T P N 18 Aplicaciones en integrales dobles

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 18 
 
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
2) ; 5); 9); 13); 14); 22) 
 
Repaso Teórico 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las 
siguientes consignas: 
1. Cálculo de volúmenes con integrales dobles. 
2. Cálculo de áreas con integrales dobles. 
3. Masa y Peso de una lámina plana de densidad variable. 
4. Momentos estáticos con respecto a los ejes coordenados de una lámina 
plana de densidad variable. 
5. Momentos de Inercia con respecto a los ejes coordenados de una 
lámina plana de densidad variable. 
6. Cálculo de las coordenadas del centro de masa de una de una lámina 
plana de densidad variable. 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Mediante integrales dobles, calcule el área de las siguientes regiones: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) R: región del primer cuadrante comprendida entre las curvas: 
 y 2 = 2x, 2x + y = 20, y = 0 
 
2) Empleando transformaciones adecuadas, halla el área de la región 
limitada por: 
322: === xyxyR
xyxyxyR -==+= 14
1: 2
2: 2 == yxyR
22 8: xyxyR -==
cuadranteprimeryxyxyR 034: 22 ==+-=
!
𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 1
 
 
3) Calcule, usando integrales dobles, los volúmenes de los cuerpos 
limitados por: 
a) 
b) primer octante 
c) 
 
4) Calcule, mediante integración, el volumen del sólido limitado por el 
cono x2 + y2 = 4z2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 5, siendo z ≥ 0. 
5) Halle el área de la región dentro del cardioide y fuera de la 
circunferencia . 
6) Un sólido está limitado por la superficie z = x2 − y2 , el plano xy, y los 
planos: x = 1 y x = 3. Calcule su volumen por doble integración 
7) Calcule el volumen del sólido en el primer octante acotado por los planos 
coordenados, el plano x = 3 y el cilindro parabólico z = 4 − y 2. Esboce el 
gráfico del sólido 
8) Calcule el volumen limitado: 
a) por el plano !
"
+ #
$
+ %
&
= 1 y el plano xy. 
b) por la superficie 𝑧 = 4 − 𝑥' − 2𝑦'	 y el plano z=2. 
c) por la superficie 𝑧 = 𝑥' + 𝑦'	 y el plano z=9 
d) por las superficies 𝑥' + 𝑦' + 𝑧' = 4	 y 𝑥' + (𝑦 − 1)' = 1. 
7) Encuentra el volumen de la porción de la esfera 𝑥' + 𝑦' + 𝑧' = 1 situada 
entre los planos 𝑧 = 	± (
√'
. 
9) Calcule el volumen del sólido que está en el interior de la esfera 𝑥' +
𝑦' + 𝑧' = 2𝑧	, y , arriba del paraboloide 𝑧 = 𝑥' + 𝑦'. 
10) Calcule el volumen del sólido que está en el interior a 𝑦' + 𝑧' = 2 y 
exterior a 
 𝑥' − 𝑦' − 𝑧' = 2. 
11) calcule el volumen del sólido intersección de los cilindros 𝑥' + 𝑦' = 1 
y 			𝑦' + 𝑧' = 1. 
12) Una lámina cuadrada definida por los vértices (1,0), (0,1), (1,2),(2,1) 
tiene una densidad dad por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 (𝑥' − 𝑦')(𝑥 − 𝑦) gr/cm2. 
Determine la masa de la lámina. 
1040 ===== zzxyxy
632 =++ zyx
401 22 ==-== zzxyxy
)cos1( q+= ar
ar =
13) Calcule el momento de inercia de la lámina plana en forma de triángulo 
isósceles rectángulo de cateto a con respecto al vértice del ángulo recto, la 
densidad es constante. 
14) Calcule la masa de la lámina plana circular de radio a, si la densidad es 
proporcional a la distancia a un diámetro. 
15) Encuentre los momentos de inercia , , , de un disco homogéneo D 
con densidad centro en el origen y radio a. 
16) Calcule el momento estático respecto del eje y de la lámina plana ubicada 
en el 1º cuadrante cuyo contorno responde a la ecuación si la 
densidad es inversamente proporcional a la distancia de un punto de la 
lámina al eje y. 
17) Una lámina plana ocupa una región R acotada por la parábola, x = 1- y2, 
y los ejes coordenados en el primer cuadrante, si la función densidad es 
, determine: 
 a) el centro de masa de la lámina. 
 b) los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados. 
18) Calcule la masa de la lámina plana que tiene la forma de la región exterior 
al caracol y que está en el interior de la circunferencia 
, si la densidad superficial en cualquier punto es kg por metro 
cuadrado. 
19) Calcule, usando integrales dobles, el volumen del sólido en el primer 
octante interior a exterior a sobre el plano z = 1. 
20) Calcule el área de la región plana limitada por 
 
21) Calcule el área encerrada por 
22) La densidad en un punto (x, y) sobre la lámina semicircular 
 D = { (x, y) ∈ R 2 / y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ r 2 } δ(x, y) = a3𝑥' + 𝑦' . Calcule el 
centro de masa de la lámina. 
xI yI oI
ryx =),(d
)sin1(2 q+=r
yyx =),(d
Q-= cos3r Q= cos5r
Qsin2
zyx 222 =+ 222 yxz +=
yyxxyx 22 2222 =+=+
( )q3cos=r