
Si f(x,y,z) es continua sobre una región cerrada acotada R de R3 cuya frontera consiste de la 
unión de un número finito de superficies uniformes, entonces existe. ( )dVz,y,xf
R
òòò
z = g2(x,y) 
z = g1(x,y) 
y 
x 
z 
R´ 
R 
S1, 2 
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 4 
• Una región R, cerrada y acotada de R3, es del tipo S2,3 si su proyección en el plano yz es una 
región R’ cerrada y acotada en dicho plano y donde R es la gráfica de 
 , 
donde h1 y h2 son funciones continuas de y,z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Una región R, cerrada y acotada de R3, es del tipo S1,3 si su proyección en el plano xz es una 
región R’ cerrada y acotada en dicho plano y donde Res la gráfica de 	𝑅 = 	 {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/
	𝐾!(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝐾"(𝑥, 𝑧), (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅´	} donde k1 y k2 son funciones continuas de x,z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. INTEGRALES ITERADAS. 
 Sea f: u =f(x,y,z) una función continua en una región R, cerrada y acotada de R3. Supongamos 
que R es una región del tipo S1,2 y su proyección sobre el plano xy es una R’ cerrada y acotada en 
dicho plano. 
( ) ( ) ( ) ( ){ }'21 Rz,y,z,yhxz,yh/z,y,xR 룣=
y 
x 
S2, 3 
 x = h2(y,z) 
x = h1(y,z) 
z 
R 
R’ 
y = k1(x,z) 
y = k2(x,z) 
y 
 
x 
 
z 
 
R´ 
 
R 
 
S1, 3 
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 5 
Sea F(x,y,z) una función tal que Fz(x,y,z) = f(x,y,z), entonces la integral parcial de f con respecto a z 
es: 
 
Considerando la siguiente integral definida y aplicando el Segundo Teorema Fundamental del 
Cálculo Integral para su resolución se tiene: 
 
 
Esta integral recibe el nombre integral parcial de la función f(x,y,z) con respecto a z en el intervalo 
. 
Observamos que al resolver la integral parcial con respecto a “z “se considera a las variables 
“x e y” como constantes y como resultado se obtiene una funciónsólo de x e y, es decir 
 
Para la función φ(x,y) obtenida mediante la integral reciente podemos considerar la integral 
doble sobre la región R’ del plano xy: 
(1) 
La notación en el lado derecho de (1) indica que primero se integra con respecto a “z” y luego 
se evalúa la integral doble sobre la región R’ del plano x,y. Existen dos posibilidades para su 
resolución: 
a) Si R’ es del tipo T1, es decir: 
entonces la integral (1) se puede escribir: 
 
Omitiendo los corchetes será: 
(2) 
b) Si R’ es del tipo T2, es decir: 
entonces la integral (1) se puede escribir: 
 
Omitiendo los corchetes será: 
(3) 
( ) ( )z,y,xFdzz,y,xf =ò
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )y,xg,y,xFy,xg,y,xF
y,xg
z,y,xFdzz,y,xf 12
y,x1g
2
y,x2g
y,x1g
-==ò
( ) ( )[ ]y,xg,y,xg 21
( )
( )
( )
( )y,xdzz,y,xf
y,x2g
y,x1g
j=ò
( ) ( )
( )
( )
dAdzz,y,xfdAy,x
'R
y,x2g
y,x1g'R
òò òòò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=j
( ) ( ) ( ){ }bxa,x2pyx1p/y,x'R ££££=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
dxdydzz,y,xfdAdzz,y,xf
b
a
x2p
x1p
y,x2g
y,x1g'R
y,x2g
y,x1g
ò ò òòò ò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
( )
( )
( )
( )
( )
dxdydzz,y,xf
b
a
x2p
x1p
y,x2g
y,x1g
ò ò ò
( ) ( ) ( ){ }dyc,y2hxy1h/y,x'R ££££=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
dydxdzz,y,xfdAdzz,y,xf
d
c
y2h
y1h
y,x2g
y,x1g'R
y,x2g
y,x1g
ò ò òòò ò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
( )
( )
( )
( )
( )
dydxdzz,y,xf
d
c
y2h
y1h
y,x2g
y,x1g
ò ò ò
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Las integrales (2) y (3) se llaman integrales iteradas de la función f(x,y,z). 
Es evidente que podemos definir otras cuatro integrales iteradas de f(x,y,z) en las que la primera 
integración se efectúe con respecto a una variable distinta de z. Estas integrales iteradas de f(x,y,z) 
son: 
 ; 
 ; 
Se debe notar que en una integral iterada de f(x,y,z) los límites de integración de la integral 
interior son los correspondientes bajo funciones de dos variables independientes; los límites de 
integración de la integral intermedia son los correspondientes bajo funciones de una variable 
independiente; y los límites de integración de la exterior son constantes. 
5. EVALUACIÓN DE INTEGRALES TRIPLES. 
Si la integral triple existe, y si R es una región del tipo S1,2, S1,3 ó S2,3 se pueden 
usar las integrales iteradas de f(x,y,z) para calcularla. Estableceremos sin demostración un teorema 
básico para calcular el valor de la integral triple. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
dzdydxz,y,xf
f
e
z2g
z1g
z,y2h
z,y1h
ò ò ò ( )
( )
( )
( )
( )
dydzdxz,y,xf
d
c
y2k
y1k
z,y2h
z,y1h
ò ò ò
( )
( )
( )
( )
( )
dzdxdyz,y,xf
f
e
z2h
z1h
z,x2k
z,x1k
ò ò ò ( )
( )
( )
( )
( )
dxdzdyz,y,xf
b
a
x2g
x1g
z,x2k
z,x1k
ò ò ò
( )dVz,y,xf
R
òòò
Teorema de evaluación de integrales triples. 
Sea f: u = f(x,y,z) una función continua en una región cerrada y acotada R de R3. 
a) Si R es del tipo S1,2 y es la gráfica de 
, 
donde R’ es la proyección de R sobre el plano xy, entonces 
 
b) Si R es del tipo S2,3 y es la gráfica de 
 
donde R’ es la proyección de R sobre el plano yz, entonces 
 
c) Si R es del tipo S1,3 y es la gráfica de 
 
donde R’ es la proyección de R sobre el plano xz, entonces 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ){ }'Ry,x,y,x2gzy,x1g/z,y,xR e££=
( ) ( )
( )
( )
dAdzz,y,xfdVz,y,xf
'R
y,x2g
y,x1gR
òò òòòò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
( ) ( ) ( ) ( ){ }'Rz,y,z,y2hxz,y1h/z,y,xR e££=
( ) ( )
( )
( )
dAdxz,y,xfdVz,y,xf
'R
z,y2h
z,y1hR
òò òòòò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
( ) ( ) ( ) ( ){ }'Rz,x,z,x2kyz,x1k/z,y,xR e££=
( ) ( )
( )
( )
dAdyz,y,xfdVz,y,xf
'R
z,x2k
z,x1kR
òò òòòò
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
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En situaciones en las cuales R no es una región de los tipos S1,2, S1,3 ó S2,3 o su frontera es tal 
que la determinación de las fórmulas para las expresiones g1(x,y), g2(x,y) ó h1(y,z), h2(y,z) ó k1(x,z), 
k2(x,z), del teorema de evaluación, no es posible, es útil hacer uso de las propiedades de las integrales 
triples, las que se enuncian en los siguientes teoremas y son similares a las expresadas para integrales 
dobles. 
 
6. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. DEMOSTRACIÓN DE LAS PROPIEDADES. 
Teorema 1: 
Sea f (x, y, z) una funcion continua en una región cerrada y acotada R del espacio, y sea k 
una constante, entonces se cumple que: 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) es una función continua en la región cerrada y acotada R. 
- k es una constante. 
Tesis: 
. 
Demostración: 
 Vamos a encarar la demostración de la tesis usando los cuatro pasos propuestos en la 
definición de las integrales simple, doble y triple para la función dada por [kf(x, y, z)], continua en la 
región cerrada y acotada R del espacio. Esto es: 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R (Ver figura 1). 
Paso 2; A continuación en cada paralelogramo de la partición P se elige un punto arbitrario 
 y se consideran los correspondientes ΔVi, como también se ilustra en la figura 1. 
dVzyxfkdVzyxkf
RR
òòòòòò = ),,(),,(
( )),, iii ghx
Teoremas. 
Sean f y g funciones continuas en una región R cerrada y acotada de R3, entonces: 
1) Si k es una constante se cumple que; 
 
 
2) 
 
3) Si R1 y R2 no tienen puntos en común excepto puntos fronteras y si , se cumple 
que; 
 
 
( ) ( )dVz,y,xfkdVz,y,xfk
RR
òòòòòò =
( ) ( )[ ] ( ) ( )dVz,y,xgdVz,y,xfdVz,y,xgz,y,xf
RRR
òòòòòòòòò ±=±
21 RRR È=
( ) ( ) ( )dVz,y,xfdVz,y,xfdVz,y,xf
2R1RR
òòòòòòòòò +=
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Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función [k.f(x,y,z)], es decir se forma la suma de los 
productos. 
 
Siendo k una constante y por propiedad de las sumtorias, el segundo miembro de esta 
igualdad puede escribirse como: 
= 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
]]= ] (3) 
Si este límite existe, se define, en el primer miembro de la igualdad (3), la integral triple de la 
función [k.f(x,y, z)] en la región R. Es decir; 
 
En el segundo miembro de la igualdad (3), por propiedad de los limites se considera el limite 
de la constante k (que resulta la propia constante k) y el limite de la sumatoria , 
que no es otra cosa que la definición de integral triple de la función [f(x, y, z)]. Entonces; 
] = k 
 k = 
De esta manera, bajo las hipótesis enunciadas, queda demostrado que: 
. 
Teorema 2: 
Sean f y g funciones continuas en una región cerrada y acotada R del espacio, entonces se 
cumple que: 
 
Hipótesis: 
- f(x, y,z), es una funció continua en la región cerrada y acotada R del espacio. 
- g(x,y, z) es una función continua en la región cerrada y acotada R del espacio. 
Tesis: 
 
Demostración: 
 Como en el teorema 1, también en este caso vamos a encarar la demostración de la tesis 
usando los cuatro pasos propuestos en las definiciónes de integral simple, doble y triple para la 
función [f(x, y, z) ± g(x,y, z)], continua en una la región cerrada y acotada R del espacio. 
Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R (Ver figura 1.). 
]),,(.[.)),,(....),,(..),,(.
1
22221111 å
=
D=DD++D+D
n
i
iiiinnnnn VfkAVfkVfkVfk ghxghxghxghx
å
=
D
n
i
iiii Vfk
1
),,(. ghx å
=
D
n
i
iiii Vfk
1
),,(. ghx
0®P ¥®n
å
=
®
D
n
i
iiiiP
Vfklím
10
),,(.[ ghx å
=
®
D
n
i
iiiiP
Vfklím
10
),,(.[ ghx
dVzyxkfVfklím
R
n
i
iiiiP òòòå =D=®
),,(]),,(.[
10ghx
å
=
D
n
i
iiii Vfk
1
),,(.[ ghx
iiii
n
iP
Vfklím Då
=
®
),,(.[
10
ghx
0®P
lím å
=
®
D
n
i
iiiiP
Vflím
10
]),,([ ghx
0®P
lím å
=
®
D
n
i
iiiiP
Vflím
10
),,( ghx òòò
R
dVzyxfk ),,(.
dVzyxfkdVzyxkf
RR
òòòòòò = ),,(),,(
dVzyxfdVzyxfdVzyxgzyxf
RRR
òòòòòòòòò ±=± ),,([),,([)],,(),,([
dVzyxfdVzyxfdVzyxgzyxf
RRR
òòòòòòòòò ±=± ),,([),,([)],,(),,([
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Paso 2; A continuación en cada paralelogramo de la partición P se elige un punto arbitrario 
 y se consideran los correspondients ΔVi, como también se ilustra en la figura 1. 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función [f(x, y, z) ± g(x, y, z)], es decir se forma la 
suma de los productos. 
Por propiedad de las sumtorias, el segundo miembro de esta igualdad puede escribirse como: 
= ± 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
= ± 
Si este límite existe, en el primer miembro, define la integral triple de la función [f(x,y, z) ± g(x, 
y, z)] en la región R. Es decir; 
[ ]= 
Para el segundo miembro, por propiedad de los límites (el límite de una suma de funciones es 
la suma de los límites de cada función), se considera el límite de la sumatoria (que 
resulta la integral triple de f(x, y, z)) y el limite de la sumatoria que no es otra cosa 
que la definición de integral triple de la función g(x, y, z). Entonces; 
± = 
De esta manera, bajo las hipótesis planteadas, queda demostrado que: 
 
Teorema 3: 
Siendo f x, y, z) una función continua en una región cerrada y acotada R del espacio, donde R 
es la unión de dos regiones disjuntas R1 y R2 (no tienen puntos en común excepto puntos fronteras), 
entonces se cumple que: 
 
Hipótesis: 
- f(x, y, z) es una función continua en la región cerrada y acotada R del espacio. 
- R = R1 U R2. R1 y R2, son conjuntos disjuntos. 
Tesis: 
 
Demostración: 
 Vamos a mantener la idea propuesta en los anteriores teoremas, es decir seguiremos 
usando los cuatro pasos presentados en las definiciónes de integral simple. doble y triple. Esto es: 
( )),, iii ghx
å
=
D±=D±++D±+D±
n
i
iiiiininnnnniiii VgfVgfVgfVgf
1
11111122,222221111 .)],(),,([[.)],(),,([....)],,(),,([)],(),,([ ghxghxghxghxghxghxghxghx
å
=
D±
n
i
iiiiiii Vgf
1
)].,,(),,([ ghxghx å
=
D
n
i
iiii Vf
1
),,( ghx å
=
D
n
i
iiii Vg
1
),,( ghx
0®P ¥®n
0®P
lím å
=
D±
n
i
iiiiiii Vgf
1
)].,,(),,([ ghxghx
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vf
1
),,( ghx
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vg
1
),,( ghx
0®P
lím å
=
D±
n
i
iiiiiii Vgf
1
)].,,(),,([ ghxghx dVzyxgzyxf
R
)],,(),,([ ±òòò
å
=
D
n
i
iiii Vf
1
),,( ghx
å
=
D
n
i
iiii Vg
1
),,( ghx
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vf
1
),,( ghx
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vg
1
),,( ghx dVzyxfdVzyxf
RR
òòòòòò ± ),,([),,([
dVzyxfdVzyxfdVzyxgzyxf
RRR
òòòòòòòòò ±=± ),,([),,([)],,(),,([
dVzyxfdVzyxfdVzyxf
RRR
òòòòòòòòò +=
21
),,([),,(),,(
dVzyxfdVzyxfdVzyxf
RRR
òòòòòòòòò +=
21
),,([),,(),,(
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Paso 1: Se realiza una partición interna P de región R, en n particiones (Ver figura 1). Pero la región 
R es ahora la unión de dos regiones disjuntas R1 y R2, entonces tendremos la partición interna P1 de 
la región R1, en m particiones y la partición interna P2 de la región R2, en r particiones, de esta manera 
n = m + r. 
Paso 2: En cada paralelogramo de la partición P se elige un punto arbitrario y se consideran 
los ΔVi, correspondientes. Se procede de igual forma para las particiones P1 de la región R1 y para la 
partición P2 de la región R2. 
Paso 3: Se construye la suma de Riemann para la función [f(x, y, z)] en la región R, es decir se forma 
la suma de los productos del valor de la función f para cada terna por los respectivos ΔVi. 
 
 Al primer miembro de esta igualdad lo podemos separar en dos tramos. Por un lado tomar los m 
primeros sumandos, con los valores de la función f para los por los ΔVj, correspondientes, 
para todo j =1, 2,…, m de la región R1 y luego tomar los r últimos sumandos, con los valores de la 
función f, para los ), por los ΔVk, para todo k =1,2,…,r, correspondientes a la región R2. 
Entonces tendríamos: 
 
= + 
 
Usando la notación de sumatoria: 
= + 
Paso 4: Finalmente se considera el límite de la suma de Riemann para ambos miembros de esta 
última igualdad, cuando y simultáneamente . 
= [ + ] 
 Por propiedad de los límites, el segundo miembro de esta igualdad queda: 
= + 
Si este límite existe, se define, en el primer miembro, la integral triple de la función f(x,y, z) en 
la región R y en el segundo miembro, el primer sumando es la integral triple de ls función f(x, y, z) en 
la región R1 y el segundo sumando es la integral triple de ls función f(x, y, z) en la región R2 Es decir 
de esta manera queda demostrado, bajo las hipótesis planteadas, que: 
, 
 
 
 
 
 
 
),,( iii ghx
),,( iii ghx
å
=
D=DD++D+D
n
i
iiiinnnnn VfAVfVfVf
1
22221111 ),,(.)),,(...),,(.),,( ghxghxghxghx
),,( jjji ghx
kkk ghx ,,(
=D++D+D .)),,(...),,(.),,( 22221111 nnnn VfVfVf ghxghxghx
].).,,(...),,(.),,([ 22221111 mmmm VfVfVf D++D+D ghxghxghx
].),,(....),,(..),,([ 22221111 rrrr VfVfVf D++D+D+ ghxghxghx
å
=
D
n
i
iiii Vf
1
.),,( ghx å
=
D
m
j
jjjj Vf
1
.),,( ghx å
=
D
r
k
kkkk Vf
1
.),,( ghx
0®P ¥®n
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vf
1
.),,( ghx
0®P
lím å
=
D
m
j
jjjj Vf
1
.),,( ghx å
=
D
r
k
kkkk Vf
1
.),,( ghx
0®P
lím å
=
D
n
i
iiii Vf
1
.),,( ghx
0®P
lím å
=
D
m
j
jjjj Vf
1
.),,( ghx
0®P
lím å
=
D
r
k
kkkk Vf
1
.),,( ghx
dVzyxfdVzyxfdVzyxf
RRR
òòòòòòòòò +=
21
),,([),,([),,([
Clase Nº 15: Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 11 
Consignas para la revisión de la teoría 
 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 
1. Suma de Riemann en integrales triples. 
2. Tipos de regiones cerradas y acotadas en el espacio tridimensional. 
3. Integrales iteradas para funciones de tres variables independientes 
4. Integral triple sobre un paralelepípedo rectangular. 
5. Integral triple sobre una región general 
6. Propiedades de las integrales triples 
7. Cálculo de las integrales triples 
 
Consignas para la revisión de la práctica 
 
Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 
1) Calcule la integral iterada: 
a) Rta: 
b) Rta: 1/10 
c) Rta: 
d) Rta: -40/3 
2) Si la región R de integración está determinada por las desigualdades 
Calcule la integral triple dada por 
 
Rta: 128/5 
3) Si la región R de integración está determinada por los planos 
y el cilindro circular , calcule 
Rta: 26/3 
4) Calcule donde R es el tetraedro sólido acotado por los cuatro planos x=0, y = 0, z = 0, 
x + y + z = 1. 
Rta: 1/24 
( ) dxdydzz2ye
2
0
x
0
yx
0
xò ò ò
+
+ ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+ 1
3
e19
2
dxdydzx
1
0
x
0
yx
0
ò ò ò
dzdxdyez2
4
1
1
0
x
0
2xò ò ò - ÷ø
ö
ç
è
æ -
e
11
2
15
dxdydzycosx
4
0
2
0
x1
0
ò ò ò
p -
.zyxy4z,0y,0x 22 £+=³³
dVx2
R
òòò
6xy2y2yx,0z,0y =+=+== 4zy 22 =+ dVz
R
òòò
dVz
R
òòò
Clase Nº 15: Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 
 12 
5) Calcule donde R es la región acotada por el paraboloide y el 
plano y = 4. Rta: 128π/15 
 
6) Calcule donde R es el tetraedro sólido acotado por los cuatro planos x=0, y = 0, z = 0, 
y + z = 1, x + z = 1 
Rta: 1/12 
7) Calcule donde 
Rta: 7/5. 
8) Calcule donde R esta bajo el plano z = x + 2 y y encima de la región delplano xy 
acotada por las curvas y = x2, y = 0, x =1. 
Rta: 5/28 
9) Calcule donde R esta acotada por el paraboloide x = 4y2+4z2 y el plano x=4. 
Rta: 16π/3 
 
 
dVzx
R
22òòò +
22 zxy +=
dVz
R
òòò
dVyz
R
òòò
( ){ }2zx0,z2y0,1z0/z,y,xR +££££££=
dVy
R
òòò
dVx
R
òòò